2021高考数学二轮复习专题八第1讲：坐标系与参数方程（选修4－4）

这是一份2021高考数学二轮复习专题八第1讲：坐标系与参数方程（选修4－4），共17页。试卷主要包含了直角坐标与极坐标的互化公式，几个特殊位置的圆的极坐标方程，几个特殊位置的直线的极坐标方程等内容，欢迎下载使用。


考点一 极坐标方程及应用
1．直角坐标与极坐标的互化公式
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ，))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0.))
2．几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.
(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acsθ.
(3)当圆心位于Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(π,2)))，半径为a：ρ＝2asinθ.
3．几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcsθ＝a.
(3)直线过Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b，\f(π,2)))且平行于极轴：ρsinθ＝b.
[解题指导] (1)eq \x(\a\al(设出P点的极,坐标ρ，θ))→eq \x(\a\al(用ρ，θ表示,|OM|，|OP|))→eq \x(由|OM|·|OP|＝16得极坐标方程)→eq \x(化直角坐标方程)
(2)eq \x(\a\al(设出B点极,坐标ρB，α))→eq \x(用α表示ρB)→eq \x(\a\al(用α表示,△OAB的面积))
→eq \x(确定结果)
[解] (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq \f(4,csθ).
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程
ρ＝4csθ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4csα，于是△OAB面积
S＝eq \f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4csα·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))))
＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))－\f(\r(3),2)))≤2＋eq \r(3).
当α＝－eq \f(π,12)时，S取得最大值2＋eq \r(3).
所以△OAB面积的最大值为2＋eq \r(3).
解决极坐标问题应关注的两点
(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决．
(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利．
[对点训练]
(2018·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋csα，,y＝2＋sinα))(α为参数)，直线C2的方程为y＝eq \r(3)x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|).
[解] (1)由曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋csα，,y＝2＋sinα))(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcsθ－4ρsinθ＋7＝0，
由于直线C2过原点，且倾斜角为eq \f(π,3)，故其极坐标方程为θ＝eq \f(π,3)(ρ∈R)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－4ρcsθ－4ρsinθ＋7＝0，,θ＝\f(π,3)))得ρ2－(2eq \r(3)＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2eq \r(3)＋2，ρ1ρ2＝7，
∴eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|)＝eq \f(|OA|＋|OB|,|OA|·|OB|)＝eq \f(ρ1＋ρ2,ρ1ρ2)＝eq \f(2\r(3)＋2,7).
考点二 参数方程及应用
1．圆的参数方程
以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a＋rcsα，,y＝b＋rsinα，))其中α是参数．
2．椭圆的参数方程
椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acsφ，,y＝bsinφ，))其中φ是参数．
3．直线的参数方程
(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcsα，,y＝y0＋tsinα，))其中t是参数．
(2)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
①t0＝eq \f(t1＋t2,2)；
②|PM|＝|t0|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t1＋t2,2)))；
③|AB|＝|t2－t1|；
④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
角度1：参数方程与普通方程的互化
[解题指导] (1)
(2)eq \x(设出曲线C上点的坐标)→eq \x(表示出点到直线的距离)→eq \x(对参数a进行讨论从而确定a的值)
[解] (1)曲线C的普通方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25).))
从而C与l的交点坐标为(3,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,25)，\f(24,25))).
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3csθ，sinθ)到l的距离d＝eq \f(|3csθ＋4sinθ－a－4|,\r(17)).
当a≥－4时，d的最大值为eq \f(a＋9,\r(17)).由题设得eq \f(a＋9,\r(17))＝eq \r(17)，所以a＝8；
当a<－4时，d的最大值为eq \f(－a＋1,\r(17)).由题设得eq \f(－a＋1,\r(17))＝eq \r(17)，所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
角度2：直线参数方程中参数几何意义的应用
[解] (1)曲线C的普通方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1.
当csα≠0时，l的普通方程为y＝tanα·x＋2－tanα，
当csα＝0时，l的普通方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的普通方程，整理得关于t的方程(1＋3cs2α)t2＋4(2csα＋sinα)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C上，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝eq \f(42csα＋sinα,1＋3cs2α)，
故2csα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.
解决参数方程问题的3个要点
(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．
(2)把普通方程化为参数方程的关键是选准参数，注意参数的几何意义及变化范围．
(3)直线参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcsα，,y＝y0＋tsinα))(α为倾斜角，t为参数)，其中|t|＝|PM|，P(x，y)为动点，M(x0，y0)为定点，在解决与点P有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用．
[对点训练]
1．[角度1]设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋tcsα，,y＝4＋tsinα))(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2csθ，,y＝－1＋2sinθ))(θ为参数)．
(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；
(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．
[解] (1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，
所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝eq \f(5,2).
(2)解法一：由圆C的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2csθ，,y＝－1＋2sinθ，))得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2.
由直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋tcsα，,y＝4＋tsinα))(t为参数，α为倾斜角)，得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)(斜率存在)，
即kx－y＋4－3k＝0.
当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，
即eq \f(|5－2k|,\r(k2＋1))<2，解得k>eq \f(21,20).
即直线l的斜率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(21,20)，＋∞)).
解法二：将圆C的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2csθ，,y＝－1＋2sinθ))化成普通方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4 ①，
将直线l的参数方程代入①式，得
t2＋2(2csα＋5sinα)t＋25＝0. ②.
当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2csα＋5sinα)2－100>0，
即20sinαcsα>21cs2α，两边同除以20cs2α，得tanα>eq \f(21,20)，即直线l的斜率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(21,20)，＋∞)).
2．[角度2](2018·郑州一模)已知直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5＋\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2csθ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．
(2)设点M的直角坐标为(5，eq \r(3))，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
[解] (1)∵ρ＝2csθ，∴ρ2＝2ρcsθ，
∴曲线C的直线坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.
(2)将直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5＋\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程中，化简得t2＋5eq \r(3)t＋18＝0，且Δ>0.∴t1t2＝18.
∵点M(5，eq \r(3))在直线l上，根据直线参数方程中参数t的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用
1．对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标方程，这样思路可能更加清晰．
2．对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷．
[解] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cst，,y＝3＋\r(2)sint))消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，
所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.
由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \r(2)，得ρcsθ－ρsinθ＝－2.
可得直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，化为极坐标为A(2，π)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))，
设点P的坐标为(－5＋eq \r(2)cst,3＋eq \r(2)sint)，则点P到直线l的距离为d＝eq \f(|－5＋\r(2)cst－3－\r(2)sint＋2|,\r(2))
＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－6＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(π,4))))),\r(2))，
所以dmin＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)，又|AB|＝2eq \r(2)，
所以△PAB面积的最小值＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)＝4.
解决极坐标与参数方程问题的关键
(1)会转化：把直线与圆的参数方程转化为普通方程时，要关注参数的取值范围的限定，还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式．
(2)懂技巧：合理选择直角坐标形式运算、极坐标形式运算、参数坐标形式运算，利用参数及其几何意义，结合关系式寻找关于参数的方程或函数．
[对点训练]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝rcsθ，,y＝rsinθ))(θ为参数，0(1)将曲线C1与曲线C2化成极坐标方程，并求r的值．
(2)射线θ＝α＋eq \f(π,4)与曲线C1交于点Q，与曲线C2交于O，M两点，求四边形MPNQ面积的最大值．
[解] (1)将曲线C1的参数方程化为普通方程为x2＋y2＝r2.
所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝r.
将曲线C2的参数方程化为普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，即x2＋y2－4x－4y＝0.
所以曲线C2的极坐标方程为ρ－4csθ－4sinθ＝0，即ρ＝4eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))).
因为|PN|max＝|ρP－ρN|max＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(4\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－r))max＝2eq \r(2)，
所以r＝2eq \r(2)，所以C1：ρ＝2eq \r(2).
(2)S四边形MPNQ＝S△OPM－S△ONQ＝eq \f(1,2)OP·OMsineq \f(π,4)－eq \f(1,2)ON·OQ·sineq \f(π,4)＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))×4eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))×eq \f(\r(2),2)－eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝4eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋4－2eq \r(2).
所以当α＝eq \f(π,8)时，四边形MPNQ面积的最大值为4＋2eq \r(2).
1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcsθ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
[解] (1)由x＝ρcsθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐标方程为
(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线．
记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.
由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以eq \f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝－eq \f(4,3)或k＝0，经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－eq \f(4,3)时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝0或k＝eq \f(4,3).经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝eq \f(4,3)时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－eq \f(4,3)|x|＋2.
2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，过点(0，－eq \r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
[解] (1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝eq \f(π,2)时，l与⊙O交于两点．
当α≠eq \f(π,2)时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－eq \r(2).l与⊙O交于两点当且仅当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),\r(1＋k2))))<1，解得k<－1或k>1，即α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))或α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))).
综上，α的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).
(2)l的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcsα，,y＝－\r(2)＋tsinα))(t为参数，eq \f(π,4)<α设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝eq \f(tA＋tB,2)，且tA，tB满足t2－2eq \r(2)tsinα＋1＝0.
于是tA＋tB＝2eq \r(2)sinα，tP＝eq \r(2)sinα.
又点P的坐标(x，y)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tPcsα，,y＝－\r(2)＋tPsinα.))
所以点P的轨迹的参数方程是
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cs2α))(α为参数，eq \f(π,4)<α1.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．
2．全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．
专题跟踪训练(三十一)
1．(2018·湖南长沙联考)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程．
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)，设C2与C3的交点分别为M，N，求△C2MN的面积．
[解] (1)∵x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，
∴C1：x＝－2的极坐标方程为ρcsθ＝－2，
C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1的极坐标方程为(ρcsθ－1)2＋(ρsinθ－2)2＝1，化简，得ρ2－(2ρcsθ＋4ρsinθ)＋4＝0.
(2)把直线C3的极坐标方程θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)代入
圆C2：ρ2－(2ρcsθ＋4ρsinθ)＋4＝0，
得ρ2－3eq \r(2)ρ＋4＝0，解得ρ1＝2eq \r(2)，ρ2＝eq \r(2).
∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝eq \r(2).
∵圆C2的半径为1，∴C2M2＋C2N2＝MN2，∴C2M⊥C2N.
∴△C2MN的面积为eq \f(1,2)·C2M·C2N＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2).
2．(2018·洛阳联考)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝eq \f(3,1＋2sin2θ)，已知点Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4))).
(1)以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标．
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
[解] (1)∵x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2.
∴曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
点R的直角坐标为(2,2)．
(2)设点P(eq \r(3)csθ，sinθ)，根据题意得Q(2，sinθ)，即可得|PQ|＝2－eq \r(3)csθ，|QR|＝2－sinθ，
∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)．
∴当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4.
此时点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2))).
3．(2018·安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcsθ－3＝0.
(1)说明C2是哪种曲线，并将C2的方程化为直角坐标方程．
(2)C1与C2有两个公共点A，B，定点P的极坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．
[解] (1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,x2＋y2＝ρ2))代入C2的极坐标方程中得C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝4，所以C2是圆．
(2)将C1的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，代入(x－1)2＋y2＝4中得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)t))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(2),2)t))2＝4，化简，得t2＋eq \r(2)t－3＝0.
设两根分别为t1，t2，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t1＋t2＝－\r(2)，,t1·t2＝－3.))
所以|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝eq \r(2＋12)＝eq \r(14)，
定点P到A，B两点的距离之积|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.
4．(2018·河北衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝eq \f(24,4csθ＋3sinθ)，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csθ,y＝sinθ))(θ为参数)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
(2)将曲线C2经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2\r(2)x，,y′＝2y))后得到曲线C3，若M、N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．
[解] (1)∵C1的极坐标方程是ρ＝eq \f(24,4csθ＋3sinθ)，
∴4ρcsθ＋3ρsinθ＝24，
∴4x＋3y－24＝0，
故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.
∵曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csθ，,y＝sinθ，))∴x2＋y2＝1，
故C2的普通方程为x2＋y2＝1.
(2)将曲线C2经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2\r(2)x，,y′＝2y))后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2\r(2)csα，,y′＝2sinα))(α为参数)．设N(2eq \r(2)csα，2sinα)，则点N到曲线C1的距离
d＝eq \f(|4×2\r(2)csα＋3×2sinα－24|,5)
＝eq \f(|2\r(41)sinα＋φ－24|,5)
＝eq \f(24－2\r(41)sinα＋φ,5)(其中φ满足tanφ＝eq \f(4\r(2),3))．
当sin(α＋φ)＝1时，d有最小值eq \f(24－2\r(41),5)，
所以|MN|的最小值为eq \f(24－2\r(41),5).