高中数学人教版新课标B必修42.2.1平面向量的基本定理教案

这是一份高中数学人教版新课标B必修42.2.1平面向量的基本定理教案，共9页。

2．学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量的运算与数的运算混淆。
3．对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。
教材分析：
1.教材中给出了一个实际例子(火箭升空的某一时刻速度的分解)，已经让学生感受到向量分解的实际背景，但这个背景对于学生来说有些陈旧，且图片有些偏离实际(火箭与地面形成了45度的夹角，与实际上火箭发射方向一般开始时垂直于地面不符).因此需要设计一个更具时代气息的问题，通过类比来激发学生学习新知的兴趣和欲望.
2本节课主要内容是平面向量基本定理及其应用,学生在前面已经掌握了向量的基本概念、向量的加减运算法、实数与向量的积、向量共线充要条件,这些都是学习本节内容的基础知识,本节课内容是教材第5章中最重要的内容之一.向量具有数和形的两种特征,是数学中解决几何问题的工具,可以使复杂问题简单化、直观化,使代数问题几何化、几何问题代数化,解决起来更加简捷;而平面向量基本定理是把几何问题向量化的理论基础,这一定理说明了同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合.定理本身蕴涵着严谨、条理的数学思维方式,通过合理引导,可以培养学生良好的个性心理品质和较高的数学素养.
3.本节课的重点是平面向量基本定理,也是本节课的难点.突破难点的关键是在充分理解向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件的基础上,多方位、多角度设计有关训练题,从而加深对该定理的理解.
4.本课之后要研究向量的坐标表示及运算.本课要从向量的线性运算中得出平面向量基本定理，为下一课定义向量的坐标提供理论基础，从而彻底实现“向量运算的代数化”.所以本课具有承前启后的作用.
课标分析
向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。从问题中抽象出向量模型，再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果，是利用向量解决问题的基本特征。（平面向量的概念、向量的运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量的主要内容。）平面向量基本定理是向量进行坐标表示，进而将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达和研究事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合）的典型范例，对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着难以替代的重要作用。把向量放在三角函数和三角恒等变换之间，一方面是学习向量需要三角函数做准备，另一方面是为了利用向量的数量积推导两角差的余弦公式。在具体的课程中要做到
1．理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。
2．通过不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。
3．通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。
4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。
5．体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。
平面向量基本定理导学案

班级： 小组： 姓名： 小组评价： 教师评价：
教学过程
效果分析：
1.按照新课程的理念，从以学生发展为本出发，在教学中应对教材进行二次开发。对教材中的内容领会和把握的同时，对内容进行创造性的，个性化的运用。以生成丰富多样的教学内容。将课程，教材，教学内容，典型例题等从不同的层面贯通联系起来，寻求最佳教学效果。
2.从实际授课的情况看，多数学生对知识的理解基本到位，但在运用的熟练程度上还有所欠缺，对一些细节问题，如向量的表示中箭头的问题，向量符号的问题等等还需加强，解题的规范性需要进一步提升。
3.在小组合作环节，个别学生投入程度不够，过分依赖小组内的其它成员，自己不主动思考，回答问题不够积极，学习动力不足，导致整体学习氛围不浓。该部分同学对应的评测练习出现问题较多。
课后反思：
1.本节课一开始，通过火箭助推器分离，结合物理学中力和位移的分解提出问题，试图快速集中学生的注意力，引起学生的有效思考.课堂结尾可以帮助学生理清脉络，抓住重点，巩
固知识，激发探求新知的兴趣.小结通过三个问题，引导学生反思回顾本节课的内容—平面向量基本定理，感受知识间的关系，体会平面内一个向量和两个不共线向量间的相互转化.
2. 分层次教学是为了满足不同学生的需要，本课开始的问题情境，研究速度可以分解成
竖直向上和水平向前的两个分速度，类似的，平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢?这一问题可以把不同层次的学生引人课堂.让学生作图是一种学生自主尝试.在例1前的一个小问题—观察下图的平行四边形，试从中找出一组基底，使得例1的求解变得轻而易举. “建构知识”部分，在学生得到了平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示的结论后，教师提出用代数表达式来表示这一结论的任务，请同学们分组讨论.这要求学生洞察知识间的联系，自觉提取向量共线定理这一知识.。
3.本节课在具体的教学实施过程中，让学生动手、讨论的力度还不够，应当让更过的同学参与其中，这样效果可能会更好。从实际诊断练习的情况看，部分学生理解的还不是很到位，还不够熟练，在知识的前后练习方面还需加强认识。
学习目标：掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；
或一个向量分解为两个向量.
重难点：平面向量的基本定理及应用。
自主预习
问题1.平面内向量共线的条件及向量运算的三角形、平行四边形法则是怎样的？
问题2.现实生活与学习中有关向量（矢量）合成的事例有哪些？
问题3：平面向量基本定理与前面所学的平行向量基本定理,在内容和表述形式上有什么区别和联系?（预习课本P96-P98）完成教材，理解平面向量基本定理及其相关应用。
预习疑惑：
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课内探究
探究一
平面向量基本定理及其证明
思考
1.一组平面向量的基底有多少对？
2. 若基底选取不同，则表示同一向量的实数是否相同？
3.如何运用该定理解决具体问题。
例1 平行四边形的两条对角线交于点，且，试用基底表示。
思考：
1.解题要点：
2.要注意的问题：
变式 在△ABC中，＝， ＝，点G是△ABC的重心，试用，表示．
P
B
A
O
例2已知是直线上任意两点，是外一点，求证：对于直线上任意一点，存在唯一的实数，使关于基底的分解式为①。并且满足①式的点一定在上。
思考：
1.证明要点：
2.要记住哪些结论，在具体问题中应当如何应用？
课堂小结
补充深化
当堂检测
1.设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量，不能作为基底的是
A.和 B.和
C.和 D.和
2.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)
3.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).
A
E
B
D
F
C
4．已知如图所示，在中，点为的中点，为三等分点，若，，用表示,,。

学生总结
教学设计
设计本环节意在锻炼生自主学习、合作探究的能力。通过自主预习，发现学习中的困惑，使听讲更有针对性，学习效果会更好。