2021年江苏省苏州市中考数学模拟试卷（四）

这是一份2021年江苏省苏州市中考数学模拟试卷（四），共26页。试卷主要包含了有下列说法等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省苏州市中考数学模拟试卷（四）
一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．（3分）有下列说法：
①无理数是开方开不尽的数；
②每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来；
③的算术平方根是2；
④0的平方根和立方根都是0．
其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）若a•2•23＝28，则a等于（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
4．（3分）2017年三月，某地区一周空气质量报告中某污染指标的数据如下表：
星 期
一
二
三
四
五
六
日
某污染指标数据（单位：μg/m3）
60
60
70
90
90
90
100
下述说正确的是（　　）
A．众数是90，中位数是60 B．众数是90，中位数是90
C．中位数是70，极差是40 D．中位数是60，极差是40
5．（3分）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（　　）
A．（1+x）2＝242 B．（2+x）2＝242
C．2（1+x）2＝242 D．（1+2x）2＝242
6．（3分）如图，顺次连接四边形ABCD的各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，可使四边形EFGH为矩形的是（　　）

A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC
7．（3分）小华把如图所示的4×4的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝55°，则∠DAC的度数为（　　）

A．70° B．67.5° C．62.5° D．65°
9．（3分）如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
10．（3分）如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（　　）

A．12 B．15 C．18 D．21
二．填空题（满分24分，每小题3分）
11．（3分）已知，x、y为实数，且y＝﹣+3，则x+y＝　 　．
12．（3分）因式分解：a2﹣4＝　 　．
13．（3分）若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　 　，侧面积为　 　．

14．（3分）冰箱开始启动时的内部温度为10℃，若每2小时冰箱内部的温度降低9℃，那么3小时后冰箱内部温度是　 　℃．
15．（3分）方程x2﹣x﹣1＝0的判别式的值等于　 　．
16．（3分）如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛A相距20nmile，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为　 　（nmile）（结果保留根号）．

17．（3分）若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P的坐标：　 　．
18．（3分）甲和乙同时加工一种产品，他们的工作量与工作时间的关系如图所示，则当甲加工了这种产品70件时，乙加工了　 　件．

三．解答题
19．（5分）计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）0
20．（6分）解不等式组．，把不等式组的解集在数轴上表示出来．
21．（6分）随着生活水平的日益提高，人们越来越喜欢过节，节日的仪式感日渐浓烈，某校举行了“母亲节暖心特别行动”，从中随机调查了部分同学的暖心行动，并将其分为A，B，C，D四种类型（分别对应送服务、送鲜花、送红包、送话语）．现根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了多少名同学的暖心行动？
（2）求出扇形统计图中扇形B的圆心角度数？
（3）若该校共有2400名同学，请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名？

22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．试说明：
（1）△AEH≌△BEC．
（2）AH＝2BD．

23．（7分）某校九年级有三个班，其中九年一班和九年二班共有105名学生，在期末体育测试中，这两个班级共有79名学生满分，其中九年一班的满分率为70%，九年二班的满分率为80%．
（1）求九年一班和九年二班各有多少名学生．
（2）该校九年三班有45名学生，若九年级体育成绩的总满分率超过75%，求九年三班至少有多少名学生体育成绩是满分．
24．（8分）在一个不透明的盒子中，放入2个红球，1个黄球和1个白球．这些球除颜色外都相同．
（1）第一次摸出一个球后放回盒子中，搅匀后第二次再摸出一个球，请用画树状图法求出两次都摸到红球的概率；
（2）直接写出“一次同时摸出两个红球”的概率．
25．（8分）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点D，取AD中点E，连接EC并延长交AB延长线于点F．
（1）试判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF＝12，BF＝8，求tanD．

26．（10分）如图所示，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，GH交BC于点K，连接DG交EF于点O，DG＝2EF．
（1）求证DE•DA＝DO•DG；
（2）探索AB与BC的数量关系，并说明理由；
（3）连接BH，sin∠BFH＝，EF＝，求△BFH的周长．

27．（10分）如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD
（1）求证：∠DBF＝∠ACB；
（2）若AG＝GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．

28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；
（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．


2021年江苏省苏州市中考数学模拟试卷（四）
参考答案与试题解析
一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．（3分）有下列说法：
①无理数是开方开不尽的数；
②每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来；
③的算术平方根是2；
④0的平方根和立方根都是0．
其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数是无限不循环小数，无理数包括正无理数和负无理数，以及平方根、算术平方根和立方根的定义逐项判断即可．
【解答】解：①无理数不一定是开方开不尽的数，原说法错误；
②每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，原说法正确；
③＝4，4的算术平方根是2，原说法正确；
④0的平方根和立方根都是0，原说法正确．
说法正确的有3个．
故选：C．
2．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3．（3分）若a•2•23＝28，则a等于（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】根据同底数幂的乘法法则求解．
【解答】解：∵a•2•23＝28，
∴a＝28÷24＝24＝16．
故选：C．
4．（3分）2017年三月，某地区一周空气质量报告中某污染指标的数据如下表：
星 期
一
二
三
四
五
六
日
某污染指标数据（单位：μg/m3）
60
60
70
90
90
90
100
下述说正确的是（　　）
A．众数是90，中位数是60 B．众数是90，中位数是90
C．中位数是70，极差是40 D．中位数是60，极差是40
【分析】根据众数、中位数和极差的定义即可得．
【解答】解：这组数据出现次数最多的是90μg/m3，即众数为90μg/m3；
位于正中间的数据为90μg/m3，即中位数为90μg/m3；
极差为100﹣60＝40μg/m3，
故选：B．
5．（3分）有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（　　）
A．（1+x）2＝242 B．（2+x）2＝242
C．2（1+x）2＝242 D．（1+2x）2＝242
【分析】根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：2（1+x）2＝242．
故选：C．
6．（3分）如图，顺次连接四边形ABCD的各边的中点，得到四边形EFGH，在下列条件中，可使四边形EFGH为矩形的是（　　）

A．AB＝CD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AD∥BC
【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形或有三个角是直角的四边形是矩形判断．
【解答】解：新四边形的各边垂直，都平行于原四边形对角线，那么原四边形的对角线也应垂直．
故选：C．
7．（3分）小华把如图所示的4×4的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据三角形和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵正方形的面积为4×4＝16，阴影区域的面积为×4×1+×2×3＝5，
∴飞镖落在阴影区域的概率是，
故选：C．
8．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝55°，则∠DAC的度数为（　　）

A．70° B．67.5° C．62.5° D．65°
【分析】由圆周角定理得出∠ADC＝55°，再根据等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠DCA，求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠CBE＝55°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣55°＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠DAC）＝（180°﹣55°）＝62.5°，
故选：C．
9．（3分）如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【分析】首先过点P作PD⊥CB于点D，利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，再利用等腰三角形的性质求出CM的长．
【解答】解：过点P作PD⊥CB于点D，
∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，
∴DC＝6，
∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，
∴MD＝ND＝1.5，
∴CM＝6﹣1.5＝4.5．
故选：D．

10．（3分）如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（　　）

A．12 B．15 C．18 D．21
【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，OB＝OD，又因为E点是CD的中点，可得OE是△BCD的中位线，可得OE＝BC，所以易求△DOE的周长．
【解答】解：∵▱ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）＝36，则BC+CD＝18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，
∴OD＝OB＝BD＝6．
又∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线，DE＝CD，
∴OE＝BC，
∴△DOE的周长＝OD+OE+DE＝BD+（BC+CD）＝6+9＝15，
故选：B．
二．填空题（满分24分，每小题3分）
11．（3分）已知，x、y为实数，且y＝﹣+3，则x+y＝　2或4　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【解答】解：由题意知，x2﹣1≥0且1﹣x2≥0，
所以x＝±1．
所以y＝3．
所以x+y＝2或4
故答案是：2或4．
12．（3分）因式分解：a2﹣4＝　（a+2）（a﹣2）　．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
13．（3分）若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是　3　，侧面积为　27π　．

【分析】利用弧长公式可得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长．
【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长为：＝6π，
∴圆锥的底面半径为：6π÷2π＝3，
侧面积＝π×3×9＝27π．
14．（3分）冰箱开始启动时的内部温度为10℃，若每2小时冰箱内部的温度降低9℃，那么3小时后冰箱内部温度是　﹣3.5　℃．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：10﹣9÷2×3＝10﹣13.5＝﹣3.5（℃），
则3小时后冰箱内部温度是﹣3.5℃．
故答案为：﹣3.5．
15．（3分）方程x2﹣x﹣1＝0的判别式的值等于　5　．
【分析】找出a、b、c的值，将其代入△＝b2﹣4ac中即可求出结论．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5．
故答案为：5．
16．（3分）如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛A相距20nmile，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为　10　（nmile）（结果保留根号）．

【分析】先作辅助线AC⊥BD于点C，然后根据锐角三角函数可以求得AC的长，从而可以得到AD的长，本题得以解决．
【解答】解：作AC⊥BD于点C，
由已知可得，∠BAC＝45°，∠DAC＝60°，AB＝20，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
∴AC＝AB•cos45°＝20×＝10，
∴AD＝＝＝20，
故答案为：10．

17．（3分）若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P的坐标：　（﹣2，﹣15），（﹣7，0）　．
【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：∵对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），
∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a
∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）
∴（x0+4）≠a（x0﹣1）
∴x0＝﹣4或x0＝1，
∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）
故答案为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）．
18．（3分）甲和乙同时加工一种产品，他们的工作量与工作时间的关系如图所示，则当甲加工了这种产品70件时，乙加工了　280　件．

【分析】根据图象可以求出甲、乙的工作效率，乙的用时与甲加工70件所用的时间相等，再根据工作量＝工作效率×工作时间，求出答案．
【解答】解：甲的工作效率为：50÷5＝10件/分，乙的工作效率为：80÷2＝40件/分
因此：40×（70÷10）＝280件，
故答案为：280
三．解答题
19．（5分）计算：|1﹣2cos30°|+﹣（﹣）﹣1﹣（5﹣π）0
【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2×﹣1+2﹣（﹣2）﹣1＝3．
20．（6分）解不等式组．，把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+5≤3（x+2），得：x≥﹣1，
解不等式2x﹣＜1，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
将解集表示在数轴上如下：

21．（6分）随着生活水平的日益提高，人们越来越喜欢过节，节日的仪式感日渐浓烈，某校举行了“母亲节暖心特别行动”，从中随机调查了部分同学的暖心行动，并将其分为A，B，C，D四种类型（分别对应送服务、送鲜花、送红包、送话语）．现根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了多少名同学的暖心行动？
（2）求出扇形统计图中扇形B的圆心角度数？
（3）若该校共有2400名同学，请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名？

【分析】（1）从两个统计图可以得到，“A送服务”的有20人，占调查人数的25%，可求出调查总人数；
（2）样本中“B送鲜花”的占，因此对应的圆心角的度数则占360°的；
（3）样本中“B送鲜花”的占，因此全校2400人的是送鲜花的人数．
【解答】解：（1）20÷25%＝80（人），
答：该校共抽查了80名同学的暖心行动．
（2）360°×＝144°，
答：扇形统计图中扇形B的圆心角度数为144°．
（3）2400×＝960（人），
答：该校2400名同学中进行送鲜花行动的约有960名．
22．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE相交于点H，AE＝BE．试说明：
（1）△AEH≌△BEC．
（2）AH＝2BD．

【分析】（1）由“ASA”可证△AEH≌△BEC；
（2）由全等三角形的性质可得AH＝BC，由等腰三角形的性质可得结论．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEH与△BEC中，
，
∴△AEH≌△BEC（ASA）；
（2）∵△AEH≌△BEC，
∴AH＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∴AH＝2BD．
23．（7分）某校九年级有三个班，其中九年一班和九年二班共有105名学生，在期末体育测试中，这两个班级共有79名学生满分，其中九年一班的满分率为70%，九年二班的满分率为80%．
（1）求九年一班和九年二班各有多少名学生．
（2）该校九年三班有45名学生，若九年级体育成绩的总满分率超过75%，求九年三班至少有多少名学生体育成绩是满分．
【分析】（1）设九年一班有x名学生，九年二班有y名学生，根据“九年一班和九年二班共有105名学生、两个班级共有79名学生满分”列方程组求解可得；
（2）设九年三班有m名学生体育成绩满分，根据“九年级体育成绩的总满分率超过75%”列不等式求解可得．
【解答】解：（1）设九年一班有x名学生，九年二班有y名学生，
根据题意，得：，
解得：；
答：九年一班有50名学生，九年二班有55名学生．

（2）设九年三班有m名学生体育成绩满分，
根据题意，得：79+m＞（105+45）×75%，
解得：m＞33.5，
∵m为整数，
∴m的最小值为34，
答：九年三班至少有34名学生体育成绩是满分．
24．（8分）在一个不透明的盒子中，放入2个红球，1个黄球和1个白球．这些球除颜色外都相同．
（1）第一次摸出一个球后放回盒子中，搅匀后第二次再摸出一个球，请用画树状图法求出两次都摸到红球的概率；
（2）直接写出“一次同时摸出两个红球”的概率．
【分析】（1）画树状图，共有16个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4个，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12个等可能的结果，“一次同时摸出两个红球”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：

共有16个等可能的结果，两次都摸到红球的结果有4个，
∴两次都摸到红球的概率为＝；
（2）画树状图如下：

共有12个等可能的结果，“一次同时摸出两个红球”的结果有2个，
∴“一次同时摸出两个红球”的概率为＝．
25．（8分）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点D，取AD中点E，连接EC并延长交AB延长线于点F．
（1）试判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CF＝12，BF＝8，求tanD．

【分析】（1）连接OC，AC，利用直径所对的圆周角是直角，得出三角形ACD是直角三角形，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出CE＝ED＝EA，再由切线的性质和等腰三角形的性质得出∠EAC+∠OAC＝∠ACE+∠OCA＝90°，进而得出EF是与⊙O的切线；
（2）在直角三角形OCF中，设半径OC＝x＝OB，利用勾股定理求出半径，再根据锐角三角函数的意义求出tanD．
【解答】解：（1）EF是⊙O的切线，理由如下：
连接OC，AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ACD，
又∴E是AD的中点，
∴CE＝ED＝EA，
∴∠EAC＝∠ACE，
又∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD是⊙的切线，AB是直径，
∴∠EAB＝90°＝∠EAC+∠OAC，
∴∠ACE+∠OCA＝90°，即OC⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）设OC＝x＝OB，
在Rt△OFC中，由勾股定理得，
OC2+FC2＝OF2，
即x2+122＝（8+x）2，
解得x＝5，即OC＝5，
∴AB＝2OC＝10，
∴tanF＝＝＝＝，
∴AE＝，
∴DE＝2AE＝15，
在Rt△ABD中，
tanD＝＝＝．

26．（10分）如图所示，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在AB边上的点G处，点C落在点H处，GH交BC于点K，连接DG交EF于点O，DG＝2EF．
（1）求证DE•DA＝DO•DG；
（2）探索AB与BC的数量关系，并说明理由；
（3）连接BH，sin∠BFH＝，EF＝，求△BFH的周长．

【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出角相等，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质和矩形的判定和性质解答即可；
（3）根据三角函数和勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAG＝90°，
由折叠性质得：DG⊥EF，
∴∠DAG＝∠EOD＝90°，
∵∠GDA＝∠EDO，
∴△ADG∽△ODE，
∴，
∴DE•DA＝DO•DG；
（2）BC＝2AB，理由如下：
过点E作EN⊥BC于N，

由折叠性质得：DG⊥EF，
∴∠EOG＝∠ENF＝∠DAG＝90°，
∴∠OEN+∠DEO＝90°，∠OED+∠DEO＝90°，
∴∠NEF＝∠EDO，
∴△DGA∽△EFN，
∴＝2，
∵∠AEN＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABNE是矩形，
∴EN＝AB，
∵AD＝2EN，
∴AD＝2AB，
∴BC＝2AB；
（3）作HQ⊥AB交AB的延长线于Q，连接EG，如图2，

∵AE∥BN，GE∥HF，
∴∠AEG＝∠BFH，
∵sin∠BFH＝sin∠AEG＝，
设AG＝3k，AE＝4k，GE＝ED＝5k，
∵DG＝2EF，EF＝，
∴DG＝3，
∴，
解得：k＝1或﹣1（舍去），
∴AG＝3，AE＝4，AD＝9，AB＝4.5，
∵∠EAB＝∠HQG＝∠EGH＝90°，
∴∠AGE+∠QGH＝90°，∠AGE+∠AEG＝90°，
∴∠AEG＝∠QGH，
∴△EAG∽△GQH，
∴，
即，
∴GQ＝，QH＝，GB＝，BQ＝，
∴BH＝＝，
∴△BFH的周长＝9+．
27．（10分）如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD
（1）求证：∠DBF＝∠ACB；
（2）若AG＝GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）根据平行线性质及圆周角性质直接得出结论．
（2）作OM⊥DC于点M，连接OC．先证明∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，再根据AG与GE的关系推出DG＝OD，然后可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BF∥AD，
∴∠ADB＝∠DBF，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠DBF＝∠ACB；
（2）∠GOD与∠ADC之间的数量关系为：2∠GOD+∠ADC＝240°．
理由如下：
作OM⊥DC于点M，连接OC．

∵AD∥BF，
∴AB＝DF，
∵F为CD中点，
∴CF＝DF＝AB，
∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF，
∵AC⊥BD于G，
∴∠BGC＝∠AGD＝90°，
∴∠DBF+∠CBF+∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠DBC＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝30°，∠DOC＝2∠DBC＝120°，
∵OD＝OC，
∴∠ODM＝30°，
设GE＝x，则AG＝x，
∴DG＝x，BG＝√x，GC＝3x，DC＝x，DM＝x，OD＝x，
∴DG＝OD，
∴2∠GOD+∠ODG＝180°，
∵∠ADB+∠ODC＝60°，
∴2∠GOD+∠ODG+∠ADB+∠ODC＝240°，
即2∠GOD+∠ADC＝240°．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；
（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）将点A、C的坐标代入函数表达式得：即可求解；
（2）设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点D（x，x﹣3），则PD＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，即可求解；
（3）分∠ACP＝90°、∠P′AC＝90°两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入函数表达式得：，解得：，
故：函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则：，
故直线AC的表达式为：y＝x﹣3，
设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点D（x，x﹣3），

∴PD＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，抛物线开口向下，当x＝时，PD的最大值为，
此时，点P（，﹣）；
（3）存在，理由：
①当∠ACP＝90°时，

由（2）知，直线AC的表达式为：y＝x﹣3，
故直线CP的表达式为：y＝﹣x﹣3…②，
①②联立并解得：x＝1或0（舍去x＝0），
故点P坐标为（1，﹣4）；
②当∠P′AC＝90°时，
设直线AP′的表达式为：y＝﹣x+b，
将x＝3，y＝0代入并解得：b＝3，
故：直线AP′的表达式为：y＝﹣x+3…③，
联立①③并解得：x＝﹣2或3（舍去x＝3），
故：点P′的坐标为（﹣2，5）；
故点P的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）．