2021年湖北省十堰市丹江口市中考数学诊断试卷

这是一份2021年湖北省十堰市丹江口市中考数学诊断试卷，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年湖北省十堰市丹江口市中考数学诊断试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且仅有一个答案是正确的，请用2B铅笔在答题卡上将正确的答案代号涂黑。
1．（3分）的绝对值是（　　）
A．5 B． C． D．﹣5
2．（3分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝40°时，∠1的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
3．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．a3•a2＝a6
C．（﹣a3b）2＝a6b2 D．a2b3÷a＝b3
5．（3分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（　　）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
6．（3分）一个多边形的每个内角都是135°，则其内角和为（　　）
A．900° B．1080° C．1260° D．1440°
7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
8．（3分）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形…按这样的规律下去，第9幅图中正方形中的个数为（　　）

A．180 B．204 C．285 D．385
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（　　）

A． B．1 C． D．
10．（3分）如图，A、B是双曲线y＝上的点，点C在x轴上，B是线段AC的中点，S△OAC＝6．则k的值为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x2﹣9＝　 　．
12．（3分）为了解泰山庙社区20～60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成两幅不完整的统计图．请根据图中信息估计该社区中20～60岁的居民约10000人，估算其中41﹣60岁的人中最喜欢现金支付方式的人数为　 　．

13．（3分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于　 　m．

14．（3分）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度为　 　．（结果保留小数点后两位，≈1.732）

15．（3分）规定[x]为不大于x的最大整数，如[0.7]＝0，[﹣2.3]＝﹣3，若[x+0.5]＝2，且[1﹣x]＝﹣2，则x的取值范围为　 　．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝45°，E是BD上一点，若∠ABD＝15°，则AE+BE的最小值为　 　．

三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：（﹣1）0﹣|﹣3|+cos45°+（）﹣1．
18．（6分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a＝+1，b＝﹣1．
19．（7分）一个箱子内有4颗相同的球，将4颗球分别标示号码1、2、3、4，今翔翔以每次从箱子内取一颗球且取后放回的方式抽取，并预计取球10次，现已取了8次，取出的结果如表所列：
次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
第9次
第10次
号码
1
3
4
4
2
1
4
1


若每次取球时，任一颗球被取到的机会皆相等，且取出的号码即为得分，请回答下列问题：
（1）请求出第1次至第8次得分的平均数．
（2）承（1），翔翔打算依计划继续从箱子取球2次，请判断是否可能发生「这10次得分的平均数不小于2.2，且不大于2.4」的情形？若有可能，请计算出发生此情形的几率，并完整写出你的解题过程；若不可能，请完整说明你的理由．
20．（7分）如图，将▱ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF交BC于E交AD于F，交AC于G，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若四边形AECF恰为正方形，且AB＝5，BC＝7，求▱ABCD的面积．

21．（7分）关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k的值．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB延长线上的一点，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，sinA＝，求CD长．

23．（10分）某商店以40元/斤的单价新进一批茶叶，在销售一段时间后，部分销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）的数据统计如表：
销售单价x（元/斤）
40
60
80
100
120
销售量y（斤）
160
120
80
40
0
（1）根据图表求y与x的函数关系式；
（2）商店想使销售利润不低于2400元，销售单价应定为多少？
（3）为响应党中央“全面建成小康社会，实现共同富裕”的伟大号召，商店决定每销售一斤该茶叶，返给茶农a（a≤5）元钱，并保证在不超过82元的售价前提下，利润随售价的提高而增大，求a的取值范围．
24．（10分）已知正△ABC与正△CDE，连接BD，AE．

（1）如图1，D点在BC上，点E在AC上，AE与BD的数量关系为　 　；直线AE与直线BD所夹锐角为　 　度；
（2）将△CDE绕点C顺时针旋转至如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）若AB＝7，CD＝3，将△CDE绕点C顺时针旋转至B，D，E三点共线时，请画出图形，并求出BD长．
25．（12分）如图1，已知抛物线C1：y＝x2﹣2x+交x轴于点A，B，交y轴于点C．

（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）在抛物线C1上存在点D，使tan∠CBD＝，求点D的坐标；
（3）将抛物线C1向上平移至C2，C2的顶点P落在x轴上（如图2），M是C2上的一个动点，连接PM，过点P作PN⊥PM，交C2于点N，试问直线MN是否经过某定点？若必过某定点，请求出该定点的坐标；若不一定经过某定点，请说明理由．

2021年湖北省十堰市丹江口市中考数学诊断试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且仅有一个答案是正确的，请用2B铅笔在答题卡上将正确的答案代号涂黑。
1．（3分）的绝对值是（　　）
A．5 B． C． D．﹣5
【分析】根据绝对值是数轴上的点到原点的距离即可得出答案．
【解答】解：的绝对值是，
故选：B．
2．（3分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝40°时，∠1的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】先根据两直线平行的性质，得到∠3＝∠2，再根据平角的定义，即可得出∠1的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠3＝∠2，
∵∠2＝40°，
∴40°+90°+∠1＝180°，
∴∠1＝50°，
故选：C．
3．（3分）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层右边一个小正方形，
故选：C．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3a+2b＝5ab B．a3•a2＝a6
C．（﹣a3b）2＝a6b2 D．a2b3÷a＝b3
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方进行计算即可．
【解答】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a3•a2＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（﹣a3b）2＝a6b2，原计算正确，故此选项符合题意；
D、a2b3÷a＝ab3，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．（3分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（　　）
A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5
【分析】根据众数及中位数的定义，结合所给数据即可作出判断．
【解答】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，
这组数据的中位数为4；众数为5．
故选：A．
6．（3分）一个多边形的每个内角都是135°，则其内角和为（　　）
A．900° B．1080° C．1260° D．1440°
【分析】由一个正多边形的每个内角都为135°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，继而由内角和公式计算可得．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣135°＝45°，
∴这个多边形的边数为：360°÷45°＝8．
∴此多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°，
故选：B．
7．（3分）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
8．（3分）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形…按这样的规律下去，第9幅图中正方形中的个数为（　　）

A．180 B．204 C．285 D．385
【分析】观察图形发现：第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有1+4＝5个正方形；第3幅图中有1+4+9＝12+22+32＝14个正方形；所以第n幅图中有12+22+32+…+n2＝n（n+1）（2n+1）个正方形，从而可以得到答案．
【解答】解：∵第1幅图中有1个正方形；
第2幅图中有1+4＝5个正方形；
第3幅图中有1+4+9＝12+22+32＝14个正方形；
∴第n幅图中有12+22+32+…+n2＝n（n+1）（2n+1）个正方形；
∴第9幅图中有×9×（9+1）×（18+1）＝285个正方形．
故选：C．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（　　）

A． B．1 C． D．
【分析】如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA交CA的延长线于G．想办法求出EC，DE，可得结论．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA交CA的延长线于G．

∴AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACD，
∴＝，
∴AD＝BD，
∵EM⊥BC，EN⊥AC，DH⊥BC，DG⊥AC，
∴EM＝EN，DH＝DH，
∵•AC•BC＝•AC•EN+•BC•EM，
∴EM＝EN＝，
∵∠ECN＝∠CEN＝45°，
∴CN＝EN＝，
∴EC＝，
∵∠AGD＝∠DHB＝90°，AD＝BD，DG＝DH，
∴Rt△DGA≌Rt△DHB（HL），
∴AG＝BH，
同法可证，Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），
∴CG＝AH，
∴AC+BC＝CG﹣AG+CH+BH＝2CG＝14，
∴CG＝DG＝7，
∴CD＝7，
∴DE＝7﹣＝，
∴＝＝．
解法二：过点A作AH⊥BC于H，连接OD．

证明△AHE∽△DOE，求出AH，OD，可得结论．
故选：A．
10．（3分）如图，A、B是双曲线y＝上的点，点C在x轴上，B是线段AC的中点，S△OAC＝6．则k的值为（　　）

A．3 B．4 C．6 D．8
【分析】设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0），根据线段中点坐标公式得到B点坐标为（，），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到•＝k，得到b＝3a，然后根据三角形面积公式得到b•＝6，于是可计算出k＝4．
【解答】解：设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0），
∵B恰为线段AC的中点，
∴B点坐标为（，），
∵B点在反比例函数图象上，
∴•＝k，
∴b＝3a，
∵S△OAC＝6，
∴b•＝6，
∴•3a•＝6，
∴k＝4．
故选：B．
二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
12．（3分）为了解泰山庙社区20～60岁居民最喜欢的支付方式，某兴趣小组对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘成两幅不完整的统计图．请根据图中信息估计该社区中20～60岁的居民约10000人，估算其中41﹣60岁的人中最喜欢现金支付方式的人数为　1200人　．

【分析】根据喜欢支付宝支付的人数÷其所占各种支付方式的比例＝参与问卷调查的总人数，由喜欢现金支付的人数（41～60岁）＝参与问卷调查的总人数×现金支付所占各种支付方式的比例﹣15，即可求出喜欢现金支付的人数（41～60岁），再用社区总人数乘以样本中41﹣60岁的人中最喜欢现金支付方式的人数所占比例即可．
【解答】解：∵参与问卷调查的总人数为（120+80）÷40%＝500（人），
∴41﹣60岁的人中最喜欢现金支付方式的人数500×15%﹣15＝60（人）．
则该社区41﹣60岁的人中最喜欢现金支付方式的人数为10000×＝1200（人），
故答案为：1200人．
13．（3分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝2m，水面宽AB＝2.4m，某天下雨后，水管水面上升了0.4m，则此时排水管水面宽CD等于　3.2　m．

【分析】过O作OE⊥AB于E，交OD于F，连接OC，由垂径定理得AE＝BE＝AB＝1.2（m），CF＝DF＝CD，再由勾股定理得OE＝1.6（m），则OF＝OE﹣OF＝1.2（m），然后由勾股定理求出CF＝1.6（m），即可求解．
【解答】解：过O作OE⊥AB于E，交OD于F，连接OC，如图所示：
则AE＝BE＝AB＝1.2（m），OF⊥CD，
∴CF＝DF＝CD，
∴OE＝＝＝1.6（m），
∵水管水面上升了0.4m，
∴OF＝OE﹣OF＝1.6﹣0.4＝1.2（m），
∴CF＝＝＝1.6（m），
∴CD＝2CF＝3.2（m）
故答案为：3.2．

14．（3分）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度为　1.29m　．（结果保留小数点后两位，≈1.732）

【分析】在Rt△CEA中，利用45°的余弦可计算出CA≈7.07（m）；在Rt△BDF中利用30度的余弦可计算出DB≈5.77（m），则BF＝BD≈2.89（m），然后利用AB+AE＝EF+BF计算AB的长．
【解答】解：如图，

在Rt△CEA中，∵cos∠ECA＝，
∴CA＝≈7.07（m）；
在Rt△BDF中，∵cos∠BDF＝，
∴DB＝≈5.77（m），
∴BF＝BD≈2.89（m），
∵AB+AE＝EF+BF，
∴AB＝3.4+2.89﹣5＝1.29（m）．
故答案为：1.29m．
15．（3分）规定[x]为不大于x的最大整数，如[0.7]＝0，[﹣2.3]＝﹣3，若[x+0.5]＝2，且[1﹣x]＝﹣2，则x的取值范围为　2＜x＜2.5　．
【分析】根据新定义得出2≤x+0.5＜3且﹣2≤1﹣x＜﹣1，再分别求出其解集，继而找到其解集的公共部分即可．
【解答】解：∵[x+0.5]＝2，且[1﹣x]＝﹣2，
∴2≤x+0.5＜3且﹣2≤1﹣x＜﹣1，
解2≤x+0.5＜3得1.5≤x＜2.5，
解﹣2≤1﹣x＜﹣1得2＜x≤3，
∴2＜x＜2.5，
故答案为：2＜x＜2.5．
16．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝45°，E是BD上一点，若∠ABD＝15°，则AE+BE的最小值为　6　．

【分析】如图，过点E作EH⊥BC于H，过点A作AJ⊥BC于J．解直角三角形求出AJ，把问题转化为垂线段最短即可．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，过点A作AJ⊥BC于J．

∵∠ABC＝45°，∠AJB＝90°，AB＝6，
∴AJ＝BJ＝6，
∵∠ABD＝15°，
∴∠DBC＝30°，
∵∠EHB＝90°，
∴EH＝BE，
∴AE+BE＝AE+EH，
∵AE+AH≥AJ，
∴AE+BE≥6，
∴AE+BE的最小值为6，
故答案为：6．
三、解答题（本题有9个小题，共72分）
17．（5分）计算：（﹣1）0﹣|﹣3|+cos45°+（）﹣1．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣3+×+4
＝1﹣3+1+4
＝3．
18．（6分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a＝+1，b＝﹣1．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，把a、b的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当a＝+1，b＝﹣1时，原式＝＝1．
19．（7分）一个箱子内有4颗相同的球，将4颗球分别标示号码1、2、3、4，今翔翔以每次从箱子内取一颗球且取后放回的方式抽取，并预计取球10次，现已取了8次，取出的结果如表所列：
次数
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
第9次
第10次
号码
1
3
4
4
2
1
4
1


若每次取球时，任一颗球被取到的机会皆相等，且取出的号码即为得分，请回答下列问题：
（1）请求出第1次至第8次得分的平均数．
（2）承（1），翔翔打算依计划继续从箱子取球2次，请判断是否可能发生「这10次得分的平均数不小于2.2，且不大于2.4」的情形？若有可能，请计算出发生此情形的几率，并完整写出你的解题过程；若不可能，请完整说明你的理由．
【分析】（1）根据算术平均数的定义列式计算可得；
（2）先根据这10次得分的平均数不小于2.2，且不大于2.4得出后两次得分的范围，再列表得出所有等可能结果，从中找打符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）第1次至第8次得分的平均数＝2.5；

（2）∵这10次得分的平均数不小于2.2，且不大于2.4，
∴这10次得分之和不小于22、不大于24，
而前8次的得分之和为20，
∴后两次的得分不小于2、不大于4，
解：列表得：
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
∴一共有16种情况，其中得分之和不小于2、不大于4的有6种结果，
则后两次的得分不小于2、不大于4的概率为＝．
20．（7分）如图，将▱ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF交BC于E交AD于F，交AC于G，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）若四边形AECF恰为正方形，且AB＝5，BC＝7，求▱ABCD的面积．

【分析】（1）由折叠性质得CE＝AE，再通过证△AFG≌△CEG来证四边形AECF为平行四边形，即可证明四边形AECF为菱形；
（2）设AE＝x，由勾股定理列方程，解方程即可求面积．
【解答】（1）证明：由折叠性质可知，EF⊥AC且EF平分AC，
∴CG＝AG．
由四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE＝∠CEF．
在△AFG和△CEG中，
，
∴△AFG≌△CEG（AAS）．
∴CE＝AF，又AF∥CE，
∵四边形AECF为平行四边形，
又由折叠可知CE＝AE，
∵四边形AECF为菱形．
（2）当四边形AECF恰为正方形时，有CE＝AE，∠AEB＝90°，设CE＝AE＝x，
则BE＝7﹣x，
∴BE2+AE2＝AB2，
即（7﹣x）2+x2＝25，解得：x1＝4，x2＝3．
当x＝4时，AE＝3，BC＝7，SABCD＝21；
当x＝3时，AE＝4，BC＝7，SABCD＝28．
∴▱ABCD的面积为21或28．
21．（7分）关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，求k的值．
【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，再将它们代入（x1﹣1）（x2﹣1）＝6，即可求出k的值．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，
∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，
解得：k≤1．
∴k的取值范围为：k≤1．
（2）由根与系数关系得：x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，
所以（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝k2﹣1+2（k﹣1）+1＝6．
解得k＝2（舍去）或k＝﹣4．
故k的值是﹣4．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB延长线上的一点，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC＝8，sinA＝，求CD长．

【分析】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径可得出∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°，由等腰三角形的性质结合∠BCD＝∠A，即可得出∠OCD＝90°，即CD是⊙O的切线；
（2）证明△CBD∽△ACD，由相似三角形的性质得出，由sinA＝，AC＝8，可求出BC信AC的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OC．
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠OCB＝90°．
∵OA＝OC，∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠A＝∠BCD，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BCD＝∠A，∠CDB＝∠ADC，
∴△CBD∽△ACD，
∴，
∵sinA＝＝，AC＝8，
设BC＝3x，AB＝5x，
∴AC＝4x＝8，
∴x＝2，
∴BC＝6，AB＝10，
∴，
设BD＝3a，则CD＝4a，
∴16a2＝3a•（3a+10），
解得a＝，
∴CD＝．

23．（10分）某商店以40元/斤的单价新进一批茶叶，在销售一段时间后，部分销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）的数据统计如表：
销售单价x（元/斤）
40
60
80
100
120
销售量y（斤）
160
120
80
40
0
（1）根据图表求y与x的函数关系式；
（2）商店想使销售利润不低于2400元，销售单价应定为多少？
（3）为响应党中央“全面建成小康社会，实现共同富裕”的伟大号召，商店决定每销售一斤该茶叶，返给茶农a（a≤5）元钱，并保证在不超过82元的售价前提下，利润随售价的提高而增大，求a的取值范围．
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法可求出y与x的函数关系式；
（2）利用销售总利润＝每斤的销售利润×销售数量，结合销售总利润不低于2400元，即可得出关于x的一元二次不等式，解之即可得出结论；
（3）设销售总利润为w元，利用销售总利润＝每斤的销售利润×销售数量，即可得出w关于x的函数关系式，利用二次函数的性质结合在不超过82元的售价前提下w随x的增大而增大，即可得出关于a的不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合a≤5即可得出结论．
【解答】解：（1）根据图表数据可知：销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）成一次函数关系，设y＝kx+b（k≠0），
将（40，160），（60，120）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+240（40≤x≤120）．
（2）依题意得：（x﹣40）（﹣2x+240）≥2400，
整理得：x2﹣160x+6000≤0，
解得：60≤x≤100．
答：销售单价应定为不低于60元/斤且不高于100元/斤．
（3）设销售总利润为w元，则w＝（x﹣40﹣a）（﹣2x+240）＝﹣2x2+（320+2a）x﹣9600﹣240a．
∵﹣2＜0，在不低于82元的售价前提下，利润随售价的提高而增大，
∴﹣≥82，
∴a≥4，
又∵a≤5，
∴4≤a≤5．
24．（10分）已知正△ABC与正△CDE，连接BD，AE．

（1）如图1，D点在BC上，点E在AC上，AE与BD的数量关系为　AE＝BD　；直线AE与直线BD所夹锐角为　60　度；
（2）将△CDE绕点C顺时针旋转至如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）若AB＝7，CD＝3，将△CDE绕点C顺时针旋转至B，D，E三点共线时，请画出图形，并求出BD长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和等式的性质解答即可；
（2）根据SAS证明△BDC≌△AEC，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（3）分当B，D，E三点在同一直线上时，当B，E'，D'三点共线时，两种情况利用勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）AE＝BD，直线AE与直线BD所夹锐角为60°，理由如下：
∵△ABC与△EDC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠C＝60°，且EC＝DC，
∴AC﹣EC＝BC﹣DC，
∴AE＝BD，
∴直线AE与直线BD所夹锐角为60°，
故答案为：AE＝BD；60；
（2）（1）中的结论仍然成立，如图2，

∵△ABC与△EDC是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝60°，
∴∠1＝∠2，
∴△BDC≌△AEC（SAS），
∴AE＝BD，∠CBD＝∠CAE，
延长BD交AC于N，交AE于M，
∴∠ANM＝∠BNC，
∴∠AMB＝∠ACB＝60°，
即（1）中结论成立；
（3）如图3，

当B，D，E三点在同一直线上时，BC＝AB＝7，CD＝3，∠BDC＝∠180°﹣∠EDC＝120°，
过点C作CH⊥DE，
∵CD＝CE＝3，∠CDH＝60°，∠DCH＝30°，
∴DH＝CD＝，CH＝CH＝，
在Rt△BCH中，BH＝，
∴BD＝BH﹣HD＝，
当B，E'，D'三点共线时，BD＝，
综上所述，BD＝5或8．
25．（12分）如图1，已知抛物线C1：y＝x2﹣2x+交x轴于点A，B，交y轴于点C．

（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）在抛物线C1上存在点D，使tan∠CBD＝，求点D的坐标；
（3）将抛物线C1向上平移至C2，C2的顶点P落在x轴上（如图2），M是C2上的一个动点，连接PM，过点P作PN⊥PM，交C2于点N，试问直线MN是否经过某定点？若必过某定点，请求出该定点的坐标；若不一定经过某定点，请说明理由．
【分析】（1）令y＝0，由x2﹣2x+＝0求点A、B的横坐标，当x＝0时，求出y的值即为点C的纵坐标；
（2）在OB上取一点E，连接CE，使CE＝BE，根据勾股定理列方程可得E的坐标，求出过点C的直线的解析式，再求出直线BD的解析式且与抛物线的解析式联立组成方程组，该方程组的解即为点D的坐标；
（3）由函数的图象可以判定直线MN必经过定点，在两个特殊的位置上分别求出直线MN的解析式，再求出两个解析式组成的方程组的解，就是定点的坐标．
【解答】解：（1）当y＝0时，由x2﹣2x+＝0，得x1＝1，x2＝3，
∴A（1，0），B（3，0）；
当x＝0时，y＝，
∴C（0，），
∴点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，）．
（2）如图1，在OB上取一点E，连接CE，使CE＝BE，设E（m，0）．
∵OB＝3，
∴CE＝BE＝3﹣m，
又∵OC＝，∠COE＝90°，
∴m2+＝（3﹣m）2，
解得m＝，
∴E（，0）．
设直线CE的解析式为y＝kx+，则k+＝0，解得k＝，
∴y＝x+；
∵tan∠OBC＝＝，tan∠CBD＝，
∴∠CBD＝∠OBC；
∴∠OBD＝2∠OBC，
∵∠OBC＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠OBC+∠ECB＝2∠OBC，
∴∠OBD＝∠OEC，
∴BD∥EC．
设直线BD的解析式为y＝x+b，则×3+b＝0，解得b＝4，
∴y＝x+4．
由，得，，
∴D（，）；
若点D与点A重合，tan∠CBD＝＝＝，此时D（1，0）．
综上所述，点D的坐标为（，）或（1，0）．
（3）直线MN经过某定点．
抛物线C1：y＝x2﹣2x+＝（x﹣2）2﹣，将其向上平移至顶点P落在x轴上，
此时得到的抛物线C2：y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣2x+2，顶点为P（2，0）．
如图2，设抛物线C2交y轴与点F，作FG∥x轴，交抛物线于另一点G，作GH⊥x轴于点H，
∵点G与点F关于抛物线的对称轴直线x＝2对称，且F（0，2），
∴G（4，2），
连接PF、PG，则OP＝HP＝OF＝GH＝2，
∵∠POF＝∠PHG＝90°，
∴∠OPF＝∠HPG＝45°，
∴∠FPG＝90°，
∴当点M、N分别与点F、G重合时，直线MN与直线FG重合，此时y＝2；
在抛物线C2上取一点M，使它的横坐标为1，则y＝﹣2+2＝，M（1，），
作MQ⊥x轴于点Q，则Q（1，0），
连接PM，作PN⊥PM交抛物线于另一点N，连接MN交FG于点T，作NR⊥x轴于点R，
∵∠PRN＝∠MQP＝∠MPN＝90°，
∴∠NPR＝90°﹣∠MPQ＝∠PMQ，
∴tan∠NPR＝tan∠PMQ＝＝2，
∴NR＝2PR，
设R（n，0），则PR＝n﹣2，N（n，2n﹣4），
把N（n，2n﹣4）代入y＝（x﹣2）2，得（n﹣2）2＝2n﹣4，
解得n＝6或n＝2（不符合题意，舍去），
∴N（6，8）；
设直线MN的解析式为y＝px+q，则，解得，
∴y＝x﹣1，
当y＝2时，由x﹣1＝2，解得x＝2，
∴T（2，2），
∴定点的坐标为（2，2）．