北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试习题

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专题01 三角形的证明 易错题之选择题（40题）
Part1 与 等腰三角形 有关的易错题
1．（2020·河南洛阳市·八年级期末）如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AE＝EC B．AE＝BE C．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE
【答案】C
【详解】
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠BAC=∠EBC．故选C．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．
2．（2020·广西河池市·八年级期末）等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（　　 ）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
【答案】B
【详解】
试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． ①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，
②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．
考点：等腰三角形的性质．
3．（2020·山东德州市·八年级期末）如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
根据周角的定义先求出∠BPC的度数，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，∠PBC即可求出；根据题意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD是轴对称图形，进而可得②③④正确．
【详解】
根据题意， ，
，
，正确；
根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，④正确；
∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD//BC，②正确；
∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，
∴PC⊥AB，③正确，
所以四个命题都正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.
4．（2020·杭州市八年级期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）

A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】D
【分析】
根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】
∵，
∴，，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
.
故答案为D.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
5．（2020·黑龙江绥化市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(　　)

A．40° B．36° C．30° D．25°
【答案】B
【分析】
根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．
6．（2020·江苏盐城市·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（　　）

A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】
根据等腰三角形的三线合一得出∠ADB=90°，再根据勾股定理得出BD的长，即可得出BC的长.
【详解】
在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
ADBC，BC=2BD.
∠ADB=90°
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD===4
BC=2BD=2×4=8.
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
7．（2020·安徽合肥市·八年级期末）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（　　）

A．36° B．60° C．72° D．108°
【答案】C
【分析】
根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．
【详解】
解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=36°，
∴∠1=∠A+∠ABD=72°，
故选C．
8．（2020·湖北黄石市·八年级期末）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】A
【分析】
先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论．
【详解】
∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键．
9．（2020·贵州省施秉县八年级期末）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】D
【详解】
解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，
解得x=4．
故选D．
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．
10．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（　　）

A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【解析】
分析：只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；
详解：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC
∵AD=AE，AB=AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，
∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，
∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，
∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确，
∴BE2=BC2-EC2=2AB2-（CD2-DE2）=2AB2-CD2+2AD2=2（AD2+AB2）-CD2．故④正确，
故选A．
点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
Part2 与 直角三角形 有关的易错题
11．（2020·吉林长春市·八年级期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是(　)
A． B．1,
C．6,7,8 D．2,3,4
【答案】B
【详解】
试题解析：A．（）2+（）2≠（）2，故该选项错误；
B．12+（）2=（）2,故该选项正确；
C．62+72≠82，故该选项错误；
D．22+32≠42，故该选项错误.
故选B.
考点：勾股定理.
12．（2020·浙江八年级期末）下列条件中，能判断是直角三角形的有（ ）
①；②；③；
④；⑤；⑥．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】
利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可得到结果．
【详解】
解：①，
∴，
∴∠C=90°，即△ABC为直角三角形；
②，
∴，
∴，
∴∠A=90°，即△ABC为直角三角形；
③，
∴=，即△ABC为直角三角形；
④，
∴可以假设∠A=6k，∠B=3k，∠C=2k，
∴6k+3k+2k=180°，
∴k=，
∴∠A=＞90°，即△ABC是钝角三角形；
⑤，
设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则x+2x+3x=180°，
解得x=30°，故∠C=3x=90°，即△ABC是直角三角形；
⑥，
设AB=3x，AC=4x，BC=5x，则（3x）2+（4x）2=（5x）2，即△ABC是直角三角形，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长符合勾股定理或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．
13．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）下列命题中，其逆命题成立的是有（ ） ．
①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
A．①③④ B．①②③ C．②④ D．① ④
【答案】D
【分析】
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．
【详解】
解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立；
②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，不成立；
④如果一个三角形是直角三角形，c为斜边，则a2+b2=c2，正确．
逆命题成立的有①④个；
故选：D．
【点睛】
此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，解体的关键是熟练掌握课本上的定理．
14．（2020·河北保定市·八年级期末）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.
解：由勾股定理得：
，，，
，即
∴△ABC是直角三角形，
设BC边上的高为h，
则，
∴.
故选A.
点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.
15．（2020·山东枣庄市·八年级期末）下列结论中，错误的有(　　)
①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；
②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90°；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；
④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
根据勾股定理可得①中第三条边长为5或，根据勾股定理逆定理可得②中应该是∠C=90°，根据三角形内角和定理计算出∠C=90°，可得③正确，再根据勾股定理逆定理可得④正确．
【详解】
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三条边长为5，说法错误，第三条边长为5或．
②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若+=，则∠A=90°，说法错误，应该是∠C=90°．
③△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，此时∠C=90°，则这个三角形是一个直角三角形，说法正确．
④若三角形的三边比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，说法正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
16．（2020·湖北十堰市·八年级期末）如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（ ）

A．24米2 B．36米2 C．48米2 D．72米2
【答案】B
【分析】
连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．
【详解】
连接AC，则由勾股定理得AC=5米，因为AC2+DC2=AD2，所以∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AC•DC=（3×4+5×12）=36米2．
故选B．

【点睛】
此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．
17．（2020·广东深圳市八年级期末）已知三角形的三边长为6,8,10，则这个三角形最长边上的高为（ ）
A．2.4 B．4.8 C．9.6 D．10
【答案】B
【分析】
先根据勾股定理的逆定理判定它是直角三角形，再利用直角三角形的面积作为相等关系求斜边上的高．
【详解】
解：∵62+82=102，
∴这个三角形是直角三角形，
∴边长为10的边上的高为6×8÷10=4.8．
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
18．（2020·贵州省施秉县八年级期末）如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE的度数为(     )

A．40° B．20° C．18° D．38°
【答案】B
【解析】
∵△ABC中已知∠B=36°，∠C=76，
∴∠BAC=68°．
∴∠BAD=∠DAC=34，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，
∴∠DAE=20°．
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质 和三角形内角和定理，属于基础题，根据已知条件善于找出题目中的能求出角的条件是解题的关键，在平时解题中要善于对题目进行分析.
19．（2020·上海市奉贤区八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（　　）
①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据垂直的定义得到∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠DCB=∠A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故②正确；同理得到∠ACD=∠BCE，故③正确；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故④错误．
【详解】
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠DCB+B=90°，
∵∠A+∠B=90，
∴∠DCB=∠A，
∴①正确；
∵CE是RtABC斜边AB上的中线，
∴EA=EC=EB，
∴∠ACE=∠A，
∴∠DCB=∠A，
∴∠DCB=∠ACE，
∴②正确；
∵EC=EB，
∴∠B=∠BCE，
∵∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90，
∴∠B= ∠ACD，
∴∠ACD= ∠BCE，
∴③正确；
∵BC与BE不一定相等，
∴∠BCE 与∠BEC 不一定相等，
∴④不正确；
∴正确的个数为3个，
故答案为C.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
20．（2020·北京昌平区·八年级期末）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】D
【分析】
根据三角形的外角的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．
【详解】
解：由题意得：

，
；
故选D．
【点睛】
本题主要考查三角形的外角及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．
Part3 与 线段的垂直平分线 有关的易错题
21．（2020·湖南娄底市·八年级期末）如图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为（ ）

A．6 B．5 C．4 D．
【答案】D
【分析】
根据ED是BC的垂直平分线、BD是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.
【详解】
∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE =3，
故选D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.
22．（2020·湖北荆州市·八年级期末）如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ）

A．8 B．10 C．11 D．13
【答案】A
【分析】
利用基本作图得到MN垂直平分AB，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AC+BC．
【详解】
由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
故选A．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
23．（2020·四川达州市·八年级期末）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ 　 ）

A． B． C．D．
【答案】B
【详解】
由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
故选B．
考点：作图—复杂作图
24．（2020·甘肃定西市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（ ）

A．80° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【分析】
首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，∠BAE=∠B．
【详解】
解：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠BAE=∠B=40°，
故选D．
25．（2020·贵州安顺市·八年级期末）如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（　　）

A．AB⊥CD B．OA=OB C．∠ACD=∠BDC D．∠ABC=∠CAB
【答案】A
【分析】
根据线段垂直平分线的性质定理即可得到结论．
【详解】
∵AC=AD，
∴点A在线段CD的垂直平分线上，
∵BC=BD，
∴点B在线段CD的垂直平分线上，
∴AB垂直平分CD，
∴AB⊥CD，
故选A．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键．
26．（2020·辽宁沈阳市期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）

A．48° B．36° C．30° D．24°
【答案】A
【解析】
试题分析：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°﹣24°=48°，故选A．
考点：线段垂直平分线的性质．
27．（2020·山东聊城市·八年级期末）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】
根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
【详解】
解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选择：D．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
28．（2020·山东济南市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）

A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
【答案】C
【分析】
连接、过作于，先求出、值，再求出、值，求出、值，代入求出即可．
【详解】

连接、，过作于
∵在中，，，
∴，
∴在中，
∴在中，

∴，
∵的垂直平分线
∴
同理
∵
∴
∴在中，

∴
同理
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质、含直角三角形的性质，利用特殊角、垂直平分线的性质添加辅助线是解题关键，通过添加的辅助线将复杂问题简单化，更容易转化边．
29．（2020·福建泉州市八年级期末）如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点．使，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案．
【详解】
解：∵且，
∴，
∴，
∴点是线段中垂线与的交点，
故选B
【点睛】
考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.
30．（2020·江西赣州市·八年级期末）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高所在直线的交点
【答案】C
【分析】
根据垂直平分线的性质即可得出结论．
【详解】
解：为使游戏公平，凳子应到点A、B、C的距离相等
根据线段垂直平分线的性质，则凳子应放的最适当的位置是在的三边中垂线的交点
故选C．
【点睛】
此题考查的是线段垂直平分线性质的应用，掌握垂直平分线的性质是解题关键．
Part4 与 角平分线 有关的易错题
31．（2020·石家庄市八年级期末）如图，已知在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（ ）

A．24 B．30 C．36 D．42
【答案】B
【分析】
过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，

∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，
∴DE=CD=4，
∴四边形的面积
故选B.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
32．（2020·河南南阳市·八年级期末）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【解析】
解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
再有公共边OP，根据“SSS”即得△OCP≌△ODP．
故选D．
33．（2020·河南信阳市·八年级期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（ ）

A．10 B．7 C．5 D．4
【答案】C
【详解】
试题分析：如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F,根据角平分线的性质可得DE=EF=2,所以△BCE的面积等于,故答案选C．

考点：角平分线的性质；三角形的面积公式．
34．（2020·石家庄市八年级期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是(　　)

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【答案】A
【分析】
过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】
如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，

∵两把完全相同的长方形直尺，
∴CE=CF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
35．（2020·湖南株洲市·八年级期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）

A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点
C．△ABC三条角平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点.
【答案】C
【分析】
由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．
【详解】
解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．
36．（2020·河南洛阳市·八年级期末）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
【详解】
由作法得，
∵，
∴平分，，
∵，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
37．（2020·广西北海市·八年级期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　 　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】B
【分析】
直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案．
【详解】
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE是解题关键．
38．（2020·广东佛山市·八年级期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　）

A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【详解】
分析：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．
解答：解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PA=PQ=2，
故选B．
39．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期末）如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为(　　)

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【详解】
试题分析：如图，过点P作PE⊥OB于点E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，∴PE=PD，∵PD=6，∴PE=6，即点P到OB的距离是6．故选A．

考点：角平分线的性质
40．（2020·江西赣州市·八年级期末）在Rt△ABC中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（ ）

A．3 B． C．2 D．6
【答案】A
【分析】
证明△ABD≌△AED即可得出DE的长．
【详解】
∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠B=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED，
∴DE=BE=3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．