2021高考数学二轮复习专题三跟踪训练3

专题跟踪训练(十六)

一、选择题

1．(2018·昆明模拟)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则＝(　　)

A．a＋b   B．a－b

C．－a－b   D．－a＋b

[解析]　＝＋

＝＋

＝(－)－

＝－－＝－a－b，故选C.

[答案]　C

2．(2018·吉林白城模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)

A.  B．2  C．－  D．－2

[解析]　由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得＝，所以＝－，故选C.

[答案]　C

3．已知两个非零向量a与b的夹角为θ，则“a·b>0”是“θ为锐角”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[解析]　由a·b>0，可得到θ∈，不能得到θ∈；而由θ∈，可以得到a·b>0，故选B.

[答案]　B

4．(2018·郑州一中高三测试)已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|等于(　　)

A.  B.  C.  D．4

[解析]　依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.

[答案]　C

5．已知△ABC是边长为1的等边三角形，则(－2)·(3＋4)＝(　　)

A．－   B．－

C．－6－   D．－6＋

[解析]　(－2)·(3＋4)＝3·－62＋4·－8·＝3||·||·cos120°－6||2＋4||·||cos120°－8||·||·cos120°＝3×1×1×－6×12＋4×1×1×－8×1×1×＝－－6－2＋4＝－，故选B.

[答案]　B

6．(2018·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝(　　)

A.  B.  C．1  D.

[解析]　＝＋＝＋＝＋(＋)＝－，所以λ＝，μ＝－，故λ2＋μ2＝，故选A.

[答案]　A

7．(2018·山西四校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)

A．－   B．－

C．－＋   D．－＋

[解析]　解法一：如图，取AB的中点G，连接DG、CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，∴＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.

解法二：＝＋＝＋

＝－＋

＝－＋

＝－＋＋＋(＋＋)

＝－＋，故选C.

[答案]　C

8．(2018·河南郑州二模)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为(　　)

A．－2  B．3－  C．－1  D．0

[解析]　由|a|＝|b|＝1，a·b＝，可得〈a，b〉＝，令＝a，＝b，以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝＝(1,0)，b＝＝，设c＝＝(cosθ，sinθ)(0≤θ<2π)，则(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－＝3－sin，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－，故选B.

[答案]　B

9．(2018·安徽江南十校联考)已知△ABC中，AB＝6，AC＝3，N是边BC上的点，且＝2，O为△ABC的外心，则·的值为(　　)

A．8  B．10  C．18  D．9

[解析]　由于＝2，则＝＋，取AB的中点为E，连接OE，由于O为△ABC的外心，则⊥，∴·＝·＝2＝×62＝18，同理可得·＝2＝×32＝，所以·＝·＝·＋·＝×18＋×＝6＋3＝9，故选D.

[答案]　D

10．(2018·山西太原模拟)已知△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果＋＋＝0，且||＝||，则向量在方向上的投影为(　　)

A．6  B．－6  C．2  D．－2

[解析]　由＋＋＝0得，＝＋.

∴DO经过EF的中点，∴DO⊥EF.

连接OF，∵||＝||＝||＝4，

∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝4.

∴向量在方向上的投影为||·cos〈，〉＝4cos150°＝－6，故选B.

[答案]　B

11．(2018·湖北黄冈二模)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，(c－2a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值与最小值的和为(　　)

A．0  B.  C.  D.

[解析]　∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，即a2＝2a·b，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝，a与b的夹角为60°.

设＝a，＝b，＝c，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，

则a＝，b＝(1,0)．

设c＝(x，y)，则c－2a＝(x－1，y－)，c－b＝(x－1，y)．

又∵(c－2a)·(c－b)＝0，∴(x－1)2＋y(y－)＝0.

即(x－1)2＋2＝，

∴点C的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆．

又|c|＝表示圆M上的点与原点O(0,0)之间的距离，所以|c|max＝|OM|＋，|c|min＝|OM|－，

∴|c|max＋|c|min＝2|OM|＝2×

＝，故选D.

[答案]　D

12．(2018·广东七校联考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

[解析]　不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，

则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0<a<1)，∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)＝2a2－2a＋2＝22＋，∵0<a<1，∴由二次函数的知识可得·∈，故选C.

[答案]　C

二、填空题

13．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

[解析]　由题意知a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×＝1，则|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4＝12.所以|a＋2b|＝2.

[答案]　2

14．(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．

[解析]　∵(e1－e2)·(e1＋λe2)＝e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝－λ，|e1－e2|＝＝＝2，|e1＋λe2|＝＝＝，

∴－λ＝2××cos60°＝，解得λ＝.

[答案]　

15．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________．

[解析]　依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有 ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.

又＝x＋(1－x)，且，不共线，于是有x＝1－λ，由λ∈，知x∈，即x的取值范围是.

[答案]　

16．(2018·河北衡水二中模拟)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则|＋|的最小值为________．

[解析]　建立如图所示的平面直角坐标系．

则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设＝λ(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，则＋＝(2－2λ，2－4λ)，|＋|＝＝，当λ＝时，|＋|取得最小值为.

[答案]