高考数学二轮专题复习之46分题专项练(六)

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46分题专项练(六)1．在①a3＋b3＝0，②S3＝－19.5，③a3＋a1＝2＋这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的λ存在，求出λ的值；若λ不存在，说明理由．已知等差数列{an}的公差为d，Sn是数列{an}的前n项和，等比数列{bn}的公比为q(q≠1)，Tn是数列{bn}的前n项和，________，b1＝1，T3＝3，d＝－q，是否存在正整数λ，使得关于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解？       2．在斜三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＋2＝.(1)求A的大小；(2)若>，求B的取值范围．    3．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．(1)(一题多解)证明：平面AEF⊥平面PBC；(2)试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°.      4．某款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类APP，主要提供的产品有蔬菜、豆制品、水果、肉禽蛋、水产海鲜、米面粮油、食品等．某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机抽取了100人，调查结果整理如下： 年龄段20以下[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]70以上使用人数510188420未使用人数002123630(1)从被抽取的年龄在[40，60)的使用者中，随机抽取2人进一步了解情况，求这2人年龄都在[50，60)的概率；(2)为鼓励居民使用，该机构拟对首次下载使用APP的居民赠送1张5元的代金券．若某区预计6000人具有购物能力，试估计该机构至少应准备多少张代金券；(3)用随机抽样的方法从该地区抽取20名市民进行调查，用X表示其中年龄在[20，40)的人数．试求P(X＝k)(k＝0，1，2，…，20)的最大值．      46分题专项练(六)1．解：由b1＝1，T3＝b1(1＋q＋q2)＝3，得q＝－2或q＝1(舍去)，所以bn＝(－2)n－1.方案一：选①，因为a3＋b3＝0，所以a3＝－b3＝－4，d＝－q＝2，所以an＝a3＋2(n－3)＝2n－10，a1＝－8，所以Sn＝n(n－9)＝－≥－20，由λ(30＋Sk)≤10得λ≤≤1，所以λ＝1，所以当λ＝1时，30＋Sk≤10，解得k＝4或k＝5，故存在λ＝1，使得关于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解．方案二：选②，因为S3＝－19.5，所以a2＝－6.5，d＝－q＝2，所以an＝a2＋2(n－2)＝2n－10.5，a1＝－8.5，所以Sn＝n(n－9.5)＝－≥－22.5.由λ(30＋Sk)≤10得λ≤≤<2，所以λ＝1，所以当λ＝1时，30＋Sk≤10，解得k＝4或k＝5或k＝6，故存在λ＝1，使得关于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解．方案三：选③，因为a3＋a1＝2＋＝6，所以a2＝＝3，d＝－q＝2，所以an＝a2＋2(n－2)＝2n－1，a1＝1，所以Sn＝n2，所以30＋Sk>10，所以不存在正整数λ，使得关于k的不等式λ(30＋Sk)≤10有解．2．解：(1)因为＋2＝，所以＋2＝＝＝，所以＝－.所以sin 2A＝1，因为△ABC为斜三角形，所以A＝.(2)因为>，所以cos B>0，B∈.由(1)知B＋C＝，所以>，即>，所以＋tan B>，所以tan B>1，所以<B<，所以B的取值范围为.3．解：(1)证明：方法一：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC.又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB.又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.方法二：因为PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAB，PA⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以平面PAB⊥底面ABCD，因为ABCD为正方形，所以BC⊥AB.又BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.因为PA＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB.因为PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC.(2)因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，所以以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，设正方形ABCD的边长为2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(1，0，1)，所以＝(1，0，1)，＝(2，2，－2)，＝(0，2，－2)．设点F的坐标为(2，λ，0)(0≤λ≤2)，则＝(2，λ，0)．设n＝(x1，y1，z1)为平面AEF的法向量，则所以取y1＝2，则n＝(－λ，2，λ)．设m＝(x2，y2，z2)为平面PCD的法向量，则所以取y2＝1，则m＝(0，1，1)，则cos〈n，m〉＝＝＝，解得λ＝1.所以点F为BC的中点．4．解：(1)设事件A为“这2人年龄都在[50，60)”，从被抽取的年龄在[40，60)的使用者中随机抽取2人，共包含C个基本事件，事件A共有C个基本事件，则P(A)＝＝.(2)随机抽取的100名顾客中，使用该款软件的有5＋10＋18＋8＋4＋2＝47(名)，所以该机构至少应准备×6 000＝2 820张代金券．(3)由题意得X服从二项分布．因为年龄在[20，40)的概率为＋＝0.3，所以X～B(20，0.3)，所以P(X＝k)＝C0.3k(1－0.3)20－k(k＝0，1，2，3，…，20)．设h＝＝＝(k＝1，2，3，…，20)，若h>1，则k<6.3，P(X＝k－1)<P(X＝k)；若h<1，则k>6.3，P(X＝k－1)>P(X＝k)．所以当k＝6时，P(X＝k)最大，最大值是P(X＝6)＝C0.36×0.714.