2021高考数学二轮复习专题六第2讲：圆锥曲方程与性质

这是一份2021高考数学二轮复习专题六第2讲：圆锥曲方程与性质，共24页。


考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
[对点训练]
1．(2018·江西九江模拟)F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,7)＝1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B.eq \f(7,4) C.eq \f(7,2) D.eq \f(7\r(5),2)
[解析] 由题意可得，a＝3，b＝eq \r(7)，c＝eq \r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6.
∴|AF2|＝6－|AF1|.
在△AF1F2中，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cs45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
解得|AF1|＝eq \f(7,2)，
∴△AF1F2的面积S＝eq \f(1,2)×eq \f(7,2)×2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(7,2)，故选C.
[答案] C
2．(2018·河南新乡二模)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若eq \(BA,\s\up6(→))＝2eq \(AF,\s\up6(→))，且|eq \(BF,\s\up6(→))|＝4，则双曲线C的方程为( )
A.eq \f(x2,6)－eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,12)＝1
C.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)＝1
[解析] 不妨设B(0，b)，由eq \(BA,\s\up6(→))＝2eq \(AF,\s\up6(→))，F(c,0)，可得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2c,3)，\f(b,3)))，代入双曲线C的方程可得eq \f(4,9)×eq \f(c2,a2)－eq \f(1,9)＝1，即eq \f(4,9)·eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(10,9)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,2)，①
又|eq \(BF,\s\up6(→))|＝eq \r(b2＋c2)＝4，c2＝a2＋b2，
∴a2＋2b2＝16，②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，
∴双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)＝1，故选D.
[答案] D
3．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4eq \r(3)，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝eq \f(15,2)x
[解析] 设M(x，y)，因为|OF|＝eq \f(p,2)，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋eq \f(p,2)＝2p，所以x＝eq \f(3,2)p，所以y＝±eq \r(3)p，又△MFO的面积为4eq \r(3)，所以eq \f(1,2)×eq \f(p,2)×eq \r(3)p＝4eq \r(3)，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x，故选B.
[答案] B
4．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，eq \r(2))，则△APF周长的最小值为( )
A．4＋eq \r(2) B．4(1＋eq \r(2))
C．2(eq \r(2)＋eq \r(6)) D.eq \r(6)＋3eq \r(2)
[解析] 由题意知F(eq \r(6)，0)，设左焦点为F0，则F0(－eq \r(6)，0)，由题可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝eq \r(0＋\r(6)2＋\r(2)－02)＋eq \r(\r(6)－02＋0－\r(2)2)＋2×2＝4eq \r(2)＋4＝4(eq \r(2)＋1)，当且仅当A、F0、P三点共线时取得“＝”，故选B.
[答案] B
[快速审题] 看到求圆锥曲线方程，想到待定系数法、定义法；看到椭圆和双曲线上一点与两焦点构成的三角形，想到定义的应用．
求解圆锥曲线标准方程的思路方法
(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a2，b2或p.
考点二 圆锥曲线的几何性质
1．在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2).
2．在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2).
3．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.

[解析] (1)解法一：由题意知，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(3)a，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)a，所以eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x，故选A.
解法二：由e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \r(3)，得eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x，故选A.
(2)设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，
若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝eq \r(2)m.由椭圆的定义可知△F1AB的周长为4a，
所以4a＝2m＋eq \r(2)m，m＝2(2－eq \r(2))a.
所以|AF2|＝2a－m＝(2eq \r(2)－2)a.
因为|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
所以4(2－eq \r(2))2a2＋4(eq \r(2)－1)2a2＝4c2，
所以e2＝9－6eq \r(2)，e＝eq \r(6)－eq \r(3)，故选D.
[答案] (1)A (2)D
[探究追问1] 本例(2)中若椭圆改为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过F2的直线与双曲线交于A，B两点，其他条件不变，则双曲线离心率e的值为________．
[解析] 如图所示：
因为|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，|AF1|＝|AF2|＋|BF2|，
所以|BF2|＝2a，|BF1|＝4a.
所以|AF1|＝2eq \r(2)a，|AF2|＝2eq \r(2)a－2a.
因为|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，
所以(2c)2＝(2eq \r(2)a)2＋(2eq \r(2)a－2a)2，
所以e2＝5－2eq \r(2)，e＝eq \r(5－2\r(2)).
[答案] eq \r(5－2\r(2))
[探究追问2] 在本例(2)中若条件变为“在双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点，若在线段BF上存在点P，使得△PA1A2构成以A1A2为斜边的直角三角形”，则双曲线离心率e的取值范围是________．
[解析] 由题意知以线段A1A2为直径的圆和线段BF有公共点，则原点到直线BF的距离小于或等于a，
又直线BF的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0，
所以eq \f(|－bc|,\r(b2＋c2))≤a，整理得a4－3a2c2＋c4≤0，
即e4－3e2＋1≤0，解得eq \f(3－\r(5),2)≤e2≤eq \f(3＋\r(5),2)，又e>1，所以1[答案] eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5)＋1,2)))
应用圆锥曲线性质的2个要点
(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．
(2)求双曲线渐近线方程关键在于求eq \f(b,a)或eq \f(a,b)的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．
[对点训练]
1．(2018·临汾二模)若直线y＝－eq \r(3)x与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3)－1,2)
C.eq \r(3)－1 D．4－2eq \r(3)
[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，由题意可得|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c.由y＝－eq \r(3)x得∠AOF2＝eq \f(2π,3)，∠AOF1＝eq \f(π,3)，∴|AF2|＝eq \r(3)c，|AF1|＝c.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＝2a，
∴c＋eq \r(3)c＝2a，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1，故选C.
[答案] C
2．(2018·南昌调研)已知F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.eq \r(2)x±y＝0 B．x±eq \r(2)y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
[解析] 由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得，
|PF1|－|PF2|＝2a，
又|PF1|＋|PF2|＝6a，
解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，
所以|PF2|<|F1F2|，
所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2×2c×4acs30°，
得c＝eq \r(3)a，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x，即eq \r(2)x±y＝0，故选A.
[答案] A
考点三 抛物线中的最值问题
抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
[解题指导]
eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(1\x(|PQ|≥|PC|－1), \x(|PF|＝d)))―→eq \x(|PQ|＋d的最值)―→
eq \x(|PC|＋|PF|的最值)―→eq \x(利用三角形法则求解)
(2)eq \x(作图形)―→eq \x(\a\al(|PF|转化为P,到准线的距离))―→eq \x(\a\al(利用三角形,法则求解))
[解析] (1)由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心C(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|CF|－r＝eq \r(1＋16)－1＝eq \r(17)－1，故选C.
(2)过P作PM⊥l于M，则由抛物线定义知|PM|＝|PF|，
故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|.
当A、P、M三点共线时，
|PA|＋|PM|最小，此时点P坐标为(2,2)，故选C.
[答案] (1)C (2)C
与抛物线最值有关问题的两种转化
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．
[对点训练]
1．(2018·郑州检测)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(3,2) C．1 D．2
[解析] 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则
|MM1|＝eq \f(|AA1|＋|BB1|,2).因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.
[答案] D
2．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为( )
A．6 B．2＋4eq \r(2)
C．2eq \r(13) D．4eq \r(3)
[解析] 由已知可得抛物线y2＝－8x的焦点为F(－2,0)，准线方程为x＝2.设点A的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±4.O关于准线的对称点为O′(4,0)，则当点P为AO′与准线x＝2的交点时，|PA|＋|PO|有最小值，且最小值为|AO′|＝2eq \r(13)，故选C.
[答案] C
1．(2018·浙江卷)双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的焦点坐标是( )
A．(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－eq \r(2))，(0，eq \r(2)) D．(0，－2)，(0,2)
[解析] ∵a2＝3，b2＝1，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝2.又∵焦点在x轴上，∴双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，故选B.
[答案] B
2．(2018·天津卷)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
[解析] ∵双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴e2＝1＋eq \f(b2,a2)＝4，∴eq \f(b2,a2)＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，
由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，
∵eq \f(b2,a2)＝3，∴渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，
则点A与点B到直线eq \r(3)x－y＝0的距离分别为d1＝eq \f(|2\r(3)a－3a|,2)＝eq \f(2\r(3)－3,2)a，d2＝eq \f(|2\r(3)a＋3a|,2)＝eq \f(2\r(3)＋3,2)a，又∵d1＋d2＝6，∴eq \f(2\r(3)－3,2)a＋eq \f(2\r(3)＋3,2)a＝6，解得a＝eq \r(3)，∴b2＝9，∴双曲线的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1，故选C.
[答案] C
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
[解析] 由题意易知直线AP的方程为y＝eq \f(\r(3),6)(x＋a)，①
直线PF2的方程为y＝eq \r(3)(x－c)．②
联立①②得y＝eq \f(\r(3),5)(a＋c)，
如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则PH＝eq \f(\r(3),5)(a＋c)．
因为∠PF2H＝60°，PF2＝F1F2＝2c，PH＝eq \f(\r(3),5)(a＋c)，
所以sin60°＝eq \f(PH,PF2)＝
eq \f(\f(\r(3),5)a＋c,2c)＝eq \f(\r(3),2)，
即a＋c＝5c，即a＝4c，
所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,4)，故选D.
[答案] D
4．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为eq \f(\r(3),2)c，则其离心率的值是________．
[解析] 双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则F(c,0)到这条渐近线的距离为eq \f(|bc|,\r(b2＋－a2))＝eq \f(\r(3),2)c，∴b＝eq \f(\r(3),2)c，∴b2＝eq \f(3,4)c2，又b2＝c2－a2，∴c2＝4a2，∴e＝eq \f(c,a)＝2.
[答案] 2
5．(2018·北京卷)已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
[解析]
解法一：如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．
∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝eq \r(3)x，
∴eq \f(n,m)＝eq \r(3).设m＝k，则n＝eq \r(3)k，则双曲线N的离心率e2＝eq \f(\r(k2＋\r(3)k2),k)＝2.
连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF1F2＝30°.
设椭圆的焦距为2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝eq \r(3)c，再由椭圆的定义得|CF1|＋|CF2|＝2a，即(eq \r(3)＋1)c＝2a，∴椭圆M的离心率e1＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(3)＋1)＝eq \f(2\r(3)－1,\r(3)＋1\r(3)－1)＝eq \r(3)－1.
解法二：双曲线N的离心率同解法一．由题意可得C点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))，代入椭圆M的方程，并结合a，b，c的关系，联立得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)))2,a2)＋\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)c))2,b2)＝1，,a2－b2＝c2，))
解得eq \f(c,a)＝eq \r(3)－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＝\r(3)＋1舍去)).
[答案] eq \r(3)－1 2
圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．
热点课题15 几何情境下的圆锥曲线问题
[感悟体验]
1．(2018·福建福州质检)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝eq \r(3)，则E的离心率是( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(5) C.eq \r(3) D.eq \r(2)
[解析] 如图所示，设PF1、PF2分别与△PAF2的内切圆切于M、N，依题意，有|MA|＝|AQ|，|NP|＝|MP|，|NF2|＝|QF2|，|AF1|＝|AF2|＝|QA|＋|QF2|，2a＝|PF1|－|PF2|＝(|AF1|＋|MA|＋|MP|)－(|NP|＋|NF2|)＝2|QA|＝2eq \r(3)，故a＝eq \r(3)，从而e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3)，故选C.
[答案] C
2.
(2018·贵阳监测)已知点P是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)左支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M、N两点(如图)，点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是________．
[解析] 由题意可知，ON为△PF1F2的中位线，∴PF1∥ON，
∴tan∠PF1F2＝tan∠NOF2＝kON＝eq \f(b,a)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(|PF2|,|PF1|)＝\f(b,a)，,|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝2a，,|PF2|＝2b.))
又|PF2|－|PF1|＝2a，∴2b－2a＝2a，b＝2a，c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(5)a，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5).
[答案] eq \r(5)
专题跟踪训练(二十五)
一、选择题
1．(2018·广西三市第一次联合调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(x0，eq \r(2))到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
[解析] 由题意3x0＝x0＋eq \f(p,2)，x0＝eq \f(p,4)，则eq \f(p2,2)＝2，∵p>0，∴p＝2，故选D.
[答案] D
2．(2018·深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )
A.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,10)＝1 B.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1
C.eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1 D.eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,5)＝1
[解析] 椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为(±eq \r(5)，0)，可得c＝eq \r(5)，设所求椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，可得eq \f(9,a2)＋eq \f(4,b2)＝1，又a2－b2＝5，得b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1，故选C.
[答案] C
3．(2018·福州模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，且其离心率e＝eq \f(3,2)，则该双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 B.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,5)＝1 D.eq \f(y2,5)－eq \f(x2,4)＝1
[解析] 易知抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a＝2.又双曲线的离心率e＝eq \f(3,2)，所以c＝3，b2＝c2－a2＝5，所以双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1，故选A.
[答案] A
4．(2018·合肥二模)若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为eq \r(3)，则此双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±eq \f(\r(2),2)x
C．y＝±eq \r(2)x D．y＝±eq \f(1,2)x
[解析] 根据题意，该双曲线的离心率为eq \r(3)，即e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，则有c＝eq \r(3)a，进而b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)a.又由该双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(\r(2),2)x，故选B.
[答案] B
5．(2018·郑州一模)已知双曲线eq \f(y2,4)－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为( )
A．1 B.eq \r(2) C．2eq \r(2) D．4
[解析] 双曲线eq \f(y2,4)－x2＝1的两条渐近线方程是y＝±2x，抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－eq \f(p,2)，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±p.又△AOB的面积为1，∴eq \f(1,2)·eq \f(p,2)·2p＝1.∵p>0，∴得p＝eq \r(2)，故选B.
[答案] B
6．(2018·东北三校联考)已知F1，F2是双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与E的左支交于P，Q两点，若|PF1|＝2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，则E的离心率是( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \f(\r(7),2) C.eq \f(\r(15),3) D.eq \f(\r(17),3)
[解析] 设|F1Q|＝t(t>0)，则|PF1|＝2t，由双曲线的定义有，|F2Q|＝t＋2a，|PF2|＝2t＋2a，又F2Q⊥PQ，所以△F1F2Q，△PQF2都为直角三角形．由勾股定理有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|F1Q|2＋|QF2|2＝|F1F2|2，,|PQ|2＋|QF2|2＝|PF2|2，))即
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t2＋t＋2a2＝4c2，,3t2＋t＋2a2＝2t＋2a2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＝\f(2a,3)，,c＝\f(\r(17),3)a.))
故离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(17),3)，故选D.
[答案] D
7．(2018·长沙一模)A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( )
A．x＝－1 B．y＝－1
C．x＝－2 D．y＝－2
[解析] 过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1，故选A.
[答案] A
8．(2018·陕西西安三模)已知圆x2＋y2－4x＋3＝0与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线相切，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C．2eq \r(2) D.eq \f(2\r(3),3)
[解析] 将圆的一般方程x2＋y2－4x＋3＝0化为标准方程(x－2)2＋y2＝1.由圆心(2,0)到直线eq \f(b,a)x－y＝0的距离为1，得eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2\f(b,a))),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2))＝1，解得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2＝eq \f(1,3)，所以双曲线的离心率为e＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(2\r(3),3)，故选D.
[答案] D
9．(2018·宁夏银川一中二模)已知直线y＝eq \f(2\r(3),3)x和椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于不同的两点M，N，若M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),3)
[解析] 由题意可知，M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，则eq \f(b2,a)＝eq \f(2\r(3),3)c，则3b2＝2eq \r(3)ac，即3c2＋2eq \r(3)ac－3a2＝0.
上式两边同除以a2，整理得3e2＋2eq \r(3)e－3＝0，解得e＝－eq \r(3)或e＝eq \f(\r(3),3).由0[答案] C
10．(2018·杭州第一次质检)设双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为( )
A.eq \f(19,2) B．11 C．12 D．16
[解析] 由双曲线定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，两式相加可得|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8，由于AB为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB|min＝eq \f(2b2,a)＝3，故|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥3＋8＝11，故选B.
[答案] B
11．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A.eq \f(3,2) B．3 C．2eq \r(3) D．4
[解析]
由双曲线C：eq \f(x2,3)－y2＝1可知其渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，∴∠MOx＝30°，∴∠MON＝60°，不妨设∠OMN＝90°，则易知焦点F到渐近线的距离为b，即|MF|＝b＝1，又知|OF|＝c＝2，∴|OM|＝eq \r(3)，则在Rt△OMN中，|MN|＝|OM|·tan∠MON＝3，故选B.
[答案] B
12．(2018·济宁模拟)
如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)＋1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)＋1,4)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5)－1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5)－1,2)，1))
[解析] 设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为eq \(B2A2,\s\up6(→))，eq \(F2B1,\s\up6(→))所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b20，即e2＋e－1>0，e>eq \f(\r(5)－1,2)或e[答案] D
二、填空题
13．(2018·成都摸底测试)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)＝1(a>0)和抛物线y2＝8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．
[解析] 易知抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,2)＝1的焦点为(2,0)，则a2＋2＝22，即a＝eq \r(2)，所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2).
[答案] eq \r(2)
14．(2018·湖北八校联考)
如图所示，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为________．
[解析] 由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq \r(|FF′|2－|PF|2)＝eq \r(102－62)＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴椭圆C的方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1.
[答案] eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1
15．(2018·西安四校联考)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于P、Q两点，若P恰为线段F1Q的中点，且QF1⊥QF2，则此双曲线的渐近线方程为____________．
[解析] 根据题意，P是线段F1Q的中点，QF1⊥QF2，且O是线段F1F2的中点，故OP⊥F1Q，而两条渐近线关于y轴对称，故∠POF1＝∠QOF2，又∠POF1＝∠POQ，所以∠QOF2＝60°，渐近线的斜率为±eq \r(3)，故渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.
[答案] y＝±eq \r(3)x
16.
如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝eq \f(b,2)与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
[解析] 由已知条件易得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，F(c,0)，∴eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(\r(3),2)a，－\f(b,2)))，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(\r(3),2)a，－\f(b,2)))，
由∠BFC＝90°，可得eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝0，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－\f(\r(3),2)a))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c＋\f(\r(3),2)a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2)))2＝0，
c2－eq \f(3,4)a2＋eq \f(1,4)b2＝0，
即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，
亦即3c2＝2a2，
所以eq \f(c2,a2)＝eq \f(2,3)，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3).
[答案] eq \f(\r(6),3)