宁夏自治区银川市三校2020届高三下学期联考数学（文）试题（解析版）

2020年银川九中、石嘴山三中、平罗中学三校联考

（文科）数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，，，则下列结论正确的是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据集合的定义与运算法则，判断选项中的命题是否正确即可．

【详解】由题知集合与集合互相没有包含关系，故A错误；

又，故B错误；

，故C错误；

，故D正确，

故选D.

【点睛】本题考查了集合的定义与集合间的相互关系问题，重点考查了集合的交并补的运算，是基础题．

2.设复数满足，则在复平面内的对应点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

先对复数进行化简，进而可得到它在复平面内对应点的坐标，从而可得到答案．

【详解】由题意，，故在复平面内对应点为，在第一象限，故选A.

【点睛】本题考查了复数的四则运算，及复数的几何意义，属于基础题．

3.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（  ）

A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24

C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是21

【答案】B

【解析】

【分析】

通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．

【详解】由茎叶图知

甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对

甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对

甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对

乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对

故选B．

【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．

4.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（   ）

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

【答案】A

【解析】

【分析】

利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.

【详解】从冬至起，日影长依次记为，

根据题意，有，

根据等差数列的性质，有，

而，设其公差为，则有，

解得，

所以冬至的日影子长为尺，

故选A.

【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.

5.已知函数，则（    ）

A. 是偶函数，且在R上是增函数 B. 是奇函数，且在R上是增函数

C. 是偶函数，且在R上是减函数 D. 是奇函数，且在R上是减函数

【答案】B

【解析】

【分析】

根据奇函数的定义以及复合函数的单调性可得.

【详解】因为的定义域是R，

为奇函数，

又是R上的增函数，

故选：B.

【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的判断，属中档题.

6.已知向量，则在方向上的投影为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先得到，计算出与的夹角余弦值，和的模长，再由模长乘夹角余弦值，得到投影.

【详解】

，

设与的夹角为，则

所求在方向上的投影为=

故选B项.

【点睛】考查向量的坐标运算，向量在某个方向上的投影的求法，属于简单题.

7.一位老师将三道题（一道三角题，一道数列题，一道立体几何题）分别写在三张卡纸上，安排甲、乙、丙三位学生各抽取一道.当他们被问到谁做立体几何题时，甲说：“我抽到的不是立体几何题”，乙说：“我喜欢三角，可惜没抽到”，丙说：“乙抽到的肯定不是数列题”.事实证明，这三人中只有一人说的是假话，那么抽到立体几何题的是（     ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 不确定

【答案】C

【解析】

【分析】

只有1人说假话，就从假话开始推理，假定其中1人说假话，另两人说真话，看看有没有矛盾．

【详解】若甲说的假话，则甲抽到的是立体几何题，乙抽到数列题，这里丙又是假话，不合题意，甲是真话；若乙假话，则乙抽到三角题，这里甲丙真话，甲抽到数列题，丙抽到立体几何题，符合题意；若丙是假话，则乙抽到数列题，甲乙真话，甲抽到三角题，丙只能是立体几何题.

故选：C.

【点睛】本题考查推理，考查演绎推理．掌握演绎推理的概念是解题基础．

8.、是两条不同的直线，是平面，，则是的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

根据线面平行的性质定理、线面垂直的定义结合充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】当时，过直线作平面，使得，则，

，，，，即；

当时，由于，则或，所以，.

综上所述，是的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.

9.已知其中，，.则的单调递减区间是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平面向量的数量积运算和三角恒等变换，得到的解析式，再利用余弦函数的性质求解.

【详解】因为，，，

所以，

令，

解得，

所以的单调递减区间是.

故选：C

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积与三角函数的化简与性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

10.若数列的前n项和为，满足，，则的前20项和为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用递推公式和等差数列的定义求出数列的通项公式和前n项和的表达式，再利用裂项相消法进行求和即可.

【详解】因为，即，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

由等差数列通项公式可得，，

所以，

即，

所以

.

故选：D

【点睛】本题考查等差数列的定义及其通项公式、前n项和公式和裂项相消法求和；考查运算求解能力；熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

11.三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

试题分析：分析可知球心在的中点．因为，，所以．

所以．球的半径．所以此球的表面积为．故A正确．

考点：三棱锥的外接球．

12.过抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是（     ）

A. 7 B. 6 C. 5 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】

设，A（x1，y1），B（x2，y2），利用导数的几何意义求出切线AB的方程，点P的坐标代入两切线方程即可观察求出直线AB的方程，确定直线AB恒过抛物线焦点可知距离之和为AB，数形结合知当AB为通径时取最小值2p.

【详解】设抛物线C：x2＝4y的准线上任意一点．

点P作抛物线的切线PA，PB，设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

由A，B是抛物线上的点知，

x2＝4y⇒，

所以切线PA的方程为：，

切线PB方程为，

因为点在切线PA，PB上，

所以⇒直线AB的方程为mx＝2（y﹣1）．

故直线AB过定点（0，1），（即AB恒过抛物线焦点），

则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和为AB，

数形结合知当AB为通径时最小，最小值是2p＝4．

故选：D．

【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的应用，属于较难题.

二、填空题（本大题共5小题，共20分）

13.已知实数，满足不等式组，则的最大值为________.

【答案】6

【解析】

【分析】

先作出不等式组所表示的可行域，再运用目标函数的几何意义得出最值.

详解】由不等式组作出可行域如下图所示，由，得，由图示可知直线过点C时，取得最大值，

由得，所以的最大值为，

故答案为：6.

【点睛】本题考查不等式组所表示的可行域和线性目标函数的最值求解，正确理解目标函数的几何意义是解决本题的关键，属于基础题.

14.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为________.

【答案】3

【解析】

【分析】

根据圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高）,可得,进而可求出的值

【详解】解:设圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为,由题意知

,解得.

故答案为:3.

【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思,结合方程的思想即可求出结果.

15.若双曲线的两条渐近线斜率分别为，，若，则该双曲线的离心率为________.

【答案】2

【解析】

【分析】

由题得,再根据求解即可.

【详解】双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得.

故答案为：2.

【点睛】本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题.

16.已知函数，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】

由，或，有且仅有三个零点，

函数与函数和函数有三个交点，做出函数的图像，即可求解.

【详解】，或

有且仅有三个零点，函数与函数和

函数有三个交点，根据函数图像，.

故答案为:

【点睛】本题考查复合函数的零点，考查数学结合思想，属于中档题.

三、解答题（本大题共7小题，共70分）

17.如图，四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若，，.

（1）求证：；

（2）若与底面ABCD所成角为，求点D到平面PBC的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）计算线段长度结合勾股定理逆定理得到，证明平面得到答案.

（2）设点到平面的距离，计算，利用等体积法计算得到答案.

【详解】（1）∵，，，

∴，∴，

∴，∴，

∵平面，平面，∴，

又，∴平面，∵平面，∴.

（2）设点到平面的距离，由（1）知，

∴，

∵平面，∴是与底面所成的角，

∴，∴，∴.

∵，，，

∴，∴，

∴，∴，

又，∴，解得.

【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，等体积法是解题的关键.

18.分别为的内角的对边.已知.

（1）若，求；

（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出；

（2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大，

结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长．

【详解】（1）由，得，

即.

因为，所以.

由，得.

（2）因为，

所以，当且仅当时，等号成立.

因为的面积.

所以当时，的面积取得最大值，

此时，则，

所以的周长为.

【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，涉及到基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力．

19.某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为了研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据“25周岁以上组”的频率分布直方图，求25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；

（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；

（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有 的把握认为“生产能手与工人所在年龄组有关”？

附：

【答案】（1）；（2）；（3）没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.

【解析】

试题分析：（1）根据频率分布直方图可得中位数为；（2）根据频率分布直方图计算出25周岁以上名，25周岁以下工人名，利用列举法，根据古典概型的概率计算公式即可得结果；（3）根据题意完成列联表，计算出的值即可得结果.

试题解析：由于采用分层抽样，则“25周岁以上”应抽取名，“25周岁以下”应抽取名.

（1）由“25周岁以上组”的频率分布直方图可知，其中位数为

，综上，25周岁以上组工人日平均生产件数的中位数为73件.

（2）由频率分布直方图可知，日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上共名，设其分别为；25周岁以下工人共名，设其分别为.记“至少抽到一名25周岁以下工人”为事件.

所有基本事件分别为，共10个；事件包含的基本事件共7个.

由于事件符合古典概型，则；

（3）由频率分布直方图可知，25周岁以上的“生产能手”共名，25周岁以下的“生产能手”共名，则列联表如图所示.

所以，

综上，没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.

20.易知椭圆，其短轴为4，离心率为e1.双曲线的渐近线为，离心率为e2，且.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

【答案】（1）（2）是定值，.

【解析】

【详解】（1）由题意可知：2b=4，b=2，，双曲线的离心率，

则椭圆的离心率为.椭圆的离心率，则a=.

所以椭圆的标准方程：.

（2）是定值，证明如下：

如图，设直线MN的方程为.

联立消去y整理得

设，则，

.

将，代入上式得，

即.

21.已知函数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）由，求导得到，然后再求得，，写出切线方程.

（2）当时，，设，用导数法研究其单调性，结合零点存在定理，得到函数的图象性质，然后将方程在区间上有唯一解，转化为方程在区间上有唯一解求解.

【详解】（1）当时，，

所以，.

又因为，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2）当时，.

设，

所以，

因为，，

所以.

所以在区间上单调递减.

因为，，

所以存在唯一的，使，即.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.

因为，，

因为方程在区间上有唯一解，

即方程在区间上有唯一解，

所以.

【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数零点问题以及零点存在定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.

请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.已知直线：与曲线：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线和曲线的极坐标方程；

（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，这两条直线与曲线分别交于异于极点的，两点，求的面积.

【答案】（1）直线：，曲线：；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用 化极坐标方程；

（2）由题极坐标方程为：，进而得，

，利用面积公式求解即可

【详解】（1）则直线的方程为：，∴极坐标方程为：；

曲线的方程：，即，∴极坐标方程为：.

（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，则极坐标方程为：，

设，，则，，

所以的面积.

【点睛】本题考查极坐标与普通方程的应用，考查极坐标的几何意义，考查面积公式，准确应用几何意义是关键，是基础题

23.已知函数的最小值为．

（1）求的值；

（2）若为正实数，且，证明：．

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

【分析】

(1)分与两种情况去绝对值进行讨论即可.

(2)利用基本不等式证明即可.

【详解】（1）根据题意,函数

所以为在单调递减,在单调递增,

所以

（2）由(1)知,,所以

又因为为正实数,

,,,

所以,即,

所以,

即．

【点睛】本题考查含有绝对值的函数的最值,基本不等式的应用等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力.考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算.