2021高考数学二轮复习专题七跟踪训练1

这是一份2021高考数学二轮复习专题七跟踪训练1，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．(2018·广东茂名一模)在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
[解析] 在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数字，基本事件总共有4个，分别为(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6)．
数字2是三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有(1,2,3)，共1个．
∴数字2是三个不同数字的平均数的概率P＝eq \f(1,4)，故选A.
[答案] A
2．(2018·广东深圳一模)两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,6)
[解析] 两名同学分3本不同的书，基本事件有(0,3)，(1a,2)，(1b,2)，(1c,2)，(2,1a)，(2,1b)，(2,1c)，(3,0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝eq \f(2,8)＝eq \f(1,4)，故选B.
[答案] B
3．(2018·广东广州模拟)已知某运动员每次投篮命中的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示没有命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569
683 431 257 393 027 556 488 730 113
537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
[解析] 观察数据，代表恰有两次命中的有191,271,932,812,393共5个，而总的试验数据共20个，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝eq \f(5,20)＝0.25，故选B.
[答案] B
4．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.eq \f(8,15) B.eq \f(1,8) C.eq \f(1,15) D.eq \f(1,30)
[解析] 开机密码的所有可能结果有：(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)，共15种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是eq \f(1,15)，故选C.
[答案] C
5．(2018·河南安阳一模)在边长为a的正三角形内任取一点Q，则点Q到三个顶点的距离均大于eq \f(a,2)的概率是( )
A.eq \f(11,12)－eq \f(\r(3),6)π B．1－eq \f(\r(3),6)π
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
[解析] 设边长为a的正三角形为三角形ABC，如图所示：
∵AB＝a，∴S三角形ABC＝eq \f(1,2)·a2·sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),4)a2，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于或等于eq \f(a,2)的所有点组成的平面区域如图中阴影部分所示，各部分组合起来构成一个半径为eq \f(a,2)的半圆，
∴S阴影＝eq \f(1,2)·π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2＝eq \f(πa2,8)，
∴使点Q到三个顶点A、B、C的距离都大于eq \f(a,2)的概率P＝1－eq \f(\f(πa2,8),\f(\r(3)a2,4))＝1－eq \f(\r(3),6)π，故选B.
[答案] B
6．由不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,y≥0，,y－x－2≤0))确定的平面区域记为Ω1，不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤1，,x＋y≥－2))确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(3,4) D.eq \f(7,8)
[解析] 平面区域Ω1的面积为eq \f(1,2)×2×2＝2，平面区域Ω2为一个条形区域，画出图形如图所示，其中C(0,1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－x－2＝0,x＋y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(3,2)，))
即Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2))).
则△ACD的面积为S＝eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，则四边形BDCO的面积S＝S△OAB－S△ACD＝2－eq \f(1,4)＝eq \f(7,4).在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为eq \f(\f(7,4),2)＝eq \f(7,8)，故选D.
[答案] D
二、填空题
7．从一箱产品中随机地抽取一件，记事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为__________．
[解析] ∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，
∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
[答案] 0.35
8．(2018·山西一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为__________．
[解析] 记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故所求事件的概率为eq \f(1,2).
[答案] eq \f(1,2)
9．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直线三角形中较小的锐角θ＝eq \f(π,6).现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是__________．
[解析] 易知小正方形的边长为eq \r(3)－1，故小正方形的面积为S1＝(eq \r(3)－1)2＝4－2eq \r(3)，又大正方形的面积为S＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P＝eq \f(S1,S)＝eq \f(4－2\r(3),4)＝eq \f(2－\r(3),2).
[答案] eq \f(2－\r(3),2)
三、解答题
10．(2018·德州二模)甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A、B、C、D四所需要面试的院校，这四所院校的面试安排在同一时间．因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿，假设每位同学选择各个院校是等可能的，试求：
(1)甲、乙选择同一所院校的概率；
(2)院校A、B至少有一所被选择的概率．
[解] 由题意可得，甲、乙都只能在这四所院校中选择一个做志愿的所有可能结果为：
(甲A，乙A)，(甲A，乙B)，(甲A，乙C)，(甲A，乙D)，
(甲B，乙A)，(甲B，乙B)，(甲B，乙C)，(甲B，乙D)，
(甲C，乙A)，(甲C，乙B)，(甲C，乙C)，(甲C，乙D)，
(甲D，乙A)，(甲D，乙B)，(甲D，乙C)，(甲D，乙D)，共16种．
(1)其中甲、乙选择同一所院校有4种，所以甲、乙选择同一所院校的概率为eq \f(4,16)＝eq \f(1,4).
(2)院校A、B至少有一所被选择的有12种，所以院校A、B至少有一所被选择的概率为eq \f(12,16)＝eq \f(3,4).
11．一个袋中装有5个形状大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球．
(1)从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；
(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．
[解] (1)2个红球记为a1，a2,3个白球记为b1，b2，b3，从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：
(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共10个．
记事件A＝“取出的两个球颜色不同”，A中的基本事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共6个．
所以P(A)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)，即取出的两个球颜色不同的概率为eq \f(3,5).
(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：
(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)，(b2，b3)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b3，b1)，(b3，b2)，(b3，b3)，共25个．
设事件B＝“两次取出的球中至少有一个红球”，B中的基本事件有：(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)，共16个．
所以P(B)＝eq \f(16,25)，即两次取出的球中至少有一个红球的概率为eq \f(16,25).
12．(2018·贵州黔东南州一模)为了提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游．现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名．从这6名导游中随机选择2人参加比赛．
(1)求选出的2人都是高级导游的概率；
(2)为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[30,50](单位：万元)，乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是[20,40](单位：万元)，求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献的概率．
[解] (1)设来自甲旅游协会的3名导游为A1，A2，A3，其中A2，A3为高级导游，来自乙旅游协会的3名导游为B1，B2，B3，其中B3为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3共15种，其中选出的2人都是高级导游的有A2A3，A2B3，A3B3，共3种，所以选出的2人都是高级导游的概率为P＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
(2)依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为x(单位：万元)，乙旅游协会对本地经济收入的贡献为y(单位：万元)，则x∈[30,50]且y∈[20,40]，若甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献，则x≥y，属于几何概型问题．作图，由图可知S1＝S△DEF，S＝SABCD，
故所求概率为P＝eq \f(S－S1,S)＝1－eq \f(S1,S)＝1－eq \f(\f(1,2)×10×10,20×20)＝eq \f(7,8).