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2021年辽宁省沈阳市苏家屯区中考数学一模试卷
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这是一份2021年辽宁省沈阳市苏家屯区中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省沈阳市苏家屯区中考数学一模试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入答题卡相应位置，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）下面的数中，与﹣3的和为0的是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
3．（2分）如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝1 B．x3÷x2＝x
C．x3•x2＝x6 D．x2+y2＝（x+y）2
5．（2分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
6．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
8．（2分）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1
9．（2分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（ ）
A．8﹣π B．16﹣2π C．8﹣2π D．8﹣π
10．（2分）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：3ax2﹣3ay2＝ ．
12．（3分）方程x2＝2x的解是 ．
13．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）：
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
81
77
■
80
82
80
■
则被遮盖的两个数据依次是 ．
14．（3分）计算的结果等于 ．
15．（3分）如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上．若AB＝1，则k的值为 ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，CE∥AB交AD于点E，AB＝8，CE＝6，点F在CE上，且EF：FC＝2：1，连接AF，则AF的长为 ．
三、解答题（第17题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：．
18．（8分）一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母A、O、K．搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．
（1）第一次摸到字母A的概率为 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK”的概率．
19．（8分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的面积．
四、（第20、21题各8分，共16分）
20．（8分）某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；
（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；
（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．
21．（8分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
五、（满分10分）
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
六、（满分10分）
23．（10分）如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点C的坐标为（3，4），AD交x轴于点E，交y轴于点G，点B在第四象限，点P是▱ABCD边上一个动点．
（1）求线段OG的长；
（2）若点P在边AD上，点P关于坐标轴对称的点Q，落在直线y＝x﹣上，求点P的坐标．
（3）若点P在边AB，AD，CD上，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）．
七、（满分12分）
24．（12分）如图1，已知菱形ABCD，∠ABC＝120°，点E为BC延长线上一点（点E不与点C重合），连接AE，以AE为边，在AE左侧向上作等边△AEF．
（1）如果∠AEB＝15°则∠FAB的度数是 ；
（2）求证：点F在∠ABC的平分线上；
（3）将△AEF绕着点A逆时针旋转；
①当点E落在AD延长线上时，如图2所示，连接CF，点G是FC中点，连接DG、EG，求证：∠DEG＝30°；
②在①的条件下，继续旋转△AEF，其他条件不变，当AF与AB在同一条直线上时，若AB＝8，EF＝20，直接写出DG的长．
八、（满分12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝与x轴交于点A、B，与y轴交于点E，经过点A的一次函数y＝的图象与y轴正半轴交于点C．且与抛物线的另一个交点为D，点D到y轴的距离为4．
（1）求△ABD的面积；
（2）过点B做BF⊥x轴，交AD于点F，连接BE，如图2所示．证明：四边形BECF是平行四边形；
（3）若点P为抛物线上任意一点，当∠ABP＝2∠DAB时，直接写出BP所在直线的函数解析式．
2021年辽宁省沈阳市苏家屯区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入答题卡相应位置，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
2．（2分）下面的数中，与﹣3的和为0的是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】设这个数为x，根据题意可得方程x+（﹣3）＝0，再解方程即可．
【解答】解：设这个数为x，由题意得：
x+（﹣3）＝0，
x﹣3＝0，
x＝3，
故选：A．
3．（2分）如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看竖直叠放2个正方形．
故选：C．
4．（2分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝1 B．x3÷x2＝x
C．x3•x2＝x6 D．x2+y2＝（x+y）2
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、完全平方公式分别分析得出答案．
【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误；
B、x3÷x2＝x，正确；
C、x3•x2＝x5，故此选项错误；
D、x2+2xy+y2＝（x+y）2，故此选项错误；
故选：B．
5．（2分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠2＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，
故选：C．
6．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，
解不等式5﹣2x≥1得x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故选：C．
7．（2分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意．
故选：B．
8．（2分）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜2且m≠1．
故选：D．
9．（2分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（ ）
A．8﹣π B．16﹣2π C．8﹣2π D．8﹣π
【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可．
【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，
故选：C．
10．（2分）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8
【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的周长为8，可得到x、y之间的关系式．
【解答】解：如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，
设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限，
∴PD＝y，PC＝x，
∵矩形PDOC的周长为8，
∴2（x+y）＝8，
∴x+y＝4，
即该直线的函数表达式是y＝﹣x+4，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：3ax2﹣3ay2＝ 3a（x+y）（x﹣y） ．
【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．
【解答】解：3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2）＝3a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：3a（x+y）（x﹣y）
12．（3分）方程x2＝2x的解是 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为x1＝0，x2＝2．
13．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）：
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
81
77
■
80
82
80
■
则被遮盖的两个数据依次是 80 ．
【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据众数的意义进行分析即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
80×5﹣（81+77+80+82）＝80（分），
则丙的得分是80分；
众数是80，
故答案为80，80．
14．（3分）计算的结果等于 2 ．
【分析】同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
【解答】解：原式＝＝＝2．
故答案为2．
15．（3分）如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上．若AB＝1，则k的值为 1 ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AC＝AB＝，∠BAC＝45°，再判断△OAB为等腰直角三角形得到OA＝，从而得到C（，），然后把C点坐标代入y＝中可求出k的值．
【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝，∠BAC＝45°，
∵CA⊥x轴，
∴∠OAB＝45°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝，
∴C（，），
把C（，）代入y＝得k＝×＝1．
故答案为1．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，CE∥AB交AD于点E，AB＝8，CE＝6，点F在CE上，且EF：FC＝2：1，连接AF，则AF的长为 2 ．
【分析】通过辅助线并利用三角形全等的性质得出各角的大小，再构造直角，利用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：如图所示：连接AC，过A作AM⊥CE于点M；
；
∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC；
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC＝30°＝∠CAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝CE＝6，
在Rt△AEM中，
∠AEM＝∠BAD＝60°，
∴EM＝cos60°×AE＝3，
AM＝sin560°×AE＝3，
在Rt△AFM中，
AM＝3，MF＝7，
则AE＝＝．
故答案为：2．
三、解答题（第17题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣﹣2×+3﹣3﹣2
＝2﹣﹣+3﹣3﹣2
＝﹣﹣．
18．（8分）一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母A、O、K．搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．
（1）第一次摸到字母A的概率为 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK”的概率．
【分析】（1）共有3种可能出现的结果，其中是A的只有1种，可求出概率；
（2）用树状图表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中是A的只有1种，
因此第1次摸到A的概率为，
故答案为：；
（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有9种可能出现的结果，其中从左到右能构成“OK”的只有1种，
∴P（组成OK）＝．
19．（8分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴平行四边形BFDE是菱形；
（2）连接EF，交BD于O，
∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∴BD＝DC＝12，
∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠A＝90°，
∴DF＝，
在Rt△DOF中，OF＝，
∴菱形BFDE的面积＝．
四、（第20、21题各8分，共16分）
20．（8分）某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 50 ；
（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；
（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；
（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．
【分析】（1）利用摄影社团的人数除以摄影社团所占的百分比即可得到结论；
（2）求出参与篮球社的人数和国学社的人数，补全条形统计图即可；
（3）利用科技制作社团所占的百分比乘以360°即可得到结论；
（4）利用全校学生数乘以参加篮球社团所占的百分比即可得到结论．
【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是＝50，
故答案为：50；
（2）参与篮球社的人数＝50×20%＝10人，
参与国学社的人数为50﹣5﹣10﹣12﹣8＝15人，
补全条形统计图如图所示；
（3）参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为360°×＝86.4°；
（4）3000×20%＝600名，
答：全校有600学生报名参加篮球社团活动．
21．（8分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
【分析】（1）利用用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本得出等式求出答案；
（2）根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意可得：﹣＝24，
解得：x＝20，
经检验得：x＝20是原方程的根，
则2.5x＝50，
答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；
（2）设购买甲图书本数为a，则购买乙图书的本数为：2a+8，
故50a+20（2a+8）≤1060，
解得：a≤10，
故2a+8≤28，
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．
五、（满分10分）
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；
（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADE+∠BDO＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠BDO，
∴∠ADE＝∠A．
（2）解：连接CD．
∵∠ADE＝∠A
∴AE＝DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线，
∴ED＝EC，
∴AE＝EC，
∵DE＝5，
∴AC＝2DE＝10，
在Rt△ADC中，DC＝6，
设BD＝x，
在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，
在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，
∴x2+62＝（x+8）2﹣102，
解得x＝，
∴BC＝＝．
六、（满分10分）
23．（10分）如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点C的坐标为（3，4），AD交x轴于点E，交y轴于点G，点B在第四象限，点P是▱ABCD边上一个动点．
（1）求线段OG的长；
（2）若点P在边AD上，点P关于坐标轴对称的点Q，落在直线y＝x﹣上，求点P的坐标．
（3）若点P在边AB，AD，CD上，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）．
【分析】（1）由题意可知A、D点的坐标，用待定系数法求出直线AD解析式，进而求出G点坐标，即得OG长；
（2）分P、Q分别关系x轴y轴对称两种情况分别求出P点坐标即可；
（3）分点P在边AB，AD，CD上三种情况分别计算出P点坐标即可．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（1，﹣4），点C的坐标为（3，4），AB＝6，四边形ABCD为平行四边形，
∴B（7，﹣4），D（﹣3，4），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴G（0，﹣2），
即OG＝2；
（2）由（1）可设P（s，﹣2s﹣2），
∵P在AD上，
∴﹣3≤s≤1，
①当P在AD边上关于x轴的对称点在直线y＝x﹣上时，
即Q（s，2s+2）在直线y＝x﹣上，
∴s﹣＝2s+2，
解得s＝﹣，
∴Q（﹣，﹣5），
此时P点坐标为（﹣，5），
②当P在AD边上关于y轴的对称点在直线y＝x﹣上时，
即Q（﹣s，﹣2s﹣2）在直线y＝x﹣上，
∴﹣s﹣＝﹣2s﹣2，
解得s＝﹣，
∴Q（，﹣1），
此时P点坐标为（﹣，﹣1），
综上，P点的坐标为（﹣，5）或（﹣，﹣1）；
（3）①P在CD上时，设P（m，4）且﹣3≤m≤3，设M的对应点为M'，
在Rt△PNM'中，
∵PM＝PM'＝6，PN＝4，
∴NM'＝＝2，
在Rt△OGM'中，
∵OG2+OM'2＝GM'2，
∴22+（2+m）2＝m2，
解得m＝﹣，
∴P（﹣，4），
根据对称性可知，P（，4）也满足条件，
②当点P在AB上时，易知四边形PMGM'是正方形，边长为2，
此时P（2，﹣4），
③当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R，
∵MG∥x轴，
∴∠PRN＝∠RGM，
又∵∠RGM＝∠M'GR，∠PRN＝∠M'RG，
∴∠M'RG＝∠M'GR，
推出M'R＝M'G＝GM，
设M'R＝M'G＝GM＝x，
∵直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴R（﹣1，0），
在Rt△OGM'中，有x2＝22+（x﹣1）2，
解得x＝，
∴P（﹣，3），
综上，点P的坐标为（2，﹣4）或（﹣，3）或（，4）或（﹣，4）．
七、（满分12分）
24．（12分）如图1，已知菱形ABCD，∠ABC＝120°，点E为BC延长线上一点（点E不与点C重合），连接AE，以AE为边，在AE左侧向上作等边△AEF．
（1）如果∠AEB＝15°则∠FAB的度数是 105° ；
（2）求证：点F在∠ABC的平分线上；
（3）将△AEF绕着点A逆时针旋转；
①当点E落在AD延长线上时，如图2所示，连接CF，点G是FC中点，连接DG、EG，求证：∠DEG＝30°；
②在①的条件下，继续旋转△AEF，其他条件不变，当AF与AB在同一条直线上时，若AB＝8，EF＝20，直接写出DG的长．
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAB，可得结论．
（2）利用全等三角形的性质证明∠ADF+∠ADB＝180°，可得结论．
（3）①延长EG交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明DE＝DH，可得结论．
②分两种情形：如图4﹣1中，当点F在BA的延长线上时，延长DG交BF于H，过点D作DK⊥AB于K．如图4﹣2中，当点F在AB的延长线上时，延长DG交BF的延长线于H，过点D作DK⊥AB于K．分别利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）解：如图1中，
∵∠ABE＝120°，∠AEB＝15°，
∴∠EAB＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠FAB＝∠EAF+∠EAB＝105°，
故答案为：105°．
（2）证明：如图2中，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABD＝∠CBD＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∵∠EAF＝∠DAB＝60°，
∴∠FAD＝∠EAB，
∵AF＝AE，AD＝AB，
∴△FAD≌△EAB（SAS），
∴∠ADF＝∠ABE＝120°，
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADF+∠ADB＝180°，
∴B，D，F共线．
（3）①证明：延长EG交CD的延长线于H．
∵∠AEF＝∠EAB＝60°，
∴EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CH，
∴∠GEF＝∠H，
∵∠EGF＝∠HGC，GF＝GC，
∴△GEF≌△GHC（AAS），
∴EF＝CH＝AE，
∵AD＝CD，
∴DE＝DH，
∵∠EDH＝∠ADC＝120°，
∴∠DEG＝∠H＝30°．
②解：如图4﹣1中，当点F在BA的延长线上时，延长DG交BF于H，过点D作DK⊥AB于K．
∵CD∥FH，
∴∠DCG＝∠HFG，
∵∠CGD＝∠FGH，CG＝FG，
∴△CDG≌△FHG（ASA），
∴CD＝FH＝8，DG＝GH，
∴BH＝BF﹣FH＝20，
∵DA＝DB，DK⊥AB，
∴AK＝KB＝4，
∴DK＝4，
∴KH＝16，
∴DH＝＝＝4
∴DG＝DH＝2．
如图4﹣2中，当点F在AB的延长线上时，延长DG交BF的延长线于H，过点D作DK⊥AB于K．同法可得DG＝2，
综上所述，DG的长为2或2．
八、（满分12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝与x轴交于点A、B，与y轴交于点E，经过点A的一次函数y＝的图象与y轴正半轴交于点C．且与抛物线的另一个交点为D，点D到y轴的距离为4．
（1）求△ABD的面积；
（2）过点B做BF⊥x轴，交AD于点F，连接BE，如图2所示．证明：四边形BECF是平行四边形；
（3）若点P为抛物线上任意一点，当∠ABP＝2∠DAB时，直接写出BP所在直线的函数解析式．
【分析】（1）由抛物线的解析式求出抛物线与x轴两个交点的坐标，连接这两点的线段就是△ABD的底边，点D到y轴的距离就是这边上的高，由三角形的面积公式求出△ABD的面积；
（2）求出直线BE的解析式，与直线AD的解析式比较，可得两个一次函数的一次项系数（即k值）相等，可判断BE与CF平行；由BF⊥x轴可得BF∥CE，由此可证明四边形BECF是平行四边形；
（3）通过作辅助线构造与2∠DAB相等的角，使角的一边与直线BP平行，求该边所在直线的解析式，再利用直线BP与该直线的平行关线求直线BP的解析式，再求出直线BP关于x轴对称的直线的解析式，就是BP存在的另一种情况．
【解答】解：（1）如图1，作DK⊥x轴于点K，则DK＝4．
当y＝0时，由＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∴S△ABD＝AB•DK＝×4×4＝8．
（2）证明：如图2，对于y＝，当x＝0时，y＝，
∴E（0，）．
设直线BE的解析式为y＝kx，则3k＝0，解得k＝，
∴y＝x，
∵CF所在直线的解析式为y＝，
∴BE∥CF．
又∵BF⊥x轴，CE⊥x轴，
∴BF∥CE，
∴四边形BECF是平行四边形．
（3）如图3，在OB上取一点G，连接EG，使EG＝BG，则∠GEB＝∠GBE＝∠DAB．
∴∠AGE＝∠GEB+∠GBE＝2∠GBE＝2∠DAB；
作BP∥EG，交抛物线于点P，则∠ABP＝∠AGE＝2∠DAB．
∵∠EOG＝90°，OE＝，OG＝3﹣BG，
∴（）2+（3﹣BG）2＝BG2，
解得BG＝，
∴OG＝3＝，
∴G（，0）．
设直线EG的解析式为y＝ax﹣，则a＝0，解得a＝，
∴y＝x，
设直线BP的解析式为y＝x+b，则4+b＝0，解得b＝﹣4，
∴y＝x﹣4；
设直线BP交y轴于点M，在y轴上另取一点N，使点N与点M关于x轴对称，作直线BN交抛物线于另一点P′，
∵M（0，﹣4），
∴N（0，4）．
设直线BP′的解析式为y＝mx+4，则3m+4＝0，解得m＝，
y＝x+4．
综上所述，BP所在直线的函数解析式为，y＝x﹣4或y＝x+4．
2021年辽宁省沈阳市苏家屯区中考数学一模试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入答题卡相应位置，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）下面的数中，与﹣3的和为0的是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
3．（2分）如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝1 B．x3÷x2＝x
C．x3•x2＝x6 D．x2+y2＝（x+y）2
5．（2分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
6．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
8．（2分）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1
9．（2分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（ ）
A．8﹣π B．16﹣2π C．8﹣2π D．8﹣π
10．（2分）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：3ax2﹣3ay2＝ ．
12．（3分）方程x2＝2x的解是 ．
13．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）：
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
81
77
■
80
82
80
■
则被遮盖的两个数据依次是 ．
14．（3分）计算的结果等于 ．
15．（3分）如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上．若AB＝1，则k的值为 ．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，CE∥AB交AD于点E，AB＝8，CE＝6，点F在CE上，且EF：FC＝2：1，连接AF，则AF的长为 ．
三、解答题（第17题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：．
18．（8分）一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母A、O、K．搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．
（1）第一次摸到字母A的概率为 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK”的概率．
19．（8分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的面积．
四、（第20、21题各8分，共16分）
20．（8分）某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ；
（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；
（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；
（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．
21．（8分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
五、（满分10分）
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
六、（满分10分）
23．（10分）如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点C的坐标为（3，4），AD交x轴于点E，交y轴于点G，点B在第四象限，点P是▱ABCD边上一个动点．
（1）求线段OG的长；
（2）若点P在边AD上，点P关于坐标轴对称的点Q，落在直线y＝x﹣上，求点P的坐标．
（3）若点P在边AB，AD，CD上，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）．
七、（满分12分）
24．（12分）如图1，已知菱形ABCD，∠ABC＝120°，点E为BC延长线上一点（点E不与点C重合），连接AE，以AE为边，在AE左侧向上作等边△AEF．
（1）如果∠AEB＝15°则∠FAB的度数是 ；
（2）求证：点F在∠ABC的平分线上；
（3）将△AEF绕着点A逆时针旋转；
①当点E落在AD延长线上时，如图2所示，连接CF，点G是FC中点，连接DG、EG，求证：∠DEG＝30°；
②在①的条件下，继续旋转△AEF，其他条件不变，当AF与AB在同一条直线上时，若AB＝8，EF＝20，直接写出DG的长．
八、（满分12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝与x轴交于点A、B，与y轴交于点E，经过点A的一次函数y＝的图象与y轴正半轴交于点C．且与抛物线的另一个交点为D，点D到y轴的距离为4．
（1）求△ABD的面积；
（2）过点B做BF⊥x轴，交AD于点F，连接BE，如图2所示．证明：四边形BECF是平行四边形；
（3）若点P为抛物线上任意一点，当∠ABP＝2∠DAB时，直接写出BP所在直线的函数解析式．
2021年辽宁省沈阳市苏家屯区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入答题卡相应位置，每小题2分，共20分）
1．（2分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不合题意．
故选：B．
2．（2分）下面的数中，与﹣3的和为0的是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】设这个数为x，根据题意可得方程x+（﹣3）＝0，再解方程即可．
【解答】解：设这个数为x，由题意得：
x+（﹣3）＝0，
x﹣3＝0，
x＝3，
故选：A．
3．（2分）如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【解答】解：从左边看竖直叠放2个正方形．
故选：C．
4．（2分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x﹣2x＝1 B．x3÷x2＝x
C．x3•x2＝x6 D．x2+y2＝（x+y）2
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、完全平方公式分别分析得出答案．
【解答】解：A、3x﹣2x＝x，故此选项错误；
B、x3÷x2＝x，正确；
C、x3•x2＝x5，故此选项错误；
D、x2+2xy+y2＝（x+y）2，故此选项错误；
故选：B．
5．（2分）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠2＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，
故选：C．
6．（2分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，
解不等式5﹣2x≥1得x≤2，
则不等式组的解集为1＜x≤2，
故选：C．
7．（2分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放新闻
B．任意画一个三角形，其内角和是180°
C．买一张电影票，座位号是奇数号
D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：∵A，C，D选项为不确定事件，即随机事件，故不符合题意．
∴一定发生的事件只有B，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意．
故选：B．
8．（2分）如果关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜2且m≠1．
故选：D．
9．（2分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（ ）
A．8﹣π B．16﹣2π C．8﹣2π D．8﹣π
【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可．
【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，
故选：C．
10．（2分）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x+4 B．y＝x+4 C．y＝x+8 D．y＝﹣x+8
【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的周长为8，可得到x、y之间的关系式．
【解答】解：如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D、C，
设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限，
∴PD＝y，PC＝x，
∵矩形PDOC的周长为8，
∴2（x+y）＝8，
∴x+y＝4，
即该直线的函数表达式是y＝﹣x+4，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）因式分解：3ax2﹣3ay2＝ 3a（x+y）（x﹣y） ．
【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．
【解答】解：3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2）＝3a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：3a（x+y）（x﹣y）
12．（3分）方程x2＝2x的解是 x1＝0，x2＝2 ．
【分析】先移项得到x2﹣2x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣2）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣2＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝2．
【解答】解：∵x2﹣2x＝0，
∴x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
故答案为x1＝0，x2＝2．
13．（3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）：
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
81
77
■
80
82
80
■
则被遮盖的两个数据依次是 80 ．
【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据众数的意义进行分析即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
80×5﹣（81+77+80+82）＝80（分），
则丙的得分是80分；
众数是80，
故答案为80，80．
14．（3分）计算的结果等于 2 ．
【分析】同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
【解答】解：原式＝＝＝2．
故答案为2．
15．（3分）如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上．若AB＝1，则k的值为 1 ．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到AC＝AB＝，∠BAC＝45°，再判断△OAB为等腰直角三角形得到OA＝，从而得到C（，），然后把C点坐标代入y＝中可求出k的值．
【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝AB＝，∠BAC＝45°，
∵CA⊥x轴，
∴∠OAB＝45°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝，
∴C（，），
把C（，）代入y＝得k＝×＝1．
故答案为1．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，CE∥AB交AD于点E，AB＝8，CE＝6，点F在CE上，且EF：FC＝2：1，连接AF，则AF的长为 2 ．
【分析】通过辅助线并利用三角形全等的性质得出各角的大小，再构造直角，利用勾股定理即可求得答案．
【解答】解：如图所示：连接AC，过A作AM⊥CE于点M；
；
∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC；
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠CAD＝∠CAB＝∠BAD＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠BAC＝30°＝∠CAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝CE＝6，
在Rt△AEM中，
∠AEM＝∠BAD＝60°，
∴EM＝cos60°×AE＝3，
AM＝sin560°×AE＝3，
在Rt△AFM中，
AM＝3，MF＝7，
则AE＝＝．
故答案为：2．
三、解答题（第17题6分，第18、19题各8分，共22分）
17．（6分）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣﹣2×+3﹣3﹣2
＝2﹣﹣+3﹣3﹣2
＝﹣﹣．
18．（8分）一只不透明的袋子中，装有三个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有字母A、O、K．搅匀后先从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的左边方格内；然后将球放回袋中搅匀，再从袋中任意摸出一个球，将对应字母记入图中的右边方格内．
（1）第一次摸到字母A的概率为 ；
（2）用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK”的概率．
【分析】（1）共有3种可能出现的结果，其中是A的只有1种，可求出概率；
（2）用树状图表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．
【解答】解：（1）共有3种可能出现的结果，其中是A的只有1种，
因此第1次摸到A的概率为，
故答案为：；
（2）用树状图表示所有可能出现的结果如下：
共有9种可能出现的结果，其中从左到右能构成“OK”的只有1种，
∴P（组成OK）＝．
19．（8分）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠EBD＝∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
∴平行四边形BFDE是菱形；
（2）连接EF，交BD于O，
∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝30°，
∴BD＝DC＝12，
∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠A＝90°，
∴DF＝，
在Rt△DOF中，OF＝，
∴菱形BFDE的面积＝．
四、（第20、21题各8分，共16分）
20．（8分）某校有学生3000人，现欲开展学校社团活动，准备组建摄影社、国学社、篮球社、科技制作社四个社团．每名学生最多只能报一个社团，也可以不报．为了估计各社团人数，现在学校随机抽取了50名学生做问卷调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 50 ；
（2）请你补全条形统计图，并在图上标明具体数据；
（3）求参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数；
（4）请你估计全校有多少学生报名参加篮球社团活动．
【分析】（1）利用摄影社团的人数除以摄影社团所占的百分比即可得到结论；
（2）求出参与篮球社的人数和国学社的人数，补全条形统计图即可；
（3）利用科技制作社团所占的百分比乘以360°即可得到结论；
（4）利用全校学生数乘以参加篮球社团所占的百分比即可得到结论．
【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量是＝50，
故答案为：50；
（2）参与篮球社的人数＝50×20%＝10人，
参与国学社的人数为50﹣5﹣10﹣12﹣8＝15人，
补全条形统计图如图所示；
（3）参与科技制作社团所在扇形的圆心角度数为360°×＝86.4°；
（4）3000×20%＝600名，
答：全校有600学生报名参加篮球社团活动．
21．（8分）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．
（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
【分析】（1）利用用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本得出等式求出答案；
（2）根据题意表示出购买甲、乙两种图书的总经费进而得出不等式求出答案．
【解答】解：（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格是2.5x元，
根据题意可得：﹣＝24，
解得：x＝20，
经检验得：x＝20是原方程的根，
则2.5x＝50，
答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；
（2）设购买甲图书本数为a，则购买乙图书的本数为：2a+8，
故50a+20（2a+8）≤1060，
解得：a≤10，
故2a+8≤28，
答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．
五、（满分10分）
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；
（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADE+∠BDO＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠BDO，
∴∠ADE＝∠A．
（2）解：连接CD．
∵∠ADE＝∠A
∴AE＝DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线，
∴ED＝EC，
∴AE＝EC，
∵DE＝5，
∴AC＝2DE＝10，
在Rt△ADC中，DC＝6，
设BD＝x，
在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，
在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，
∴x2+62＝（x+8）2﹣102，
解得x＝，
∴BC＝＝．
六、（满分10分）
23．（10分）如图1，已知▱ABCD，AB∥x轴，AB＝6，点A的坐标为（1，﹣4），点C的坐标为（3，4），AD交x轴于点E，交y轴于点G，点B在第四象限，点P是▱ABCD边上一个动点．
（1）求线段OG的长；
（2）若点P在边AD上，点P关于坐标轴对称的点Q，落在直线y＝x﹣上，求点P的坐标．
（3）若点P在边AB，AD，CD上，如图2，过点P作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）．
【分析】（1）由题意可知A、D点的坐标，用待定系数法求出直线AD解析式，进而求出G点坐标，即得OG长；
（2）分P、Q分别关系x轴y轴对称两种情况分别求出P点坐标即可；
（3）分点P在边AB，AD，CD上三种情况分别计算出P点坐标即可．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（1，﹣4），点C的坐标为（3，4），AB＝6，四边形ABCD为平行四边形，
∴B（7，﹣4），D（﹣3，4），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴G（0，﹣2），
即OG＝2；
（2）由（1）可设P（s，﹣2s﹣2），
∵P在AD上，
∴﹣3≤s≤1，
①当P在AD边上关于x轴的对称点在直线y＝x﹣上时，
即Q（s，2s+2）在直线y＝x﹣上，
∴s﹣＝2s+2，
解得s＝﹣，
∴Q（﹣，﹣5），
此时P点坐标为（﹣，5），
②当P在AD边上关于y轴的对称点在直线y＝x﹣上时，
即Q（﹣s，﹣2s﹣2）在直线y＝x﹣上，
∴﹣s﹣＝﹣2s﹣2，
解得s＝﹣，
∴Q（，﹣1），
此时P点坐标为（﹣，﹣1），
综上，P点的坐标为（﹣，5）或（﹣，﹣1）；
（3）①P在CD上时，设P（m，4）且﹣3≤m≤3，设M的对应点为M'，
在Rt△PNM'中，
∵PM＝PM'＝6，PN＝4，
∴NM'＝＝2，
在Rt△OGM'中，
∵OG2+OM'2＝GM'2，
∴22+（2+m）2＝m2，
解得m＝﹣，
∴P（﹣，4），
根据对称性可知，P（，4）也满足条件，
②当点P在AB上时，易知四边形PMGM'是正方形，边长为2，
此时P（2，﹣4），
③当点P在线段AD上时，设AD交x轴于R，
∵MG∥x轴，
∴∠PRN＝∠RGM，
又∵∠RGM＝∠M'GR，∠PRN＝∠M'RG，
∴∠M'RG＝∠M'GR，
推出M'R＝M'G＝GM，
设M'R＝M'G＝GM＝x，
∵直线AD的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴R（﹣1，0），
在Rt△OGM'中，有x2＝22+（x﹣1）2，
解得x＝，
∴P（﹣，3），
综上，点P的坐标为（2，﹣4）或（﹣，3）或（，4）或（﹣，4）．
七、（满分12分）
24．（12分）如图1，已知菱形ABCD，∠ABC＝120°，点E为BC延长线上一点（点E不与点C重合），连接AE，以AE为边，在AE左侧向上作等边△AEF．
（1）如果∠AEB＝15°则∠FAB的度数是 105° ；
（2）求证：点F在∠ABC的平分线上；
（3）将△AEF绕着点A逆时针旋转；
①当点E落在AD延长线上时，如图2所示，连接CF，点G是FC中点，连接DG、EG，求证：∠DEG＝30°；
②在①的条件下，继续旋转△AEF，其他条件不变，当AF与AB在同一条直线上时，若AB＝8，EF＝20，直接写出DG的长．
【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAB，可得结论．
（2）利用全等三角形的性质证明∠ADF+∠ADB＝180°，可得结论．
（3）①延长EG交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明DE＝DH，可得结论．
②分两种情形：如图4﹣1中，当点F在BA的延长线上时，延长DG交BF于H，过点D作DK⊥AB于K．如图4﹣2中，当点F在AB的延长线上时，延长DG交BF的延长线于H，过点D作DK⊥AB于K．分别利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）解：如图1中，
∵∠ABE＝120°，∠AEB＝15°，
∴∠EAB＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴∠FAB＝∠EAF+∠EAB＝105°，
故答案为：105°．
（2）证明：如图2中，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABD＝∠CBD＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∵∠EAF＝∠DAB＝60°，
∴∠FAD＝∠EAB，
∵AF＝AE，AD＝AB，
∴△FAD≌△EAB（SAS），
∴∠ADF＝∠ABE＝120°，
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADF+∠ADB＝180°，
∴B，D，F共线．
（3）①证明：延长EG交CD的延长线于H．
∵∠AEF＝∠EAB＝60°，
∴EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥CH，
∴∠GEF＝∠H，
∵∠EGF＝∠HGC，GF＝GC，
∴△GEF≌△GHC（AAS），
∴EF＝CH＝AE，
∵AD＝CD，
∴DE＝DH，
∵∠EDH＝∠ADC＝120°，
∴∠DEG＝∠H＝30°．
②解：如图4﹣1中，当点F在BA的延长线上时，延长DG交BF于H，过点D作DK⊥AB于K．
∵CD∥FH，
∴∠DCG＝∠HFG，
∵∠CGD＝∠FGH，CG＝FG，
∴△CDG≌△FHG（ASA），
∴CD＝FH＝8，DG＝GH，
∴BH＝BF﹣FH＝20，
∵DA＝DB，DK⊥AB，
∴AK＝KB＝4，
∴DK＝4，
∴KH＝16，
∴DH＝＝＝4
∴DG＝DH＝2．
如图4﹣2中，当点F在AB的延长线上时，延长DG交BF的延长线于H，过点D作DK⊥AB于K．同法可得DG＝2，
综上所述，DG的长为2或2．
八、（满分12分）
25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝与x轴交于点A、B，与y轴交于点E，经过点A的一次函数y＝的图象与y轴正半轴交于点C．且与抛物线的另一个交点为D，点D到y轴的距离为4．
（1）求△ABD的面积；
（2）过点B做BF⊥x轴，交AD于点F，连接BE，如图2所示．证明：四边形BECF是平行四边形；
（3）若点P为抛物线上任意一点，当∠ABP＝2∠DAB时，直接写出BP所在直线的函数解析式．
【分析】（1）由抛物线的解析式求出抛物线与x轴两个交点的坐标，连接这两点的线段就是△ABD的底边，点D到y轴的距离就是这边上的高，由三角形的面积公式求出△ABD的面积；
（2）求出直线BE的解析式，与直线AD的解析式比较，可得两个一次函数的一次项系数（即k值）相等，可判断BE与CF平行；由BF⊥x轴可得BF∥CE，由此可证明四边形BECF是平行四边形；
（3）通过作辅助线构造与2∠DAB相等的角，使角的一边与直线BP平行，求该边所在直线的解析式，再利用直线BP与该直线的平行关线求直线BP的解析式，再求出直线BP关于x轴对称的直线的解析式，就是BP存在的另一种情况．
【解答】解：（1）如图1，作DK⊥x轴于点K，则DK＝4．
当y＝0时，由＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∴S△ABD＝AB•DK＝×4×4＝8．
（2）证明：如图2，对于y＝，当x＝0时，y＝，
∴E（0，）．
设直线BE的解析式为y＝kx，则3k＝0，解得k＝，
∴y＝x，
∵CF所在直线的解析式为y＝，
∴BE∥CF．
又∵BF⊥x轴，CE⊥x轴，
∴BF∥CE，
∴四边形BECF是平行四边形．
（3）如图3，在OB上取一点G，连接EG，使EG＝BG，则∠GEB＝∠GBE＝∠DAB．
∴∠AGE＝∠GEB+∠GBE＝2∠GBE＝2∠DAB；
作BP∥EG，交抛物线于点P，则∠ABP＝∠AGE＝2∠DAB．
∵∠EOG＝90°，OE＝，OG＝3﹣BG，
∴（）2+（3﹣BG）2＝BG2，
解得BG＝，
∴OG＝3＝，
∴G（，0）．
设直线EG的解析式为y＝ax﹣，则a＝0，解得a＝，
∴y＝x，
设直线BP的解析式为y＝x+b，则4+b＝0，解得b＝﹣4，
∴y＝x﹣4；
设直线BP交y轴于点M，在y轴上另取一点N，使点N与点M关于x轴对称，作直线BN交抛物线于另一点P′，
∵M（0，﹣4），
∴N（0，4）．
设直线BP′的解析式为y＝mx+4，则3m+4＝0，解得m＝，
y＝x+4．
综上所述，BP所在直线的函数解析式为，y＝x﹣4或y＝x+4．
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