2021高考数学二轮复习专题六跟踪训练3

这是一份2021高考数学二轮复习专题六跟踪训练3，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在直角坐标平面内，点A，B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，则满足tan∠PAB·tan∠PBA＝m(m为非零常数)的点P的轨迹方程是( )
A．x2－eq \f(y2,m)＝1(y≠0) B．x2－eq \f(y2,m)＝1
C．x2＋eq \f(y2,m)＝1(y≠0) D．x2＋eq \f(y2,m)＝1
[解析] 设P(x，y)，由题意，得eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)＝－m(m≠0)，化简可得x2＋eq \f(y2,m)＝1(y≠0)，故选C.
[答案] C
2．(2018·重庆模拟)设A，P是椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1上两点，点A关于x轴的对称点为B(异于点P)，若直线AP，BP分别交x轴于点M，N，则eq \(OM,\s\up16(→))·eq \(ON,\s\up16(→))＝( )
A．0 B．1 C.eq \r(2) D．2
[解析] 依题意，将点P特殊化为点(eq \r(2)，0)，于是点M，N均与点(eq \r(2)，0)重合，于是有eq \(OM,\s\up16(→))·eq \(ON,\s\up16(→))＝2，故选D.
[答案] D
3．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，eq \f(x\\al(2,2),a2)＋eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1，两式作差并化简变形得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)，而eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(0－－1,3－1)＝eq \f(1,2)，x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以a2＝2b2，又a2－b2＝c2＝9，于是a2＝18，b2＝9，故选D.
[答案] D
4．(2018·唐山市高三五校联考)直线l与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，M是线段AB的中点，若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1，则此双曲线的离心率为( )
A．2 B.eq \r(2) C．3 D.eq \r(3)
[解析] 设直线l与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，则eq \f(x\\al(2,1),a2)－eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1(a>0，b>0) ①，eq \f(x\\al(2,2),a2)－eq \f(y\\al(2,2),b2)＝1(a>0，b>0) ②，②－①得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),a2)＝eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),b2)，即eq \f(y1－y2y1＋y2,x1－x2x1＋x2)＝eq \f(b2,a2)，因为l与OM的斜率的乘积等于1，所以eq \f(b2,a2)＝1，双曲线的离心率e＝ eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(2)，故选B.
[答案] B
5．(2018·郑州市第三次质量预测)椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的左焦点为F，直线x＝a与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )
A.eq \f(\r(5),5) B.eq \f(6\r(5),5) C.eq \f(8\r(5),5) D.eq \f(4\r(5),5)
[解析] 设椭圆的右焦点为E，由椭圆的定义知△FMN的周长为L＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2eq \r(5)－|ME|)＋(2eq \r(5)－|NE|)．因为|ME|＋|NE|≥|MN|，所以|MN|－|ME|－|NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，所以L＝4eq \r(5)＋|MN|－|ME|－|NE|≤4eq \r(5)，即直线x＝a过椭圆的右焦点E时，△FMN的周长最大，此时S△FMN＝eq \f(1,2)×|MN|×|EF|＝eq \f(1,2)×eq \f(2×4,\r(5))×2＝eq \f(8\r(5),5)，故选C.
[答案] C
6．(2018·福建省高三质检)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析] 设抛物线的准线与x轴交于点D，则由题意，知F(1,0)，D(－1,0)，分别作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1，B1，则有eq \f(|AC|,|FC|)＝eq \f(|AA1|,|FD|)，所以|AA1|＝eq \f(4,3)，故|AF|＝eq \f(4,3).又eq \f(|AC|,|BC|)＝eq \f(|AA1|,|BB1|)，即eq \f(|AC|,|AC|＋|AF|＋|BF|)＝eq \f(|AF|,|BF|)，亦即eq \f(2|AF|,3|AF|＋|BF|)＝eq \f(|AF|,|BF|)，解得|BF|＝4，故选C.
[答案] C
二、填空题
7．椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为M，N，点P在C上，且直线PN的斜率是－eq \f(1,4)，则直线PM的斜率为________．
[解析] 设P(x0，y0)，则eq \f(x\\al(2,0),4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，直线PM的斜率kPM＝eq \f(y0,x0＋2)，直线PN的斜率kPN＝eq \f(y0,x0－2)，可得kPM·kPN＝eq \f(y\\al(2,0),x\\al(2,0)－4)＝－eq \f(3,4)，故kPM＝－eq \f(3,4)·eq \f(1,kPN)＝3.
[答案] 3
8．(2018·郑州一模)如图，F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两个分支分别交于点B，A.若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为________________．
[解析] ∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|＝|AF2|＝|BF2|，∠F1AF2＝60°.
由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，∴|BF1|＝2a.
又|BF2|－|BF1|＝2a，∴|BF2|＝4a.∴|AF2|＝4a，|AF1|＝6a.
在△AF1F2中，由余弦定理可得
|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF2|·|AF1|cs60°，
∴(2c)2＝(4a)2＋(6a)2－2×4a×6a×eq \f(1,2)，整理得c2＝7a2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(7).
[答案] eq \r(7)
9．(2018·湖南六校联考)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P(－1,0)作直线l与抛物线C交于A、B两点．若S△ABF＝eq \r(2)，且|AF|<|BF|，则eq \f(|AF|,|BF|)＝________.
[解析] 设直线l的方程为x＝my－1，将直线方程代入抛物线C：y2＝4x的方程得y2－4my＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则0[答案] eq \f(1,2)
三、解答题
10．(2018·广东七校第一次联考)已知动点M到定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4eq \r(2).
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交曲线C于不同于N的两点A，B，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，求k1＋k2的值．
[解] (1)由椭圆的定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，4eq \r(2)为长轴长的椭圆．
由c＝2，a＝2eq \r(2)，得b＝2.
故动点M的轨迹C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1，,y＋2＝kx＋1))得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
Δ＝[4k(k－2)]2－4(1＋2k2)(2k2－8k)>0，则k>0或k<－eq \f(4,7).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq \f(4kk－2,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2k2－8k,1＋2k2).
从而k1＋k2＝eq \f(y1－2,x1)＋eq \f(y2－2,x2)
＝eq \f(2kx1x2＋k－4x1＋x2,x1x2)
＝2k－(k－4)eq \f(4kk－2,2k2－8k)
＝4.
当直线l的斜率不存在时，得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(14),2)))，
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(\r(14),2)))，
所以k1＋k2＝4.
综上，恒有k1＋k2＝4.
11．(2018·合肥一模)已知点F为椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程．
(2)设直线eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1与y轴交于P点，过点P的直线l与椭圆E交于两个不同点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．
[解] (1)由题意，得a＝2c，b＝eq \r(3)c，则椭圆E的方程为eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝c2，,\f(x,4)＋\f(y,2)＝1，))得x2－2x＋4－3c2＝0.
∵直线eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，
∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0，得c2＝1，∴椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由(1)得M点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).
∵直线eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1与y轴交于点P(0,2)，
∴|PM|2＝eq \f(5,4).
当直线l与x轴垂直时，|PA|·|PB|＝(2＋eq \r(3))(2－eq \r(3))＝1，
由λ|PM|2＝|PA|·|PB|，得λ＝eq \f(4,5).
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋2，,3x2＋4y2－12＝0，))得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
依题意得，x1x2＝eq \f(4,3＋4k2)，且Δ＝48(4k2－1)>0，
∴|PA||PB|＝eq \r(y1－22＋x\\al(2,1))·eq \r(y2－22＋x\\al(2,2))＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·eq \f(4,3＋4k2)＝1＋eq \f(1,3＋4k2)＝eq \f(5,4)λ，∴λ＝eq \f(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,3＋4k2))).
∵k2>eq \f(1,4)，∴eq \f(4,5)<λ<1.
综上所述，λ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，1)).
12．(2018·太原模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，圆O：x2＋y2＝1.
(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF|；
(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值．
[解] (1)由题意得F(0,1)，从而抛物线C：x2＝4y.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,x2＋y2＝1))得yA＝eq \r(5)－2，
∴|AF|＝eq \r(5)－1.
(2)设M(x0，y0)，由y′＝eq \f(x,p)，
得切线l：y＝eq \f(x0,p)(x－x0)＋y0，
结合xeq \\al(2,0)＝2py0，整理得x0x－py－py0＝0.
由|ON|＝1得eq \f(|－py0|,\r(x\\al(2,0)＋p2))＝1，即|py0|＝eq \r(x\\al(2,0)＋p2)＝eq \r(2py0＋p2)，
∴p＝eq \f(2y0,y\\al(2,0)－1)且yeq \\al(2,0)－1>0.
∴|MN|2＝|OM|2－1＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－1＝2py0＋yeq \\al(2,0)－1＝eq \f(4y\\al(2,0),y\\al(2,0)－1)＋yeq \\al(2,0)－1＝4＋eq \f(4,y\\al(2,0)－1)＋(yeq \\al(2,0)－1)≥8，
当且仅当y0＝eq \r(3)时等号成立．
∴|MN|的最小值为2eq \r(2)，此时p＝eq \r(3).