2020-2021学年北师大 版九年级下册数学期中复习试卷1

这是一份2020-2021学年北师大 版九年级下册数学期中复习试卷1，共20页。试卷主要包含了下列各组数中互为相反数的是，下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北师大新版九年级下册数学期中复习试卷1
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数中互为相反数的是（　　）
A．﹣4和 B．4和﹣4 C．﹣4和﹣ D．和4
2．如图所示的几何体，从上面看得到的图形是（　　）

A． B． C． D．
3．随着我国金融科技不断发展，网络消费、网上购物已成为人们生活不可或缺的一部分，今年“双十一”天猫成交额高达2684亿元．将数据“2684亿”用科学记数法表示（　　）
A．2.684×103 B．2.684×1011 C．2.684×1012 D．2.684×107
4．下列计算正确的是（　　）
A．a•a2＝a2 B．a2+a4＝a8 C．（ab）3＝ab3 D．a3÷a＝a2
5．如图，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，下列结论正确的是（　　）

A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠γ﹣∠β＝180°
C．∠γ+∠β﹣∠α＝180° D．∠α+∠β+∠γ＝180°
6．小明对本班40名同学的血型情况做了调查，结果如下：
血型
O型
A型
B型
AB型
人数（人）
16
10
10
4
下面的扇形统计图中，能反映该调查结果的是（　　）
A． B． C． D．
7．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，数轴上的点A表示的数是0，点B表示的数是3，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A． B． +2 C．﹣2 D．2
9．某生产小组计划生产3000个口罩，由于采用新技术，实际每小时生产口罩的数量是原计划的2倍，因此提前5小时完成任务．设原计划每小时生产口罩x个，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．＝5 B．＝5
C．＝5 D．＝5
10．在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A＝60°，AD＝DC＝BC＝4，点E沿A→D→C→B运动，同时点F沿A→B→C运动，运动速度均为每秒1个单位，当两点相遇时，运动停止，则△AEF的面积y与运动时间x秒之间的图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．计算：（﹣1）2018﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2＝　 　．
12．若不等式组无解，则a的取值范围是　 　．
13．甲、乙两根木杆竖直立在平地上，其高度分别是2m和3m．某一时刻，甲木杆在太阳光下的影长为3m，则乙木杆的影长为　 　m．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B（﹣5，0），C（5，0），点D（11，0），将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则的长度为　 　，线段AE的长为　 　，图中阴影部分面积为　 　．

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的D'处，当△APD'是等腰三角形时，AP＝　 　．

三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）先化简代数式（1++）÷，然后选取一个使原式有意义的a的值代入求值．
17．（9分）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，2021年2月1日教育部印发《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，要求中小学生原则上不得将个人手机带入校园．某校为了解全校学生在此之前使用手机情况，随机抽取了部分学生调查其一周使用手机的时间，并用调查结果绘制了统计图表，请根据统计图表解答以下问题：

（1）补全频数分布直方图，填出所抽取学生一周使用手机时间的中位数落在　 　组；
（2）若以各组组中值（例如0＜t≤2的组中值为1小时）代表各组的实际数据，求出所抽取学生一周使用手机时间的平均数及众数；
（3）若该校共有1200名中学生，请你估计该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有多少人？
18．（9分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作射线l⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，过点C的切线交射线l于点F．
（1）求证：FC＝FD．
（2）当E是的中点时，
①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
②若＝，且AB＝30，则OP＝　 　．

19．（9分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为45°、底部C处的俯角为63°，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离AD为80米．求该建筑物的高度BC（精确到1米）．
[参考数据：sin63°＝0.89，cos63°＝0.45，tan63°＝1.96]

20．（9分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过线段AB的中点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线y＝﹣x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，交反比例函数y1＝（x＞0）的图象于点E，F，连接CE，CF，求△CEF的面积；
（3）请结合图象，直接写出不等式y1＜y2的解集．

21．（10分）某童装店以每件25元的价格购进某种品牌的童装若干件，销售了部分童装后，剩下的童装每件降价10元销售，全部售完．销售总额y（元）与销售量x（件）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：
（1）降价前该童装的销售单价是　 　元/件；
（2）求降价后销售总额y（元）与销售量x（件）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）求该童装店这次销售童装盈利多少元？

22．（10分）请阅读以下材料，并完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小亮经过实践探究发现：
如果线段同侧两点与线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是小亮证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图（1），点C，D是线段AB同侧两点，且∠C＝∠D．
求证：点A，B，C，D四点共圆．
证明：如图（2），作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，则∠AOB＝2∠C．
又∵∠C＝∠ADB，
∴∠AOB＝2∠ADB．
分别作点O关于直线AD，BD的对称点E，F，连接AE，ED，DF，BF，EF，OD，
则DE＝OD＝DF，AE＝AO＝OB＝BF，∠EDF＝2∠ADB，
∴∠EDF＝∠AOB．
∵∠DAO+∠DBO＝∠AOB﹣∠ADO﹣∠BDO＝∠AOB﹣∠ADB＝∠ADB，∠EAO＝2∠DAO，∠FBO＝2∠DBO，
∴∠EAO+∠FBO＝2（∠DAO+∠DBO）＝2∠ADB＝∠AOB，
∴∠EAB+∠FBA＝180°，
∴AE∥BF．
…
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图（3），在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠BDC＝50°，则∠ADB＝　 　°．

23．（11分）如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），连接BC，抛物线的对称轴直线x＝1与BC交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，把△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，求证：点M在抛物线上；
（3）如图3，点P是抛物线上的动点，连接PN，BN，当∠PNB＝30°时，请直接写出直线PN的解析式．


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、﹣4和中的符号不同，数不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意；
B、4是相反数是﹣4，故本选项符合题意；
C、﹣4和中的数都不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意；
D、4和中的符号相同，数不同，不能互为相反数，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．解：从上边看是一个六边形，中间为圆．
故选：D．
3．解：将2684亿＝268400000000用科学记数法表示为：2.684×1011．
故选：B．
4．解：a•a2＝a3，故选项A不合题意；
a2与a4不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意；
（ab）3＝a3b3，故选项C不合题意；
a3÷a＝a2，正确，故选项D符合题意．
故选：D．
5．解：∵AB∥EF，
∴∠α＝∠BOF，
∵CD∥EF，
∴∠γ+∠COF＝180°，
∵∠BOF＝∠COF+∠β，
∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，
故选：B．
6．解：依题意可得，小明同学所在的班级四种血型的人数所在扇形圆心角的度数分别是：
O型：×360°＝144°，选项A不符合题意；
A型：×360°＝90°，选项C不符合题意；
B型：×360°＝90°，选项D不符合题意；
AB型：×360°＝36°，选项A不符合题意；
故选：B．
7．解：画树状图如图：

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
则两人恰好进入同一社区的概率＝＝．
故选：B．
8．解：∵点A表示的数是0，点B表示的数是3，
∴AB＝3，
又∵CB⊥AB于点B，且BC＝2，
∴Rt△ABC中，AC＝＝＝，
∵AC＝AD，
∴AD＝，
∴点D表示的数为，
故选：A．
9．解：设原计划每小时生产口罩x个，则实际每小时生产口罩2x个，
依题意得：﹣＝5．
故选：D．
10．解：∵点E沿A→D→C→B运动，同时点F沿A→B→C运动，运动速度均为每秒1个单位，∠A＝60°，
∴当点E在AD边上时，△AEF为等边三角形，
∵AD＝DC＝BC＝4，
∴当0≤x≤4时，AE＝AF＝x，△AEF的面积y＝x•x•sin60°＝x2；
当4＜x≤8时，如图1，AF＝x，作DG⊥AB于G，则DG＝4sin60°＝2，

∴△AEF的面积y＝AF•DG＝x×4×＝x；
当8＜x≤10时，如图2，CE＝x﹣8，BF＝x﹣8，则EF＝4﹣（x﹣8）﹣（x﹣8）＝20﹣2x，

过D作DG⊥AB，CH⊥AB，连接AC，
∵AB∥DC，AD＝DC＝BC＝4，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∴AG＝BH＝4×cos60°＝2，GH＝DC＝4，
∴AH＝2+4＝6，CH＝DG＝2，AB＝2+4+2＝8，
由勾股定理得：AC＝＝＝4，
∵AC2+BC2＝48+16＝64＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△AEF的面积y＝AC•EF＝2（20﹣2x），
∴此时y为x的一次函数，A正确．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：（﹣1）2018﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2
＝1﹣1+4
＝4．
故答案为：4．
12．解：，
由①得，x＜1+a，
由②得，x＞2a﹣1，
由于不等式组无解，则2a﹣1≥1+a
解得：a≥2．
故答案为：a≥2．
13．解：设乙木杆的影长为xm，
根据题意得：，
解得：x＝4.5，
故答案为：4.5．
14．解：∵等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，
∴OB＝OC，
∵B（﹣5，0），C（5，0），
∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，
∴OA＝＝5，
∵D（11，0），
∴OD＝11，
∴AD2＝AO2+OD2＝75+121＝196，
∵△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝＝14；
∴的长度为＝π；
∴图中阴影部分面积
＝S扇形DAE﹣S扇形BAC
＝π×AD2﹣π×AC2
＝π（196﹣100）
＝16π．
故答案为：π；14；16π．
15．解：如图1中，当PA＝PD′时，

由翻折的性质可知，PD＝PD′，
∴PA＝PD＝PD＝3．
如图2中，当AP＝AD′时，设AP＝x，则PD＝PD′＝6﹣x．

∵AB＝4，BE＝3，∠B＝90°，
∴AE＝＝＝5，
∵AD∥BC，
∴∠HAD′＝∠AEB，
∵∠AHD′＝∠B＝90°，
∴△AHD′∽△EBA，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴AH＝x，HD′＝x，
∴PH＝x﹣x＝x，
在Rt△PHD′中，则有（6﹣x）2＝（x）2+（x）2，
解得x＝30﹣12或30+12（舍弃）．
如图3中，当D′A＝D′P时，过点D′作D′H⊥AP于H．设AP＝x，则AH＝PH＝，PD＝PD′＝AD′＝6﹣x，

∵＝，
∴＝，
∴x＝，
综上所述，满足条件的AP的值为3或30﹣12或．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1++）÷
＝
＝
＝
＝，
当a＝2时，原式＝＝2．
17．解：（1）本次调查的人数为：50÷50%＝100，
A组人数为：100﹣20﹣50﹣10﹣5＝15，
补全的频数分布直方图如右图所示，
所抽取学生一周使用手机时间的中位数落在C组，
故答案为：C；
（2）平均数是：＝4.4（小时），
众数是5小时；
（3）1200×＝180（人），
即估计该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有180人．

18．证明：（1）连接OC，

（1）证明：连接OC
∵CF是⊙O的切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCB+∠DCF＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵PD⊥AB，
∴∠BPD＝90°，
∴∠OBC+∠BDP＝90°，
∴∠BDP＝∠DCF，
∵∠BDP＝∠CDF，
∴∠DCF＝∠CDF，
∴FC＝FD；
（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，

①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵点E是的中点，
∴∠BOE＝∠COE＝60°，
∵OB＝OE＝OC，
∴△BOE，△OCE均为等边三角形，
∴OB＝BE＝CE＝OC
∴四边形BOCE是菱形；
②∵，
∴设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），
由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝302，解得k＝6，
∴AC＝18，BC＝24，
∵点E是的中点，
∴OE⊥BC，BH＝CH＝12，
∴S△OBE＝OE×BH＝OB×PE，即15×12＝15PE，解得：PE＝12，
由勾股定理得OP＝＝＝9．
故答案为：9．
19．解：在△ADB中，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝80（米），
在△ACD中，∠ADC＝90°，
∴CD＝AD•tan63°＝80×1.96≈156.8（米），
∴BC＝BD+CD＝80+156.8＝236.8≈237（米），
答：该建筑物的高度BC约为237米．
20．解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（6，0），B（0，4），
∵线段AB的中点是C，
∴C（3，2）．
将C（3，2）代入y1＝（x＞0），得k＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y1＝；
（2）∵将直线y＝﹣x+4向右平移4个单位长度后得到直线y2＝ax+b，直线y2交x轴于点D，
∴a＝﹣，D（10，0）．
把D（10，0）代入y＝﹣x+b，解得b＝，
∴直线EF的解析式为y2＝﹣x+．
由，解得或，
∴E（1，6），F（9，）．
如图，过点C作CP∥y轴交EF于P，则P点的横坐标为3．
将x＝3代入y2＝﹣x+，得y＝，
∴CP＝，
∴S△ECF＝S△ECP+S△PCF
＝××（3﹣1）+××（9﹣3）
＝+8
＝；
（3）由图象可得，不等式y1＜y2的解集为1＜x＜9．

21．解：（1）降价前该童装的销售单价＝＝45（元/件），
故答案为：45；
（2）设降价后销售金额y（元）与销售量x（件）之间的函数关系式为：y＝kx+b，
由题意知，该函数过点（40，1800），（55，2325），
则：，
解之得：，
∴y＝35x+400（40＜x≤55）；
（3）（45﹣25）×40+（45﹣10﹣25）×（55﹣40）＝950（元）
∴该童装店这次销售童装盈利950元．
22．（1）证明：如图（2），作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，则∠AOB＝2∠C．
又∵∠C＝∠ADB，
∴∠AOB＝2∠ADB．
分别作点O关于直线AD，BD的对称点E，F，连接AE，ED，DF，BF，EF，OD，
则DE＝OD＝DF，AE＝AO＝OB＝BF，∠EDF＝2∠ADB，
∴∠EDF＝∠AOB．
∵∠DAO+∠DBO＝∠AOB﹣∠ADO﹣∠BDO＝∠AOB﹣∠ADB＝∠ADB，∠EAO＝2∠DAO，∠FBO＝2∠DBO，
∴∠EAO+∠FBO＝2（∠DAO+∠DBO）＝2∠ADB＝∠AOB，
∴∠EAB+∠FBA＝180°，
∴AE∥BF，
∵AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴EF＝AB，
在△AOB中，∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB），
在△DEF中，∠DEF＝∠DFE＝（180°﹣∠EDF），
∵∠EDF＝∠AOB，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠DEF＝∠DFE，
∴△AOB≌△EDF（ASA），
∴OA＝DE，
∵DE＝OD，
∴OD＝OA，
∴点D在⊙O上，
即点A，B，C，D四点共圆．
（2）在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴点A，B，C，D四点共圆，
∴∠ADB＝∠ACB＝70°，
故答案为：70．
23．解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，
则DN＝BD，∠BDN＝60°，则△DNB为等边三角形，
对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，
故点B的坐标为（3，0），
由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，故点D（1，2），则点E（1，0），
则EB＝2＝DE，故△DBE为等腰直角三角形，则BD＝2，
过点N作直线NP⊥BD交BD于点H，交抛物线于点P，

∵DN＝NB，DE＝BE，则NP为BD的中垂线，
由BC的表达式知，∠OBC＝∠OCB＝45°，则∠PEB＝45°，
故设直线NP的表达式为y＝x+p，
将点E的坐标代入上式得：0＝1+p，解得p＝﹣1，
故直线NP的表达式为y＝x﹣1，
设点N的坐标为（m，m﹣1），
由BN＝DB得：（m﹣3）2+（m﹣1）2＝（2）2，解得m＝2±（舍去2+），
故点N的坐标为（2﹣，1﹣）；
过点M作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点G，交过点N与x轴的平行线于点K，
设点M的坐标为（s，t），
∵∠DMG+∠KMN＝90°，∠DMG+∠GDM＝90°，
∴∠KMN＝∠GDM，
∴∠MKN＝∠DGM＝90°，MD＝MN，
∴△MKN≌△DGM（AAS），
∴GD＝MK，MG＝KN，
∴，解得，
故点M的坐标为（1﹣，1），
当x＝s＝1﹣时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（1﹣）2+2（1﹣）+3＝1，
故点M在抛物线上；
（3）由（2）知，∠PNB＝30°，
①故当点P在x轴上方时，
直线NP的表达式为y＝x﹣1，
②当点P（P′）在x轴下方时，
∵∠P′NB＝30°，∠BND＝60°，则∠P′ND＝90°，
由点D、N的坐标得，直线ND的表达式为y＝（2+）x﹣，
则设直线NP′的表达式为y＝（﹣2）x+r，
将点N的坐标代入上式并解得r＝3﹣5，
故直线NP′的表达式为y＝（﹣2）x+3﹣5；
综上，直线NP的表达式为y＝x﹣1或y＝（﹣2）x+3﹣5．