2021年山东省济南市商河县中考数学二模试卷

这是一份2021年山东省济南市商河县中考数学二模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省济南市商河县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）
1．（4分）计算3+（﹣3）的结果是（　　）
A．6 B．0 C．1 D．﹣6
2．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到22000公里，将22000用科学记数法表示应为（　　）
A．2.2×104 B．22×103 C．2.2×103 D．0.22×105
3．（4分）如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（　　）

A． B．
C． D．
4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）

A．35° B．30° C．25° D．55°
6．（4分）若一组数据4，1，6，x，5的平均数为4，则这组数据的众数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（4分）化简的结果是（　　）
A．a+b B．b﹣a C．a﹣b D．﹣a﹣b
8．（4分）如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（　　）

A．（﹣2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（2，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
9．（4分）已知，直线y＝（m﹣2）x+n经过第二、三、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处．如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东位置，轮船航行的距离AB长是（　　）海里．

A．2 B．2sin55° C．2cos55° D．2tan55°
11．（4分）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
12．（4分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（　　）
A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案．）
13．（4分）分解因式：m2﹣2m+1＝　 　．
14．（4分）三张扑克牌中只有一张黑桃，三位同学依次抽取，第一位同学抽到黑桃的概率为　 　．
15．（4分）若正多边形的一个外角为30°，则这个多边形为正　 　边形．
16．（4分）分式方程＝ 的解为　 　．
17．（4分）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，匀速行进甲先出发且先到达B地，他们之间的距离s（km）与甲出发的时间t（h）的关系如图所示，则乙由B地到A地用了　 　h．

18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点E在AD上，AE＝1，连接BE，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点F恰好落在对角线AC上，作FG⊥AC交边AD于点G，则FG＝　 　．

三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：﹣12+tan60°﹣（π﹣3）0﹣|1﹣|．
20．（6分）解不等式组：，并写出它的最小整数解．
21．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F为对角线BD上两点，且∠BAE＝∠DCF．求证：BF＝DE．

22．（8分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制并取整数）进行整理、描述和分析，部分信息如图：
a．七年级成绩频数分布直方图：

b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
根据以上信息，回答下列问题．
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　 　人；
（2）表中m的值为　 　；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，则两位学生在各自年级的排名中　 　（填甲或乙）更靠前；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估算七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
23．（8分）如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：EF⊥AC．
（2）连接DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．

24．（10分）体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克．
（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？
（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？
25．（10分）如图1，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

26．（12分）△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：　 　．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：　 　；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝2，CD＝BC，请求出GE的长．

27．（12分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．


2021年山东省济南市商河县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）
1．（4分）计算3+（﹣3）的结果是（　　）
A．6 B．0 C．1 D．﹣6
【分析】直接根据有理数加法法则计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣3＝0．
故选：B．
2．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到22000公里，将22000用科学记数法表示应为（　　）
A．2.2×104 B．22×103 C．2.2×103 D．0.22×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：22000＝2.2×104．
故选：A．
3．（4分）如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，
故选：D．
4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称及中心对称概念，结合选项即可得出答案．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
5．（4分）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　）

A．35° B．30° C．25° D．55°
【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题．
【解答】解：如图，

∵m∥n，
∴∠1＝∠3＝35°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠2+∠3＝60°，
∴∠2＝25°，
故选：C．
6．（4分）若一组数据4，1，6，x，5的平均数为4，则这组数据的众数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可．
【解答】解：利用平均数的计算公式，得（4+1+6+x+5）＝4×5，
解得x＝4，
则这组数据的众数即出现最多的数为4．
故选：C．
7．（4分）化简的结果是（　　）
A．a+b B．b﹣a C．a﹣b D．﹣a﹣b
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣＝＝＝a+b，
故选：A．
8．（4分）如图，将△PQR向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是（　　）

A．（﹣2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（2，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：由题意可知此题规律是（x+2，y﹣3），照此规律计算可知顶点P（﹣4，﹣1）平移后的坐标是（﹣2，﹣4）．
故选：B．
9．（4分）已知，直线y＝（m﹣2）x+n经过第二、三、四象限，则m的取值范围在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由直线经过第二、三、四象限，可得出m﹣2＜0，解之可得出m＜2，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：∵直线y＝（m﹣2）x+n经过第二、三、四象限，
∴m﹣2＜0，n＜0，
∴m＜2．
故选：C．
10．（4分）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2海里的点A处．如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东位置，轮船航行的距离AB长是（　　）海里．

A．2 B．2sin55° C．2cos55° D．2tan55°
【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA＝55°，AP＝2海里，∠ABP＝90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A＝∠NPA＝55°．然后解Rt△ABP，得出AB的长．
【解答】解：如图，由题意可知∠NPA＝55°，AP＝2海里，∠ABP＝90°，
∵AB∥NP，
∴∠A＝∠NPA＝55°．
在Rt△ABP中，
∵∠ABP＝90°，∠A＝55°，AP＝2海里，
∴AB＝AP•cos∠A＝2cos55°（海里）．
故选：C．

11．（4分）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解．
【解答】解：如图所示，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、I．
因为六边形ABCDEF的六个角都是120°，
所以六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
所以△AFI、△BGC、△DHE、△GHI都是等边三角形．
所以AI＝AF＝3，BG＝BC＝1．
所以GI＝GH＝AI+AB+BG＝3+3+1＝7，DE＝HE＝HI﹣EF﹣FI＝7﹣2﹣3＝2，CD＝HG﹣CG﹣HD＝7﹣1﹣2＝4．
所以六边形的周长为3+1+4+2+2+3＝15；
故选：C．

12．（4分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（　　）
A．c＜﹣3 B．c＜﹣2 C．c＜ D．c＜1
【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由x1＜1＜x2知△＞0且x＝1时y＜0，据此得，解之可得．
【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，
且x1＜1＜x2，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：

则，
解得c＜﹣2，
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，直接填写答案．）
13．（4分）分解因式：m2﹣2m+1＝　（m﹣1）2　．
【分析】符合完全平方公式的结构形式，直接利用完全平方公式分解因式即可．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：m2﹣2m+1＝（m﹣1）2．
14．（4分）三张扑克牌中只有一张黑桃，三位同学依次抽取，第一位同学抽到黑桃的概率为　　．
【分析】由三张扑克牌中只有一张黑桃，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵三张扑克牌中只有一张黑桃，
∴第一位同学抽到黑桃的概率为：．
故答案为：．
15．（4分）若正多边形的一个外角为30°，则这个多边形为正　12　边形．
【分析】根据外角的度数就可求得多边形的边数．
【解答】解：正多边形的边数是：360÷30＝12．
故答案为：12．
16．（4分）分式方程＝ 的解为　x＝3　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3（x﹣1）＝2x，
去括号得：3x﹣3＝2x，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解．
17．（4分）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，匀速行进甲先出发且先到达B地，他们之间的距离s（km）与甲出发的时间t（h）的关系如图所示，则乙由B地到A地用了　10　h．

【分析】根据函数图象中的数据可以求得甲的速度和乙的速度，从而可以求得乙由B地到A地所用的时间．
【解答】解：由图可得，
甲的速度为：36÷6＝6（km/h），
则乙的速度为：＝3.6（km/h），
则乙由B地到A地用时：36÷3.6＝10（h），
故答案为：10．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，点E在AD上，AE＝1，连接BE，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点F恰好落在对角线AC上，作FG⊥AC交边AD于点G，则FG＝　　．

【分析】设BE交AF于点H，由折叠性质可知BE为AF的中垂线，AH＝HF．再证明△ABE～△DAC．列出比例式求出AB＝2，进而得BE＝，由sin∠ABH＝＝＝＝，可得AH＝．再根据三角函数求出EH的长，最后证明AHE∽△AFG，列出比例式求得FG的长．
【解答】解：设BE交AF于点H，如图所示．
由折叠性质可知BE为AF的中垂线，AH＝HF．
∵∠DAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABH＝90°，
∴∠DAC＝∠ABH，又∠D＝∠EAB＝90°，
∴△ABE～△DAC．
∴，可得AB•CD＝AD•AE，又AB＝CD，
∴AB2＝AD•AE＝4×1＝4，
∴AB＝2．
∴BE＝＝＝．
∴sin∠ABH＝＝＝＝，AH＝．
又∠DAC＝∠ABH，
∴sin∠DAC＝＝＝sin∠ABH＝，
∴EH＝．
又∴∠EHF＝∠GFC＝90°，
∴△AHE∽△AFG，
∴，
∴FG＝2HE＝．
故答案为：．

三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）计算：﹣12+tan60°﹣（π﹣3）0﹣|1﹣|．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、乘方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：﹣12+tan60°﹣（π﹣3）0﹣|1﹣|
＝﹣1+﹣1﹣（﹣1）
＝﹣2+﹣+1
＝﹣1．
20．（6分）解不等式组：，并写出它的最小整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣，
解不等式②得：x＞1，
则不等式组的解集为x＞1，
所以不等式组的最小整数解为2．
21．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F为对角线BD上两点，且∠BAE＝∠DCF．求证：BF＝DE．

【分析】证明△ABE≌△DCF（ASA），由全等三角形的性质可得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE＝DF，
∴BE+EF＝DF+EF，
即BF＝DE．
22．（8分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制并取整数）进行整理、描述和分析，部分信息如图：
a．七年级成绩频数分布直方图：

b．七年级成绩在70≤x＜80这一组的是：
70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79
c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年级
平均数
中位数
七
76.9
m
八
79.2
79.5
根据以上信息，回答下列问题．
（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　23　人；
（2）表中m的值为　77.5　；
（3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，则两位学生在各自年级的排名中　甲　（填甲或乙）更靠前；
（4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估算七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【分析】（1）根据直方图中的数据，可以得到七年级在80分以上（含80分）的人数；
（2）根据题目中的数据，可以计算出m的值；
（3）根据c中表格中的数据，可以判断出甲和乙谁更靠前；
（4）根据题目中的数据，可以计算出七年级成绩超过平均数76.9分的人数．
【解答】解：（1）由直方图可得，
在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8＝23（人），
故答案为：23；
（2）由b中的信息和直方图中的数据可得，
m＝（77+78）÷2＝77.5，
故答案为：77.5；
（3）由c中的信息可知，
甲的成绩大于中位数，乙的成绩小于中位数，故两位学生在各自年级的排名中甲成绩更靠前，
故答案为：甲；
（4）400×＝224（人），
即估算七年级成绩超过平均数76.9分的有224人．
23．（8分）如图，钝角△ABC中，AB＝AC，BC＝2，O是边AB上一点，以O为圆心，OB为半径作⊙O，交边AB于点D，交边BC于点E，过E作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：EF⊥AC．
（2）连接DF，若∠ABC＝30°，且DF∥BC，求⊙O的半径长．

【分析】（1）连接OE，如图，先证明OE∥AC，再利用切线的性质得OE⊥EF，从而得到EF⊥AC；
（2）连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，利用圆周角定理得到∠BED＝90°，则DE＝BD＝r，BE＝r，再证明∠EDF＝90°，∠DFE＝60°，接着用r表示出DF＝r，EF＝r，CE＝r，
从而得到r+r＝2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，
∵EF为切线，
∴OE⊥EF，
∴EF⊥AC；
（2）解：连接DE，如图，设⊙O的半径长为r，
∵BD为直径，
∴∠BED＝90°，
在Rt△BDE中，∵∠B＝30°，
∴DE＝BD＝r，BE＝r，
∵DF∥BC，
∴∠EDF＝∠BED＝90°，
∵∠C＝∠B＝30°，
∴∠CEF＝60°，
∴∠DFE＝∠CEF＝60°，
在Rt△DEF中，DF＝r，
∴EF＝2DF＝r，
在Rt△CEF中，CE＝2EF＝r，
而BC＝2，
∴r+r＝2，解得r＝，
即⊙O的半径长为．

24．（10分）体育器材室有A、B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克．
（1）每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？
（2）现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？
【分析】（1）直接利用1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克得出方程求出答案；
（2）利用分类讨论得出方程的解即可．
【解答】解：（1）设每只A型球、B型球的质量分别是x千克、y千克，根据题意可得：
，
解得：，
答：每只A型球的质量是3千克、B型球的质量是4千克；

（2）∵现有A型球、B型球的质量共17千克，
∴设A型球1个，设B型球a个，则3+4a＝17，
解得：a＝（不合题意舍去），
设A型球2个，设B型球b个，则6+4b＝17，
解得：b＝（不合题意舍去），
设A型球3个，设B型球c个，则9+4c＝17，
解得：c＝2，
设A型球4个，设B型球d个，则12+4d＝17，
解得：d＝（不合题意舍去），
设A型球5个，设B型球e个，则15+4e＝17，
解得：e＝（不合题意舍去），
综上所述：A型球、B型球各有3只、2只．
25．（10分）如图1，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求k的值；
（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；
（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．

【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k＝2；
（2）作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为（1，2），则AH＝2﹣1，BH＝2﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH＝45°，得到∠DAC＝∠BAC﹣∠BAH＝30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC＝；由于AD⊥y轴，则OD＝1，AD＝2，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD＝2，易得C点坐标为（0，﹣1），于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x﹣1；
（3）利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），由于直线l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为（t，t﹣1），则MN＝﹣t+1，根据三角形面积公式得到S△CMN＝•t•（﹣t+1），再进行配方得到S＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），最后根据二次函数的最值问题求解．
【解答】解：（1）把A（2，1）代入y＝
得k＝2×1＝2；

（2）作BH⊥AD于H，如图1，
把B（1，a）代入反比例函数解析式y＝
得a＝2，
∴B点坐标为（1，2），
∴AH＝2﹣1，BH＝2﹣1，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴∠BAH＝45°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAH＝30°，
∴tan∠DAC＝tan30°＝；
∵AD⊥y轴，
∴OD＝1，AD＝2，
∵tan∠DAC＝＝，
∴CD＝2，
∴OC＝1，
∴C点坐标为（0，﹣1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（2，1）、C（0，﹣1）代入
得，
解，
∴直线AC的解析式为y＝x﹣1；

（3）设M点坐标为（t，）（0＜t＜2），
∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，
∴N点的横坐标为t，
∴N点坐标为（t，t﹣1），
∴MN＝﹣（t﹣1）＝﹣t+1，
∴S△CMN＝•t•（﹣t+1）
＝﹣t2+t+
＝﹣（t﹣）2+（0＜t＜2），
∵a＝﹣＜0，
∴当t＝时，S有最大值，最大值为．

26．（12分）△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：　垂直　．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：　BC＝CD+CF　；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝2，CD＝BC，请求出GE的长．

【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC＝AB＝4，AH＝BC＝2，求得DH＝3，根据正方形的性质得到AD＝DE，∠ADE＝90°，根据矩形的性质得到NE＝CM，EM＝CN，由角的性质得到∠ADH＝∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，等量代换得到CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，根据等腰直角三角形的性质得到CG＝BC＝4，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B＝∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF＝90°，即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CF+CD；
故答案为：BC＝CF+CD；

（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．
∵正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ABD＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°．
∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，
∴CF⊥BC．
∵CD＝DB+BC，DB＝CF，
∴CD＝CF+BC．

（3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BC＝AB＝4，AH＝BC＝2，
∴CD＝BC＝1，CH＝BC＝2，
∴DH＝3，
由（2）证得BC⊥CF，CF＝BD＝5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝DE，∠ADE＝90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE＝CM，EM＝CN，
∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°，
∴∠ADH+∠EDM＝∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠ADH＝∠DEM，
在△ADH与△DEM中，，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，
∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BGC＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG＝BC＝4，
∴GN＝1，
∴EG＝＝．

27．（12分）如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．

【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得解；
（2）令y＝0，利用抛物线解析式求出点C的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理列式表示出DC2与DE2，然后解方程求出m的值，即可得到点D的坐标；
（3）根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF＝∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的长度，然后①分OC与CD是对应边；②OC与DP是对应边；根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，过点P作PG⊥y轴于点G，再分点P在点D的左边与右边两种情况，分别求出DG、PG的长度，结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），
∴，
解得，
故抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）令x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
则点C的坐标为（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点E坐标为（1，﹣4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，
∵DC2＝OD2+OC2＝m2+32，DE2＝DF2+EF2＝（m+4）2+12，
∵DC＝DE，
∴m2+9＝m2+8m+16+1，
解得m＝﹣1，
∴点D的坐标为（0，﹣1）；

（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），
∴CO＝DF＝3，DO＝EF＝1，
根据勾股定理，CD＝＝＝，
在△COD和△DFE中，
∵，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF＝∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO＝90°，
∴∠EDF+∠CDO＝90°，
∴∠CDE＝180°﹣90°＝90°，
∴CD⊥DE，
①分OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
∴＝，
即＝，
解得DP＝，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则＝＝，
即＝＝，
解得DG＝1，PG＝，
当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣DO＝1﹣1＝0，
所以点P（﹣，0），
当点P在点D的右边时，OG＝DO+DG＝1+1＝2，
所以，点P（，﹣2）；
②OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
∴＝，
即＝，
解得DP＝3，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则＝＝，
即＝＝，
解得DG＝9，PG＝3，
当点P在点D的左边时，OG＝DG﹣OD＝9﹣1＝8，
所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG＝OD+DG＝1+9＝10，
所以，点P的坐标是（3，﹣10），
综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．