2020-2021学年上海市普陀区七年级(下)期中数学试卷
展开1.(4分)下列三角形中,等腰三角形的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
2.(4分)下列判定两个等腰三角形全等的方法中,正确的是( )
A.顶角对应相等B.底边对应相等
C.两腰对应相等D.一腰和底边对应相等
3.(4分)把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解,下列结果中正确的是( )
A.(x﹣y)(x﹣y)B.(2x﹣4y+y)(x﹣y)
C.(2x﹣4y+y)(x﹣y)D.2(x﹣y)(x﹣y)
4.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,过A点作AD∥BC,若∠BAD=110°,则∠BAC的大小为( )
A.30°B.40°C.50°D.70°
5.(4分)若等腰三角形的一个内角是40°,则它的顶角是( )
A.100°B.40°C.100°或40°D.60°
6.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD分别是△ABC的角平分线,则图中的等腰三角形共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(每题4分,共48分)
7.(4分)用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形,那么这个等边三角形的边长 cm.
8.(4分)如果等腰三角形的顶角为60°,底边长为5,则它的腰长= .
9.(4分)等腰三角形的对称轴是 .
10.(4分)如图,△ABC中,AB=AC,∠1=∠2,BC=6cm,那么BD的长 cm.
11.(4分)如果等腰三角形的一边长为10,另一边长为3,那么这个等腰三角形的周长为 .
12.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,垂足为点D.若∠BAC=30°,则∠DBC的度数为 °.
13.(4分)二次三项式x2﹣3x﹣4a在实数范围内能分解因式,则a的取值范围是 .
14.(4分)如图,在等边△ABC中,点D为BC边上的点,DE⊥BC交AB于E,DF⊥AC于F,则∠EDF的度数为 .
15.(4分)如图,△ABC中,∠B,∠C的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,分别交AB、AC于D、E,若AB+AC=10,则△ADE的周长等于 .
16.(4分)如图,AD∥BC,AC与BD相交于点O,则图中面积相等的三角形共有 对.
17.(4分)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°,那么这个等腰三角形的底角为 .
18.(4分)如图,已知△ADC的面积为4,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,那么△ABC的面积为 .
三、解答题(第19-22题10分,第23-24题12分,第25题14分)
19.(10分)在实数范围内分解因式:
(1)﹣a2﹣3a+1.
(2)2x2y2﹣3xy﹣4.
20.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AB上,BE=BD,∠BAC=80°,求∠ADE的大小.
21.(10分)如图,在△ABC中,点D、E分别在BC、AB上,AE=AC,过点E作EF∥BC交AC于F,EC平分∠DEF.说明∠BAD=∠CAD.
22.(10分)如图,已知O是等边三角形ABC内一点,D是线段BO延长线上一点,且OD=OA,∠AOB=120°,求∠BDC的度数.
23.(12分)如图,△ABC中,DE∥AC,EF∥AB,∠BED=∠CEF,
(1)试说明△ABC是等腰三角形,
(2)探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系.
24.(12分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠1=∠2.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)联结EG,试说明EG与DF垂直的理由.
25.(14分)如图,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC,BC=6,D为直线BC上一动点(不与点B、点C重合),向AB的右侧作△ADE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)当点D在线段BC上时,求证:△BAD≌△CAE;
(2)在(1)的条件下,当AC⊥DE时,求BD的长;
(3)当CE∥AB时,若△ABD中有最小的内角为23°,试求∠AEC的度数.(直接写结果,无需写出求解过程)
2020-2021学年上海市普陀区七年级(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每题4分,共24分)
1.(4分)下列三角形中,等腰三角形的个数是( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.
【解答】解:第一个图形中有两边相等,故第一个三角形是等腰三角形,
第二个图形中的三个角分别为50°,35°,95°,故第二个三角形不是等腰三角形;
第三个图形中的三个角分别为100°,40°,40°,故第三个三角形是等腰三角形;
第四个图形中的三个角分别为90°,45°,45°,故第四个三角形是等腰三角形;
故选:B.
2.(4分)下列判定两个等腰三角形全等的方法中,正确的是( )
A.顶角对应相等B.底边对应相等
C.两腰对应相等D.一腰和底边对应相等
【分析】依据全等三角形的判定定理回答即可.
【解答】解:A、顶角对应相等的两个等腰三角形是AAA,不符合全等的条件,故不能判定两三角形全等,故本选项错误;
B、只有底边相等,别的边,角均不确定,不符合全等的条件,故不能判定两三角形全等,故本选项错误;
C、两腰对应相等,第三边不一定对应相等,不符合全等的条件,故不能判定两三角形全等,故本选项错误;
D、一腰和底边对应相等,相当于两腰和底边对应相等,利用SSS可以证得两个等腰三角形全等,故本选项正确.
故选:D.
3.(4分)把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解,下列结果中正确的是( )
A.(x﹣y)(x﹣y)B.(2x﹣4y+y)(x﹣y)
C.(2x﹣4y+y)(x﹣y)D.2(x﹣y)(x﹣y)
【分析】把x看做未知数,把y看做常数,令2x2﹣8xy+5y2=0,解得x的值,即可得出答案.
【解答】解:令2x2﹣8xy+5y2=0,
解得x1=y,x2=y,
∴2x2﹣8xy+5y2=2(x﹣y)(x﹣y)
故选:D.
4.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,过A点作AD∥BC,若∠BAD=110°,则∠BAC的大小为( )
A.30°B.40°C.50°D.70°
【分析】根据平行线的性质求出∠C,根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C=70°,根据三角形内角和定理求出即可.
【解答】解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵AD∥BC,∠1=70°,
∴∠C=∠1=70°,
∴∠B=70°,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣70°﹣70°=40°,
故选:B.
5.(4分)若等腰三角形的一个内角是40°,则它的顶角是( )
A.100°B.40°C.100°或40°D.60°
【分析】已知等腰三角形的一个内角为40°,根据等腰三角形的性质可分情况解答:当40°是顶角或者40°是底角两种情况.
【解答】解:此题要分情况考虑:
①40°是它的顶角;
②40°是它的底角,则顶角是180°﹣40°×2=100°.
所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°.
故选:C.
6.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD分别是△ABC的角平分线,则图中的等腰三角形共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】由BD是△ABC的角平分线,可得∠ABC=2∠ABD=72°,又可求∠ABC=∠C=72°,所以△ABC是等腰三角形;又∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣2×72°=36°,故∠A=∠ABD,所以△ABD是等腰三角形;由∠DBC=∠ABD=36°,得∠C=72°,可求∠BDC=72°,故∠BDC=∠C,所以△BDC是等腰三角形.
【解答】解:∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠ABC=2∠ABD=72°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∴△ABC是等腰三角形…①.
∠A=180°﹣2∠ABC=180°﹣2×72°=36°,
∴∠A=∠ABD,
∴△ABD是等腰三角形…②.
∵∠DBC=∠ABD=36°,∠C=72°,
∴∠BDC=72°,
∴∠BDC=∠C,
∴△BDC是等腰三角形…③.
故图中的等腰三角形有3个.
故选:C.
二、填空题(每题4分,共48分)
7.(4分)用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形,那么这个等边三角形的边长 4 cm.
【分析】等边三角形的三条边相等,用12除以3就得这个三角形的边长,由此可得答案.
【解答】解:12÷3=4(cm).
答:这个等边三角形的边长为4cm.
故答案为:4.
8.(4分)如果等腰三角形的顶角为60°,底边长为5,则它的腰长= 5 .
【分析】在等腰三角形中,2个底角是相等的,这里用180°减去60°就是两个底角的和,再除以2就是等腰三角形的底角的度数,进而判断出三角形为等边三角形,即可求得腰长
【解答】解∵等腰三角形的顶角为60°,
∴底角==60°,
∴三角形为等边三角形,
∴腰长=底边长=5,
所以它的腰长为5,
故答案为5.
9.(4分)等腰三角形的对称轴是 底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线 .
【分析】本题根据等腰三角形是轴对称图形,其对称轴是底边上的高所在的直线,因为等腰三角形底边上的高,顶角平分线,底边上的中线三线合一,所以等腰三角形的对称轴是底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线.
【解答】解:根据等腰三角形的性质,等腰三角形的对称轴是底边上的高(顶角平分线或底边的中线)所在的直线.
故填底边上的高(顶角平分线或底边的中线).
10.(4分)如图,△ABC中,AB=AC,∠1=∠2,BC=6cm,那么BD的长 3 cm.
【分析】由AB=AC,得出△ABC是等腰三角形,由∠1=∠2,得出AD是顶角平分线,再由等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合求解即可.
【解答】解:∵AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,
∵∠1=∠2,
∴BD=CD=BC,
∵BC=6cm,
∴BD=×6=3(cm).
故答案为:3.
11.(4分)如果等腰三角形的一边长为10,另一边长为3,那么这个等腰三角形的周长为 23 .
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为10和3,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
【解答】解:分两种情况:
当腰为3时,3+3<10,所以不能构成三角形;
当腰为10时,3+10>10,所以能构成三角形,周长是:3+10+10=23.
故答案为:23.
12.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,垂足为点D.若∠BAC=30°,则∠DBC的度数为 15 °.
【分析】本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠C的度数,然后在Rt△DBC中,求出∠DBC的度数.
【解答】解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=30°,
∴∠ABC=∠ACB=(180°﹣30°)÷2=75°;
又∵BD⊥AC垂足为D,
∴∠DBC=90°﹣∠ACB=90°﹣75°=15°.
故答案为:15.
13.(4分)二次三项式x2﹣3x﹣4a在实数范围内能分解因式,则a的取值范围是 a≥﹣ .
【分析】关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式,就是对应的二次方程x2﹣4x+m=0无实数根,由此可解.
【解答】解:二次三项式x2﹣3x﹣4a在实数范围内能分解因式,就是对应的二次方程x2﹣3x﹣4a=0有实数根,
∴△=(﹣3)2﹣4×(﹣4a)=9+16a≥0,
解得a≥﹣.
故a的取值范围是a≥﹣.
故答案为:a≥﹣.
14.(4分)如图,在等边△ABC中,点D为BC边上的点,DE⊥BC交AB于E,DF⊥AC于F,则∠EDF的度数为 60° .
【分析】先根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=60°,再由DE⊥BC交AB于E,DF⊥AC于F得出∠BDE=∠AFD=90°,根据三角形外角的性质求出∠AED的度数,由四边形内角和定理即可得出结论.
【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=60°.
∵DE⊥BC交AB于E,DF⊥AC于F,
∴∠BDE=∠AFD=90°.
∵∠AED是△BDE的外角,
∴∠AED=∠B+∠BDE=60°+90°=150°,
∴∠EDF=360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD=360°﹣60°﹣150°﹣90°=60°.
故答案为:60°.
15.(4分)如图,△ABC中,∠B,∠C的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,分别交AB、AC于D、E,若AB+AC=10,则△ADE的周长等于 10 .
【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形,再由等腰三角形的性质得BD=DF,CE=EF,则△ADE的周长=AB+AC,从而得出答案.
【解答】解:∵BF平分∠ABC,
∴∠DBF=∠CBF,
∵DE∥BC,
∴∠CBF=∠DFB,
∴∠DBF=∠DFB,
∴BD=DF,
同理FE=EC,
∴△ADE的周长=AD+AE+ED=AD+DF+AE+EF=(AD+BD)+(AE+CE)=AB+AC=10,
故答案为:10.
16.(4分)如图,AD∥BC,AC与BD相交于点O,则图中面积相等的三角形共有 3 对.
【分析】根据梯形的性质可得到两对同底同高的三角形,△AOB与△DOC由△ADC与△DAB减去△ADO得到,故面积相等的三角形有三对.
【解答】解:根据梯形的性质知,△ADC与△DAB,△ABC与DCB都是同底等高的三角形,△AOB与△DOC由△ADC与△DAB减去△ADO得到,
所以面积相等的三角形有三对,
故答案为:3.
17.(4分)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°,那么这个等腰三角形的底角为 75°或15° .
【分析】首先根据题意画出图形,然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案.
【解答】解:根据题意得:AB=AC,BD⊥AC,
如图(1),∠ABD=60°,
则∠A=30°,
∴∠ABC=∠C=75°;
如图(2),∠ABD=60°,
∴∠BAD=30°,
∴∠ABC=∠C=∠BAD=15°.
故这个等腰三角形的底角是:75°或15°.
故答案为:75°或15°.
18.(4分)如图,已知△ADC的面积为4,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,那么△ABC的面积为 8 .
【分析】延长BD交AC于点E,则可知△ABE为等腰三角形,则S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,可得出S△ABC=2S△ADC.
【解答】解:如图,延长BD交AC于点E,
∵AD平分∠BAE,AD⊥BD,
∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE,
在△ABD和△AED中,
,
∴△ABD≌△AED(ASA),
∴BD=DE,
∴S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC,
∴S△ABC═2S△ADC=2×4=8,
故答案为:8.
三、解答题(第19-22题10分,第23-24题12分,第25题14分)
19.(10分)在实数范围内分解因式:
(1)﹣a2﹣3a+1.
(2)2x2y2﹣3xy﹣4.
【分析】(1)设﹣a2﹣3a+1=0,先求出方程的解,再分解因式即可;
(2)设2x2y2﹣3xy﹣4=0,先求出方程的解,再分解因式即可.
【解答】解:(1)设﹣a2﹣3a+1=0,
∵△=(﹣3)2﹣4×(﹣1)×1=13>0,
∴a==,
a1=﹣,a2=﹣,
∴﹣a2﹣3a+1=﹣(a+)(a+);
(2)设2x2y2﹣3xy﹣4=0,
∵△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×(﹣4)=41>0,
∴xy==,
∴(xy)1=,(xy)2=,
∴2x2y2﹣3xy﹣4=2(xy﹣)(xy﹣).
20.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AB上,BE=BD,∠BAC=80°,求∠ADE的大小.
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=50°,∠BDE=65°,∠ADB=90°,计算即可.
【解答】解:∵AB=AC,∠BAC=80°,
∴∠B=∠C=(180°﹣∠BAC)=50°,
∵BD=BE,
∴∠BDE=∠BED=(180°﹣∠B)=65°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADE=∠ADB﹣∠BDE=25°.
21.(10分)如图,在△ABC中,点D、E分别在BC、AB上,AE=AC,过点E作EF∥BC交AC于F,EC平分∠DEF.说明∠BAD=∠CAD.
【分析】由平行线的性质得出∠FEC=∠DCE,由角平分线的性质得出∠FEC=∠DEC,推出∠DCE=∠DEC,则ED=CD,由SSS证得△AED≌△ACD,进而可得结论.
【解答】证明:∵EF∥BC,
∴∠FEC=∠DCE,
∵EC平分∠DEF,
∴∠FEC=∠DEC,
∴∠DCE=∠DEC,
∴ED=CD,
在△AED和△ACD中,
,
∴△AED≌△ACD(SSS),
∴∠BAD=∠CAD.
22.(10分)如图,已知O是等边三角形ABC内一点,D是线段BO延长线上一点,且OD=OA,∠AOB=120°,求∠BDC的度数.
【分析】由△ABC为等边三角形可得出AB=AC、∠BAC=60°,由∠AOB的度数利用邻补角互补可得出∠AOD=60°,结合OD=OA可得出△AOD为等边三角形,根据等边三角形的性质可得出AO=AD、∠OAD=60°,根据∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°可得出∠BAO=∠CAD,利用全等三角形的判定定理SAS可证出△BAO≌△CAD,根据全等三角形的性质可得出∠ADC的度数,再根据∠BDC=∠ADC﹣∠ADO即可求出∠BDC的度数.
【解答】解:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°.
∵∠AOB=120°,∠AOD+∠AOB=180°,
∴∠AOD=60°.
又∵OD=OA,
∴△AOD为等边三角形,
∴AO=AD,∠OAD=60°,∠ADO=60°.
∵∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°,
∴∠BAO=∠CAD.
在△BAO和△CAD中,
,
∴△BAO≌△CAD(SAS),
∴∠ADC=∠AOB=120°,
∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADO=60°.
23.(12分)如图,△ABC中,DE∥AC,EF∥AB,∠BED=∠CEF,
(1)试说明△ABC是等腰三角形,
(2)探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系.
【分析】(1)由平行线的性质可得∠EAD=∠F,∠BAF=∠E,进而再通过角之间的转化得出结论;
(2)由平行线的性质可得∠EAD=∠F,∠BAF=∠E,由于∠BED=∠CEF,得到∠C=∠CEF=∠BED=∠B,于是得到EF=CF,DE=DB,即可得到结论.
【解答】解:(1)∵DE∥AC
∴∠BED=∠C,
∵EF∥AB,
∴∠CEF=∠B,
∵∠BED=∠CEF,
∴∠B=∠C,
∴△ABC是等腰三角形;
(2)AB+AC=四边形ADEF的周长,
理由:∵DE∥AC,
∴∠BED=∠C,
∵EF∥AB,
∴∠CEF=∠B,
∵∠BED=∠CEF,
∴∠C=∠CEF=∠BED=∠B,
∴EF=CF,DE=DB,
∴AC+AB=CF+AF+AD+BD=EF+AF+AD+DE=四边形EFAD的周长.
24.(12分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠1=∠2.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)联结EG,试说明EG与DF垂直的理由.
【分析】(1)由AD与BC平行,利用两直线平行内错角相等,得到一对角相等,再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等,利用AAS即可得出△ADE≌△BFE;
(2)由∠GDF=∠ADE,以及(1)得出的∠ADE=∠BFE,等量代换得到∠GDF=∠BFE,利用等角对等边得到GF=GD,即三角形GDF为等腰三角形,再由(1)得到DE=FE,即GE为底边上的中线,利用三线合一即可得到GE与DF垂直.
【解答】解:(1)∵AD∥BC,
∴∠1=∠F(两直线平行,内错角相等)
∵E为AB的中点,
∴AE=BE(中点的意义),
在△ADE和△BFE中,
∴△ADE≌△BFE(AAS).
(2)∵∠1=∠F,∠1=∠2,
∴∠F=∠2(等量代换),
∴DG=FG(等角对等边).
∵△ADE≌△BFE (已证),
∴DE=FE(全等三角形的对应边相等),
∴EG⊥DF(等腰三角形三线合一).
25.(14分)如图,在△ABC中,AB=AC,AH⊥BC,BC=6,D为直线BC上一动点(不与点B、点C重合),向AB的右侧作△ADE,使得AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)当点D在线段BC上时,求证:△BAD≌△CAE;
(2)在(1)的条件下,当AC⊥DE时,求BD的长;
(3)当CE∥AB时,若△ABD中有最小的内角为23°,试求∠AEC的度数.(直接写结果,无需写出求解过程)
【分析】(1)根据SAS即可证明△BAD≌△CAE;
(2)利用等腰三角形的三线合一可得出BD=CD,则可得出答案;
(3)分D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上三种情形根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.
【解答】(1)证明:①如图1,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD=∠CAE,
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS);
(2)解:如图2,∵AE=AD,AC⊥DE,
∴∠DAC=∠EAC,
∵△BAD≌△CAE,
∴∠BAD=∠EAC,
∴∠DAC=∠BAD,
∵AB=AC,
∴BD=DC
∵BC=6,
∴BD=BC=3;
(3)如图1,当D在线段BC上时,
∵CE∥AB,
∴∠ACE=∠BAC,
∵△BAD≌△CAE,
∴∠ABD=∠ACE,∠ADB=∠AEC,
∴∠ABD=∠BAC,又∠ABC=∠ACB,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∴∠AEC=∠ADB=180°﹣60°﹣23°=97°;
如图3,当点D在CB的延长线上时,同理可得,∠ABC=60°,
∴∠AEC=37°,
即当△ABD中的最小角是∠DAB时,∠ADB=∠AEC=37°,
当点D在BC的延长线上时,只能∠ADB=23°,则∠AEC=23°.
∴∠AEC的度数为97°或37°或23°.
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