高考数学二轮专题复习之46分题专项练(三)

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46分题专项练(三)1．在条件①3Sn＋1＝Sn＋1，②a2＝，③2Sn＝1－3an＋1中选择两个，补充在下面问题中，并解答．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足________，________；又正项等差数列{bn}满足b1＝2，且b1，b2－1，b3成等比数列．(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)证明：ab1＋ab2＋…＋abn<.      2.如图，点A，B分别是圆心在坐标原点、半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2. (1)求t＝时，A，B两点间的距离；(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t>0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．           3．某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核为优秀．现获得该公司2011～2018年的相关数据如表所示：年份20112012201320142015201620172018年生产台数(万台)2345671011该产品的年利润(百万元)2.12.753.53.2534.966.5年返修台数(台)2122286580658488注：年返修率＝.(1)从该公司2011～2018年的相关数据中任意选取4年的数据，以ξ表示4年中生产部门考核为优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y(百万元)关于年生产台数x(万台)的线性回归方程(精确到0.01)．参考公式：回归方程＝x＋，其中＝     4.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；(2)(一题多解)设PC＝2AB，求二面角E－l－C的取值范围．       46分题专项练(三)1．解：(1)方案一：选择①②.当n≥2时，由3Sn＋1＝Sn＋1得3Sn＝Sn－1＋1，两式相减，得3an＋1＝an，即＝(n≥2)，由①得3S2＝S1＋1，即3(a1＋a2)＝a1＋1，又a2＝，所以2a1＝1－3a2＝1－＝，得a1＝，所以＝，所以{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an＝×＝.设等差数列{bn}的公差为d，d≥0，因为b1，b2－1，b3成等比数列，所以b1b3＝(b2－1)2，即2(2＋2d)＝(1＋d)2，解得d＝3或d＝－1(舍去)，所以bn＝2＋3(n－1)＝3n－1.方案二：选择②③.当n≥2时，由2Sn＝1－3an＋1得2Sn－1＝1－3an，两式相减，得2an＝3an－3an＋1，所以＝(n≥2)，又2S1＝1－3a2，a2＝，得a1＝，所以＝，所以{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an＝×＝.(以下同方案一)(2)证明：由(1)得abn＝a3n－1＝，则ab1＋ab2＋…＋abn＝＋＋…＋＝＝<.2．解：(1)连接AB，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，所以∠AOB＝.又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，即A，B两点间的距离为.(2)依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos，即函数关系式为y＝cos(t>0)，当t∈时，2t＋∈，所以cos∈，故当t∈时，y∈.3．解：(1)由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀，ξ可能为1，2，3，4.所以P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝.所以ξ的分布列为ξ1234PE(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝2.5(万元)．(2)因为x5＝x＝6，所以去掉2015年的数据后不影响的值，所以去掉2015年的数据后，′＝＝6，′＝＝，所以＝－＝－×6≈1.27，所以y关于x的线性回归方程为＝0.48x＋1.27.4．解：(1)l∥平面PAC.证明如下：因为EF∥AC，AC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC，又EF⊂平面BEF，平面BEF与平面ABC的交线为l，所以EF∥l，而l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以l∥平面PAC.(2)方法一：设直线l与圆O的另一个交点为D，连接DE，DB.由(1)知，BD∥AC，而AC⊥BC，所以BD⊥BC，因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥BD，而PC∩BC＝C，所以BD⊥平面PBC，又因为FB⊂平面PBC，所以BD⊥BF，所以∠FBC是二面角E－l－C的平面角．因为PC＝2AB，PC＝2FC，所以AB＝FC.所以tan∠FBC＝＝＝，注意到0<∠ABC<，所以0<cos∠ABC<1，所以tan∠FBC>1.因为0<∠FBC<，所以∠FBC∈.即二面角E－l－C的取值范围是.方法二：由题意，知AC⊥BC，PC⊥AC，PC⊥BC，所以以C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设AB＝2，BC＝t(0<t<2)，则B(0，t，0)，F(0，0，2)，D(，t，0)，则＝(0，－t，2)，＝(，0，0)，设平面DBF的法向量为m＝(x，y，z)，则由得取y＝2，得m＝(0，2，t)．易知平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，设二面角E－l－C的大小为θ，易知θ为锐角，cos θ＝＝＝∈，所以<θ<，即二面角E－l－C的取值范围是.