初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试单元测试测试题

专题04 三角形的证明 单元测试

（满分：100分 时间：90分钟）

班级_________     姓名_________     学号_________     分数_________

一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)

1．（2021·广东深圳市八年级期末）用一条长为的细绳围成一个边长为的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为（    ）

A． B． C．或 D．

2．（2021·北京大兴区·八年级期末）如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（　　）

A．3 B．2 C．1 D．

3．（2020·河北唐山市·八年级期末）如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（   ）

A．1 B．2

C．3 D．4

4．（2018·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）如图， 是中边的垂直平分线，若厘米， 厘米，则的周长为（     ）

A． B． C． D．

5．（2020·山东潍坊市·八年级期末）如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）

A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB= CD

6．（2021·广西贵港市期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M、N重合，过角尺顶点C作射线OC由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

7．（2019·山东枣庄市·七年级期末）已知三边的垂直平分线的交点在的边上，则的形状为（   ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝1.5，BD＝2.5，则AC的长为(    )

A．5 B．4 C．3 D．2

9．（2020·安徽宿州市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD＝5：2，则∠BAC＝(   )

A．60° B．70° C．80° D．90°

10．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)

11．（2019·浙江宁波市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝6 cm，则AB＝________cm．

12．（2019·广东深圳市·七年级期末）△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40,其三条角平分线相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则_______.

13．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是__.

14．（2020·四川成都市·七年级期末）等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________．

15．（2020·浙江宁波市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，若∠B=35°，则∠CAD=________°.

三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)

16．（2020·贵州毕节市·七年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC=125°.求∠ACB和∠BAC的度数.

【答案】70°、40°.

【解析】

试题分析:根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE，根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC．

试题解析：∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），

∵∠ADC=125°，

∴∠CDE=55°，

∴∠DCE=90°﹣∠CDE=35°，

又∵CD平分∠ACB，

∴∠ACB=2∠DCE=70°，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB=70°，

∴∠BAC=180﹣（∠B+∠ACB）=40°．

【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记性质是解题的关键．

17．（2020·湖南株洲市期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的长；

（2）求△ADB的面积．

【答案】（1）DE=3；（2）.

【分析】

（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；

（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积.

【详解】

（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE，

∵CD=3，

∴DE=3；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：，

∴△ADB的面积为.

18．（2019·贵州毕节市·八年级期末）如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6.求：

(1)AD的长；

(2)△ABC的面积．

【答案】（1）AD＝3；（2）S△ABC＝9＋3.

【详解】

试题分析：（1）根据三角形内角和可得∠DAC=45°，根据等角对等边可得AD=CD，然后再根据勾股定理可计算出AD的长；

（2）根据三角形内角和可得∠BAD=30°，再根据直角三角形的性质可得AB=2BD，然后利用勾股定理计算出BD的长，进而可得BC的长，然后利用三角形的面积公式计算即可．

解：(1)∵∠C＝45°，AD是△ABC的边BC上的高，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.

∵AC2＝AD2＋CD2，∴62＝2AD2，∴AD＝3

 (2)在Rt△ADB中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.

∵AB2＝BD2＋AD2，∴(2BD)2＝BD2＋AD2，BD＝.

∴S△ABC＝BC·AD＝ (BD＋DC)·AD＝×(＋3)×3＝9＋3.

19．（2020·湖北十堰市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，过B作BE⊥AD交AD于F，交AC于E．

（1）求证：△ABE为等腰三角形；

（2）已知AC=11，AB=6，求BD长．

【答案】（1）详见解析；（2）5.

【解析】

试题分析：（1）由垂直的定义得到由角平分线的定义得到∠EAF=∠BAF，根据三角形的内角和得到∠AEF=∠ABF，得到AE=AB，于是得到结论；
（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD=ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF=∠DBF，等量代换得到∠AED=∠ABD，于是得到结论．

试题解析：(1)证明：∵BE⊥AD，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠EAF=∠BAF，

又∵在△AEF和△ABF中

∴∠AEF=∠ABF，

∴AE=AB，

∴△ABE为等腰三角形；

(2)连接DE，

∵AE=AB，AD平分∠BAC，

∴AD垂直平分BE，

∴BD=ED，

∴∠DEF=∠DBF，

∵∠AEF=∠ABF，

∴∠AED=∠ABD，

又∵∠ABC=2∠C，

∴∠AED=2∠C，

又∵△CED中，∠AED=∠C+∠EDC，

∴∠C=∠EDC，

∴EC=ED，

∴CE=BD.

∴BD=CE=AC−AE=AC−AB=11−6=5.

20．（2020·湖北荆州市·八年级期末）如图1，已知点B(0，6)，点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．

　　图1　　　　　　　　　　图2　　　　　　　 　　　图3

(1)求证：DE＝BO；

(2)如图2，当点D恰好落在BC上时．

①求OC的长及点E的坐标；

②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；

③如图3，点M是线段BC上的动点(点B，C除外)，过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．

【答案】(1)证明见解析； (2)① ，； ②存在；；③不会变化，MH＋MG＝6．

【分析】

（1）根据等边三角形的性质得到BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，求得∠OCB=∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）①由点B（0，6），得到OB=6，根据全等三角形的性质得到∠CDE=∠BOC=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEC=30°，求得CE=4，过E作EF⊥x轴于F，角三角形即可得到结论；②存在，如图d，当CE=CP=4时，当CE=PE，根据等腰三角形的性质即可得到结论；③不会变化，如图c，连接EM，根据三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】

解：(1)证明：∵△ODC和△EBC都是等边三角形，

∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°.

∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD，

即∠ECD＝∠BCO.

∴△DEC≌△OBC(SAS)．

∴DE＝BO.

(2)①∵△ODC是等边三角形，

∴∠OCB＝60°.

∵∠BOC＝90°，

∴∠OBC＝30°.

设OC＝x，则BC＝2x，

∴x2＋62＝(2x)2.解得x＝2.

∴OC＝2，BC＝4.

∵△EBC是等边三角形，

∴BE＝BC＝4.

又∵∠OBE＝∠OBC＋∠CBE＝90°，

∴E(4，6)．

②若点P在C点左侧，则CP＝4，OP＝4－2＝2，点P的坐标为(－2，0)；

若点P在C点右侧，则OP＝2＋4＝6，点P的坐标为(6，0)．

③不会变化，MH＋MG＝6

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形面积的计算，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．