北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试复习练习题

这是一份北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试复习练习题，共26页。

专题02 三角形的证明 易错题之填空题（40题）
等腰三角形 有关的易错题
1．（2020·贵州安顺市·八年级期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为__________．
【答案】60°或120°
【分析】
分别从△ABC是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】
解：如图（1），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠A=60°；
如图（2），
∵AB=AC，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵∠ABD=30°，
∴∠BAD=60°，
∴∠BAC=120°；
综上所述，它的顶角度数为：60°或120°．

【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
2．（2020·浙江嘉兴市·八年级期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　　度．
【答案】：
【分析】
根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，
∵CG=CD，
∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，
∵DF=DE，
∴∠E=15°．
故答案为15．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是关键.
3．（2020·江苏淮安市·八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则等腰三角形的周长是_____．
【答案】15
【分析】
分腰为3和腰为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．
【详解】
解：当腰为3时，3+3=6，
∴3、3、6不能组成三角形；
当腰为6时，3+6=9＞6，
∴3、6、6能组成三角形，
该三角形的周长为=3+6+6=15．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．
4．（2020·河北石家庄市·八年级期末）如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为________

【答案】120°或75°或30°
【解析】
∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，点E在射线OA上，
∴∠COE=30°.
如下图，当△OCE是等腰三角形时，存在以下三种情况：
（1）当OE=CE时，∠OCE=∠COE=30°，此时∠OEC=180°-30°-30°=120°；
（2）当OC=OE时，∠OEC=∠OCE==75°；
（3）当CO=CE时，∠OEC=∠COE=30°.
综上所述，当△OCE是等腰三角形时，∠OEC的度数为：120°或75°或30°.

点睛：在本题中，由于题中没有指明等腰△OCE的腰和底边，因此要分：（1）OE=CE；（2）OC=OE；（3）CO=CE；三种情况分别讨论，解题时不能忽略了其中任何一种情况.
5．（2020·山东枣庄市期末）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形．图中，____度．

【答案】36°.
【分析】
利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．
【详解】
，是等腰三角形，
度．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质． 解题关键在于知道n边形的内角和为：180°（n﹣2）．
6．（2020·山东聊城市·八年级期末）如图，在中，，点，都在边上，，若，则的长为_______.

【答案】9.
【分析】
根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可求解.
【详解】
因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质.
7．（2020·涡阳县期末）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________

【答案】3
【详解】
分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．
详解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
∵BD平分∠ABC交AC于D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC是等腰三角形．
∴共有3个等腰三角形．
故答案为3．
点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．
8．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12，则图中△BEF的面积为_______．

【答案】2
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可求出△ABD的面积，再根据点E、F是AD的三等分点，可得△BEF的面积为△ABD的面积的，依此即可求解．
【详解】
解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，S△ABC＝12，
∴S△ABD＝6，
∵点E、F是AD的三等分点，
∴S△BEF＝S△ABD＝2．
故答案为2.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质求出△ABD的面积是正确解答本题的关键．
9．（2020·吉林吉林市期末）已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为_______
【答案】等腰直角三角形．
【详解】
∵，∴c2－a2－b2=0，且a－b=0．
由c2－a2－b2=0得c2=a2＋b2，∴根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．
又由a－b=0得a=b，∴△ABC为等腰直角三角形．
10．（2020·山东青岛市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等边三角形，且点A的坐标为（-1,0），点B的坐标为（3,0），则点C的坐标为___________

【答案】（1,2）
【详解】

过点C作CD⊥y轴，垂足为D，
∵A的坐标为（-1,0），点B的坐标为（3,0），
∴AB=4,
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=4,AD=2,
在Rt△ABD中，由勾股定理得，CD=2,
∵OD=AD-AO=1,
∴点C的坐标为（1,2）.
故答案为（1,2）.
Part2 与 直角三角形 有关的易错题
11．（2020·四川阿坝藏族羌族自治州·八年级期末）如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为______．

【答案】45°
【分析】
分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数．
【详解】
如图，连接AC．

根据勾股定理可以得到：
AC=BC=，AB=，
∵，即，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．
12．（2020·辽阳县八年级期末）已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于_____．
【答案】
【分析】
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2=直角边×直角边÷2，就可以求出最长边的高．
【详解】
∵52+122=132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则S△ABC=×5×12=×13h，解得：h=．
故答案为．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理和利用三角形的面积公式求高．
13．（2020·内蒙古呼和浩特市·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，AD=3，若∠B=90°，则∠BCD的度数为____________________．

【答案】135°
【分析】
根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD=90°，进而得出答案．
【详解】
连接AC，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵CD=1，AD=3，AC=2，
∴AC2+CD2=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴∠DCB=90°+45°=135°，
故答案为135°．
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，能求出△ACD是直角三角形是解此题的关键．
14．（2020·青海西宁市·八年级期末）已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为_________时，这三条线段能组成一个直角三角形.
【答案】13或
【分析】
已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形的斜边和直角边二种情况下的结果，然后根据勾股定理解答．
【详解】
解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为=13；
当12为斜边时，第三条线段长为=；
故答案为13或．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并正确运用勾股定理逆定理是解题的关键，注意要分两种情况讨论．
15．（2020·贵州安顺市·八年级期末）在△中，若三边长分别为9、12、15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为______.
【答案】108
【详解】
∵在△ABC中，三条边的长度分别为9、12、15，
∵92+122=152，
∴△ABC是直角三角形，
∴用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是2××9×12=108
16．（2020·沈阳市八年级期末）如图，数轴上点A表示的数据为________．

【答案】﹣
【解析】
试题分析：先根据勾股定理求得OB的长，即可得到OA的长，从而得到结果.

∴数轴上点A表示的数据为
考点：勾股定理
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理，即可完成．
17．（2020·海林市八年级期末）一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是______．
【答案】
【分析】
设这个三角形的三边长分别为，再根据周长可求出x的值，从而可得三边长，然后利用勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，最后利用直角三角形的面积公式即可得．
【详解】
由题意，设这个三角形的三边长分别为
则
解得
则这个三角形的三边长分别为
又
这个三角形是直角三角形，且两直角边长分别为
则它的面积是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用等知识点，依据勾股定理的逆定理判定出这个三角形为直角三角形是解题关键．
18．（2020·湖北襄阳市·八年级期末）如图所示的网格是正方形网格，则__________°（点，，是网格线交点）．

【答案】45
【分析】
如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD. ，只需证△ADC是等腰直角三角形即可
【详解】
如下图,延长BA至网络中的点D处,连接CD

设正方形网络每一小格的长度为1
则根据网络，AB=，AD=，CD=，BC=5，∴BD=2
其中BD、DC、BC边长满足勾股定理逆定理
∴∠CDA=90°
∵AD=DC
∴△ADC是等腰直角三角形
∴∠DAC=45°
故答案为：45°
【点睛】
本题是在网格中考察勾股定理的逆定理，解题关键是延长BA，构造处△ABC的外角∠CAD
19．（2020·陕西宝鸡市·八年级期末）四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有______个直角三角形.
【答案】1
【详解】
∵四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，
∴可以组成三角形的有：5cm、8cm、12cm；5cm、12cm、13cm；8cm、12cm、13cm．
要组成直角三角形，
根据勾股定理两边的平方和等于第三边的平方，
则只有5cm、12cm、13cm的一组．
∴有1个直角三角形．
【点睛】
本题考查了1．勾股定理；2．三角形三边关系；3．勾股定理的逆定理．
20．（2020·浙江台州市·八年级期末）如图，在△ABC中，，，于，于，与交于，则______.

【答案】
【分析】
延长CH交AB于点F，利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．
【详解】
解：延长CH交AB于点F.
∵在△ABC中，三边的高交于一点，∴CF⊥AB，

∵，，，
∴∠ABC=45°，
∵CF⊥AB，
∴∠BCF=45°，
∵，
∴∠CHD=45°，
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
Part3 与 线段的垂直平分线 有关的易错题
21．（2020·张家界市八年级期末）如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_______．

【答案】13
【解析】
试题分析：已知DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
考点：线段的垂直平分线的性质.
22．（2020·宁夏石嘴山市期末）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．

【答案】56．
【分析】
先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
【详解】
如图，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF=∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-34°=56°，
∴∠α=56°．
故答案为：56.
23．（2020·江苏盐城市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．

【答案】
【详解】
分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；
详解：连接AD．

∵PQ垂直平分线段AB，
∴DA=DB，设DA=DB=x，
在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，
∴x2=32+（5﹣x）2，
解得x=，
∴CD=BC﹣DB=5﹣=，
故答案为．
点睛：本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24．（2020·江西赣州市·八年级期末）如图，在△ABC中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则△ABC的周长为______．

【答案】
【分析】
由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案．
【详解】
解： 是的垂直平分线．，


的周长

故答案为：
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
25．（2020·安徽合肥市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，若MN＝2，则NF=___________

【答案】1
【分析】
连接AN、AM，根据等腰三角形性质可知∠B=∠C=30°，利用线段垂直平分线定理可得BM=AM，AN=CN，根据等边对等角可知∠B=∠MAB，∠NAC=∠C，即可知道△AMN是等边三角形，进而得到AN的长，利用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，即可求得NF的长.
【详解】
如图，连接AN、AM，

∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵ME、NF分别垂直平分线段AB、AC
∴BM=AM，AN=CN，
∴∠B=∠MAB=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AMN=∠MAN=∠MNA=60°
∴△AMN是等边三角形，
∴AN=MN=2
在Rt△ANF中，∠NAF=30°
∴NF=AN=1
故答案为1
【点睛】
本题考点涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形以及含30°角的直角三角形，属于综合题，稍有难度，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
26．（2020·广东佛山市·八年级期末）如图，ED为△ABC的边AC的垂直平分线，且AB＝5，△BCE的周长为8，则BC＝________．

【答案】3
【分析】
根据相等垂直平分线性质得AE=CE,则△BCE周长：CE+BE+BC=AE+EB+BC =AB+BC,再代入数据，即可求解.
【详解】
解：∵ED垂直平分AC,
∴AE=CE,
∴△BCE周长CE+BE+BC=AE+EB+BC=AB+BC,
∵AB=5,△BCE周长=8，
∴BC=8-5=3.
【点睛】
本题考查等腰三角形性质及线段垂直平分线性质，得出△BCE周长=AB+BC是解此题关键.
27．（2020·江苏镇江市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝5cm，AC＝12cm，则△ABD的周长为_____cm．

【答案】18
【分析】
根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】
解：由勾股定理得，BC＝，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝18（cm），
故答案为：18．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
28．（2020·江苏南京市·）如图，在△ABC中，，，的垂直平分线交于点，垂足是，连接，则的度数为______．

【答案】
【分析】
先利用线段垂直平分线的性质得到EA=EB，则根据等腰三角形的性质得∠ABE=∠A=30°，再利用三角形内角和计算出∠ABC的度数，然后计算∠ABC-∠ABE即可．
【详解】
解：∵DE垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=30°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=（180°-30°）=75°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=75°-30°=45°．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．也考查了线段垂直平分线的性质．
29．（2020·河北唐山市期末）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE＝40°，则∠DBC＝_____．

【答案】15°．
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质得出DA=DB，∠AED=∠BED=90，即可得出∠A=∠ABD，∠BDE=∠ADE，然后根据直角三角形的两锐角互余和等腰三角形的性质分别求出∠ABD，
∠ABC的度数，即可求出∠DBC的度数．
【详解】
∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，
∴DA=DB，∠AED=∠BED=90，
∴∠A=∠ABD，∠BDE=∠ADE，
∵∠ADE＝40，
∴∠A=∠ABD=90＝50，
∵AB＝AC，
∴∠ABC=，
∴∠DBC＝∠ABC-∠ABD=15.
故答案为15.
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质.
30．（2020·湖北孝感市·八年级期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．

【答案】9．
【分析】
连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】
连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．
故答案为：9．

【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题.能根据轴对称的性质得出AM=MC，并由此得出MC+DM=MA+DM≥AD是解决此题的关键.
Part4 与 角平分线 有关的易错题
31．（2020·河北沧州市·八年级期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是_____．

【答案】42
【详解】
解：连接AO,可知AO平分∠BAC,由角平分线的性质可知
点O到AB、AC、BC的距离相等，
把求△ABC的面积转化为求△AOB、△AOC、△BOC的面积之和，
即

考点:角平分线的性质.
32．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是_____．

【答案】3
【分析】
过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．
【详解】
解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
×4×2+×AC×2＝7，
解得：AC＝3．
故答案为：3．

【点睛】
本题考查的知识点是角平分线的性质，根据角平分线的性质得出DE＝DF是解此题的关键．
33．（2020·江苏盐城市·八年级期末）在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为___．

【答案】4
【解析】
作DE⊥AB，则DE即为所求，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）．
∵CD=4，∴DE=4．
34．（2020·安徽阜阳市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：

①EF=BE+CF；
②∠BOC=90°+∠A；
③点O到△ABC各边的距离相等；
④设OD=m，AE+AF=n，则．
其中正确的结论是____．（填序号）
【答案】①②③
【分析】
由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形的内角和定理，即可求出②∠BOC=90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义可得△BEO和△CFO是等腰三角形可得①EF=BE+CF正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形的面积求法，设OD=m，AE+AF=n,则△AEF的面积=，④错误.
【详解】
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°，故②∠BOC=90°+∠A正确；
在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE,CF=OF,
∴EF=OE+OF=BE+CF，
即①EF=BE+CF正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于点N，连接AO，
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，即③点O到△ABC各边的距离相等正确；
∴S△AEF=S△AOE+ S△AOF=AE·OM+AF·OD=OD·（AE+AF）=mn，故④错误；
故选①②③

【点睛】
此题主要考查角平分线的性质，解题的关键是熟知等腰三角形的判定与性质.
35．（2020·四川巴中市·八年级期末）如图，△ABC的三边的长分别为，点是△ABC三个内角平分线的交点，则_____．

【答案】
【分析】
过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，根据角平分线性质求出PD=PE=PF，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】
解：如图，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，


∵P为△ABC三条角平分线的交点，
∴PD=PE=PF，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，
∴
=AB：BC：AC
=30：40：15
=6：8：3．
故答案为：6：8：3．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，角平分线性质的应用，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
36．（2020·四川眉山市·八年级期末）如图所示，已知△ABC的面积是36，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的周长是_____．

【答案】18
【详解】
如图，

过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=4，
∵S△ABC==2·△ABC的周长，
∴△ABC的周长=36÷2=18，
故答案为18.
【点睛】
本题考查了三角形面积公式和角平分线的性质.本题关键利用角平分线的性质得到三个小三角形的高相同，将大三角形的面积转化为周长与高的关系求解.
37．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图,为的平分线.,..则点到射线的距离为__________．

【答案】3
【解析】
分析：过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．
详解：过C作CF⊥AO．
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF．
∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3．
故答案为3．

点睛：本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
38．（2020·山西临汾市·八年级期末）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D，则∠ADC的度数为____

【答案】65°
【分析】
根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．
【详解】
根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，
∴∠CAD=25°；
在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，
∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；
故答案是：65°．
39．（2020·甘肃白银市八年级期末）如图所示，在△ABC中，，，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则的度数为（________）

【答案】30
【分析】
利用等腰三角形的性质可得出ABC的度数，再根据垂直平分线定理得出AD=BD，，继而可得出答案．
【详解】
解：

DE垂直平分AB


故答案为：30．
【点睛】
本题考查的知识点是等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．
40．（2020·贵州安顺市·八年级期末）如图，，，若，，则D到AB的距离为________。

【答案】4.
【分析】
作DE⊥AB，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得到答案．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，
∵BC=10，BD=6，
∴CD=BC-BD=4，
∵∠1=∠2，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等．