2021高考数学二轮复习专题五跟踪训练1

这是一份2021高考数学二轮复习专题五跟踪训练1，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )
A．3eq \r(2) B．2eq \r(3) C．2eq \r(2) D．2
[解析] 由三视图得该四棱锥的直观图如图中S－ABCD所示，由图可知，其最长棱为SD，且底面ABCD是边长为2的正方形，SB⊥面ABCD，SB＝2，所以SD＝eq \r(22＋22＋22)＝2eq \r(3)，故选B.
[答案] B
2．(2018·益阳、湘潭高三调考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(8,3) D．4
[解析] 由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥A－PBC(放到棱长为2的正方体中)，则VA－PBC＝eq \f(1,3)×S△PBC×AB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×2＝eq \f(4,3)，故选B.
[答案] B
3．(2018·辽宁五校联考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．36 B．48 C．64 D．72
[解析]
由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为eq \f(1,2)×3×4×4＋eq \f(1,2)×3×4×4＝48，故选B.
[答案] B
4．(2018·广东七校联考)某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是( )
A．13π B．16π C．25π D．27π
[解析] 由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体，由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4，所以底面边长为2eq \r(2)，由侧视图知该长方体的高为3，设该几何体的外接球的半径为R，则2R＝eq \r(2\r(2)2＋2\r(2)2＋32)＝5，解得R＝eq \f(5,2)，所以该几何体的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×eq \f(25,4)＝25π，故选C.
[答案] C
5．(2018·洛阳市高三第一次联考)已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为( )
A.eq \f(8\r(2),3)π B.eq \f(8\r(3),3)π
C.eq \f(8\r(6),3)π D.eq \f(16\r(2),3)π
[解析] 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体相应面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2eq \r(2).因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长，其长为2eq \r(2)，则球O的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(8\r(2),3)π，故选A.
[答案] A
6．(2018·河北第二次质检)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是( )
A．50 B．75 C．25.5 D．37.5
[解析] 由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.如图，图中几何体ABCC1MN为剩余部分，因为AM＝2，B1C1⊥平面MNB1A1，所以剩余部分的体积V＝V三棱柱－V四棱锥＝eq \f(1,2)×5×5×5－eq \f(1,3)×3×5×5＝37.5，故选D.
[答案] D
7．(2018·广东广州调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．4＋4eq \r(2)＋2eq \r(3) B．14＋4eq \r(2)
C．10＋4eq \r(2)＋2eq \r(3) D．4
[解析] 如图，该几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥S－ABCD.连接AC，因为AC＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，SC＝eq \r(2\r(5)2＋22)＝2eq \r(6)，SD＝SB＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，CD＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，SB2＋BC2＝(2eq \r(2))2＋42＝24＝SC2，故△SCD为等腰三角形，△SCB为直角三角形．过D作DK⊥SC于点K，则DK＝eq \r(2\r(2)2－\r(6)2)＝eq \r(2)，△SCD的面积为eq \f(1,2)×eq \r(2)×2eq \r(6)＝2eq \r(3)，△SBC的面积为eq \f(1,2)×2eq \r(2)×4＝4eq \r(2).所求几何体的表面积为eq \f(1,2)×(2＋4)×2＋2×eq \f(1,2)×2×2＋4eq \r(2)＋2eq \r(3)＝10＋4eq \r(2)＋2eq \r(3)，故选C.
[答案] C
8．(2018·河南濮阳二模)已知三棱锥A－BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A－BD－C为直二面角，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为( )
A.eq \f(10π,3) B．5π C．6π D.eq \f(20π,3)
[解析] 取BD中点M，连接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，CM的三等分点P，Q，过P作面ABD的垂线，过Q作面CBD的垂线，两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，其中OQ＝eq \f(\r(3),3)，CQ＝eq \f(2\r(3),3)，连接OC，则外接球的半径R＝OC＝eq \f(\r(15),3)，表面积为4πR2＝eq \f(20π,3)，故选D.
[答案] D
9．(2018·广东揭阳一模)某几何体三视图如图所示，则此几何体的表面积为( )
A．4π＋16 B．2(eq \r(2)＋2)π＋16
C．4π＋8 D．2(eq \r(2)＋2)π＋8
[解析] 由三视图知，该几何体是一个棱长为2的正方体和一个底面半径为eq \r(2)、高为1的圆柱的组合体，其表面积S表＝5×22＋2π·eq \r(2)·1＋2π·(eq \r(2))2－22＝2(eq \r(2)＋2)π＋16，故选B
[答案] B
10．(2018·福建福州质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为( )
A．64－eq \f(32π,3) B．64－8π
C．64－eq \f(16π,3) D．64－eq \f(8π,3)
[解析] 由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去eq \f(1,4)个圆锥和eq \f(1,4)个圆柱所得到的，且圆锥的底面半径为2，高为4，圆柱的底面半径为2，高为4，所以该几何体的体积为43－eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)×4×4＋π×4×4))＝64－eq \f(16π,3)，故选C.
[答案] C
11．(2018·湖南十三校联考)三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如下图所示，则该三棱锥S－ABC的外接球的表面积为( )
A．32π B.eq \f(112,3)π
C.eq \f(28,3)π D.eq \f(64,3)π
[解析] 设外接球的半径为r，球心为O.由正视图和侧视图可知，该三棱锥S－ABC的底面是边长为4的正三角形．所以球心O一定在△ABC的外心上方．记球心O在平面ABC上的投影点为点D，所以AD＝BD＝CD＝4×eq \f(\r(3),2)×eq \f(2,3)＝eq \f(4\r(3),3)，则由题可建立方程 eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),3)))2)＋ eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),3)))2)＝4，解得r2＝eq \f(28,3).所以该三棱锥S－ABC的外接球的表面积S＝4πr2＝eq \f(112,3)π，故选B.
[答案] B
12．(2018·中原名校联考)已知A，B，C，D是球O表面上四点，点E为BC的中点，点AE⊥BC，DE⊥BC，∠AED＝120°，AE＝DE＝eq \r(3)，BC＝2，则球O的表面积为( )
A.eq \f(7,3)π B.eq \f(28π,3)
C．4π D．16π
[解析] 由题意可知△ABC与△BCD都是边长为2的正三角形，如图，过△ABC与△BCD的外心M，N分别作面ABC、面BCD的垂线，两垂线的交点就是球心O.
连接OE，可知∠MEO＝∠NEO＝eq \f(1,2)∠AED＝60°，
在Rt△OME中，∠MEO＝60°，ME＝eq \f(\r(3),3)，所以OE＝2ME＝eq \f(2\r(3),3)，连接OB，所以球O的半径R＝OB＝eq \r(OE2＋BE2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))2＋12)＝eq \f(\r(21),3)，所以球O的表面积为S＝4πR2＝eq \f(28,3)π，故选B.
[答案] B
二、填空题
13．(2018·沈阳质检)三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则eq \f(V1,V2)的值为________．
[解析] 如图，设S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝eq \f(1,3)S1h1，V2＝eq \f(1,3)S2h2，所以eq \f(V1,V2)＝eq \f(S1h1,S2h2)＝eq \f(1,4).
[答案] eq \f(1,4)
14．(2018·宁夏银川一中模拟)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________．
[解析] 由三视图知，该几何体是一个高为2，底面直径为2的圆柱被一平面从上底面最右边缘斜向下45°切开所剩下的几何体，其体积为对应的圆柱的体积的一半，即V＝eq \f(1,2)×π×12×2＝π.
[答案] π
15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱长为________．
[解析]
依题意知，几何体是如图所示的三棱锥A－BCD.其中∠CBD＝120°，BD＝2，点C到直线BD的距离为eq \r(3)，BC＝2，CD＝2eq \r(3)，AB＝2，AB⊥平面BCD，因此AC＝AD＝2eq \r(2)，所以该几何体最长的棱长为2eq \r(3).
[答案] 2eq \r(3)
16．(2018·厦门一模)如图所示的是一个几何体的三视图，
则该几何体的表面积为________．
[解析] 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长、宽、高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S＝S长方体表－S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋eq \f(1,2)×2π×1＝26.
[答案] 26