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初中数学北师大版八年级下册4 分式方程导学案及答案
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这是一份初中数学北师大版八年级下册4 分式方程导学案及答案，共31页。
《十六章 分式》复习
考点一 识别出分式
分式的定义：式子为的形式.A、B都是整式，并且B中都含有字母
1.下列各式中是分式的有 。
①9x+4， ② , ③, ④, ⑤， ⑥⑦
2、下列各式：其中分式共有（ ）个。
A、2 B、3 C、4 D、5
4．代数式 中，分式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点二 指出分式有意义或无意义时字母的取值范围
知识 分式 有意义只要满足 ，若分式 无意义只要满足 。
1.当x______时，有意义 ;当x____________时，分式无意义;
2.当x＝______时，分式有意义； 当x＝________时，分式没有意义．
当x 时，分式无意义；
3、当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4.写一个分式，使它满足当x≠4时有意义。_______________________________
考点三 指出分式的值为零时字母的取值
知识 分式＝0必须同时满足两个条件① ②
1.若分式的值为零,则x的值是( )
A.1或-1 B.1 C.-1 D.0
2.当x_______时，分式的值为零; 当x＝______时，分式的值为0．
3.当m=_________时，分式的值为0。
4.若分式的值等于0，则y= __________ ．
5.若分式的值为整数，则整数x=
6.当x 时，分式的值为零.
考点四 分式的基本性质
知识 一个分式的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的 ，分式的值不变。
1、如果把分式中的X、Y都扩大10倍，则分式的值是（ ）
A、扩大100倍 B、扩大10倍 C、不变 D、缩小到原来的
2．把分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
3、使分式从左至右变形成立的条件是（ ）
A、x<0 B、x>0 C、x≠0 D、x≠0且x≠3
4、不改变分式的值，把它的分式和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为（ ）
A、 B、 C、 D、
5．填写出未知的分子或分母：
（1）.
6．下列各式中正确的是（ ）
7、下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分（分子，分母是多项式要先因式分解）
1 约分 （1） （2）
（4）
2．化简分式：=________．
考点五 找最简公分母
．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.
方法：一般取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积。分母是多项式要先因式分解
1．的最简公分母是
和的最简公分母是
2．分式的最简公分母是_______．
考点六 简单分式的加减乘除四则运算
知识1 分式的乘除法法则：
和分数的乘法与除法法则一样。
只是分子、分母是多项式时，要先分解因式，再进行约分.
乘法法则： .
乘方法则： .
除法法则： .
1. 2. 8a2b4·
3． 4.
5．请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式．
知识2 分式的加减法则：同分母分式相加减：分母不变，分子相加减。
异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减。
6. 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”
小明的做法是：原式；
小亮的做法是：原式；
小芳的做法是：原式．
其中正确的是（ ）
A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的
7．计算:=_______________ ．
8．计算：＋＝ .
9 10
11 12.
13、化简－= ，
14.已知两个分式：，，其中，则A与B 的关系是（ ）
A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.A大于B
知识3 混合运算顺序是 ；
注意： 运算的结果要
⑴(＋)÷ ⑵
⑶ ⑷÷(x－).
⑸ （6）
2. 先化简，再选择一个你喜欢的数代入求值：
3．化简求值．
（1）（1+）÷（1－），其中x=－；（2），其中x=．
（3）÷（-1），其中=-2 （4），其中
4、已知。试说明不论x为何值，y的值不变。
考点七 识别出最简分式
知识 分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。也就是分子与分母不能再约分。
1. 分式:①,②,③,④ ⑤⑥中,最简分式有 个
2．下列分式中，最简分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点八 了解负整数指数幂的意义
知识 当n是正整数时，=（a≠0 ，无意义）
1． -3 -3= (-3) -3= =
2 计算
（1） （2）
（3） （4）
3 （1）当x_________时，
（2）（3） （4） （5）
4 （1）
（3） －3.2×
5（1） （2）
（3） （4）
考点九 用科学记数法表示绝对值小于1的小数
知识 科学记数法表示为，，n为整数
1. 用科学计数法表示
132000000= 0.0012= -0.000 305=
0.0000401＝___________×
考点十 解可化为一元一次方程的分式方程
分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.
解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
知识 通过去分母将分式方程化为整式方程。整式方程的解有可能使原分式方程中分母为0.这个解不是原分式方程的解。所以解分式方程一定要检验。
易错知识辨析：
（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.
（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.
12. 解方程：
① ②
（3）． （4）
（5） ＝ （6）
（7） （8）
（9）
6方程的解是x= ．
7．解方程会出现的增根是（ ）
A． B. C. 或 D.
8．（06泸州）如果分式与的值相等,则的值是( )
A．9 B．7 C．5 D．3
9．（08宜宾）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. ±1 D.2
10．（07江西）方程的解是 ．
11．(08福建)若关于方程无解，则的值是 ．
12. (08黄冈)分式方程的解是 ．
13. 以下是方程去分母、去括号后的结果，其中正确的是（ ）
A． B. C. D.
14．（08泰安）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
15. (06重庆)分式方程 的解是（ ）
A., B. ,
C. , D.
16．关于x的方程化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k的值为（ ）
A．3 B．0 C．±3 D．无法确定
17．使分式等于0的x值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．不存在
考点十一 利用分式方程解简单的实际问题
．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否
一 只列方程，不用解
1 甲做100个机器零件所用的时间和乙做60个所做的时间相等，又知每小时甲乙二人一共做35个机器零件，问甲乙每小时各做多少个机器零件？
2 农机厂职工到距离工厂15千米的生产队检修农机。一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行车的3倍，求两种车的速度。
3 工厂储存了240顿煤，若每天节约2吨，则可以比原来多用4天，问原来每天计划用多少吨煤？
4 A、B两地相距150千米，甲乙两车同时从A站出发，1小时后，甲车在乙车前12千米。最后乙车比甲车晚到25分钟，求两车的速度。
5 小明有一本280页的书，计划2周读完。当读到一半时，发现平均每天要多读21页，才能按时读完。求原来每天平均读几页？
二，列方程，解应用题
1. 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米/时，求船在静水中的速度是多少？
2． (08内江) 今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？
3.（07玉林）今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．
(1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?
(2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．
4. 面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？
（1）设购买电视机台，依题意填充下列表格：
项目
家电种类
购买数量（台）
原价购买总额（元）
政府补贴返还比例
补贴返还总金额（元）
每台补贴返还金额（元）
冰箱
40 000
13%
电视机
15 000
13%
（2）列出方程（组）并解答．
其他题型
1.当x> __________时，分式的值为正数．2.已知x+=3，则x2+= ________ ．
3、已知=3，则分式= 。 4、已知a2－6a+9与|b－1|互为相反数,则()÷(a+b)=______。 5、若非零实数a，b满足4a2+b2=4ab，则=_____。
6已知实数x满足4x2-4x+l=O，则代数式2x+的值为________．7、若分式的值为整数，则整数x=
9、按下列程序计算，把答案写在表格内：
n
平方
+n
n
-n
答案
(1)填写表格：
输入n
3
—2
—3
…
输出答案
1
1
1
1
…
(2)请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．
10．若2x+y=0，则的值为（ ）
A．－ C．1 D．无法确定
11．如果=3，则=（ ）
A． B．xy C．4 D．
12 ⑴ 已知 ，则 ＝ .
⑵（08芜湖）已知，则代数式的值为 .
第十七章 反比例函数（复习）
一、 反比例函数的概念： 班级： 姓名：
一般地 ，形如 y = ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式：
（A）y = （k ≠ 0） （B）xy = k（k ≠ 0） （C）y=kx-1（k≠0）
1、下列函数，① ②. ③ ④.⑤⑥ ；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。
2、函数是反比例函数，则的值是（ ）
A．－1 B．－2 C．2 D．2或－2
3、如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数
4、（1）如果是的正比例函数，是的反比例函数，那么是的_________________。
（2）如果是的正比例函数，是的正比例函数，那么是的_________________。
5、反比例函数的图象经过（—2，5）和（， ），求（1）的值；
（2）判断点B（，）是否在这个函数图象上，并说明理由。
6、已知函数，其中与成正比例, 与成反比例，且当＝1时，＝1；＝3时，
＝____________。求：（1）求关于的函数解析式； （2）当＝2时，的值．
二、反比例函数的图象和性质：
1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。
3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y随x的增大而________；
（2）当k<0时,_________________,y随x的增大而______。
4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交
5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k取
互为相反数的两个反比例函数（如：y = 和y = ）来说，它们是关于x轴，y轴___________。
1、写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ．
2、若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是（ ）
A、 －1或1; B、小于的任意实数; C、－1; Ｄ、不能确定
O
O
O
O
B
A
D
3、已知，函数和函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）
C
4、正比例函数和反比例函数的图象有 个交点．
5、正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，），
则＝ ．
6、 反比例函数y＝的图象过点P（－1.5，2），则k＝________．
7、 点P（2m－3，1）在反比例函数y＝ 的图象上，则m＝__________．
8、 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__________．
9、（1）下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．．
10、已知反比例函数的图象上有两点A（，），B（，），且，
则的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
11、若点（，）、（，）和（，）分别在反比例函数 的图象上，且
，则下列判断中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12、在反比例函数的图象上有两点和，
若时，，则的取值范围是 ．
13、正比例函数y=k1x(k1≠0)和反比例函数y= (k2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________.
反比例函数与三角形面积结合题型。
1、5、在同一直角坐标系中，函数y = 3x与的图象大致是（ ）
P
M（x,y）
2、反比例函数y=(k>0)在第一象限内的图象如图,点M(x,y)是图象上一点,MP垂直x轴于点P,
MQ垂直y轴于点Q；① 如果矩形OPMQ的面积为2，则k=_________;
② 如果△MOP的面积=____________.
总结：(1) 点 M(x,y) 是双曲线上任意一点,
则矩形OPMQ的面积是M P *M Q = ︳x︱︳y︱= ︳xy︱
O
A
C
B
(2) M P= ︳x︱, O P=︳y︱ ；S△MPO=MP* OP=︳x︱︳y︱ =︳xy︱
3、如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，
过点A作AB⊥轴于点B，连结BC．则ΔABC的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．随的取值改变而改变．
（第（5）题）
4、如图，RtΔABO的顶点A是双曲线与直线
在第二象限的交点，AB垂直轴于B，且S△ABO＝，
则反比例函数的解析式 ．
5、如图,在平面直角坐标系中，直线与双曲线在第一象限交于点A，
与轴交于点C，AB⊥轴，垂足为B，且＝1．求：
（1）求两个函数解析式； （2）求△ABC的面积．
三、反比例函数的应用：用反比例函数来解决实际问题的步骤：
由实验
获得数据
用描点法
画出图象
根据所画图象
判断函数类型
用待定系数法
求出函数解析式
用实验数据验证
1、一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则6小时可到达乙地．（1）写出时间t （时）关于速度v（千米／时）的函数关系式，说明比例系数的实际意义．
（2）因故这辆汽车需在5小时内从甲地到乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少？
2、关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=的图象都经过点A（-2，1）.
求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；
（3）△AOB的面积．
3、如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
4、已知反比例函数的图像与一次函数y=kx+m的图像相交于点A（2，1）.
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）当x取什么范围时，反比例函数值大于0；
（3）若一次函数与反比例函数另一交点为B，且纵坐标为-4，当x取什么范围时，反比例函数值大于一次函数的值；
（4）试判断点P（—1，5）关于x轴的对称点P‘是否在一次函数y=kx+m的图像上.
5、 某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？
（3）写出t与Q的关系式．
（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？
（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？
6、如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。
(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积。
人教版八年级下册勾股定理全章
类型一：等面积法求高
【例题】如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。
（1）求AB的长；
（2）求CD的长。
类型二：面积问题
A
B
C
D
7cmmmmmmmm
【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，
（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。
（2）求∠ADC的度数。
【练习2】如图，四边形是正方形，⊥，且=3，=4，阴影部分的面积是______.
【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194
类型三：距离最短问题
【例题】 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺A
B
C
D
L
设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
小河
A
B
东
北
牧童
小屋
类型四：判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
【练习1】已知△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
【练习2】若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.
【练习3】.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ）三角形A.直角 B.等腰 C.等腰直角D.等腰或直角
【练习4】三角形的三边长为,则这个三角形是( ) 三角形
（A）等边（B）钝角（C） 直角（D）锐角
类型五：直接考查勾股定理
【例题】在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。
【练习】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
类型六：构造应用勾股定理
【例题】如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
【练习】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
类型七：利用勾股定理作长为的线段
例1在数轴上表示的点。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。
【练习】在数轴上表示的点。
类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
类型九：生活问题
【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．
【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
【练习2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
【练习3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
类型十：翻折问题
【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
【练习2】如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的长。
第十九章四边形复习
一、主要知识点回顾
1. 四边形有关知识
⑴ n边形的内角和为 ．外角和为 ．
⑵ 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，
外角和增加 ．
⑶ n边形过每一个顶点的对角线有 条，n边形的对角线有 条．
2. 平面图形的镶嵌
⑴ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时，就拼成一个平面图形.
⑵ 只用一种正多边形铺满地面，请你写出这样的一种正多边形____________．
3．平行四边形的性质
（1）平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______.
（2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．（填“平行”或“垂直”）
（3）平行四边形的面积公式____________________.
4．平行四边形的判定
（1）定义法：________________________.
（2）边：________________________或_______________________．
（3）角：________________________．
（4）对角线：________________________．
5. 特殊的平行四边形的之间的关系
6. 特殊的平行四边形的判别条件
要使ABCD成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ；
要使ABCD成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ；
要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ ；
要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ .
7. 特殊的平行四边形的性质
边
角
对角线
矩形
菱形
正方形
8.梯形
（1）．梯形的面积公式是________________.
（2）．等腰梯形的性质：边 __________________________________.
角 __________________________________.
对角线 __________________________________.
（3） 等腰梯形的判别方法__________________________________.
（4） 梯形的中位线长等于__________________________.
二、例题精讲
例1. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC.求证：∠A+∠C=180°
变式练习1.已知，如图，□ABCD中，，∠BAD的平分线交BC边于点E．
求证：BE=CD．
例2. 已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分 ∠ABC、∠BCD，点E在AD上，BE=12 cm，CE=5 cm．求□ABCD的周长和面积．
变式练习2：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，CB=DC，AD⊥DB于点D,且∠A=60°，DC=2cm．
（1）求梯形ABCD的腰长；（2）求梯形ABCD的面积．
例3. 已知：如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形ABCD是矩形？并证明你结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你结论.
变式练习3：（2010青海）观察探究，完成证明和填空．
如图1，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（3）根据以上观察探究，请你总结形状由原什么决定？
（图1）（图2）
变式练习4：. 如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
求证：AD⊥EF．
三、巩固与提高
1. 若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是 。
2．ABCD中，∠B=30°，AB＝4 cm，BC=8 cm，则四边形ABCD的面积是_____.
3. 如图，等腰梯形ABCD的周长为18，腰AD=4，则等腰梯形ABCD的中位线EF= ．
（第3题） （第4题）
4.如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
5.如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，
求∠EBF的度数.
6. 已知：如图，在?ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，∠EAF=45°，AH⊥EF．
（1）求证：AH=AB；
（2）猜想与BE、DF的关系并给出证明．
四、自我检测
1.若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
2.四边形ABCD中，若∠A︰∠B︰∠C︰∠D＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形
是（ ）
A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形
3. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，对角线AC交EF于G，若BC=10cm，EF=8cm，则GF的长等于 cm．
4.如图所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A、OE=OF B、DE=BF C、∠ADE=∠CBF D、∠ABE=∠CDF
5.如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（ ）
A、8 B、6 C、4 D、3
6.如图，AB=CD，BF=ED，AE=CF，由这些条件能得出图中互相平行的线段共有（ ）
A、1组 B、2组 C、3组 D、4组
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
第二十章 数据的分析复习
一、知识点回顾
1、平均数：
在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为84分。已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？
2、中位数和众数
.一组数据23、27、20、18、X、12，它的中位数是21，则X的值是 .
.如果在一组数据中，23、25、28、22出现的次数依次为2、5、3、4次，并且没有其他的数据，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A.24、25 B.23、24 C.25、25 D.23、25
.在一次环保知识竞赛中，某班50名学生成绩如下表所示：
得分
50
60
70
80
90
100
110
120
人数
2
3
6
14
15
5
4
1
分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数.
3、极差和方差
.一组数据X、X…X的极差是8，则另一组数据2X+1、2X+1…，2X+1的极差是（ ）
A. 8 B.16 C.9 D.17
.如果样本方差，
那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .
二、专题练习
1、方程思想：
例：某次考试A、B、C、D、E这5名学生的平均分为62分，若学生A除外，其余学生的平均得分为60分，那么学生A的得分是_____________．
点拨：本题可以用统计学知识和方程组相结合来解决。
同类题连接：某班级组织一批学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可以少分摊3元，设原来参加春游的学生x人。可列方程：
2、分类讨论法：
例：汶川大地震牵动每个人的心，一方有难，八方支援，5位衢州籍在外打工人员也捐款献爱心。已知5人平均捐款560元(每人捐款数额均为百元的整数倍)，捐款数额最少的也捐了200元，最多的(只有1人)捐了800元，其中一人捐600元，600元恰好是5人捐款数额的中位数，那么其余两人的捐款数额分别是___________；
点拨：做题过程中要注意满足的条件。
同类题连接：数据 -1 , 3 , 0 , x 的极差是 5 ,则 x = .
3、平均数、中位数、众数在实际问题中的应用：
例：某班50人右眼视力检查结果如下表所示：
视力
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
1.0
1.2
1.5
人数
2
2
2
3
3
4
5
6
7
11
5
求该班学生右眼视力的平均数、众数与中位数．发表一下自己的看法。
4、方差在实际问题中的应用
例：甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射靶5次，各次命中的环数如下：
甲： 5 8 8 9 10
乙： 9 6 10 5 10
（1）分别计算每人的平均成绩；
（2）求出每组数据的方差；
（3）谁的射击成绩比较稳定？
三、自主探究
1、已知：1、2、3、4、5、这五个数的平均数是3，方差是2.
则：101、102、103、104、105、的平均数是 ，方差是 。
2、4、6、8、10、的平均数是 ，方差是 。
你会发现什么规律？
2、应用上面的规律填空：
若n个数据x1,x2……xn 的平均数为m，方差为w。
（1）n个新数据x1+100,x2+100, …… xn+100的平均数是 ，方差为 。
（2）n个新数据5x1,5x2, ……5xn的平均数 ，方差为 。
四、学以致用：
1、为了解我校八年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计.下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②800名学生是总体；③每名学生的期中考试数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200名学生是样本容量.其中正确的判断有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、x分、80分，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是（ ）
A.100分 B.95分 C.90分 D.85分
3、已知三年四班全班35人身高的算术平均数与中位数都是158厘米，但后来发现其中有一位同学的身高登记错误，误将160厘米写成166厘米，正确的平均数为a厘米，中位数为b厘米，关于平均数a的叙述，下列何者正确（ ）
A.大于158 B.小于158 C.等于158 D.无法确定
4、在上题中关于中位数b的叙述。下列何者正确 （ ）
A.大于158 B.小于158 C.等于158 D.无法确定
5、若一组数据a1，a2，…，an的方差是5，则一组新数据2a1，2a2，…，2an的方差是（ ）
A.5 B.10 C.20 D.50
6、在一次测验中，某学习小组的5名学生的成绩如下（单位：分）
68 、75、67、66、99
这组成绩的平均分= ,中位数M= ；若去掉一个最高分后的平均分= ；那么所求的，M，这三个数据中，你认为能描述该小组学生这次测验成绩的一般水平的数据是 .
7、从一个班抽测了6名男生的身高，将测得的每一个数据（单位：cm）都减去165.0cm，其结果如下： −1.2，0.1，−8.3，1.2，10.8，−7.0
这6名男生中最高身高与最低身高的差是 ___ ；这6名男生的平均身高约为 _ （结果保留到小数点后第一位）
8、已知一个样本：1，3，5，x，2，它的平均数为3，则这个样本的方差是 .
9、已知数据a，c，b，c，d，b，c，a且a＜b ＜c＜d，则这组数据的众数为________，中位数为________，
10、在数据－1，0，4，5，8中插入一个数x，使这组数据的中位数为3，则x＝
70
100
50
O
80
60
10
5
90
25
35
人数
成绩
（分）
11、某班同学进行知识竞赛，将所得成绩进行整理后，如右图：竞赛成绩的平均数为 _____ .
12、现有A、B两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测试，每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A班的成绩如下表所示，B班的成绩如右图所示．
A班
分数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人数
1
3
5
7
6
8
6
4
3
2
A班
分数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人数
1
3
5
7
6
8
6
4
3
2
3
8
10
18
B班
人数
分数
1
0
2
3
4
5
6
(1)由观察可知，______班的方差较大；
(2)若两班合计共有60人及格，问参加者最
少获______分才可以及格．
日期
一
二
三
四
五
方差
平均气温
最低气温
１
３
２
5
３
13、小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表：
日期
一
二
三
四
五
方差
平均气温
最低气温
1
3
2
5
3
由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据分别是 和 ．
14、某班有男同学27名，女同学21名，再一次语文测试中，男同学的平均分是82分，中位数是75，女同学的平均分是80分，中位数是80.
（1）求这次测试的全班平均分；（精确到0.01分）
（2）估计全班成绩在80分以下（包括80分）的同学至少有多少人？
（3）男同学的平均分与中位数相差较大，分析其原因主要是什么？
《十六章 分式》复习
考点一 识别出分式
分式的定义：式子为的形式.A、B都是整式，并且B中都含有字母
1.下列各式中是分式的有 。
①9x+4， ② , ③, ④, ⑤， ⑥⑦
2、下列各式：其中分式共有（ ）个。
A、2 B、3 C、4 D、5
4．代数式 中，分式的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点二 指出分式有意义或无意义时字母的取值范围
知识 分式 有意义只要满足 ，若分式 无意义只要满足 。
1.当x______时，有意义 ;当x____________时，分式无意义;
2.当x＝______时，分式有意义； 当x＝________时，分式没有意义．
当x 时，分式无意义；
3、当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
4.写一个分式，使它满足当x≠4时有意义。_______________________________
考点三 指出分式的值为零时字母的取值
知识 分式＝0必须同时满足两个条件① ②
1.若分式的值为零,则x的值是( )
A.1或-1 B.1 C.-1 D.0
2.当x_______时，分式的值为零; 当x＝______时，分式的值为0．
3.当m=_________时，分式的值为0。
4.若分式的值等于0，则y= __________ ．
5.若分式的值为整数，则整数x=
6.当x 时，分式的值为零.
考点四 分式的基本性质
知识 一个分式的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的 ，分式的值不变。
1、如果把分式中的X、Y都扩大10倍，则分式的值是（ ）
A、扩大100倍 B、扩大10倍 C、不变 D、缩小到原来的
2．把分式中的x，y都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍
3、使分式从左至右变形成立的条件是（ ）
A、x<0 B、x>0 C、x≠0 D、x≠0且x≠3
4、不改变分式的值，把它的分式和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为（ ）
A、 B、 C、 D、
5．填写出未知的分子或分母：
（1）.
6．下列各式中正确的是（ ）
7、下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分（分子，分母是多项式要先因式分解）
1 约分 （1） （2）
（4）
2．化简分式：=________．
考点五 找最简公分母
．通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.
方法：一般取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积。分母是多项式要先因式分解
1．的最简公分母是
和的最简公分母是
2．分式的最简公分母是_______．
考点六 简单分式的加减乘除四则运算
知识1 分式的乘除法法则：
和分数的乘法与除法法则一样。
只是分子、分母是多项式时，要先分解因式，再进行约分.
乘法法则： .
乘方法则： .
除法法则： .
1. 2. 8a2b4·
3． 4.
5．请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式．
知识2 分式的加减法则：同分母分式相加减：分母不变，分子相加减。
异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减。
6. 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”
小明的做法是：原式；
小亮的做法是：原式；
小芳的做法是：原式．
其中正确的是（ ）
A．小明 B．小亮 C．小芳 D．没有正确的
7．计算:=_______________ ．
8．计算：＋＝ .
9 10
11 12.
13、化简－= ，
14.已知两个分式：，，其中，则A与B 的关系是（ ）
A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.A大于B
知识3 混合运算顺序是 ；
注意： 运算的结果要
⑴(＋)÷ ⑵
⑶ ⑷÷(x－).
⑸ （6）
2. 先化简，再选择一个你喜欢的数代入求值：
3．化简求值．
（1）（1+）÷（1－），其中x=－；（2），其中x=．
（3）÷（-1），其中=-2 （4），其中
4、已知。试说明不论x为何值，y的值不变。
考点七 识别出最简分式
知识 分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。也就是分子与分母不能再约分。
1. 分式:①,②,③,④ ⑤⑥中,最简分式有 个
2．下列分式中，最简分式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考点八 了解负整数指数幂的意义
知识 当n是正整数时，=（a≠0 ，无意义）
1． -3 -3= (-3) -3= =
2 计算
（1） （2）
（3） （4）
3 （1）当x_________时，
（2）（3） （4） （5）
4 （1）
（3） －3.2×
5（1） （2）
（3） （4）
考点九 用科学记数法表示绝对值小于1的小数
知识 科学记数法表示为，，n为整数
1. 用科学计数法表示
132000000= 0.0012= -0.000 305=
0.0000401＝___________×
考点十 解可化为一元一次方程的分式方程
分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.
解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
知识 通过去分母将分式方程化为整式方程。整式方程的解有可能使原分式方程中分母为0.这个解不是原分式方程的解。所以解分式方程一定要检验。
易错知识辨析：
（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.
（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.
（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.
12. 解方程：
① ②
（3）． （4）
（5） ＝ （6）
（7） （8）
（9）
6方程的解是x= ．
7．解方程会出现的增根是（ ）
A． B. C. 或 D.
8．（06泸州）如果分式与的值相等,则的值是( )
A．9 B．7 C．5 D．3
9．（08宜宾）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. ±1 D.2
10．（07江西）方程的解是 ．
11．(08福建)若关于方程无解，则的值是 ．
12. (08黄冈)分式方程的解是 ．
13. 以下是方程去分母、去括号后的结果，其中正确的是（ ）
A． B. C. D.
14．（08泰安）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
15. (06重庆)分式方程 的解是（ ）
A., B. ,
C. , D.
16．关于x的方程化为整式方程后，会产生一个解使得原分式方程的最简公分母为0，则k的值为（ ）
A．3 B．0 C．±3 D．无法确定
17．使分式等于0的x值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．不存在
考点十一 利用分式方程解简单的实际问题
．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否
一 只列方程，不用解
1 甲做100个机器零件所用的时间和乙做60个所做的时间相等，又知每小时甲乙二人一共做35个机器零件，问甲乙每小时各做多少个机器零件？
2 农机厂职工到距离工厂15千米的生产队检修农机。一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行车的3倍，求两种车的速度。
3 工厂储存了240顿煤，若每天节约2吨，则可以比原来多用4天，问原来每天计划用多少吨煤？
4 A、B两地相距150千米，甲乙两车同时从A站出发，1小时后，甲车在乙车前12千米。最后乙车比甲车晚到25分钟，求两车的速度。
5 小明有一本280页的书，计划2周读完。当读到一半时，发现平均每天要多读21页，才能按时读完。求原来每天平均读几页？
二，列方程，解应用题
1. 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米/时，求船在静水中的速度是多少？
2． (08内江) 今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？
3.（07玉林）今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．
(1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?
(2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．
4. 面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台？
（1）设购买电视机台，依题意填充下列表格：
项目
家电种类
购买数量（台）
原价购买总额（元）
政府补贴返还比例
补贴返还总金额（元）
每台补贴返还金额（元）
冰箱
40 000
13%
电视机
15 000
13%
（2）列出方程（组）并解答．
其他题型
1.当x> __________时，分式的值为正数．2.已知x+=3，则x2+= ________ ．
3、已知=3，则分式= 。 4、已知a2－6a+9与|b－1|互为相反数,则()÷(a+b)=______。 5、若非零实数a，b满足4a2+b2=4ab，则=_____。
6已知实数x满足4x2-4x+l=O，则代数式2x+的值为________．7、若分式的值为整数，则整数x=
9、按下列程序计算，把答案写在表格内：
n
平方
+n
n
-n
答案
(1)填写表格：
输入n
3
—2
—3
…
输出答案
1
1
1
1
…
(2)请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．
10．若2x+y=0，则的值为（ ）
A．－ C．1 D．无法确定
11．如果=3，则=（ ）
A． B．xy C．4 D．
12 ⑴ 已知 ，则 ＝ .
⑵（08芜湖）已知，则代数式的值为 .
第十七章 反比例函数（复习）
一、 反比例函数的概念： 班级： 姓名：
一般地 ，形如 y = ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式：
（A）y = （k ≠ 0） （B）xy = k（k ≠ 0） （C）y=kx-1（k≠0）
1、下列函数，① ②. ③ ④.⑤⑥ ；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。
2、函数是反比例函数，则的值是（ ）
A．－1 B．－2 C．2 D．2或－2
3、如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（ ）
A．反比例函数 B．正比例函数 C．一次函数 D．反比例或正比例函数
4、（1）如果是的正比例函数，是的反比例函数，那么是的_________________。
（2）如果是的正比例函数，是的正比例函数，那么是的_________________。
5、反比例函数的图象经过（—2，5）和（， ），求（1）的值；
（2）判断点B（，）是否在这个函数图象上，并说明理由。
6、已知函数，其中与成正比例, 与成反比例，且当＝1时，＝1；＝3时，
＝____________。求：（1）求关于的函数解析式； （2）当＝2时，的值．
二、反比例函数的图象和性质：
1、形状：图象是双曲线。
2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。
3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y随x的增大而________；
（2）当k<0时,_________________,y随x的增大而______。
4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交
5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k取
互为相反数的两个反比例函数（如：y = 和y = ）来说，它们是关于x轴，y轴___________。
1、写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限 ．
2、若反比例函数的图象在第二、四象限，则的值是（ ）
A、 －1或1; B、小于的任意实数; C、－1; Ｄ、不能确定
O
O
O
O
B
A
D
3、已知，函数和函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）
C
4、正比例函数和反比例函数的图象有 个交点．
5、正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（1，），
则＝ ．
6、 反比例函数y＝的图象过点P（－1.5，2），则k＝________．
7、 点P（2m－3，1）在反比例函数y＝ 的图象上，则m＝__________．
8、 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__________．
9、（1）下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．．
10、已知反比例函数的图象上有两点A（，），B（，），且，
则的值是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
11、若点（，）、（，）和（，）分别在反比例函数 的图象上，且
，则下列判断中正确的是（ ）
A． B． C． D．
12、在反比例函数的图象上有两点和，
若时，，则的取值范围是 ．
13、正比例函数y=k1x(k1≠0)和反比例函数y= (k2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________.
反比例函数与三角形面积结合题型。
1、5、在同一直角坐标系中，函数y = 3x与的图象大致是（ ）
P
M（x,y）
2、反比例函数y=(k>0)在第一象限内的图象如图,点M(x,y)是图象上一点,MP垂直x轴于点P,
MQ垂直y轴于点Q；① 如果矩形OPMQ的面积为2，则k=_________;
② 如果△MOP的面积=____________.
总结：(1) 点 M(x,y) 是双曲线上任意一点,
则矩形OPMQ的面积是M P *M Q = ︳x︱︳y︱= ︳xy︱
O
A
C
B
(2) M P= ︳x︱, O P=︳y︱ ；S△MPO=MP* OP=︳x︱︳y︱ =︳xy︱
3、如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，
过点A作AB⊥轴于点B，连结BC．则ΔABC的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．随的取值改变而改变．
（第（5）题）
4、如图，RtΔABO的顶点A是双曲线与直线
在第二象限的交点，AB垂直轴于B，且S△ABO＝，
则反比例函数的解析式 ．
5、如图,在平面直角坐标系中，直线与双曲线在第一象限交于点A，
与轴交于点C，AB⊥轴，垂足为B，且＝1．求：
（1）求两个函数解析式； （2）求△ABC的面积．
三、反比例函数的应用：用反比例函数来解决实际问题的步骤：
由实验
获得数据
用描点法
画出图象
根据所画图象
判断函数类型
用待定系数法
求出函数解析式
用实验数据验证
1、一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则6小时可到达乙地．（1）写出时间t （时）关于速度v（千米／时）的函数关系式，说明比例系数的实际意义．
（2）因故这辆汽车需在5小时内从甲地到乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少？
2、关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=的图象都经过点A（-2，1）.
求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两函数图象的另一个交点B的坐标；
（3）△AOB的面积．
3、如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
4、已知反比例函数的图像与一次函数y=kx+m的图像相交于点A（2，1）.
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）当x取什么范围时，反比例函数值大于0；
（3）若一次函数与反比例函数另一交点为B，且纵坐标为-4，当x取什么范围时，反比例函数值大于一次函数的值；
（4）试判断点P（—1，5）关于x轴的对称点P‘是否在一次函数y=kx+m的图像上.
5、 某蓄水池的排水管每小时排水8m3，6小时可将满池水全部排空．
（1）蓄水池的容积是多少？
（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？
（3）写出t与Q的关系式．
（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？
（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m3，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？
6、如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。
(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积。
人教版八年级下册勾股定理全章
类型一：等面积法求高
【例题】如图，△ABC中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D。
（1）求AB的长；
（2）求CD的长。
类型二：面积问题
A
B
C
D
7cmmmmmmmm
【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，
（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。
（2）求∠ADC的度数。
【练习2】如图，四边形是正方形，⊥，且=3，=4，阴影部分的面积是______.
【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194
类型三：距离最短问题
【例题】 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺A
B
C
D
L
设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？
【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
小河
A
B
东
北
牧童
小屋
类型四：判断三角形的形状
【例题】如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
【练习1】已知△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
【练习2】若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.
【练习3】.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ）三角形A.直角 B.等腰 C.等腰直角D.等腰或直角
【练习4】三角形的三边长为,则这个三角形是( ) 三角形
（A）等边（B）钝角（C） 直角（D）锐角
类型五：直接考查勾股定理
【例题】在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。
【练习】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
类型六：构造应用勾股定理
【例题】如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
【练习】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
类型七：利用勾股定理作长为的线段
例1在数轴上表示的点。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。
【练习】在数轴上表示的点。
类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法
【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
类型九：生活问题
【例题】如下左图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．
【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
【练习2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
【练习3】如上右图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.
类型十：翻折问题
【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
【练习2】如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的长。
第十九章四边形复习
一、主要知识点回顾
1. 四边形有关知识
⑴ n边形的内角和为 ．外角和为 ．
⑵ 如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，
外角和增加 ．
⑶ n边形过每一个顶点的对角线有 条，n边形的对角线有 条．
2. 平面图形的镶嵌
⑴ 当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____________时，就拼成一个平面图形.
⑵ 只用一种正多边形铺满地面，请你写出这样的一种正多边形____________．
3．平行四边形的性质
（1）平行四边形对边______，对角______；角平分线______；邻角______.
（2）平行四边形两个邻角的平分线互相______，两个对角的平分线互相______．（填“平行”或“垂直”）
（3）平行四边形的面积公式____________________.
4．平行四边形的判定
（1）定义法：________________________.
（2）边：________________________或_______________________．
（3）角：________________________．
（4）对角线：________________________．
5. 特殊的平行四边形的之间的关系
6. 特殊的平行四边形的判别条件
要使ABCD成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ；
要使ABCD成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ；
要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ ；
要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ .
7. 特殊的平行四边形的性质
边
角
对角线
矩形
菱形
正方形
8.梯形
（1）．梯形的面积公式是________________.
（2）．等腰梯形的性质：边 __________________________________.
角 __________________________________.
对角线 __________________________________.
（3） 等腰梯形的判别方法__________________________________.
（4） 梯形的中位线长等于__________________________.
二、例题精讲
例1. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC.求证：∠A+∠C=180°
变式练习1.已知，如图，□ABCD中，，∠BAD的平分线交BC边于点E．
求证：BE=CD．
例2. 已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分 ∠ABC、∠BCD，点E在AD上，BE=12 cm，CE=5 cm．求□ABCD的周长和面积．
变式练习2：如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，CB=DC，AD⊥DB于点D,且∠A=60°，DC=2cm．
（1）求梯形ABCD的腰长；（2）求梯形ABCD的面积．
例3. 已知：如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形ABCD是矩形？并证明你结论；
（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你结论.
变式练习3：（2010青海）观察探究，完成证明和填空．
如图1，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（3）根据以上观察探究，请你总结形状由原什么决定？
（图1）（图2）
变式练习4：. 如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
求证：AD⊥EF．
三、巩固与提高
1. 若一个多边形的内角和是外角和的5倍，则这个多边形的边数是 。
2．ABCD中，∠B=30°，AB＝4 cm，BC=8 cm，则四边形ABCD的面积是_____.
3. 如图，等腰梯形ABCD的周长为18，腰AD=4，则等腰梯形ABCD的中位线EF= ．
（第3题） （第4题）
4.如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
5.如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，
求∠EBF的度数.
6. 已知：如图，在?ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD上的点，∠EAF=45°，AH⊥EF．
（1）求证：AH=AB；
（2）猜想与BE、DF的关系并给出证明．
四、自我检测
1.若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（ ）
A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形
2.四边形ABCD中，若∠A︰∠B︰∠C︰∠D＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形
是（ ）
A．梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．任意四边形
3. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，对角线AC交EF于G，若BC=10cm，EF=8cm，则GF的长等于 cm．
4.如图所示，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（ ）
A、OE=OF B、DE=BF C、∠ADE=∠CBF D、∠ABE=∠CDF
5.如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（ ）
A、8 B、6 C、4 D、3
6.如图，AB=CD，BF=ED，AE=CF，由这些条件能得出图中互相平行的线段共有（ ）
A、1组 B、2组 C、3组 D、4组
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
第二十章 数据的分析复习
一、知识点回顾
1、平均数：
在一次英语口试中，已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人，其余为84分。已知该班平均成绩为80分，问该班有多少人？
2、中位数和众数
.一组数据23、27、20、18、X、12，它的中位数是21，则X的值是 .
.如果在一组数据中，23、25、28、22出现的次数依次为2、5、3、4次，并且没有其他的数据，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A.24、25 B.23、24 C.25、25 D.23、25
.在一次环保知识竞赛中，某班50名学生成绩如下表所示：
得分
50
60
70
80
90
100
110
120
人数
2
3
6
14
15
5
4
1
分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数.
3、极差和方差
.一组数据X、X…X的极差是8，则另一组数据2X+1、2X+1…，2X+1的极差是（ ）
A. 8 B.16 C.9 D.17
.如果样本方差，
那么这个样本的平均数为 .样本容量为 .
二、专题练习
1、方程思想：
例：某次考试A、B、C、D、E这5名学生的平均分为62分，若学生A除外，其余学生的平均得分为60分，那么学生A的得分是_____________．
点拨：本题可以用统计学知识和方程组相结合来解决。
同类题连接：某班级组织一批学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可以少分摊3元，设原来参加春游的学生x人。可列方程：
2、分类讨论法：
例：汶川大地震牵动每个人的心，一方有难，八方支援，5位衢州籍在外打工人员也捐款献爱心。已知5人平均捐款560元(每人捐款数额均为百元的整数倍)，捐款数额最少的也捐了200元，最多的(只有1人)捐了800元，其中一人捐600元，600元恰好是5人捐款数额的中位数，那么其余两人的捐款数额分别是___________；
点拨：做题过程中要注意满足的条件。
同类题连接：数据 -1 , 3 , 0 , x 的极差是 5 ,则 x = .
3、平均数、中位数、众数在实际问题中的应用：
例：某班50人右眼视力检查结果如下表所示：
视力
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
1.0
1.2
1.5
人数
2
2
2
3
3
4
5
6
7
11
5
求该班学生右眼视力的平均数、众数与中位数．发表一下自己的看法。
4、方差在实际问题中的应用
例：甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射靶5次，各次命中的环数如下：
甲： 5 8 8 9 10
乙： 9 6 10 5 10
（1）分别计算每人的平均成绩；
（2）求出每组数据的方差；
（3）谁的射击成绩比较稳定？
三、自主探究
1、已知：1、2、3、4、5、这五个数的平均数是3，方差是2.
则：101、102、103、104、105、的平均数是 ，方差是 。
2、4、6、8、10、的平均数是 ，方差是 。
你会发现什么规律？
2、应用上面的规律填空：
若n个数据x1,x2……xn 的平均数为m，方差为w。
（1）n个新数据x1+100,x2+100, …… xn+100的平均数是 ，方差为 。
（2）n个新数据5x1,5x2, ……5xn的平均数 ，方差为 。
四、学以致用：
1、为了解我校八年级800名学生期中数学考试情况，从中抽取了200名学生的数学成绩进行统计.下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②800名学生是总体；③每名学生的期中考试数学成绩是个体；④200名学生是总体的一个样本；⑤200名学生是样本容量.其中正确的判断有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为90分、90分、x分、80分，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是（ ）
A.100分 B.95分 C.90分 D.85分
3、已知三年四班全班35人身高的算术平均数与中位数都是158厘米，但后来发现其中有一位同学的身高登记错误，误将160厘米写成166厘米，正确的平均数为a厘米，中位数为b厘米，关于平均数a的叙述，下列何者正确（ ）
A.大于158 B.小于158 C.等于158 D.无法确定
4、在上题中关于中位数b的叙述。下列何者正确 （ ）
A.大于158 B.小于158 C.等于158 D.无法确定
5、若一组数据a1，a2，…，an的方差是5，则一组新数据2a1，2a2，…，2an的方差是（ ）
A.5 B.10 C.20 D.50
6、在一次测验中，某学习小组的5名学生的成绩如下（单位：分）
68 、75、67、66、99
这组成绩的平均分= ,中位数M= ；若去掉一个最高分后的平均分= ；那么所求的，M，这三个数据中，你认为能描述该小组学生这次测验成绩的一般水平的数据是 .
7、从一个班抽测了6名男生的身高，将测得的每一个数据（单位：cm）都减去165.0cm，其结果如下： −1.2，0.1，−8.3，1.2，10.8，−7.0
这6名男生中最高身高与最低身高的差是 ___ ；这6名男生的平均身高约为 _ （结果保留到小数点后第一位）
8、已知一个样本：1，3，5，x，2，它的平均数为3，则这个样本的方差是 .
9、已知数据a，c，b，c，d，b，c，a且a＜b ＜c＜d，则这组数据的众数为________，中位数为________，
10、在数据－1，0，4，5，8中插入一个数x，使这组数据的中位数为3，则x＝
70
100
50
O
80
60
10
5
90
25
35
人数
成绩
（分）
11、某班同学进行知识竞赛，将所得成绩进行整理后，如右图：竞赛成绩的平均数为 _____ .
12、现有A、B两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测试，每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A班的成绩如下表所示，B班的成绩如右图所示．
A班
分数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人数
1
3
5
7
6
8
6
4
3
2
A班
分数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人数
1
3
5
7
6
8
6
4
3
2
3
8
10
18
B班
人数
分数
1
0
2
3
4
5
6
(1)由观察可知，______班的方差较大；
(2)若两班合计共有60人及格，问参加者最
少获______分才可以及格．
日期
一
二
三
四
五
方差
平均气温
最低气温
１
３
２
5
３
13、小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表：
日期
一
二
三
四
五
方差
平均气温
最低气温
1
3
2
5
3
由于不小心第4日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据分别是 和 ．
14、某班有男同学27名，女同学21名，再一次语文测试中，男同学的平均分是82分，中位数是75，女同学的平均分是80分，中位数是80.
（1）求这次测试的全班平均分；（精确到0.01分）
（2）估计全班成绩在80分以下（包括80分）的同学至少有多少人？
（3）男同学的平均分与中位数相差较大，分析其原因主要是什么？
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