北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试单元测试课时作业

这是一份北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试单元测试课时作业，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题04 三角形的证明 单元测试
（满分：100分 时间：90分钟）
班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________
一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．（2021·广东深圳市八年级期末）用一条长为的细绳围成一个边长为的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】
分情况讨论，的边是底或的边是腰，根据等腰三角形的性质求出腰长．
【详解】
解：若的边是底，则腰长是；
若的边是腰，则底是，这种情况不满足三角形的三边数量关系，舍去．
故选：D．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想求等腰三角形的腰长，需要注意结果要满足三角形三边的数量关系．
2．（2021·北京大兴区·八年级期末）如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（　　）

A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】
过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据直角三角形30°所对的边等于斜边的一半可得．
【详解】
解：如图，过点P作PE⊥OB于E，

∵∠AOB=30°,点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP=∠POB=15°，
∵OD=DP=2，
∴∠OPD=∠POB=15°，
∴∠PDE=30°，
∴PE=PD=1，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PC=PE=1，
故选：C．
【点睛】
此题考查的是角平分线的性质和直角三角形30°所对的边等于斜边的一半的应用、等腰三角形的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和直角三角形30°所对的边是斜边的一半是解题关键．
3．（2020·河北唐山市·八年级期末）如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（ ）

A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．
【详解】
如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.

∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD
∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×OD×(AB＋BC＋AC)＝×OD×8＝12
OD=3
故选：C
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．
4．（2018·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）如图， 是△ABC中边的垂直平分线，若厘米， 厘米，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再等量代换即可求得三角形的周长．
【详解】
解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴AB=AE+BE＝CE+BE＝10，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝10厘米+8厘米＝18厘米，
故选：B．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2020·山东潍坊市·八年级期末）如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）

A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB= CD
【答案】D
【分析】
根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，由已知，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】
添加的条件是AB＝CD；理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≅Rt△DCF (HL)．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
6．（2021·广西贵港市期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】
根据已知条件利用“边边边”证明△MOC≌△NOC，即可求解．
【详解】
解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意抽象出几何图形和条件是解题关键．
7．（2019·山东枣庄市·七年级期末）已知三边的垂直平分线的交点在的边上，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据三角形三边垂直平分线概念即可解题.
【详解】
解,由三角形的垂直平分线可知,锐角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的内部,直角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的斜边上,钝角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的外部.
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形垂直平分线的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为( )

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】
分析：过D作DE⊥AB，垂足为E，由角平分线的性质可知CD=DE，根据勾股定理可得出BE的长，再判断出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出AC=AE，根据勾股定理即可解答．
详解：过D作DE⊥AB，垂足为E，

∵∠1=∠2，又∠C=90°，即DC⊥AC，
∴CD=DE=1.5，
在Rt△BDE中，BE=，
∵CD=DE，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AB2=AC2+BC2，即（AC+2）2=AC2+（1.5+2.5）2，
解得AC=3．
故选C．
点睛：本题考查的是角平分线的性质及勾股定理，熟知角平分线的性质是解答此题的关键．
9．（2020·安徽宿州市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD＝5：2，则∠BAC＝( )

A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【解析】
点E是斜边AB的中点，ED⊥AB,∠B=∠DAB, ∠DAB=2x,
故2x+2x+5x=90°，故 x=10°，∠BAC=70°.
故选B.
10．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】

作DE⊥AB于E，
∵AB=10，S△ABD =15，
∴DE=3，
∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
故选A.
二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)
11．（2019·浙江宁波市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6 cm，则AB＝________cm．

【答案】12
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴AB=2CD=12，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
12．（2019·广东深圳市·七年级期末）△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40,其三条角平分线相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则_______.
【答案】
【分析】
根据角平分线的性质得，三角形ABC分成的三个三角形有一条相等的高，故三个三角形的面积之比等于该高所对的边之比.
【详解】
设边AB上的高为，边BC上的高为，边CA上的高为
由角平分线的性质得：
故

故答案为.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），掌握角平分线的性质是解题关键.
13．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是__.

【答案】15
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，
故答案为15．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（2020·四川成都市·七年级期末）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________．
【答案】
【详解】
分析：本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
详解：∵等腰三角形底角相等，
∴180°-50°×2=80°，
∴顶角为80°．
故答案为80°．
点睛：本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
15．（2020·浙江宁波市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，若∠B=35°，则∠CAD=________°.

【答案】20
【解析】
试题解析：在Rt△ABC中，∠B=35°，
∴∠CAB=90°-35°=55°，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=35°，
∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=55°-35°=20°．
故答案为20．
三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
1．（2021·广东深圳市八年级期末）用一条长为的细绳围成一个边长为的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】
分情况讨论，的边是底或的边是腰，根据等腰三角形的性质求出腰长．
【详解】
解：若的边是底，则腰长是；
若的边是腰，则底是，这种情况不满足三角形的三边数量关系，舍去．
故选：D．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想求等腰三角形的腰长，需要注意结果要满足三角形三边的数量关系．
2．（2021·北京大兴区·八年级期末）如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（　　）

A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】
过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据直角三角形30°所对的边等于斜边的一半可得．
【详解】
解：如图，过点P作PE⊥OB于E，

∵∠AOB=30°,点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP=∠POB=15°，
∵OD=DP=2，
∴∠OPD=∠POB=15°，
∴∠PDE=30°，
∴PE=PD=1，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PC=PE=1，
故选：C．
【点睛】
此题考查的是角平分线的性质和直角三角形30°所对的边等于斜边的一半的应用、等腰三角形的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和直角三角形30°所对的边是斜边的一半是解题关键．
3．（2020·河北唐山市·八年级期末）如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（ ）

A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．
【详解】
如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.

∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD
∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×OD×(AB＋BC＋AC)＝×OD×8＝12
OD=3
故选：C
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．
4．（2018·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）如图， 是△ABC中边的垂直平分线，若厘米， 厘米，则的周长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用线段垂直平分线的性质得AE＝CE，再等量代换即可求得三角形的周长．
【详解】
解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴AB=AE+BE＝CE+BE＝10，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝10厘米+8厘米＝18厘米，
故选：B．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2020·山东潍坊市·八年级期末）如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）

A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB= CD
【答案】D
【分析】
根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，由已知，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】
添加的条件是AB＝CD；理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≅Rt△DCF (HL)．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
6．（2021·广西贵港市期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】
根据已知条件利用“边边边”证明△MOC≌△NOC，即可求解．
【详解】
解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意抽象出几何图形和条件是解题关键．
7．（2019·山东枣庄市·七年级期末）已知三边的垂直平分线的交点在的边上，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【分析】
根据三角形三边垂直平分线概念即可解题.
【详解】
解,由三角形的垂直平分线可知,锐角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的内部,直角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的斜边上,钝角三角形三边的垂直平分线的交点在△ABC的外部.
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形垂直平分线的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为( )

A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】
分析：过D作DE⊥AB，垂足为E，由角平分线的性质可知CD=DE，根据勾股定理可得出BE的长，再判断出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出AC=AE，根据勾股定理即可解答．
详解：过D作DE⊥AB，垂足为E，

∵∠1=∠2，又∠C=90°，即DC⊥AC，
∴CD=DE=1.5，
在Rt△BDE中，BE=，
∵CD=DE，AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AB2=AC2+BC2，即（AC+2）2=AC2+（1.5+2.5）2，
解得AC=3．
故选C．
点睛：本题考查的是角平分线的性质及勾股定理，熟知角平分线的性质是解答此题的关键．
9．（2020·安徽宿州市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD＝5：2，则∠BAC＝( )

A．60° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【解析】
点E是斜边AB的中点，ED⊥AB,∠B=∠DAB, ∠DAB=2x,
故2x+2x+5x=90°，故 x=10°，∠BAC=70°.
故选B.
10．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】

作DE⊥AB于E，
∵AB=10，S△ABD =15，
∴DE=3，
∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
故选A.
11．（2019·浙江宁波市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6 cm，则AB＝________cm．

【答案】12
【分析】
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴AB=2CD=12，
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
12．（2019·广东深圳市·七年级期末）△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40,其三条角平分线相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则_______.
【答案】
【分析】
根据角平分线的性质得，三角形ABC分成的三个三角形有一条相等的高，故三个三角形的面积之比等于该高所对的边之比.
【详解】
设边AB上的高为，边BC上的高为，边CA上的高为
由角平分线的性质得：
故

故答案为.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），掌握角平分线的性质是解题关键.
13．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是__.

【答案】15
【分析】
根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DC，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，
故答案为15．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．（2020·四川成都市·七年级期末）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________．
【答案】
【详解】
分析：本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
详解：∵等腰三角形底角相等，
∴180°-50°×2=80°，
∴顶角为80°．
故答案为80°．
点睛：本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．
15．（2020·浙江宁波市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，若∠B=35°，则∠CAD=________°.

【答案】20
【解析】
试题解析：在Rt△ABC中，∠B=35°，
∴∠CAB=90°-35°=55°，
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠B=35°，
∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=55°-35°=20°．
故答案为20．

三、解答题
16．（2020·贵州毕节市·七年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=125°.求∠ACB和∠BAC的度数.

【答案】70°、40°.
【解析】
试题分析:根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE，根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC．
试题解析：∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∵∠ADC=125°，
∴∠CDE=55°，
∴∠DCE=90°﹣∠CDE=35°，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=70°，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=70°，
∴∠BAC=180﹣（∠B+∠ACB）=40°．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记性质是解题的关键．
17．（2020·湖南株洲市期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
【答案】（1）DE=3；（2）.
【分析】
（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；
（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积.
【详解】
（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴△ADB的面积为.
18．（2019·贵州毕节市·八年级期末）如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求：
(1)AD的长；
(2)△ABC的面积．

【答案】（1）AD＝3；（2）S△ABC＝9＋3.
【详解】
试题分析：（1）根据三角形内角和可得∠DAC=45°，根据等角对等边可得AD=CD，然后再根据勾股定理可计算出AD的长；
（2）根据三角形内角和可得∠BAD=30°，再根据直角三角形的性质可得AB=2BD，然后利用勾股定理计算出BD的长，进而可得BC的长，然后利用三角形的面积公式计算即可．
解：(1)∵∠C＝45°，AD是△ABC的边BC上的高，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.
∵AC2＝AD2＋CD2，∴62＝2AD2，∴AD＝3
(2)在Rt△ADB中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.
∵AB2＝BD2＋AD2，∴(2BD)2＝BD2＋AD2，BD＝.
∴S△ABC＝BC·AD＝ (BD＋DC)·AD＝×(＋3)×3＝9＋3.
19．（2020·湖北十堰市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，过B作BE⊥AD交AD于F，交AC于E．
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知AC=11，AB=6，求BD长．

【答案】（1）详见解析；（2）5.
【解析】
试题分析：（1）由垂直的定义得到由角平分线的定义得到∠EAF=∠BAF，根据三角形的内角和得到∠AEF=∠ABF，得到AE=AB，于是得到结论；
（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD=ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF=∠DBF，等量代换得到∠AED=∠ABD，于是得到结论．
试题解析：(1)证明：∵BE⊥AD，

又∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF=∠BAF，
又∵在△AEF和△ABF中

∴∠AEF=∠ABF，
∴AE=AB，
∴△ABE为等腰三角形；
(2)连接DE，
∵AE=AB，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BE，
∴BD=ED，
∴∠DEF=∠DBF，
∵∠AEF=∠ABF，
∴∠AED=∠ABD，
又∵∠ABC=2∠C，
∴∠AED=2∠C，
又∵△CED中，∠AED=∠C+∠EDC，
∴∠C=∠EDC，
∴EC=ED，
∴CE=BD.
∴BD=CE=AC−AE=AC−AB=11−6=5.

20．（2020·湖北荆州市·八年级期末）如图1，已知点B(0，6)，点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．
　　
　　图1　　　　　　　　　　图2　　　　　　　 　　　图3
(1)求证：DE＝BO；
(2)如图2，当点D恰好落在BC上时．
①求OC的长及点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；
③如图3，点M是线段BC上的动点(点B，C除外)，过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．
【答案】(1)证明见解析； (2)① ，； ②存在；；③不会变化，MH＋MG＝6．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，求得∠OCB=∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①由点B（0，6），得到OB=6，根据全等三角形的性质得到∠CDE=∠BOC=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEC=30°，求得CE=4，过E作EF⊥x轴于F，角三角形即可得到结论；②存在，如图d，当CE=CP=4时，当CE=PE，根据等腰三角形的性质即可得到结论；③不会变化，如图c，连接EM，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：(1)证明：∵△ODC和△EBC都是等边三角形，
∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°.
∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD，
即∠ECD＝∠BCO.
∴△DEC≌△OBC(SAS)．
∴DE＝BO.
(2)①∵△ODC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°.
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝30°.
设OC＝x，则BC＝2x，
∴x2＋62＝(2x)2.解得x＝2.
∴OC＝2，BC＝4.
∵△EBC是等边三角形，
∴BE＝BC＝4.
又∵∠OBE＝∠OBC＋∠CBE＝90°，
∴E(4，6)．
②若点P在C点左侧，则CP＝4，OP＝4－2＝2，点P的坐标为(－2，0)；
若点P在C点右侧，则OP＝2＋4＝6，点P的坐标为(6，0)．
③不会变化，MH＋MG＝6
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．