2021年安徽省合肥五十中中考数学二模试卷

这是一份2021年安徽省合肥五十中中考数学二模试卷，共26页。试卷主要包含了选择题每小题都给出A，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021年安徽省合肥五十中中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（4分）100的相反数是（　　）
A．100 B．﹣100 C． D．﹣
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a+2a＝3a2 B．（3.14﹣π）0＝0
C．a3•a4＝a12 D．（﹣3a）2＝9a2
3．（4分）如图所示，左边立体图形的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
4．（4分）2021年第一季度安徽省GDP达9529.1亿元，进入全国前十，其中9529.1亿用科学记数法表示为（　　）
A．95.291×1010 B．9.5291×1010
C．9.5291×1011 D．9.5291×1012
5．（4分）已知关于x的方程x2+2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．4
6．（4分）随着我国新能源汽车的生产技术不断提升，市场上某款新能源汽车的价格由今年3月份的270000元/辆下降到5月份的243000元/辆．若价格继续下降，且月平均降价的百分率保持不变，则预测到今年7月份该款新能源汽车的价格将会：（参考数据：≈0.95）（　　）
A．低于22万元/辆 B．低于21.5万元/辆
C．超过22万元/辆 D．超过23万元/辆
7．（4分）某企业2020年6～10月生产利润的变化情况如折线图所示，下列说法与图中反映的信息相符的是（　　）

A．6～7月份利润的增长快于7～8月份利润的增长
B．6～10月份利润的方差为14000（万元）2
C．6～10月份利润的众数是1300万元
D．6～10月份利润的中位数为1300万元
8．（4分）已知，凸四边形ABCD，给出下列四个条件：
①AB＝CD，AD＝BC
②AB＝CD，AD∥BC
③AB∥CD，∠A＝∠C
④AB＝CD，∠A＝∠C
能判断四边形ABCD是平行四边形的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与x轴、y轴分别交于A（﹣10，0）、B（0，5），已知抛物线y＝ax2+bx经过点A，且顶点C在直线y＝mx+n的上方，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣0.1 B．a＞﹣0.1且a≠0
C．a＜﹣0.1且a≠0 D．a＞0.1
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连
接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）的值为　 　．
12．（5分）因式分解：y3﹣4y2+4y＝　 　．
13．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝2AC，以点A为圆心的弧与BC相切于点F，分别交AB、AC于点D、E，若CF＝2，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）

14．（5分）如图，线段AB＝12，射线AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于点B，点P为AB的中点，Q为射线AC上一动点，将△APQ沿PQ翻折得到△A1PQ，PA1、QA1的延长线分别交射线AC、BD于点E、F，连接EF．请探究下列问题：
（1）AQ•BF的值为　 　；
（2）当△A1PQ∽△A1FE时，AQ＝　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：＝．
16．（8分）在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点B1的对应点B2的坐标．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察下列等式：
第1个等式：3×12+1＝1×（3+1）；
第2个等式：3×22+2＝2×（6+1）；
第3个等式：3×32+3＝3×（9+1）：
…．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：　 　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明．
18．（8分）如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度AB，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在P处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°（即∠CPA＝45°，∠CPB＝30°）．若无人机离地面的高度PQ为120米，且点Q，A，B在同一水平直线上，求这条河的宽度AB．（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，已知EF过圆O的圆心O，且弦AB⊥EF，连接AE交⊙O于点C，连接BC交EF于点
D，连接OB、OC．
（1）若∠E＝24°，求∠BOC的度数；
（2）若OB＝2，OD＝1，求DE的长．

20．（10分）如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点P，且点P的纵坐标为8，过点P作PQ⊥x轴于点Q．
（1）求k的值；
（2）点A在线段PQ上，若OA＝PA，
①求OA的长；
②点B为x轴负半轴上一动点，当△OAB与△PAB的面积相等时，请直接写出所有符合题意的点B的坐标．

六、（本题满分12分）
21．（12分）某中学为了解本校九年级女生“一分钟仰卧起坐”项目的成绩情况，从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试，并将测试的成绩（x次）数据，绘制成频数分布表和扇形统计图．部分信息如下，根据提供的信息解答下列问题：
组号
分组
频数
①
20≤x＜28
3
②
28≤x＜36
15
③
36≤x＜44
m
④
44≤x＜52
10
⑤
52≤x＜60
2
（1）m＝　 　，在扇形统计图中第③小组对应的扇形的圆心角度数为　 　．
（2）若测试九年级女生“一分钟仰卧起坐”次数不低于44次的成绩为优秀，本校九年级女生共有360人，请估算该校九年级女生“一分钟仰卧起坐”成绩为优秀的人数；
（3）把在第①小组内的三个女生分别记为：a1、a2、a3，把在第⑤小组内的两个女生分别记为：b1、b2，从第①小组和第⑤小组总共5个女生中随机抽取2个女生进行“你对中考体育考试选项的看法”的问卷调查，求第①小组和第⑤小组都有1个女生被选中的概率．

七、（本题满分12分）
22．（12分）某校了解学生午餐排队情况，发现学生排队累计的人数y（人）随时间x（分钟）的变化情况满足关系式y＝ax2+bx，其中0≤x≤15．y与x的部分对应值如表；
时间x（分钟）
0
1
2
…
累计人数y（人）
0
58
112
…
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）若食堂就餐排队窗口每分钟可减少排队人数32人，求排队等待的学生人数最多时有多少人？（排队等待的学生人数＝排队累计的人数﹣减少的排队人数）
（3）排队等待5分钟后，为减少排队等候时间，食堂临时增加就餐排队窗口，现每分钟可减少排队人数48人，再过　 　分钟后刚好不再出现排队等待的情况．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F，过点C作CG⊥AE于点G．

（1）求证：△ACG≌△BAF：
（2）如图2，点D是BC的中点，连按DF，DG．
①求∠BFD的度数；
②当GF＝，且点E为BD中点时，求△ABC的面积．

2021年安徽省合肥五十中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（4分）100的相反数是（　　）
A．100 B．﹣100 C． D．﹣
【分析】只有符号相反的两个数，互为相反数．所以100的相反数是﹣100．
【解答】解：100的相反数是﹣100．
故选：B．
2．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a+2a＝3a2 B．（3.14﹣π）0＝0
C．a3•a4＝a12 D．（﹣3a）2＝9a2
【分析】分别根据合并同类项法则，任何非零数的零次幂等于1，同底数幂的乘法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、a+2a＝3a，故本选项不合题意；
B、（3.14﹣π）0＝1，故本选项不合题意；
C、a3•a4＝a7，故本选项不合题意；
D、（﹣3a）2＝9a2，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（4分）如图所示，左边立体图形的俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的用虚线表示．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有两条纵向的实线，两侧分别有一条纵向的虚线．
故选：B．
4．（4分）2021年第一季度安徽省GDP达9529.1亿元，进入全国前十，其中9529.1亿用科学记数法表示为（　　）
A．95.291×1010 B．9.5291×1010
C．9.5291×1011 D．9.5291×1012
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：9529.1亿＝9.5291×1011．
故选：C．
5．（4分）已知关于x的方程x2+2x+a＝0有两个相等的实数根，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．4
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：△＝4﹣4a＝0，
∴a＝1，
故选：C．
6．（4分）随着我国新能源汽车的生产技术不断提升，市场上某款新能源汽车的价格由今年3月份的270000元/辆下降到5月份的243000元/辆．若价格继续下降，且月平均降价的百分率保持不变，则预测到今年7月份该款新能源汽车的价格将会：（参考数据：≈0.95）（　　）
A．低于22万元/辆 B．低于21.5万元/辆
C．超过22万元/辆 D．超过23万元/辆
【分析】设月平均降价的百分率为x，根据今年3月份及5月份该款新能源汽车的售价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出（1﹣x）2的值，再将其代入243000（1﹣x）2中即可得出结论．
【解答】解：设月平均降价的百分率为x，
依题意得：270000（1﹣x）2＝243000，
∴（1﹣x）2＝0.9，
∴今年7月份该款新能源汽车的价格为243000（1﹣x）2＝243000×0.9＝218700（元）．
故选：A．
7．（4分）某企业2020年6～10月生产利润的变化情况如折线图所示，下列说法与图中反映的信息相符的是（　　）

A．6～7月份利润的增长快于7～8月份利润的增长
B．6～10月份利润的方差为14000（万元）2
C．6～10月份利润的众数是1300万元
D．6～10月份利润的中位数为1300万元
【分析】先从统计图获取信息，再对选项一一分析，选择正确结果．
【解答】解：由折线统计图知这组数据为1000、1100、1300、1200、1300，
A、6～7月份利润增长了1100﹣1000＝100，7～8月份利润，增长了1300﹣1100＝200，故A说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；
B、1﹣6月份利润的众数是1300万元，中位数为1300万元，平均数为（1000+1100+1300+1200+1300）＝1180（万元），
方差为×[（1000﹣1180）2+2×（1300﹣1180）2+（1200﹣1180）2+（1100﹣1180）2]＝13600（万元），故B说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；
C、6～10月份利润的众数是1300万元，故C说法与图中反映的信息相符，故本选项符合题意；
D、6～10月份利润的中位数为1200万元，故C说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．（4分）已知，凸四边形ABCD，给出下列四个条件：
①AB＝CD，AD＝BC
②AB＝CD，AD∥BC
③AB∥CD，∠A＝∠C
④AB＝CD，∠A＝∠C
能判断四边形ABCD是平行四边形的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个条件进行判断即可．
【解答】解：①∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①能判断四边形ABCD是平行四边形；
②∵AB＝CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是等腰梯形或平行四边形，故②不能判断四边形ABCD是平行四边形；
③如图1，∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③能判断四边形ABCD是平行四边形；
④如图2，连接BD，
在△ABD和△CDB中，AB＝CD，BD＝DB，∠A＝∠C，
不能判定△ABD和△CDB全等，
∴不能判定AD＝BC，
∴不能判断四边形ABCD是平行四边形；
故选：B．


9．（4分）在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与x轴、y轴分别交于A（﹣10，0）、B（0，5），已知抛物线y＝ax2+bx经过点A，且顶点C在直线y＝mx+n的上方，则a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣0.1 B．a＞﹣0.1且a≠0
C．a＜﹣0.1且a≠0 D．a＞0.1
【分析】根据待定系数法求得直线解析式，根据题意求得抛物线的对称轴为x＝﹣5，即可求得抛物线的最大值﹣25a，由顶点C在直线y＝mx+n的上方得出﹣25a＞，解得即可．
【解答】解：∵直线y＝mx+n与x轴、y轴分别交于A（﹣10，0）、B（0，5），
∴，解得，
∴直线为y＝x+5，
∵抛物线y＝ax2+bx经过点A和原点，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣5，
∴﹣＝﹣5，
∴b＝10a，
∴抛物线为y＝ax2+10ax，
把x＝﹣5代入得，y＝25a﹣50a＝﹣25a，
把x＝﹣5代入y＝x+5得，y＝，
∵抛物线顶点C在直线y＝mx+n的上方，
∴﹣25a＞，
∴a＜﹣0.1，
故选：A．
10．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连
接CP，QD，则PC+QD的最小值为（　　）

A．10 B．11 C．12 D．13
【分析】连接BP，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，CE，PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，根据勾股定理可得结果．
【解答】解：如图，连接BP，

在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∵AP＝CQ，
∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，
∴DP＝QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB＝DQ，
则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，
∴CE＝＝13．
∴PC+PB的最小值为13．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）的值为　2　．
【分析】根据算术平方根的定义得出即为4的算术平方根，进而求出即可．
【解答】解：＝2．
故答案为：2．
12．（5分）因式分解：y3﹣4y2+4y＝　y（y﹣2）2　．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝y（y2﹣4y+4）
＝y（y﹣2）2．
故答案为：y（y﹣2）2．
13．（5分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝2AC，以点A为圆心的弧与BC相切于点F，分别交AB、AC于点D、E，若CF＝2，则图中阴影部分的面积为　6﹣2π　．（结果保留π）

【分析】连接AF，根据切线的性质得出AF⊥BC，根据含30°角的直角三角形的性质求出∠B＝30°，求出∠CAF＝30°，求出AC，AB，根据勾股定理求出AF，求出BF，再求出面积即可．
【解答】解：连接AF，

∵以点A为圆心的弧与BC相切于点F，
∴AF⊥BC，即∠AFC＝90°，
∵∠A＝90°，BC＝2AC，
∴∠B＝30°，
∴∠C＝60°，
∴∠CAF＝30°，
∴AC＝2CF，
∵CF＝2，
∴AC＝2CF＝4，
∴BC＝2AC＝8，
∴BF＝BC﹣CF＝8﹣2＝6，
由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△AFB﹣S扇形DAF＝﹣＝6﹣2π，
故答案为：6﹣2π．
14．（5分）如图，线段AB＝12，射线AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于点B，点P为AB的中点，Q为射线AC上一动点，将△APQ沿PQ翻折得到△A1PQ，PA1、QA1的延长线分别交射线AC、BD于点E、F，连接EF．请探究下列问题：
（1）AQ•BF的值为　36　；
（2）当△A1PQ∽△A1FE时，AQ＝　2　．

【分析】（1）由折叠的性质得出AQ＝A1Q，AP＝A1P，∠A＝∠PA1Q＝90°，证明Rt△PBF≌Rt△PA1F（HL），得出BF＝FA1，∠BPF＝∠FPA1，证明△APQ∽△BFP，得出比例线段，则可得出答案；
（2）由相似三角形的性质求出∠AQP＝60°，由直角三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）∵点P为AB的中点，AB＝12，
∴AP＝BP＝6，
∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠QAP＝∠PBF＝90°，
∵将△APQ沿PQ翻折得到△A1PQ，
∴AQ＝A1Q，AP＝A1P，∠A＝∠PA1Q＝90°，
∴PB＝PA1，
在Rt△PBF和Rt△PA1F中，
，
∴Rt△PBF≌Rt△PA1F（HL），
∴BF＝FA1，∠BPF＝∠FPA1，
∴∠QPF＝90°，
∴∠APQ+∠BPF＝90°，∠BPF+∠BFP＝90°，
∴∠APQ＝∠BFP，
∴△APQ∽△BFP，
∴，
∴AQ•BF＝PB•PA＝6×6＝36；
故答案为：36；
（2）当△A1PQ∽△A1FE时，
∴∠PQA1＝∠A1EF，
由（1）知∠AQP＝∠PQA1，∠BPF＝∠FPE，
∵∠AQP＝∠BPF，
∴∠FPE＝∠FEP，
∵PE⊥FQ，
∴FQ为PE的垂直平分线，
∴PQ＝QE，
∴∠PQF＝∠EQF＝∠AQP，
∴∠AQP＝180°＝60°，
∴AQ＝AP＝2．
故答案为：2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解方程：＝．
【分析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．依次计算可得．
【解答】解：去分母，得：x＝2（x﹣1），
去括号，得：x＝2x﹣2，
移项，得：x﹣2x＝﹣2，
合并同类项，得：﹣x＝﹣2，
两边同除以﹣1，得：x＝2，
经检验：x＝2是原方程的根，
∴原方程的根为x＝2．
16．（8分）在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点B1的对应点B2的坐标．

【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（﹣1，3）；
（2）如图，△A1B1C1为所作；点B2的坐标为（3，1）．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察下列等式：
第1个等式：3×12+1＝1×（3+1）；
第2个等式：3×22+2＝2×（6+1）；
第3个等式：3×32+3＝3×（9+1）：
…．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式：　3×42+4＝4×（12+1）　；
（2）写出你猜想的第n个等式：　3×n2+n＝n（3n+1）　（用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）观察等式的左边第一数字均为3，第二个数字与等式的序号相同的数的平方，第三个数字也与等式序号相同，等号右边的第一个数字与等式序号相同，第二个数字是等式序号的3倍，第三个数字均为1，依此规律答案可得；
（2）利用（1）中发现的规律可得结论，证明时通过运算说明左右相等即可．
【解答】解：（1）第4个等式为：3×42+4＝4×（12+1）．
故答案为：3×42+4＝4×（12+1）．
（2）第n个等式为：3×n2+n＝n（3n+1）．
证明：∵右边＝n（3n+1）＝3n2+1，
左边＝3n2+1，
∴左边＝右边．
∴等式成立．
故答案为：3×n2+n＝n（3n+1）．
18．（8分）如图，在数学综合实践活动中，某小组想要测量某条河的宽度AB，小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量，在P处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°（即∠CPA＝45°，∠CPB＝30°）．若无人机离地面的高度PQ为120米，且点Q，A，B在同一水平直线上，求这条河的宽度AB．（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）

【分析】在Rt△APQ和Rt△BPQ中，利用锐角三角函数，用PQ表示出AQ、BQ的长，然后计算出AB的长．
【解答】解：∵CP∥QB，
∴∠CPA＝∠PAQ＝45°，∠CPB＝∠PBQ＝30°，
在Rt△APQ中，∵∠PAQ＝45°，
∴∠PAQ＝∠APQ＝45°，
∴AQ＝PQ＝120（米），
在Rt△PQB，∵tan∠PBQ＝，
∴QB＝（米），
∴AB＝QB﹣QA＝120﹣120＝120×（1.732﹣1）≈88（米），
答：这条河的宽度AB约为88米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，已知EF过圆O的圆心O，且弦AB⊥EF，连接AE交⊙O于点C，连接BC交EF于点
D，连接OB、OC．
（1）若∠E＝24°，求∠BOC的度数；
（2）若OB＝2，OD＝1，求DE的长．

【分析】（1）由直角三角形的性质可求解∠A的度数，再根据圆周角定理可求解；
（2）由等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理可求解∠COB的度数，通过证明△COD∽△EOC，列比例式可求解OE的长，进而可求解．
【解答】解：（1）∵EF⊥AB，
∴∠A+∠E＝90°，
∵∠E＝24°，
∴∠A＝90°﹣∠E＝66°，
∴∠BOC＝2∠A＝132°；
（2）∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
在△OBC中，∠COB＝，
∵∠E＝90°﹣∠A，∠A＝∠BOC，
∴∠OCB＝∠E，
∵∠COD＝∠EOC，
∴△COD∽△EOC，
∴，
∵OB＝2，OD＝1，
∴，
解得OE＝4，
∴DE＝OE﹣OD＝3．
20．（10分）如图，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝（x＜0）的图象交于点P，且点P的纵坐标为8，过点P作PQ⊥x轴于点Q．
（1）求k的值；
（2）点A在线段PQ上，若OA＝PA，
①求OA的长；
②点B为x轴负半轴上一动点，当△OAB与△PAB的面积相等时，请直接写出所有符合题意的点B的坐标．

【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出m，把点P的坐标代入反比例函数解析式求出k；
（2）①根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案；
②根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出符合题意的点B的坐标．
【解答】解：（1）设点P的坐标为（m，8），
∵点P在正比例函数y＝﹣2x上，
∴﹣2m＝8，
解得，m＝﹣4，
∴点P的坐标为（﹣4，8），
∴k＝﹣4×8＝﹣32；
（2）①设OA＝n，则PA＝n，
∵点P的纵坐标为8，
∴AQ＝8﹣n，
在Rt△AQO中，AQ2+OQ2＝OA2，即（8﹣n）2+42＝n2，
解得，n＝5，即OA＝5；
②设点B的坐标为（t，0）（t＜0），
则OB＝﹣t，BQ＝|﹣4﹣t|，
由（2）可知，AQ＝8﹣5＝3，
由题意得，×3×（﹣t）＝×5×|﹣4﹣t|，
解得，t＝﹣10或﹣，
∴当△OAB与△PAB的面积相等时，点B的坐标为（﹣10，0）或（﹣，0）．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某中学为了解本校九年级女生“一分钟仰卧起坐”项目的成绩情况，从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试，并将测试的成绩（x次）数据，绘制成频数分布表和扇形统计图．部分信息如下，根据提供的信息解答下列问题：
组号
分组
频数
①
20≤x＜28
3
②
28≤x＜36
15
③
36≤x＜44
m
④
44≤x＜52
10
⑤
52≤x＜60
2
（1）m＝　10　，在扇形统计图中第③小组对应的扇形的圆心角度数为　90°　．
（2）若测试九年级女生“一分钟仰卧起坐”次数不低于44次的成绩为优秀，本校九年级女生共有360人，请估算该校九年级女生“一分钟仰卧起坐”成绩为优秀的人数；
（3）把在第①小组内的三个女生分别记为：a1、a2、a3，把在第⑤小组内的两个女生分别记为：b1、b2，从第①小组和第⑤小组总共5个女生中随机抽取2个女生进行“你对中考体育考试选项的看法”的问卷调查，求第①小组和第⑤小组都有1个女生被选中的概率．

【分析】（1）由②的频数和所占百分比求出抽查人数，即可解决问题；
（2）由九年级女生共有人数乘以“一分钟仰卧起坐”成绩为优秀的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：15÷37.5%＝40（人），
∴m＝40﹣3﹣15﹣10﹣2＝10，
∴在扇形统计图中第③小组对应的扇形的圆心角度数为：360°×＝90°，
故答案为：10，90°；
（2）估算该校九年级女生“一分钟仰卧起坐”成绩为优秀的人数为：360×＝108（人）；
（3）画树状图如图：

共有20个等可能的结果，第①小组和第⑤小组都有1个女生被选中的结果有12个，
∴第①小组和第⑤小组都有1个女生被选中的概率为＝．
七、（本题满分12分）
22．（12分）某校了解学生午餐排队情况，发现学生排队累计的人数y（人）随时间x（分钟）的变化情况满足关系式y＝ax2+bx，其中0≤x≤15．y与x的部分对应值如表；
时间x（分钟）
0
1
2
…
累计人数y（人）
0
58
112
…
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）若食堂就餐排队窗口每分钟可减少排队人数32人，求排队等待的学生人数最多时有多少人？（排队等待的学生人数＝排队累计的人数﹣减少的排队人数）
（3）排队等待5分钟后，为减少排队等候时间，食堂临时增加就餐排队窗口，现每分钟可减少排队人数48人，再过　5　分钟后刚好不再出现排队等待的情况．
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）排队等待的学生人数＝排队累计的人数﹣减少的排队人数，每分钟可减少排队人数为32，即在原解析式基础上减去32x，据此可列出排队等待的学生人数关于时间x的函数关系式，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）排队等待的学生人数＝排队累计的人数﹣减少的排队人数，排队等待5分钟后，增加就餐排队窗口，则每分钟可减少排队人数48人，从而可列出排队等待的学生人数关于时间x的函数关系式，令y＝0，求得方程的解并作出取舍，再用符合实际意义的解减去排队等待的5分钟即为所求．
【解答】解：（1）由题意得，
解得，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣2x2+60x；
（2）设第x分钟时排队等待的学生人数为z人，由题意得：
z＝y﹣32x
＝﹣2x2+60x﹣32x
＝﹣2x2+28x
＝﹣2（x﹣7）2+98，
∵﹣2＜0，
∴当x＝7时，z的最大值为98，
∴排队等待的学生人数最多时有98人；
（3）由题意得：
y＝﹣2x2+60x﹣32×5﹣48（x﹣5）
＝﹣2x2+60x﹣160﹣48x+240
＝﹣2x2+12x+80
＝﹣2（x﹣3）2+98，其中5≤x≤15，
当y＝0时，﹣2（x﹣3）2+98＝0，
解得x1＝10，x2＝﹣4（不合题意，舍去），
10﹣5＝5（分钟），
故答案为：5．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F，过点C作CG⊥AE于点G．

（1）求证：△ACG≌△BAF：
（2）如图2，点D是BC的中点，连按DF，DG．
①求∠BFD的度数；
②当GF＝，且点E为BD中点时，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AGC＝∠F＝90°，根据图角的余角相等可得∠ACG＝∠BAF，根据AAS可得：△ACG≌△BAF；
（2）①连接AD，通过证明△ADG≌△BDF（SAS），得出∠ADG＝∠BDF，进而得出∠DGF＝∠DFG＝45°，从而得出∠BFD的度数；
②通过证明△DEG∽△AEC，得出，设DE＝BE＝a，则BD＝AD＝2a，根据勾股定理用含有a的代数式表示出AE，进而得出AC的值，再根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵BF⊥AE，CG⊥AE，
∴∠F＝90°，∠AGC＝90°，
∴∠AGC＝∠F＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF+∠CAG＝90°，
∴∠ACG＝∠BAF，
又∵AC＝AB，
∴△ACG≌△BAF（AAS）；
（2）如图2，连接AD，

①证明：∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝＝45°，
∴∠CAD＝45°，AD＝BD，
由（1）知△ACG≌△BAF，
∴AG＝BF，∠CAG＝∠ABF，
即∠CAD+∠DAG＝∠ABC+∠DBF，
∴∠DAG＝∠DBF，
∴△ADG≌△BDF（SAS），
∴DG＝DF，∠ADG＝∠BDF，
∴∠DGF＝∠DFG，
∵∠ADG+∠GDB＝90°，
∴∠BDF+∠GDB＝90°，即∠GDF＝90°，
∴∠DGF＝∠DFG＝45°，
∴∠BFD＝∠DFG+∠AFB＝135°；
②由题意得，当GF＝时，DG＝1，在Rt△ADE中，cos，
在Rt△CEG中，，
，
又∵∠DEG＝∠AEC，
∴△DEG∽△AEC，
∴，
∵E为BD的中点，
设DE＝BE＝a，则BD＝AD＝2a，
∴，
∴，即，
∴，
∴△ABC的面积为：．