还剩21页未读，
继续阅读
2021年广东省东莞三校联考中考数学一模试卷
展开
这是一份2021年广东省东莞三校联考中考数学一模试卷，共24页。
2021年广东省东莞三校联考中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题）
1．（3分）﹣2021的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．﹣2021
2．（3分）方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2 B． C．x＝0 D．x＝2或x＝0
3．（3分）如图汽车标志中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）为了防控输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科3位骨干医师中（含有甲）抽调2人组成．则甲一定会被抽调到防控小组的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（xy）3＝xy3 B．x5÷x5＝x
C．3x2•5x3＝15x5 D．5x2y3+2x2y3＝10x4y9
6．（3分）若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）
A．a+1＞b+1 B． C．3a﹣4＞3b﹣4 D．4﹣3a＞4﹣3b
7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，且CC'∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．100° B．120° C．110° D．130°
8．（3分）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
9．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2； ⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共7小题）
11．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0有实数根，则a的取值范围为 ．
12．（3分）如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是 ．
13．（3分）若（a﹣2）2+|b+1|＝0，则a+b3＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝
15．（3分）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764）
16．（3分）如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 m．
17．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
三.解答题（共8小题）
18．先化简，再求值：（1+），其中x是不等式组的整数解．
19．为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．
（1）抽查D厂家的零件为 件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为 ．
（2）抽查C厂家的合格零件为 件，并将图1补充完整．
（3）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出A、B两个厂家同时被选中的概率．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝13，AC＝10，请求出线段EF的长．
21．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
22．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE＝，求sinE．
23．2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
型号
价格（元/只）
项目
甲
乙
成本
12
4
售价
18
6
（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，EF垂直平分对角线AC，垂足为D．点E、点F分别在BC、OA上，连接CF、AE，反比例函数的图象恰好经过点D，交线段AE于点G，点D的坐标为（4，2）．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）求直线AE的解析式；
（3）求G的坐标．
25．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B，且与x轴交于点C，连接BC．
（1）求b、c的值；
（2）点P为线段AC上一动点（不与A、C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝n，△PBD的面积为S，求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当S最大时，点M在抛物线上，在直线PD上，是否存在点Q，使以M、Q、P、B为顶点为四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省东莞三校联考中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（3分）﹣2021的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．﹣2021
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣2021的相反数是2021，
故选：C．
2．（3分）方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2 B． C．x＝0 D．x＝2或x＝0
【分析】方程移项后，分解因式利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程x2＝2x，
移项得：x2﹣2x＝0，
分解因式得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：D．
3．（3分）如图汽车标志中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形．故错误；
B、不是中心对称图形．故正确；
C、是中心对称图形．故错误；
D、是中心对称图形．故错误．
故选：B．
4．（3分）为了防控输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科3位骨干医师中（含有甲）抽调2人组成．则甲一定会被抽调到防控小组的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出从内科3位骨干医师中抽调2人的所有可能情况，再求出甲被抽调到防控小组的可能，根据概率公式计算即可．
【解答】解：设3位骨干医师有甲、乙、丙三人，
全部可能为甲乙、甲丙、乙丙三种，
其中甲被抽调到防控小组的可能有两种，
∴P（甲一定会被抽调到防控小组的概率）＝，
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（xy）3＝xy3 B．x5÷x5＝x
C．3x2•5x3＝15x5 D．5x2y3+2x2y3＝10x4y9
【分析】A、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式合并同类项得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝x3y3，错误；
B、原式＝1，错误；
C、原式＝15x5，正确；
D、原式＝7x2y3，错误，
故选：C．
6．（3分）若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）
A．a+1＞b+1 B． C．3a﹣4＞3b﹣4 D．4﹣3a＞4﹣3b
【分析】根据不等式的基本性质进行解答．
【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上1，不等式仍成立，即a+1＞b+1．故本选项变形正确；
B、在不等式a＞b的两边同时除以2，不等式仍成立，即．故本选项变形正确；
C、在不等式a＞b的两边同时乘以3再减去4，不等式仍成立，即3a﹣4＞3b﹣4．故本选项变形正确；
D、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣3再减去4，不等号方向改变，即4﹣3a＜4﹣3b．故本选项变形错误；
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，且CC'∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．100° B．120° C．110° D．130°
【分析】先根据旋转的性质得AC＝AC′，∠CAC′为旋转角，再利用平行线的性质得∠ACC′＝∠CAB＝30°，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C＝∠ACC′＝30°，然后根据三角形的内角和计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．
【解答】解：∵△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC′，∠CAC′为旋转角，
∵CC'∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝30°，
∵AC＝AC′，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝30°，
∴∠CAC′＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴旋转角的度数为120°．
故选：B．
8．（3分）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC＝BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD＝OE＝a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB＝S梯形ADBE﹣S△AOD﹣S△BOE求解．
【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵AC＝CB，
∴OD＝OE，
设A（﹣a，），则B（a，），
故S△AOB＝S梯形ADBE﹣S△AOD﹣S△BOE＝（+）×2a﹣a×﹣a×＝3．
故选：C．
9．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC＝60°，然后利用弧长公式l＝来计算劣弧的长．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝2，
∴劣弧的长为：＝．
故选：A．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2； ⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．
【解答】解：∵二次函数与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①错误，
观察图象可知：当x＞﹣1时，y随x增大而减小，故②正确，
∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，
∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故③正确，
∵当m＞2时，抛物线与直线y＝m没有交点，
∴方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，故④正确，
∵对称轴x＝﹣1＝﹣，
∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故⑤正确，
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0有实数根，则a的取值范围为 a≥﹣1且a≠0 ．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到≠0且△＝（﹣1）2﹣4a•（﹣）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且△＝（﹣1）2﹣4a•（﹣）≥0，
解得a≥﹣1且a≠0；
故答案为a≥﹣1且a≠0．
12．（3分）如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是 8 ．
【分析】根据正多边形的边数＝周角÷中心角，计算即可得解．
【解答】解：这个多边形的边数是360÷45°＝8，
故答案为：8．
13．（3分）若（a﹣2）2+|b+1|＝0，则a+b3＝ 1 ．
【分析】根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入a+b3中求解即可．
【解答】解：∵（a﹣2）2+|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，a＝2；
b+1＝0，b＝﹣1；
则a+b3＝（2﹣1）3＝1．
故答案为：1．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝ 4
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，结合图形求出BD，根据射影定理计算．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，
∴AB＝2CE＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝8，
由射影定理得，CD＝＝4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为 15.3 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764）
【分析】在Rt△ACD中，求出AD，再利用矩形的性质得到BD＝CE＝1.5，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．则四边形CEBD是矩形，BD＝CE＝1.5m，
在Rt△ACD中，CD＝EB＝10m，∠ACD＝54°，
∵tan∠ACE＝，
∴AD＝CD•tan∠ACD≈10×1.38＝13.8m．
∴AB＝AD+BD＝13.8+1.5＝15.3m．
答：树的高度AB约为15.3m．
故答案为：15.3．
16．（3分）如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 m．
【分析】利用勾股定理易得扇形的半径，那么就能求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径，
∴扇形的半径为：m，
∴扇形的弧长为：＝πm，
∴圆锥的底面半径为：π÷2π＝m．
17．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 2 ．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2．
故所求最小值为2．
故答案为：2．
三.解答题（共8小题）
18．先化简，再求值：（1+），其中x是不等式组的整数解．
【分析】先化简式子为4（x﹣1），再求解不等式的整数解为x＝2，最后将x＝2代入化简的式子中即可求解．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝4（x﹣1）
＝4x﹣4，
不等式组，
解得：﹣2＜x＜3，
∵不等式组的整数解是x＝﹣1或1或0或2，
∴当x＝﹣1，1，0时，原式没有意义；
当x＝2时，原式＝4（2﹣1）＝4．
19．为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．
（1）抽查D厂家的零件为 500 件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为 90° ．
（2）抽查C厂家的合格零件为 380 件，并将图1补充完整．
（3）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出A、B两个厂家同时被选中的概率．
【分析】（1）用2000乘以D所占的百分比得到抽查D厂家的零件数，然后用360°乘以D所占的百分比得到得到扇形统计图中D厂家对应的圆心角；
（2）用2000乘以C厂家的合格率得到抽查C厂家的合格零件数，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出A、B两个厂家同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）抽查D厂家的零件为2000（1﹣35%﹣20%﹣20%）＝500（件），扇形统计图中D厂家对应的圆心角＝×360°＝90°
（2）抽查C厂家的合格零件＝2000×95%×20%＝380（件），
条形统计图补充为：
故答案为500，90°，380；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中A、B两个厂家同时被选中的结果数为2，
所以A、B两个厂家同时被选中的概率＝＝．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝13，AC＝10，请求出线段EF的长．
【分析】（1）利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而求出即可；
（2）利用勾股定理得出BO的长再利用三角形中位线定理得出EF的长．
【解答】解：（1）△OEF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EO＝AB，OF＝AD，
∴EO＝FO，
∴△OEF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝10，
∴AO＝5，∠AOB＝90°，
∴BO＝＝＝12，
∴BD＝24，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EFBD，
∴EF＝12．
21．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）先计算出△＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）分类讨论：当b＝c时，△＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程解出k＝1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．
【解答】（1）证明：△＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，
方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5．
22．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE＝，求sinE．
【分析】（1）要证PB是⊙O的切线，只要连接OA，再证∠PBO＝90°即可；
（2）连接AD，证明△ADE∽△POE，得到＝，设OC＝t，则BC＝2t，AD＝2t，由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA
∴∠PAO＝90°，
∵OA＝OB，OP⊥AB于C，
∴BC＝CA，PB＝PA，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴PB为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵BD为直径，∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴＝，
由AD∥OC得AD＝2OC
∵tan∠ABE＝，
∴＝
设OC＝t，则BC＝2t，AD＝2t，由△PBC∽△BOC，
得PC＝2BC＝4t，OP＝5t，
∴＝＝．
可设EA＝2，EP＝5，则PA＝3，
∵PA＝PB，
∴PB＝3，
∴sinE＝＝．
23．2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
型号
价格（元/只）
项目
甲
乙
成本
12
4
售价
18
6
（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是x万只和y万只，由“某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只和该公司三月份的销售收入为300万元”列出方程组，可求解；
（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是a万只和（20﹣a）万只，利润为w万元，由“四月份投入成本不超过216万元”列出不等式，可求a的取值范围，找出w与a的函数关系式，由一次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是x万只和y万只，
由题意可得：，
解得：，
答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是15万只和5万只；
（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是a万只和（20﹣a）万只，利润为w万元，
由题意可得：12a+4（20﹣a）≤216，
∴a≤17，
∵w＝（18﹣12）a+（6﹣4）（20﹣a）＝4a+40是一次函数，w随a的增大而增大，
∴a＝17时，w有最大利润＝108（万元），
答：安排生产甲种型号的防疫口罩17万只，乙种型号的防疫口罩3万只，最大利润为108万元．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，EF垂直平分对角线AC，垂足为D．点E、点F分别在BC、OA上，连接CF、AE，反比例函数的图象恰好经过点D，交线段AE于点G，点D的坐标为（4，2）．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）求直线AE的解析式；
（3）求G的坐标．
【分析】（1）证明四边形AECF平行四边形，而EA＝EC，故四边形AECF为菱形；
（2）设菱形AECF的边长为x，则AF＝CF＝x，OF＝8﹣x，OC＝4，在Rt△OCF中，CF2＝OC2+OF2，即x2＝（x﹣8）2+42，求出点E的坐标为（5，4），进而求解；
（3）联立①②得：＝﹣x+，进而求解．
【解答】解：（1）∵EF垂直平分对角线AC，
∴FC＝FA，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，∠FAC＝∠FCA，
∵BC∥OA，
∴∠EAC＝∠FAC＝∠FCA＝∠EAC，
∴CF∥AE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EA＝EC，
∴四边形AECF为菱形；
（2）将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝8，
故反比例函数表达式为y＝①，
∵四边形AECF为菱形，
∴点D是AC的中点，
则点D是矩形OABC的中点，
故点B的坐标为（8，4），
故OC＝4，OA＝8，
设菱形AECF的边长为x，则AF＝CF＝x，OF＝8﹣x，OC＝4，
在Rt△OCF中，CF2＝OC2+OF2，即x2＝（x﹣8）2+42，
解得x＝5，
则点E的坐标为（5，4），
设直线AE的表达式为y＝mx+n，则，解得，
故直线AE的表达式为y＝﹣x+②；
（3）联立①②得：＝﹣x+，
解得x＝4（舍去）或4+，
故点G的坐标为（4+，）．
25．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B，且与x轴交于点C，连接BC．
（1）求b、c的值；
（2）点P为线段AC上一动点（不与A、C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝n，△PBD的面积为S，求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当S最大时，点M在抛物线上，在直线PD上，是否存在点Q，使以M、Q、P、B为顶点为四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S＝S△PCB﹣S△PCD＝×PC×（yB﹣yD），即可求解；
（3）分PB是边、PB是对角线两种情况，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求解即可．
【解答】解：（1）对于，令＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，则y＝，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，），
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
即b＝﹣，c＝；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+，
由点A、C的坐标知，AC＝5，
∵PD∥AB，
则△ABC∽△PBC，
∴，即，解得yD＝，
则S＝S△PCB﹣S△PCD＝×PC×（yB﹣yD）＝×（﹣）×n＝﹣n2+n（0＜n＜5）；
（3）由S＝﹣n2+n知，当n＝时，S最大，此时点P的坐标为（﹣，0），
由点P、D的坐标得，直线PD的表达式为y＝x+，
设点M坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+①，设点Q的坐标为（x，x+），
①当PB是边时，
则点B向左平移个单位向下平移个单位得到点P，同样点M向左平移个单位向下平移个单位得到点Q，
即m﹣＝x且n﹣＝x+②，
联立①②并解得x＝﹣（不合题意的值已舍去），
故点Q的坐标为（﹣，﹣）；
②当PB是对角线时，
由中点坐标公式得：（0﹣）＝（x+m）且（0+）＝（n+x+）③，
联立①③并解得x＝（不合题意的值已舍去），
故点Q的坐标为（，）．
综上，点Q的坐标为（，）或（﹣，﹣）．
2021年广东省东莞三校联考中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题）
1．（3分）﹣2021的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．﹣2021
2．（3分）方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2 B． C．x＝0 D．x＝2或x＝0
3．（3分）如图汽车标志中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）为了防控输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科3位骨干医师中（含有甲）抽调2人组成．则甲一定会被抽调到防控小组的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（xy）3＝xy3 B．x5÷x5＝x
C．3x2•5x3＝15x5 D．5x2y3+2x2y3＝10x4y9
6．（3分）若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）
A．a+1＞b+1 B． C．3a﹣4＞3b﹣4 D．4﹣3a＞4﹣3b
7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，且CC'∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．100° B．120° C．110° D．130°
8．（3分）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
9．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2； ⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共7小题）
11．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0有实数根，则a的取值范围为 ．
12．（3分）如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是 ．
13．（3分）若（a﹣2）2+|b+1|＝0，则a+b3＝ ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝
15．（3分）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764）
16．（3分）如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 m．
17．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
三.解答题（共8小题）
18．先化简，再求值：（1+），其中x是不等式组的整数解．
19．为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．
（1）抽查D厂家的零件为 件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为 ．
（2）抽查C厂家的合格零件为 件，并将图1补充完整．
（3）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出A、B两个厂家同时被选中的概率．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝13，AC＝10，请求出线段EF的长．
21．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
22．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE＝，求sinE．
23．2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
型号
价格（元/只）
项目
甲
乙
成本
12
4
售价
18
6
（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，EF垂直平分对角线AC，垂足为D．点E、点F分别在BC、OA上，连接CF、AE，反比例函数的图象恰好经过点D，交线段AE于点G，点D的坐标为（4，2）．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）求直线AE的解析式；
（3）求G的坐标．
25．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B，且与x轴交于点C，连接BC．
（1）求b、c的值；
（2）点P为线段AC上一动点（不与A、C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝n，△PBD的面积为S，求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当S最大时，点M在抛物线上，在直线PD上，是否存在点Q，使以M、Q、P、B为顶点为四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省东莞三校联考中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（3分）﹣2021的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．﹣2021
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【解答】解：﹣2021的相反数是2021，
故选：C．
2．（3分）方程x2＝2x的解是（ ）
A．x＝2 B． C．x＝0 D．x＝2或x＝0
【分析】方程移项后，分解因式利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程x2＝2x，
移项得：x2﹣2x＝0，
分解因式得：x（x﹣2）＝0，
可得x＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
故选：D．
3．（3分）如图汽车标志中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形．故错误；
B、不是中心对称图形．故正确；
C、是中心对称图形．故错误；
D、是中心对称图形．故错误．
故选：B．
4．（3分）为了防控输入性“新冠肺炎”，某医院成立隔离治疗发热病人防控小组，决定从内科3位骨干医师中（含有甲）抽调2人组成．则甲一定会被抽调到防控小组的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出从内科3位骨干医师中抽调2人的所有可能情况，再求出甲被抽调到防控小组的可能，根据概率公式计算即可．
【解答】解：设3位骨干医师有甲、乙、丙三人，
全部可能为甲乙、甲丙、乙丙三种，
其中甲被抽调到防控小组的可能有两种，
∴P（甲一定会被抽调到防控小组的概率）＝，
故选：C．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（xy）3＝xy3 B．x5÷x5＝x
C．3x2•5x3＝15x5 D．5x2y3+2x2y3＝10x4y9
【分析】A、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式合并同类项得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝x3y3，错误；
B、原式＝1，错误；
C、原式＝15x5，正确；
D、原式＝7x2y3，错误，
故选：C．
6．（3分）若a＞b，则下列不等式变形错误的是（ ）
A．a+1＞b+1 B． C．3a﹣4＞3b﹣4 D．4﹣3a＞4﹣3b
【分析】根据不等式的基本性质进行解答．
【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上1，不等式仍成立，即a+1＞b+1．故本选项变形正确；
B、在不等式a＞b的两边同时除以2，不等式仍成立，即．故本选项变形正确；
C、在不等式a＞b的两边同时乘以3再减去4，不等式仍成立，即3a﹣4＞3b﹣4．故本选项变形正确；
D、在不等式a＞b的两边同时乘以﹣3再减去4，不等号方向改变，即4﹣3a＜4﹣3b．故本选项变形错误；
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠CAB＝30°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，且CC'∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．100° B．120° C．110° D．130°
【分析】先根据旋转的性质得AC＝AC′，∠CAC′为旋转角，再利用平行线的性质得∠ACC′＝∠CAB＝30°，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C＝∠ACC′＝30°，然后根据三角形的内角和计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．
【解答】解：∵△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC′，∠CAC′为旋转角，
∵CC'∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝30°，
∵AC＝AC′，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝30°，
∴∠CAC′＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴旋转角的度数为120°．
故选：B．
8．（3分）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC＝BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD＝OE＝a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB＝S梯形ADBE﹣S△AOD﹣S△BOE求解．
【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵AC＝CB，
∴OD＝OE，
设A（﹣a，），则B（a，），
故S△AOB＝S梯形ADBE﹣S△AOD﹣S△BOE＝（+）×2a﹣a×﹣a×＝3．
故选：C．
9．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OB、OC，利用圆周角定理求得∠BOC＝60°，然后利用弧长公式l＝来计算劣弧的长．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，
又OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝OC＝2，
∴劣弧的长为：＝．
故选：A．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2； ⑤3a+c＜0．其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．
【解答】解：∵二次函数与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①错误，
观察图象可知：当x＞﹣1时，y随x增大而减小，故②正确，
∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，
∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，故③正确，
∵当m＞2时，抛物线与直线y＝m没有交点，
∴方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，故④正确，
∵对称轴x＝﹣1＝﹣，
∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故⑤正确，
故选：C．
二．填空题（共7小题）
11．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0有实数根，则a的取值范围为 a≥﹣1且a≠0 ．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到≠0且△＝（﹣1）2﹣4a•（﹣）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且△＝（﹣1）2﹣4a•（﹣）≥0，
解得a≥﹣1且a≠0；
故答案为a≥﹣1且a≠0．
12．（3分）如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是 8 ．
【分析】根据正多边形的边数＝周角÷中心角，计算即可得解．
【解答】解：这个多边形的边数是360÷45°＝8，
故答案为：8．
13．（3分）若（a﹣2）2+|b+1|＝0，则a+b3＝ 1 ．
【分析】根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入a+b3中求解即可．
【解答】解：∵（a﹣2）2+|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，a＝2；
b+1＝0，b＝﹣1；
则a+b3＝（2﹣1）3＝1．
故答案为：1．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝ 4
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，结合图形求出BD，根据射影定理计算．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，
∴AB＝2CE＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝8，
由射影定理得，CD＝＝4，
故答案为：4．
15．（3分）如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为 15.3 米．（结果保留一位小数，参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764）
【分析】在Rt△ACD中，求出AD，再利用矩形的性质得到BD＝CE＝1.5，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．则四边形CEBD是矩形，BD＝CE＝1.5m，
在Rt△ACD中，CD＝EB＝10m，∠ACD＝54°，
∵tan∠ACE＝，
∴AD＝CD•tan∠ACD≈10×1.38＝13.8m．
∴AB＝AD+BD＝13.8+1.5＝15.3m．
答：树的高度AB约为15.3m．
故答案为：15.3．
16．（3分）如图，从一个直径为1m的圆形铁片中剪出一个圆心角为90°的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 m．
【分析】利用勾股定理易得扇形的半径，那么就能求得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：易得扇形的圆心角所对的弦是直径，
∴扇形的半径为：m，
∴扇形的弧长为：＝πm，
∴圆锥的底面半径为：π÷2π＝m．
17．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 2 ．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝2．
故所求最小值为2．
故答案为：2．
三.解答题（共8小题）
18．先化简，再求值：（1+），其中x是不等式组的整数解．
【分析】先化简式子为4（x﹣1），再求解不等式的整数解为x＝2，最后将x＝2代入化简的式子中即可求解．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝4（x﹣1）
＝4x﹣4，
不等式组，
解得：﹣2＜x＜3，
∵不等式组的整数解是x＝﹣1或1或0或2，
∴当x＝﹣1，1，0时，原式没有意义；
当x＝2时，原式＝4（2﹣1）＝4．
19．为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．
（1）抽查D厂家的零件为 500 件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为 90° ．
（2）抽查C厂家的合格零件为 380 件，并将图1补充完整．
（3）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出A、B两个厂家同时被选中的概率．
【分析】（1）用2000乘以D所占的百分比得到抽查D厂家的零件数，然后用360°乘以D所占的百分比得到得到扇形统计图中D厂家对应的圆心角；
（2）用2000乘以C厂家的合格率得到抽查C厂家的合格零件数，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出A、B两个厂家同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）抽查D厂家的零件为2000（1﹣35%﹣20%﹣20%）＝500（件），扇形统计图中D厂家对应的圆心角＝×360°＝90°
（2）抽查C厂家的合格零件＝2000×95%×20%＝380（件），
条形统计图补充为：
故答案为500，90°，380；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中A、B两个厂家同时被选中的结果数为2，
所以A、B两个厂家同时被选中的概率＝＝．
20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．
（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝13，AC＝10，请求出线段EF的长．
【分析】（1）利用菱形的性质结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而求出即可；
（2）利用勾股定理得出BO的长再利用三角形中位线定理得出EF的长．
【解答】解：（1）△OEF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EO＝AB，OF＝AD，
∴EO＝FO，
∴△OEF是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC＝10，
∴AO＝5，∠AOB＝90°，
∴BO＝＝＝12，
∴BD＝24，
∵点E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EFBD，
∴EF＝12．
21．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【分析】（1）先计算出△＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）分类讨论：当b＝c时，△＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程解出k＝1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．
【解答】（1）证明：△＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，
∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；
当b＝a＝1或c＝a＝1时，
把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，
方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5．
22．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE＝，求sinE．
【分析】（1）要证PB是⊙O的切线，只要连接OA，再证∠PBO＝90°即可；
（2）连接AD，证明△ADE∽△POE，得到＝，设OC＝t，则BC＝2t，AD＝2t，由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA
∴∠PAO＝90°，
∵OA＝OB，OP⊥AB于C，
∴BC＝CA，PB＝PA，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴PB为⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵BD为直径，∠BAD＝90°由（1）知∠BCO＝90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴＝，
由AD∥OC得AD＝2OC
∵tan∠ABE＝，
∴＝
设OC＝t，则BC＝2t，AD＝2t，由△PBC∽△BOC，
得PC＝2BC＝4t，OP＝5t，
∴＝＝．
可设EA＝2，EP＝5，则PA＝3，
∵PA＝PB，
∴PB＝3，
∴sinE＝＝．
23．2020年初，新冠肺炎疫情爆发，市场上防疫口罩热销，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部售出，其中成本、售价如下表：
型号
价格（元/只）
项目
甲
乙
成本
12
4
售价
18
6
（1）若该公司三月份的销售收入为300万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？
（2）如果公司四月份投入成本不超过216万元，应怎样安排甲、乙两种型号防疫口罩的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是x万只和y万只，由“某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只和该公司三月份的销售收入为300万元”列出方程组，可求解；
（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是a万只和（20﹣a）万只，利润为w万元，由“四月份投入成本不超过216万元”列出不等式，可求a的取值范围，找出w与a的函数关系式，由一次函数的性质可求解．
【解答】解：（1）设生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是x万只和y万只，
由题意可得：，
解得：，
答：生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是15万只和5万只；
（2）设四月份生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是a万只和（20﹣a）万只，利润为w万元，
由题意可得：12a+4（20﹣a）≤216，
∴a≤17，
∵w＝（18﹣12）a+（6﹣4）（20﹣a）＝4a+40是一次函数，w随a的增大而增大，
∴a＝17时，w有最大利润＝108（万元），
答：安排生产甲种型号的防疫口罩17万只，乙种型号的防疫口罩3万只，最大利润为108万元．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，EF垂直平分对角线AC，垂足为D．点E、点F分别在BC、OA上，连接CF、AE，反比例函数的图象恰好经过点D，交线段AE于点G，点D的坐标为（4，2）．
（1）求证：四边形AECF为菱形；
（2）求直线AE的解析式；
（3）求G的坐标．
【分析】（1）证明四边形AECF平行四边形，而EA＝EC，故四边形AECF为菱形；
（2）设菱形AECF的边长为x，则AF＝CF＝x，OF＝8﹣x，OC＝4，在Rt△OCF中，CF2＝OC2+OF2，即x2＝（x﹣8）2+42，求出点E的坐标为（5，4），进而求解；
（3）联立①②得：＝﹣x+，进而求解．
【解答】解：（1）∵EF垂直平分对角线AC，
∴FC＝FA，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ECA，∠FAC＝∠FCA，
∵BC∥OA，
∴∠EAC＝∠FAC＝∠FCA＝∠EAC，
∴CF∥AE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵EA＝EC，
∴四边形AECF为菱形；
（2）将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝8，
故反比例函数表达式为y＝①，
∵四边形AECF为菱形，
∴点D是AC的中点，
则点D是矩形OABC的中点，
故点B的坐标为（8，4），
故OC＝4，OA＝8，
设菱形AECF的边长为x，则AF＝CF＝x，OF＝8﹣x，OC＝4，
在Rt△OCF中，CF2＝OC2+OF2，即x2＝（x﹣8）2+42，
解得x＝5，
则点E的坐标为（5，4），
设直线AE的表达式为y＝mx+n，则，解得，
故直线AE的表达式为y＝﹣x+②；
（3）联立①②得：＝﹣x+，
解得x＝4（舍去）或4+，
故点G的坐标为（4+，）．
25．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B，且与x轴交于点C，连接BC．
（1）求b、c的值；
（2）点P为线段AC上一动点（不与A、C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝n，△PBD的面积为S，求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当S最大时，点M在抛物线上，在直线PD上，是否存在点Q，使以M、Q、P、B为顶点为四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S＝S△PCB﹣S△PCD＝×PC×（yB﹣yD），即可求解；
（3）分PB是边、PB是对角线两种情况，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求解即可．
【解答】解：（1）对于，令＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，则y＝，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，），
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
即b＝﹣，c＝；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+，
由点A、C的坐标知，AC＝5，
∵PD∥AB，
则△ABC∽△PBC，
∴，即，解得yD＝，
则S＝S△PCB﹣S△PCD＝×PC×（yB﹣yD）＝×（﹣）×n＝﹣n2+n（0＜n＜5）；
（3）由S＝﹣n2+n知，当n＝时，S最大，此时点P的坐标为（﹣，0），
由点P、D的坐标得，直线PD的表达式为y＝x+，
设点M坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+①，设点Q的坐标为（x，x+），
①当PB是边时，
则点B向左平移个单位向下平移个单位得到点P，同样点M向左平移个单位向下平移个单位得到点Q，
即m﹣＝x且n﹣＝x+②，
联立①②并解得x＝﹣（不合题意的值已舍去），
故点Q的坐标为（﹣，﹣）；
②当PB是对角线时，
由中点坐标公式得：（0﹣）＝（x+m）且（0+）＝（n+x+）③，
联立①③并解得x＝（不合题意的值已舍去），
故点Q的坐标为（，）．
综上，点Q的坐标为（，）或（﹣，﹣）．
相关试卷
2022年广东省东莞外国语学校中考数学一模试卷： 这是一份2022年广东省东莞外国语学校中考数学一模试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年广东省东莞市六校联考中考数学一模试卷： 这是一份2022年广东省东莞市六校联考中考数学一模试卷，共15页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广东省东莞市可园中学中考数学一模试卷： 这是一份2021年广东省东莞市可园中学中考数学一模试卷，共8页。
