2021高考数学二轮复习专题八跟踪训练1

专题跟踪训练(三十一)

1．(2018·湖南长沙联考)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程．

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点分别为M，N，求△C2MN的面积．

[解]　(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

∴C1：x＝－2的极坐标方程为ρcosθ＝－2，

C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1的极坐标方程为(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ－2)2＝1，化简，得ρ2－(2ρcosθ＋4ρsinθ)＋4＝0.

(2)把直线C3的极坐标方程θ＝(ρ∈R)代入

圆C2：ρ2－(2ρcosθ＋4ρsinθ)＋4＝0，

得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.

∴|MN|＝|ρ1－ρ2|＝.

∵圆C2的半径为1，∴C2M2＋C2N2＝MN2，∴C2M⊥C2N.

∴△C2MN的面积为·C2M·C2N＝×1×1＝.

2．(2018·洛阳联考)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，已知点R.

(1)以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标．

(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．

[解]　(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2＋y2＝ρ2.

∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.

点R的直角坐标为(2,2)．

(2)设点P(cosθ，sinθ)，根据题意得Q(2，sinθ)，即可得|PQ|＝2－cosθ，|QR|＝2－sinθ，

∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)．

∴当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，

∴矩形PQRS周长的最小值为4.

此时点P的直角坐标为.

3．(2018·安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－3＝0.

(1)说明C2是哪种曲线，并将C2的方程化为直角坐标方程．

(2)C1与C2有两个公共点A，B，定点P的极坐标，求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．

[解]　(1)将代入C2的极坐标方程中得C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝4，所以C2是圆．

(2)将C1的参数方程(t为参数)，代入(x－1)2＋y2＝4中得2＋2＝4，化简，得t2＋t－3＝0.

设两根分别为t1，t2，

由根与系数的关系得

所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，

定点P到A，B两点的距离之积|PA|·|PB|＝|t1t2|＝3.

4．(2018·河北衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(θ为参数)．

(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；

(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M、N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．

[解]　(1)∵C1的极坐标方程是ρ＝，

∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，

∴4x＋3y－24＝0，

故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0.

∵曲线C2的参数方程为∴x2＋y2＝1，

故C2的普通方程为x2＋y2＝1.

(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为(α为参数)．设N(2cosα，2sinα)，则点N到曲线C1的距离

d＝

＝

＝(其中φ满足tanφ＝)．

当sin(α＋φ)＝1时，d有最小值，

所以|MN|的最小值为.