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2020-2021学年江苏省南京市八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2020-2021学年江苏省南京市八年级（下）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ）
A．调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量
B．调查某一批次LED灯泡的使用寿命
C．调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况
D．调查太原市市民进行垃圾分类的情况
2．（3分）已知M表示一个整式，若是最简分式，则M可以是（ ）
A．7 B．8x C．x2﹣x D．y2
3．（3分）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4、5，（背面朝上）从中同时抽取两张，则下列事件为必然事件的是（ ）
A．两张卡片的数字之和等于2
B．两张卡片的数字之和大于2
C．两张卡片的数字之和等于8
D．两张卡片的数字之和大于8
5．（3分）下列关于四边形的说法，正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是矩形
6．（3分）由于疫情的原因，拥有“中国医疗耗材之都”之称的河南长垣，这个冬天特别的忙!其中某医护用品集团计划生产口罩1500万只，实际每天比原计划每天多生产2000只，结果提前五天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产x万只口罩，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，∠ABC＝70°，E是线段AO上一点，则∠BEC的度数可能是（ ）
A．100° B．70° C．50° D．20°
8．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点．把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）抛掷一枚均匀的硬币10000次，刚好有5000次正面朝上，是一个 事件．
10．（2分）分式的最简公分母是 ．
11．（2分）有一个类似我国古代数学名著《九章算术》中“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1494石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒．从调查的角度来看，这次抽样调查的样本容量为 ．
12．（2分）“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°”时，如果用反证法证明，应先假设 ．
13．（2分）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：
黄豆种子数（单位：粒）
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
发芽种子数（单位：粒）
762
948
1142
1331
1518
1710
1902
种子发芽的频率（结果保留至小数点后三位）
0.953
0.948
0.952
0.951
0.949
0.950
0.951
那么这种黄豆种子发芽的概率约为 （精确到0.01）．
14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上一点，DE＝BF，连接AC、EF、AF、CE，若AE＝AF，AC＝5，EF＝8，则四边形AECF的面积为 ．
15．（2分）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，则二阶行列式＝ ．
16．（2分）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时，每天绿化的面积为x万平方米，则可列方程 ．
17．（2分）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
18．（2分）如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，向外作正方形BCDE，设正方形的对角线BD与CE的交点为O，连接AO，若AC＝3，AO＝6，则AB的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共56分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校八年级（1）班同学利用课余时间对全校师生进行了抽样调查，并将统计结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图：
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有3600人在使用手机：
①请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是 ．
20．（8分）计算：
（1）（﹣）（x2﹣xy）．
（2）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a从﹣3，﹣2，﹣1中取一个你认为合适的数代入求值．
21．（6分）解下列方程．
（1）+＝1；
（2）﹣1＝．
22．（5分）如果记f（x）＝，并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝，f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝．
（1）f（6）＝ ；f（）＝ ；
（2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n+1）+f（）＝ ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
23．（6分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，且很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次购进的数量多20千克．已知第一次购进的水果以每千克8元很快售完，第二次购进的水果，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
24．（7分）描述三角形的中位线定理并证明．
三角形的中位线定理： ．
25．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．
26．（11分）【背景】已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1，d2，d3，且d1＝d3＝1，d2＝2．我们把四个顶点分别在l，m，n，k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．
【探究1】（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F．求正方形ABCD的边长．
【探究2】（2）如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且ADC＝60°，△AEF是等边三角形，直线DF分别交直线l，k于点G、点M．求证：EC＝DF．
【拓展】（3）如图3，l∥k，等边△ABC的顶点A，B分别落在直线l，k上，AB⊥k，垂足为点B，过点C作AC的垂线分别交直线l、k于点G、点M，点D是线段GM上的动点（不与点C重合），点E是线段BM上的动点（不与点B重合），且始终保持AD＝AE，DH⊥l，垂足为点H．请以BC与DE的不同位置关系直接写出HG相应的范围．
2020-2021学年江苏省南京市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ）
A．调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量
B．调查某一批次LED灯泡的使用寿命
C．调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况
D．调查太原市市民进行垃圾分类的情况
【分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．
【解答】解：A、调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量，适合采用抽样调查，故本选项不合题意；
B、调查某一批次LED灯泡的使用寿命，适合采用抽样调查，故本选项不合题意；
C、调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
D、调查太原市市民进行垃圾分类的情况，适合采用抽样调查，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）已知M表示一个整式，若是最简分式，则M可以是（ ）
A．7 B．8x C．x2﹣x D．y2
【分析】直接利用最简分式的定义进而分析得出答案．
【解答】解：∵M表示一个整式，若是最简分式，
∴当M＝7时，是整式，不合题意，故A错误；
当M＝8x时，分子与分母可以约分，不合题意，故B错误；
当M＝x2﹣x时，分子与分母可以约分，不合题意，故C错误；
当M＝y2时，分子与分母不可以约分，符合题意，故D正确；
故选：D．
3．（3分）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的运算即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝，故A错误；
（C）是最简分式，故C错误；
（D）原式＝，故D错误；
故选：B．
4．（3分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4、5，（背面朝上）从中同时抽取两张，则下列事件为必然事件的是（ ）
A．两张卡片的数字之和等于2
B．两张卡片的数字之和大于2
C．两张卡片的数字之和等于8
D．两张卡片的数字之和大于8
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、两张卡片的数字之和等于2，是不可能事件；
B、两张卡片的数字之和大于2，是必然事件；
C、两张卡片的数字之和等于8，是随机事件；
D、两张卡片的数字之和大于8，是随机事件；
故选：B．
5．（3分）下列关于四边形的说法，正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是矩形
【分析】根据菱形的判断方法、矩形的判断方法逐项分析即可．
【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
C、有两边相等的平行四边形不一定是菱形，说法错误，不符合题意；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，也是矩形，说法正确，符合题意；
故选：D．
6．（3分）由于疫情的原因，拥有“中国医疗耗材之都”之称的河南长垣，这个冬天特别的忙!其中某医护用品集团计划生产口罩1500万只，实际每天比原计划每天多生产2000只，结果提前五天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产x万只口罩，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设原计划每天生产x万只口罩，则实际每天生产（x+0.2）万只口罩，根据“结果提前五天完成任务”列出方程．
【解答】解：设原计划每天生产x万只口罩，则实际每天生产（x+1500）万只口罩，
根据题意知，．
故选：D．
7．（3分）如图所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，∠ABC＝70°，E是线段AO上一点，则∠BEC的度数可能是（ ）
A．100° B．70° C．50° D．20°
【分析】由菱形的性质可得∠ABO＝35°，AC⊥BD，可得∠BAC＝55°，由三角形的外角性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝70°，
∴∠ABO＝35°，AC⊥BD，
∴∠BAC＝55°，
∵∠BEC＝∠BAC+∠ABE，
∴55°≤∠BEC≤90°，
故选：B．
8．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点．把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．首先证明△PQR是等腰直角三角形，利用三角形的三边关系求出PQ的范围即可解决问题；
【解答】解：连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ABH＝∠OCH，
∵∠AHB＝∠CHO，
∴∠O＝∠BAH＝90°，
∵点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点，
∴PQ＝BD，PQ∥BO，QR＝EC，QR∥CO，
∵BO⊥OC，
∴PQ⊥RQ，PQ＝QR，
∴△PQR是等腰直角三角形，
∴S△PQR＝•PQ2，
∵AB＝5，AD＝2，
∴3≤BD≤7，
∴≤PQ≤，
∴≤•PQ2≤，
∴△PQR的面积不可能是8，
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）抛掷一枚均匀的硬币10000次，刚好有5000次正面朝上，是一个 随机 事件．
【分析】根据随机事件的定义即可得到结论．
【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币10000次，刚好有5000次正面朝上，是一个随机事件，
故答案为：随机．
10．（2分）分式的最简公分母是 x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母．
【解答】解：＝，
则最简公分母为x（x+2）（x﹣2），
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
11．（2分）有一个类似我国古代数学名著《九章算术》中“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1494石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒．从调查的角度来看，这次抽样调查的样本容量为 270 ．
【分析】根据样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量求解即可．
【解答】解：从调查的角度来看，这次抽样调查的样本容量为270，
故答案为：270．
12．（2分）“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°”时，如果用反证法证明，应先假设 ∠B≥90° ．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】解：用反证法证明“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°”时，
应先假设：∠B≥90°，
故答案为：∠B≥90°．
13．（2分）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：
黄豆种子数（单位：粒）
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
发芽种子数（单位：粒）
762
948
1142
1331
1518
1710
1902
种子发芽的频率（结果保留至小数点后三位）
0.953
0.948
0.952
0.951
0.949
0.950
0.951
那么这种黄豆种子发芽的概率约为 0.95 （精确到0.01）．
【分析】根据7批次种子粒数从800粒增加到2000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95．
【解答】解：由表知随着试验次数的增加种子发芽的频率逐渐稳定再0.95附近，
所以这种黄豆种子发芽的概率约为0.95，
故答案为：0.95．
14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上一点，DE＝BF，连接AC、EF、AF、CE，若AE＝AF，AC＝5，EF＝8，则四边形AECF的面积为 20 ．
【分析】首先判定四边形AFCE是菱形，然后利用对角线乘积的一半求得菱形的面积即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
∵BF＝DE，
∴△ABF≌△CDE（SAS），AE＝CF，
∴AF＝CE，
∵AE＝AF，
∴四边形AFCE是菱形，
∵AC＝5，EF＝8，
∴S菱形AFCE＝AC•EF＝×5×8＝20，
故答案为：20．
15．（2分）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，则二阶行列式＝ ﹣ ．
【分析】先根据题意进行变形，再根据分式的乘法法则和整式的乘法法则算乘法，最后算减法即可．
【解答】解：
＝（a2﹣a）•﹣a×1
＝a（a﹣1）•﹣a
＝﹣a
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
16．（2分）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时，每天绿化的面积为x万平方米，则可列方程 ﹣＝30 ．
【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前30天完成了这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划工作每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：﹣＝30．
故答案为：﹣＝30．
17．（2分）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 m＞且m≠4 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，令解大于1求出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：3（m﹣2x）＝x﹣2，
去括号得：3m﹣6x＝x﹣2，
解得：x＝，
根据题意得：＞1且≠2，
解得：m＞且m≠4．
故答案为：m＞且m≠4．
18．（2分）如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，向外作正方形BCDE，设正方形的对角线BD与CE的交点为O，连接AO，若AC＝3，AO＝6，则AB的值是 6﹣3 ．
【分析】过O作OF⊥AB于F，OH⊥AC，构造出△BFO≌△CHO，得出四边形AFOH为正方形，AO为它的对角线，利用已知条件求出小正方形的边长，进而得到AB的长．
【解答】解：过O作OF⊥AB于F，OH⊥AC，交AC延长线于H，
∵∠BAC＝90°，OF⊥AB，OH⊥AC，
∴四边形AFOH为矩形．
∴∠FOH＝90°．
∴∠COH+∠COF＝90°．
∵四边形BCDE为正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°．
∴∠FOB+∠COF＝90°．
∴∠FOB＝∠COH．
∵OF⊥AB，OH⊥AC，
∴∠BFO＝∠CHO＝90°．
在△BFO和△CHO中，
∴△BFO≌△CHO（AAS）．
∴BF＝CH，OF＝OH．
∴矩形AFOH为正方形．
∴AF＝AH，AO＝AH．
∵AO＝6，
∴AH＝3．
∴CH＝AH﹣AC＝3﹣3．
∴BF＝CH＝3﹣3．
∴AB＝AF+BF＝AH+BF＝3+3﹣3＝6﹣3．
故答案为6﹣3．
三、解答题（本大题共8小题，共56分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校八年级（1）班同学利用课余时间对全校师生进行了抽样调查，并将统计结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图：
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 2000 人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 144° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有3600人在使用手机：
①请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是 ．
【分析】（1）由用电话沟通的人数及其所占百分比可求出总人数，用360°乘以利用沟通人数占被调查人数的比例即可；
（2）先求出短信沟通的人数，再根据5种方式的人数之和等于总人数求出使用微信的人数，从而补全图形；
（3）①用总人数乘以样本中用微信人数所占比例；
②先求出抽取的恰好使用“QQ”的频率，再用频率估计概率即可得出答案．
【解答】解：（1）∵喜欢用电话沟通的人数为400，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了400÷20%＝2000（人），
表示“微信”的扇形圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：2000；144；
（2）短信人数为2000×5%＝100（人），微信人数为2000﹣（400+440+260+100）＝800（人），
如图：
（3）①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有800人，
所以在全国使用手机的13亿人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有3600×＝1440（人），
∴在该校12000人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的有1440人；
②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，
所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的频率是＝．
所以，用频率估计概率，在该校使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是，
故答案为：．
20．（8分）计算：
（1）（﹣）（x2﹣xy）．
（2）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a从﹣3，﹣2，﹣1中取一个你认为合适的数代入求值．
【分析】（1）先算括号内的减法，再根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝•x（x﹣y）
＝•x（x﹣y）
＝x；
（2）（﹣a+1）÷
＝•
＝•
＝•
＝﹣（a+1）
＝﹣a﹣1，
∵a+1≠0，a2﹣4≠0，
∴a不能为﹣1，﹣2，2，
取a＝﹣3，
当a＝﹣3时，原式＝﹣（﹣3）﹣1＝2．
21．（6分）解下列方程．
（1）+＝1；
（2）﹣1＝．
【分析】（1）方程两边同乘以x﹣3化为整式方程求解；
（2）方程两边同乘以（x﹣2）（x+2）化为整式方程求解．
【解答】解：（1）方程两边同乘以x﹣3，得2﹣x﹣1＝x﹣3，
解这个方程，得x＝2，
检验，当x＝2时，原方程中的各个分母均不为零，
所以，x＝2是原分式方程的根．
所以，原方程的根为x＝2；
（2）方程两边同乘以（ x+2）（ x﹣2），得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝16，
解这个方程，得x＝﹣2，
检验，当x＝﹣2时，（x﹣2）（x+2）＝0，
所以，x＝﹣2是原方程的增根
所以，原方程无解．
22．（5分）如果记f（x）＝，并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝，f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝．
（1）f（6）＝ ；f（）＝ ；
（2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n+1）+f（）＝ +n ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
【分析】（1）把x＝6和x＝代入f（x）＝中计算即可；
（2）利用f（n）+f（）＝1进行计算．
【解答】解：（1）f（6）＝＝；
f（）＝＝；
（2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n+1）+f（）＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+…+[f（n+1）+f（）]
＝+1×n
＝+n．
故答案为；；+n．
23．（6分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，且很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次购进的数量多20千克．已知第一次购进的水果以每千克8元很快售完，第二次购进的水果，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【分析】设第一次购进的单价为x元，则第二次购进的单价为（1+10%）x，根据数量＝总价÷单价结合用1452元所购买的数量比第一次购进的数量多20千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，由数量＝总价÷单价及第二次比第一次多购进20千克，可求出第一次及第二次购进的数量，再利用利润＝销售单价×销售数量﹣进货总成本，即可求出结论．
【解答】解：设第一次购进的单价为x元，则第二次购进的单价为（1+10%）x，
依题意得：﹣＝20，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解且符合题意．
第一次购进的数量为1200÷6＝200（千克），
第二次购进的数量为200+20＝220（千克）．
8×200+9×100+9×（1﹣50%）×（220﹣100）﹣1200﹣1452＝388（元）．
答：总体上是盈利，盈利388元．
24．（7分）描述三角形的中位线定理并证明．
三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 ．
【分析】作出图形，然后写出已知、求证，延长EF到D，使FD＝EF，利用“边角边”证明△AEF和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝CD，全等三角形对应角相等可得∠D＝∠AEF，再求出CE＝CD，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CD，然后判断出四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC，DE＝BC
【解答】解：定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，
求证：EF＝AB，EF∥AB，
证明：如图，延长EF到D，使FD＝EF，连接CD，
∵点F是AC的中点，
∴AF＝CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE＝CD，∠D＝∠AEF，
∴AB∥CD，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BE＝CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴DE∥BC，DE＝BC，
故答案为：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
25．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形证明△AOE≌△COF，即可得结论；
（2）结合（1）证明四边形AGCH是平行四边形，再根据已知条件证明GA＝GC，即可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵∠GAC＝∠ACB，
∴GA＝GC，
∴平行四边形AGCH是菱形．
26．（11分）【背景】已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1，d2，d3，且d1＝d3＝1，d2＝2．我们把四个顶点分别在l，m，n，k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．
【探究1】（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F．求正方形ABCD的边长．
【探究2】（2）如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且ADC＝60°，△AEF是等边三角形，直线DF分别交直线l，k于点G、点M．求证：EC＝DF．
【拓展】（3）如图3，l∥k，等边△ABC的顶点A，B分别落在直线l，k上，AB⊥k，垂足为点B，过点C作AC的垂线分别交直线l、k于点G、点M，点D是线段GM上的动点（不与点C重合），点E是线段BM上的动点（不与点B重合），且始终保持AD＝AE，DH⊥l，垂足为点H．请以BC与DE的不同位置关系直接写出HG相应的范围．
【分析】（1）利用AAS证明△ABE≌△BCF，即可求得AE和BE的长，然后利用勾股定理即可求解；
（2）连接AC，首先证明△ADC是等边三角形，再证明△AFD≌△AEC（HL），根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（3）过点C作CT⊥AG于T，过点M作MK⊥AG于K．解直角三角形求出GH，GK，分两种情形：如图3中，当点D在线段CM上时，可知DE∥BC，如图4中，当点D在线段CG上时，DE与BC相交．
【解答】（1）解：如图1，
∵BE⊥l，l∥k，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°，
又四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2＝90°，AB＝BC，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE＝BF＝1，
∵BE＝d1+d2＝3，
∴AB＝＝，
∴正方形的边长是．
（2）证明：如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，
又∠ADC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD＝AC
∵AE⊥k，∠AFD＝90°，
∴∠AEC＝∠AFD＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AF＝AE，
在Rt△AFD和Rt△ACE中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AEC（HL），
∴EC＝DF．
（3）如图3中，过点C作CT⊥AG于T，过点M作MK⊥AG于K．
在Rt△ACG中，∠ACG＝90°，AC＝AB＝4，∠AGC＝60°，
∴CG＝＝，
在Rt△TCG中，TG＝CG＝，
在Rt△KMG中，KM＝AB＝4，KG＝＝．
当点D在线段CM上时，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AB⊥BM，AC⊥CD，
∴∠ABE＝∠ACD＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝30°，∠BMC＝120°，
∴MB＝MC，
∵BA＝CA，AE＝AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD（HL），
∴BE＝CD，
∴ME＝MD，
∴∠MED＝∠MDE＝30°，
∴∠MED＝∠MBC，
∴DE∥BC，
观察图象可知，当＜GH＜时，DE∥BC．
如图4中，当点D在线段CG上时，DE与BC相交，此时0＜GH＜．
综上所述，当＜GH＜时，DE∥BC．当0＜GH＜时，DE与BC相交．
2020-2021学年江苏省南京市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ）
A．调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量
B．调查某一批次LED灯泡的使用寿命
C．调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况
D．调查太原市市民进行垃圾分类的情况
2．（3分）已知M表示一个整式，若是最简分式，则M可以是（ ）
A．7 B．8x C．x2﹣x D．y2
3．（3分）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4、5，（背面朝上）从中同时抽取两张，则下列事件为必然事件的是（ ）
A．两张卡片的数字之和等于2
B．两张卡片的数字之和大于2
C．两张卡片的数字之和等于8
D．两张卡片的数字之和大于8
5．（3分）下列关于四边形的说法，正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是矩形
6．（3分）由于疫情的原因，拥有“中国医疗耗材之都”之称的河南长垣，这个冬天特别的忙!其中某医护用品集团计划生产口罩1500万只，实际每天比原计划每天多生产2000只，结果提前五天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产x万只口罩，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，∠ABC＝70°，E是线段AO上一点，则∠BEC的度数可能是（ ）
A．100° B．70° C．50° D．20°
8．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点．把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）抛掷一枚均匀的硬币10000次，刚好有5000次正面朝上，是一个 事件．
10．（2分）分式的最简公分母是 ．
11．（2分）有一个类似我国古代数学名著《九章算术》中“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1494石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒．从调查的角度来看，这次抽样调查的样本容量为 ．
12．（2分）“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°”时，如果用反证法证明，应先假设 ．
13．（2分）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：
黄豆种子数（单位：粒）
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
发芽种子数（单位：粒）
762
948
1142
1331
1518
1710
1902
种子发芽的频率（结果保留至小数点后三位）
0.953
0.948
0.952
0.951
0.949
0.950
0.951
那么这种黄豆种子发芽的概率约为 （精确到0.01）．
14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上一点，DE＝BF，连接AC、EF、AF、CE，若AE＝AF，AC＝5，EF＝8，则四边形AECF的面积为 ．
15．（2分）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，则二阶行列式＝ ．
16．（2分）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时，每天绿化的面积为x万平方米，则可列方程 ．
17．（2分）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
18．（2分）如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，向外作正方形BCDE，设正方形的对角线BD与CE的交点为O，连接AO，若AC＝3，AO＝6，则AB的值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共56分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校八年级（1）班同学利用课余时间对全校师生进行了抽样调查，并将统计结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图：
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有3600人在使用手机：
①请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是 ．
20．（8分）计算：
（1）（﹣）（x2﹣xy）．
（2）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a从﹣3，﹣2，﹣1中取一个你认为合适的数代入求值．
21．（6分）解下列方程．
（1）+＝1；
（2）﹣1＝．
22．（5分）如果记f（x）＝，并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝，f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝．
（1）f（6）＝ ；f（）＝ ；
（2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n+1）+f（）＝ ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
23．（6分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，且很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次购进的数量多20千克．已知第一次购进的水果以每千克8元很快售完，第二次购进的水果，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
24．（7分）描述三角形的中位线定理并证明．
三角形的中位线定理： ．
25．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．
26．（11分）【背景】已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1，d2，d3，且d1＝d3＝1，d2＝2．我们把四个顶点分别在l，m，n，k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．
【探究1】（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F．求正方形ABCD的边长．
【探究2】（2）如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且ADC＝60°，△AEF是等边三角形，直线DF分别交直线l，k于点G、点M．求证：EC＝DF．
【拓展】（3）如图3，l∥k，等边△ABC的顶点A，B分别落在直线l，k上，AB⊥k，垂足为点B，过点C作AC的垂线分别交直线l、k于点G、点M，点D是线段GM上的动点（不与点C重合），点E是线段BM上的动点（不与点B重合），且始终保持AD＝AE，DH⊥l，垂足为点H．请以BC与DE的不同位置关系直接写出HG相应的范围．
2020-2021学年江苏省南京市八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）下列调查中，最适合采用全面调查方式的是（ ）
A．调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量
B．调查某一批次LED灯泡的使用寿命
C．调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况
D．调查太原市市民进行垃圾分类的情况
【分析】根据调查对象的特点，结合普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果接近准确数值，从而可得答案．
【解答】解：A、调查太原市市民平均每日废弃口罩的数量，适合采用抽样调查，故本选项不合题意；
B、调查某一批次LED灯泡的使用寿命，适合采用抽样调查，故本选项不合题意；
C、调查“嫦娥五号”月球探测器零部件的合格情况，适合采用全面调查方式，故本选项符合题意；
D、调查太原市市民进行垃圾分类的情况，适合采用抽样调查，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）已知M表示一个整式，若是最简分式，则M可以是（ ）
A．7 B．8x C．x2﹣x D．y2
【分析】直接利用最简分式的定义进而分析得出答案．
【解答】解：∵M表示一个整式，若是最简分式，
∴当M＝7时，是整式，不合题意，故A错误；
当M＝8x时，分子与分母可以约分，不合题意，故B错误；
当M＝x2﹣x时，分子与分母可以约分，不合题意，故C错误；
当M＝y2时，分子与分母不可以约分，符合题意，故D正确；
故选：D．
3．（3分）下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式的运算即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝，故A错误；
（C）是最简分式，故C错误；
（D）原式＝，故D错误；
故选：B．
4．（3分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1、2、3、4、5，（背面朝上）从中同时抽取两张，则下列事件为必然事件的是（ ）
A．两张卡片的数字之和等于2
B．两张卡片的数字之和大于2
C．两张卡片的数字之和等于8
D．两张卡片的数字之和大于8
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：A、两张卡片的数字之和等于2，是不可能事件；
B、两张卡片的数字之和大于2，是必然事件；
C、两张卡片的数字之和等于8，是随机事件；
D、两张卡片的数字之和大于8，是随机事件；
故选：B．
5．（3分）下列关于四边形的说法，正确的是（ ）
A．四个角相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．有两边相等的平行四边形是菱形
D．两条对角线相等的菱形是矩形
【分析】根据菱形的判断方法、矩形的判断方法逐项分析即可．
【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法错误，不符合题意；
C、有两边相等的平行四边形不一定是菱形，说法错误，不符合题意；
D、两条对角线相等的菱形是正方形，也是矩形，说法正确，符合题意；
故选：D．
6．（3分）由于疫情的原因，拥有“中国医疗耗材之都”之称的河南长垣，这个冬天特别的忙!其中某医护用品集团计划生产口罩1500万只，实际每天比原计划每天多生产2000只，结果提前五天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产x万只口罩，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设原计划每天生产x万只口罩，则实际每天生产（x+0.2）万只口罩，根据“结果提前五天完成任务”列出方程．
【解答】解：设原计划每天生产x万只口罩，则实际每天生产（x+1500）万只口罩，
根据题意知，．
故选：D．
7．（3分）如图所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，∠ABC＝70°，E是线段AO上一点，则∠BEC的度数可能是（ ）
A．100° B．70° C．50° D．20°
【分析】由菱形的性质可得∠ABO＝35°，AC⊥BD，可得∠BAC＝55°，由三角形的外角性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝70°，
∴∠ABO＝35°，AC⊥BD，
∴∠BAC＝55°，
∵∠BEC＝∠BAC+∠ABE，
∴55°≤∠BEC≤90°，
故选：B．
8．（3分）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点．把△ADE绕点A在平面自由旋转，则△PQR的面积不可能是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【分析】连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．首先证明△PQR是等腰直角三角形，利用三角形的三边关系求出PQ的范围即可解决问题；
【解答】解：连接BD、CE，BD的延长线交CE的延长线于O，AC交BO于H．
∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ABH＝∠OCH，
∵∠AHB＝∠CHO，
∴∠O＝∠BAH＝90°，
∵点P，Q，R分别是BC，DC，DE的中点，
∴PQ＝BD，PQ∥BO，QR＝EC，QR∥CO，
∵BO⊥OC，
∴PQ⊥RQ，PQ＝QR，
∴△PQR是等腰直角三角形，
∴S△PQR＝•PQ2，
∵AB＝5，AD＝2，
∴3≤BD≤7，
∴≤PQ≤，
∴≤•PQ2≤，
∴△PQR的面积不可能是8，
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．（2分）抛掷一枚均匀的硬币10000次，刚好有5000次正面朝上，是一个 随机 事件．
【分析】根据随机事件的定义即可得到结论．
【解答】解：抛掷一枚均匀的硬币10000次，刚好有5000次正面朝上，是一个随机事件，
故答案为：随机．
10．（2分）分式的最简公分母是 x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母．
【解答】解：＝，
则最简公分母为x（x+2）（x﹣2），
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
11．（2分）有一个类似我国古代数学名著《九章算术》中“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，有人送来米1494石，检验发现米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒．从调查的角度来看，这次抽样调查的样本容量为 270 ．
【分析】根据样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量求解即可．
【解答】解：从调查的角度来看，这次抽样调查的样本容量为270，
故答案为：270．
12．（2分）“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°”时，如果用反证法证明，应先假设 ∠B≥90° ．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】解：用反证法证明“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°”时，
应先假设：∠B≥90°，
故答案为：∠B≥90°．
13．（2分）综合实践小组的同学们在相同条件下做了测定某种黄豆种子发芽率的实验，结果如表所示：
黄豆种子数（单位：粒）
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
发芽种子数（单位：粒）
762
948
1142
1331
1518
1710
1902
种子发芽的频率（结果保留至小数点后三位）
0.953
0.948
0.952
0.951
0.949
0.950
0.951
那么这种黄豆种子发芽的概率约为 0.95 （精确到0.01）．
【分析】根据7批次种子粒数从800粒增加到2000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95．
【解答】解：由表知随着试验次数的增加种子发芽的频率逐渐稳定再0.95附近，
所以这种黄豆种子发芽的概率约为0.95，
故答案为：0.95．
14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上一点，DE＝BF，连接AC、EF、AF、CE，若AE＝AF，AC＝5，EF＝8，则四边形AECF的面积为 20 ．
【分析】首先判定四边形AFCE是菱形，然后利用对角线乘积的一半求得菱形的面积即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，
∵BF＝DE，
∴△ABF≌△CDE（SAS），AE＝CF，
∴AF＝CE，
∵AE＝AF，
∴四边形AFCE是菱形，
∵AC＝5，EF＝8，
∴S菱形AFCE＝AC•EF＝×5×8＝20，
故答案为：20．
15．（2分）式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc，则二阶行列式＝ ﹣ ．
【分析】先根据题意进行变形，再根据分式的乘法法则和整式的乘法法则算乘法，最后算减法即可．
【解答】解：
＝（a2﹣a）•﹣a×1
＝a（a﹣1）•﹣a
＝﹣a
＝
＝﹣，
故答案为：﹣．
16．（2分）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时，每天绿化的面积为x万平方米，则可列方程 ﹣＝30 ．
【分析】设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前30天完成了这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划工作每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：﹣＝30．
故答案为：﹣＝30．
17．（2分）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 m＞且m≠4 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，令解大于1求出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：3（m﹣2x）＝x﹣2，
去括号得：3m﹣6x＝x﹣2，
解得：x＝，
根据题意得：＞1且≠2，
解得：m＞且m≠4．
故答案为：m＞且m≠4．
18．（2分）如图，以Rt△ABC的斜边BC为边，向外作正方形BCDE，设正方形的对角线BD与CE的交点为O，连接AO，若AC＝3，AO＝6，则AB的值是 6﹣3 ．
【分析】过O作OF⊥AB于F，OH⊥AC，构造出△BFO≌△CHO，得出四边形AFOH为正方形，AO为它的对角线，利用已知条件求出小正方形的边长，进而得到AB的长．
【解答】解：过O作OF⊥AB于F，OH⊥AC，交AC延长线于H，
∵∠BAC＝90°，OF⊥AB，OH⊥AC，
∴四边形AFOH为矩形．
∴∠FOH＝90°．
∴∠COH+∠COF＝90°．
∵四边形BCDE为正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°．
∴∠FOB+∠COF＝90°．
∴∠FOB＝∠COH．
∵OF⊥AB，OH⊥AC，
∴∠BFO＝∠CHO＝90°．
在△BFO和△CHO中，
∴△BFO≌△CHO（AAS）．
∴BF＝CH，OF＝OH．
∴矩形AFOH为正方形．
∴AF＝AH，AO＝AH．
∵AO＝6，
∴AH＝3．
∴CH＝AH﹣AC＝3﹣3．
∴BF＝CH＝3﹣3．
∴AB＝AF+BF＝AH+BF＝3+3﹣3＝6﹣3．
故答案为6﹣3．
三、解答题（本大题共8小题，共56分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校八年级（1）班同学利用课余时间对全校师生进行了抽样调查，并将统计结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图：
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次参与调查的共有 2000 人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 144° ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校有3600人在使用手机：
①请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；
②在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是 ．
【分析】（1）由用电话沟通的人数及其所占百分比可求出总人数，用360°乘以利用沟通人数占被调查人数的比例即可；
（2）先求出短信沟通的人数，再根据5种方式的人数之和等于总人数求出使用微信的人数，从而补全图形；
（3）①用总人数乘以样本中用微信人数所占比例；
②先求出抽取的恰好使用“QQ”的频率，再用频率估计概率即可得出答案．
【解答】解：（1）∵喜欢用电话沟通的人数为400，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了400÷20%＝2000（人），
表示“微信”的扇形圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：2000；144；
（2）短信人数为2000×5%＝100（人），微信人数为2000﹣（400+440+260+100）＝800（人），
如图：
（3）①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有800人，
所以在全国使用手机的13亿人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有3600×＝1440（人），
∴在该校12000人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的有1440人；
②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，
所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的频率是＝．
所以，用频率估计概率，在该校使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是，
故答案为：．
20．（8分）计算：
（1）（﹣）（x2﹣xy）．
（2）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a从﹣3，﹣2，﹣1中取一个你认为合适的数代入求值．
【分析】（1）先算括号内的减法，再根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）先算括号内的加减，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝•x（x﹣y）
＝•x（x﹣y）
＝x；
（2）（﹣a+1）÷
＝•
＝•
＝•
＝﹣（a+1）
＝﹣a﹣1，
∵a+1≠0，a2﹣4≠0，
∴a不能为﹣1，﹣2，2，
取a＝﹣3，
当a＝﹣3时，原式＝﹣（﹣3）﹣1＝2．
21．（6分）解下列方程．
（1）+＝1；
（2）﹣1＝．
【分析】（1）方程两边同乘以x﹣3化为整式方程求解；
（2）方程两边同乘以（x﹣2）（x+2）化为整式方程求解．
【解答】解：（1）方程两边同乘以x﹣3，得2﹣x﹣1＝x﹣3，
解这个方程，得x＝2，
检验，当x＝2时，原方程中的各个分母均不为零，
所以，x＝2是原分式方程的根．
所以，原方程的根为x＝2；
（2）方程两边同乘以（ x+2）（ x﹣2），得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝16，
解这个方程，得x＝﹣2，
检验，当x＝﹣2时，（x﹣2）（x+2）＝0，
所以，x＝﹣2是原方程的增根
所以，原方程无解．
22．（5分）如果记f（x）＝，并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝，f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝．
（1）f（6）＝ ；f（）＝ ；
（2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n+1）+f（）＝ +n ．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）．
【分析】（1）把x＝6和x＝代入f（x）＝中计算即可；
（2）利用f（n）+f（）＝1进行计算．
【解答】解：（1）f（6）＝＝；
f（）＝＝；
（2）f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n+1）+f（）＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+…+[f（n+1）+f（）]
＝+1×n
＝+n．
故答案为；；+n．
23．（6分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，且很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次购进的数量多20千克．已知第一次购进的水果以每千克8元很快售完，第二次购进的水果，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
【分析】设第一次购进的单价为x元，则第二次购进的单价为（1+10%）x，根据数量＝总价÷单价结合用1452元所购买的数量比第一次购进的数量多20千克，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，由数量＝总价÷单价及第二次比第一次多购进20千克，可求出第一次及第二次购进的数量，再利用利润＝销售单价×销售数量﹣进货总成本，即可求出结论．
【解答】解：设第一次购进的单价为x元，则第二次购进的单价为（1+10%）x，
依题意得：﹣＝20，
解得：x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解且符合题意．
第一次购进的数量为1200÷6＝200（千克），
第二次购进的数量为200+20＝220（千克）．
8×200+9×100+9×（1﹣50%）×（220﹣100）﹣1200﹣1452＝388（元）．
答：总体上是盈利，盈利388元．
24．（7分）描述三角形的中位线定理并证明．
三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 ．
【分析】作出图形，然后写出已知、求证，延长EF到D，使FD＝EF，利用“边角边”证明△AEF和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝CD，全等三角形对应角相等可得∠D＝∠AEF，再求出CE＝CD，根据内错角相等，两直线平行判断出AB∥CD，然后判断出四边形BCDE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得DE∥BC，DE＝BC
【解答】解：定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，
求证：EF＝AB，EF∥AB，
证明：如图，延长EF到D，使FD＝EF，连接CD，
∵点F是AC的中点，
∴AF＝CF，
在△AEF和△CDF中，
，
∴△AEF≌△CDF（SAS），
∴AE＝CD，∠D＝∠AEF，
∴AB∥CD，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BE＝CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴DE∥BC，DE＝BC，
故答案为：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．
25．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形证明△AOE≌△COF，即可得结论；
（2）结合（1）证明四边形AGCH是平行四边形，再根据已知条件证明GA＝GC，即可得结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：
∵△AOE≌△COF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥CH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠HAC＝∠ACB，
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC＝∠GAC，
∵∠GAC＝∠ACB，
∴GA＝GC，
∴平行四边形AGCH是菱形．
26．（11分）【背景】已知：l∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1，d2，d3，且d1＝d3＝1，d2＝2．我们把四个顶点分别在l，m，n，k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．
【探究1】（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE⊥l于点E，BE的反向延长线交直线k于点F．求正方形ABCD的边长．
【探究2】（2）如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且ADC＝60°，△AEF是等边三角形，直线DF分别交直线l，k于点G、点M．求证：EC＝DF．
【拓展】（3）如图3，l∥k，等边△ABC的顶点A，B分别落在直线l，k上，AB⊥k，垂足为点B，过点C作AC的垂线分别交直线l、k于点G、点M，点D是线段GM上的动点（不与点C重合），点E是线段BM上的动点（不与点B重合），且始终保持AD＝AE，DH⊥l，垂足为点H．请以BC与DE的不同位置关系直接写出HG相应的范围．
【分析】（1）利用AAS证明△ABE≌△BCF，即可求得AE和BE的长，然后利用勾股定理即可求解；
（2）连接AC，首先证明△ADC是等边三角形，再证明△AFD≌△AEC（HL），根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（3）过点C作CT⊥AG于T，过点M作MK⊥AG于K．解直角三角形求出GH，GK，分两种情形：如图3中，当点D在线段CM上时，可知DE∥BC，如图4中，当点D在线段CG上时，DE与BC相交．
【解答】（1）解：如图1，
∵BE⊥l，l∥k，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°，
又四边形ABCD是正方形，
∴∠1+∠2＝90°，AB＝BC，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE＝BF＝1，
∵BE＝d1+d2＝3，
∴AB＝＝，
∴正方形的边长是．
（2）证明：如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，
又∠ADC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD＝AC
∵AE⊥k，∠AFD＝90°，
∴∠AEC＝∠AFD＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AF＝AE，
在Rt△AFD和Rt△ACE中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AEC（HL），
∴EC＝DF．
（3）如图3中，过点C作CT⊥AG于T，过点M作MK⊥AG于K．
在Rt△ACG中，∠ACG＝90°，AC＝AB＝4，∠AGC＝60°，
∴CG＝＝，
在Rt△TCG中，TG＝CG＝，
在Rt△KMG中，KM＝AB＝4，KG＝＝．
当点D在线段CM上时，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AB⊥BM，AC⊥CD，
∴∠ABE＝∠ACD＝90°，
∴∠MBC＝∠MCB＝30°，∠BMC＝120°，
∴MB＝MC，
∵BA＝CA，AE＝AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ACD（HL），
∴BE＝CD，
∴ME＝MD，
∴∠MED＝∠MDE＝30°，
∴∠MED＝∠MBC，
∴DE∥BC，
观察图象可知，当＜GH＜时，DE∥BC．
如图4中，当点D在线段CG上时，DE与BC相交，此时0＜GH＜．
综上所述，当＜GH＜时，DE∥BC．当0＜GH＜时，DE与BC相交．
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