北师大版八年级下册第五章 分式与分式方程综合与测试复习练习题

专题17 分式与分式方程 易错题之解答题（20题）

 认识分式 有关的易错题

1．（2020·四川雅安市·八年级期末）先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值.

【答案】.

【分析】

首先将原分式化简，然后根据分式有意义的条件，求得的取值范围，再取值求解即可.

【详解】

解：原式，

的取值有

且且

且

当时，原式.

【点睛】

本题考查分式的化简求值，做题时应注意在给定的范围内取值，难度中等.

2．（2020·山西吕梁市·八年级期末）观察一下等式：

第1个等式：，

第2个等式：，

第3个等式：，

第4个等式：，

第5个等式：，

……

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第6个等式：________.

(2)写出你猜想的第个等式：________(用含的等式表示).

(3)证明(2)中的等式.

【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.

【分析】

（1）根据已知等式即可得；（2）根据等式规律可得到；（3）对等式右边利用分式的混合运算法则进行计算，即可验证.

【详解】

解：(1)；

(2)猜想：，

(3)证明：

右边，

左边，

左边右边，原等式成立，

所以猜想正确，第个等式为：

【点睛】

本题主要考查规律探索和分式的运算，能够找到规律是解题关键.

3．若a，b为实数，且，求3a﹣b的值．

【答案】2

【分析】

根据题意可得，解方程组可得a,b,再代入求值.

【详解】

解：∵，

∴，

解得，

∴3a﹣b=6﹣4=2．

故3a﹣b的值是2．

【点睛】

本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.

4．（2020·江西省宜春市八年级期中）已知分式，回答下列问题．

（1）若分式无意义，求x的取值范围；

（2）若分式的值是零，求x的值；

（3）若分式的值是正数，求x的取值范围．

【答案】（1）x＝；（2）x＝1；（3）＜x＜1．

【分析】

（1）分式无意义，分母值为零，进而可得2﹣3x＝0，再解即可；

（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，再解即可；

（3）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可．

【详解】

解：（1）由题意得：2﹣3x＝0，

解得：x＝；

（2）由题意得：x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，

解得：x＝1；

（3）由题意得：①，

此不等式组无解；

②，

解得：＜x＜1．

∴分式的值是正数时，＜x＜1．

【点睛】

此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的条件．

5．当字母取什么值时，下列各式有意义？

（1）（2）（3）（4）

（5）（6）

【答案】（1）；（2）x取任意实数；（3）且；（4）；（5）x取任意实数；（6）

【分析】

（1）根据二次根式的被开方数非负可得关于x的不等式，解不等式即得结果；

（2）根据非负数的性质可得结果；

（3）根据二次根式的被开方数非负和分式的分母不为0可得关于x的不等式组，解不等式组即得结果；

（4）根据二次根式的被开方数非负可得关于x的不等式组，解不等式组即得结果；

（5）根据完全平方式的性质即得结果；

（6）根据二次根式的被开方数非负可得关于x的不等式组，解不等式组即得结果．

【详解】

解：（1）由，解得，∴当时，有意义；

（2），，∴当x取任意实数时，有意义；

（3）由题意可得，解得，即且，∴当且时，有意义；

（4）根据题意，得：，解得，∴当时，有意义；

（5）∵不论x取任意实数，，∴当x取任意实数时有意义；

（6）由，，可得，∴当时，意义．

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件和一元一次不等式组的解法，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．

Part2 与 分式的乘除法 有关的易错题

6．（2020·山东聊城市·八年级期末）计算：

（1）；

（2）；

【答案】（1）；（2）

【分析】

(1)利用因式分解进一步约分化简即可.

（2）将除法转换为乘法，然利用因式分解进一步约分化简即可.

【详解】

（1）原式=

；

（2）原式

.

【点睛】

本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握相关方法是解题关键.

7．（2020·山东青岛市·八年级期末）计算：

（1）+（﹣2bc）×；

（2）先化简，再求值：（﹣1）•，其中x=﹣5．

【答案】（1）；（2），．

【分析】

（1）先计算乘法，再计算加法即可得；

（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．

【详解】

解：（1）原式=

（2）原式=

当x=﹣5时，

原式

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

8．（2020·竹溪县八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．

（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”的是　   　 （填写序号即可）；

（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值　   　 ；

（3）在分式运算中，我们也会用到判断和谐分式时所需要的知识，请你用所学知识，化简

【答案】（1）分式是和谐分式，故答案为：②；（2） （3）

【分析】

（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；
（2）根据和谐分式的定义可以得到a的值；
（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．

【详解】

解：（1）②分式，不可约分，

∴分式是和谐分式，

故答案为：②；

（2）∵分式 为和谐分式，且a为整数，

∴

【点睛】

本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答．

9．（2020·河北石家庄市·八年级期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：

（1）求被手遮住部分的代数式，并将其化简；

（2）原代数式的值能等于-1吗？请说明理由.

【答案】（1）；（2）原代数式的值不能等于-1，理由见详解

【分析】

(1) 设被手遮住部分的代数式为A，根据题意得出A的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可；
(2)令原代数式的值为−1，求出x的值，代入代数式中的式子进行验证即可．

【详解】

解：(1)设被手遮住部分的代数式为A，
则A=
=
=；
(2) 原代数式的值不能等于-1.

若原代数式的值为−1，则=-1，即x+1=−x+1，解得x=0，
当x=0时，除式=0，
故原代数式的值不能等于−1．

【点睛】

本题考查的是分式的化简求值，在解答此类提问题时要注意x的取值要保证每一个分式有意义．

10．（2020·江苏南通市·八年级期末）老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用“黑板擦”遮住原代数式的一部分，如图：

（1）求被“黑板擦”遮住部分的代数式，并将其化简；

（2）原代数式的值能等于吗？请说明理由.

【答案】（1）；（2）原代数式的值不能等于；理由详见解析

【分析】

（1）设被遮住的部分为A，进而通过分式的化简即可得解；

（2）令，求得x的值，进行判断即可的解.

【详解】

（1）设被遮住的部分为A，即

∴；

（2）令，解得，当时，

∵除数不能为0

∴原代数式的值不能等于.

【点睛】

本题主要考查了分式的化简及分式的意义，熟练掌握分式的相关计算是解决本题的关键.

Part3 与 分式的加减法 有关的易错题

11．（2020·云南红河哈尼族彝族自治州·八年级期末）先化简，再求值：，其中．

【答案】3.

【分析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．

【详解】

原式＝（+）•

＝•

＝2（x+2）

＝2x+4，

当x＝﹣时，

原式＝2×（﹣）+4

＝﹣1+4

＝3．

【点睛】

本题考查的知识点是分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值.

12．（2020·广东揭阳市·八年级期末）已知下面一列等式：

；；；；…

（1）请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式：

（2）验证一下你写出的等式是否成立；

（3）利用等式计算：.

【答案】（1）一般性等式为；（2）原式成立；详见解析；（3）.

【分析】

（1）先要根据已知条件找出规律；（2）根据规律进行逆向运算；（3）根据前两部结论进行计算.

【详解】

解：（1）由；；；；…，

知它的一般性等式为；

（2），

原式成立；

（3）

.

【点睛】

解答此题关键是找出规律，再根据规律进行逆向运算.

13．（2020·江西南昌市·八年级期末）已知.

（1）化简A；

（2）当满足不等式组，且为整数时，求A的值.

【答案】（1）；（2）1

【分析】

（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．

（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．

【详解】

（1）原式====

（2）不等式组的解集为1≤x＜3   

∵x为整数，

∴x＝1或x＝2，

①当x＝1时，

∵x﹣1≠0，

∴A＝中x≠1，

∴当x＝1时，A＝无意义．

②当x＝2时，

A＝＝

考点：分式的化简求值、一元一次不等式组.

14．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期末）先化简，再求值：，其中x=．

【答案】；；

【分析】

根据分式的运算法则进行化简计算.

【详解】

原式

当时，原式.

【点睛】

本题考查的是分式的运算，熟练掌握因式分解是解题的关键.

15．（2020·江苏南通市·八年级期末）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”，例如分式与互为“3阶分式”.

（1）分式与     互为“5阶分式”；

（2）设正数互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”；

（3）若分式与互为“1阶分式”（其中为正数），求的值.

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）

【分析】

（1）根据分式的加法，设所求分式为A，然后进行通分求解即可；

（2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解；

（3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解.

【详解】

（1）依题意，所求分式为A，即：，

∴；

（2）∵正数互为倒数

∴，即

∴

∴分式与互为“2阶分式”；

（3）由题意得，等式两边同乘

化简得：

即：

∴，即

∴或0

∵为正数

∴.

【点睛】

本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键.

Part4与 分式方程 有关的易错题

16．（2020·广东汕头市·八年级期末）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．

（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？

（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

【答案】（1）乙队单独完成需90天；（2）在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．

【分析】

（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1．

（2）根据题意，分别求出三种情况的费用，然后把在工期内的情况进行比较即可．

【详解】

解：（1）设乙队单独完成需x天．

根据题意，得：．

解这个方程得：x=90．

经检验，x=90是原方程的解．

∴乙队单独完成需90天．

（2）设甲、乙合作完成需y天，则有，

解得，y=36；

①甲单独完成需付工程款为：60×3.5=210（万元）．

②乙单独完成超过计划天数不符题意，

③甲、乙合作完成需付工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）．

答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．

【点睛】

本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

17．（2020·嘉峪关市八年级期末）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．

（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？

【答案】（1）乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．（2）10天.

【分析】

（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用=甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【详解】

（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，

根据题意得：，

解得：x=40，

经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，

∴x=×40=60，

答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米；

（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，

根据题意得：7m+5×≤145，

解得：m≥10，

答：至少安排甲队工作10天．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．

18．（2020·江西吉安市·八年级期末）若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．

【答案】x＝3或－3是原方程的增根；m＝6或12.

【解析】

试题分析：先根据方程有增根，可让最简公分母为0，且把分式方程化为整式方程，分别代入求解即可.

试题解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，

所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．

原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.

当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；

当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，

解得m＝12.

综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.

当x＝3时，m＝6；

当x＝－3时，m＝12.

点睛：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．

19．（2020·辽宁朝阳市·八年级期末）解分式方程：．

【答案】

【分析】

先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】

解：，

方程两边乘得：，

解得：，

检验：当时，．

所以原方程的解为．

【点睛】

本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

20．（2020·河南驻马店市·八年级期末）“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：

（1）A型自行车去年每辆售价多少元；

（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．

【答案】(1) 2000元；（2） A型车20辆，B型车40辆．

【分析】

（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．

【详解】

解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得

，

解得：x=2000．

经检验，x=2000是原方程的根．

答：去年A型车每辆售价为2000元；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得

y=a+（60﹣a），

y=﹣300a+36000．

∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，

∴60﹣a≤2a，

∴a≥20．

∵y=﹣300a+36000．

∴k=﹣300＜0，

∴y随a的增大而减小．

∴a=20时，y最大=30000元．

∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．

∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．

【点睛】

本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．