2021年撞上高考题：文数押题（一师一题押题精选押题考题猜测全视角）

这是一份2021年撞上高考题：文数押题（一师一题押题精选押题考题猜测全视角），共64页。试卷主要包含了向量的线性运算及有关概念，数列等内容，欢迎下载使用。

2021年撞上高考题 目录
数学（文）

撞题点一 集合与常用逻辑用语 2
撞题点二 复数 5
撞题点三 初等函数及其性质 6
撞题点四 导数的几何意义 10
撞题点五 导数的应用（小题型） 10
撞题点六 不等式的性质 12
撞题点七 线性规划 13
撞题点八 三角函数的图象与性质 14
撞题点九 向量的线性运算及有关概念 18
撞题点十 数列（小题） 20
撞题点十一 立体几何（小题） 22
撞题点十二 直线与圆的位置关系 27
撞题点十三 圆锥曲线的基本性质 28
撞题点十四 概率统计（小题） 33
撞题点十五 创新题 37
撞题点十六 概率统计解答题 39
撞题点十七 数列解答题 42
撞题点十八 解三角形解答题 44
撞题点十九 立体几何解答题 46
撞题点二十 圆锥曲线解答题 48
撞题点二十一 函数导数解答题 54
撞题点二十二 坐标系与参数方程 59
撞题点二十三 不等式选讲 62

撞题点一 集合与常用逻辑用语
1． (四川省成都市川大附中2021届高三第二次模拟)已知是实数集，集合，
，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，则，所以.故选C.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
根据高考大数据分析，集合作为送分题，主要考查集合的交、并、补运算，同时结合考查函数的定义域、值域及不等式的解法，也可能考查集合间的关系、集合的元素个数等．
【还可能怎么考】
（1）求两个集合的交集；
（2）求两个集合的并集；
（3）求两个集合的补集或或或等；
（4）集合的元素个数；
（5）个元素集合的子集个数为，真子集的个数是，非空子集的个数是，非空真子集的个数是．
【方法总结】
（1）认清元素的本质属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件．特别是要注意集合的两种表示法中的列举法、描述法的等价转换.
（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则会因为不满足元素的“互异性”而导致解题错误．
（3）注意空集．在解决有关A∩B=（为空集），AB等集合问题时，易忽略空集的情况，一定要讨论空集时的情况，以防漏解．
2．（北京市丰台区2021届高三二模数学试题）“”是“直线与直线相互垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为直线与直线相互垂直，
所以，所以.
当时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线
与直线相互垂直”的不必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件.
故选A.
3．(新疆巴音郭楞蒙古自治州第二中学2021届高三上学期第二次摸底)若，则下列不等式：①；②；③中，正确的不等式的有
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】由知：，，而，则有，即，即②③都正确.故选C.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
充分条件和必要条件是数学推理中非常重要的概念，也是高考的热点之一，涉及知识范围很广.涉及充要条件的问题往往需要对知识有本质的了解，特别是那些容易出现错误的地方和那些理解的不够深入的知识点，考查充要条件问题可以很好地分辨学生掌握知识的水平和深度，高考试题中经常考查充分性和必要性的判断．
【还可能怎么考】
（1）充要条件可以和立体几何的概念、定理进行组合，考查学生的空间想象能力；
（2）充要条件可以和不等式的性质组合，反映不等式的推理论证关系；
（3）充要条件的判断可以通过集合之间的关系得到．
【方法总结】
充分条件、必要条件的三种判断方法：
（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假，并注意和图示相结合，例如“”为真，则是的充分条件；
（2）等价法：利用与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法；
（3）集合法：若，则是的充分条件且是的必要条件；若=，则是的充要条件．
4．(山东省德州市2021届高三二模)已知命题，，则为
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】对命题否定时，全称量词改成存在量词，同时否定结论，即为：，.故选B．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
根据大数据分析，本撞题点考查全称命题和存在性命题，考查热点为命题的否定，易错点为否命题与命题的否定，难点为命题真假的判断．要注意区分否命题与命题的否定，否命题需同时否定命题的条件与结论，而命题的否定只需否定命题的结论．
【还可能怎么考】
（1）全称命题和存在性命题的否定的写法及与函数的性质相结合的一些问题；
（2）含有一个量词的命题的否定，可以是全称命题转化为存在性命题，也可以是存在性命题转化为全称命题．
【方法总结】
判断含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，作出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∨q”“p∧q”“”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可．
撞题点二 复数
5．（河南省六市2021届高三第二次联考）在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由已知得，
则，
所以复数对应的点为，位于第三象限.故选C．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
高考每年必考一道考查复数的题目，重点考查复数的代数形式的四则运算，偶尔也和其他知识交汇进行考查，比较基础，但是复数问题有逐渐加大难度的趋势．经常涉及的基本概念有：复数的分类、实部、虚部、复数的模、共轭复数、复数相等、复数的几何意义等．备考指南：试题难度与课本上的题目难度持平，掌握好课本上的习题，即可从容应考．
【还可能怎么考】
（1）复数的基本概念；
（2）复数的运算；
（3）复数的几何意义．
【方法总结】
复数运算中的常用结论：
（1）掌握的运算，了解其具有周期性的特点：
i4n=1，i4n＋1=i，i4n＋2=－1，i4n＋3=－i，．
（2）掌握复数的基本的运算技巧，加快解题的速度：=|z|2，，，=i，=－i，|z1·z2|=|z1|·|z2|，．
（3）熟练运用复数的加、减、乘、除的运算法则.
撞题点三 初等函数及其性质
6．(广西玉林市、柳州市2021届高三第二次模拟)函数的部分图象可能是

【答案】C
【解析】，即，，则函数是偶函数，其图象关于轴对称，排除选项A、B；
由，可排除选项D，
故选C．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
函数图象是高考的常考内容之一，在新的数学软件普遍使用的情况下，将三角函数与幂函数、指数函数、对数函数、二次函数相结合成为命题的一种趋势.常见的命题方法是：（1）给出函数的表达式，研究函数的图象；（2）以实际背景给出变量间的关系，研究函数的图象；（3）已知函数的图象判断函数的解析式．
【还可能怎么考】
（1）给定函数图象判断函数的解析式；
（2）给定函数的解析式判断函数的图象．
【方法总结】
函数图象的辨识可以从以下方面入手：
（1）从函数的定义域、值域判断，通过定义域可以判断图象的左、右位置，将超出范围的图象去掉；
（2）从函数的单调性，判断变化趋势，可以根据函数的构成分析函数的单调性，也可以通过对函数求导，研究函数的单调性，利用单调性确定函数的图象；
（3）从函数的奇偶性判断函数图象的对称性，也可以通过函数图象的对称性确定函数的奇偶性；
（4）从函数的周期性判断；
（5）从函数图象过的特殊点，可以准确有效地排除不符合要求的图象，是解决图象类问题的一大利器；
（6）极限思想，借助分析函数值的变化趋势，从极端的角度分析，比如：研究趋向于0或无穷大等时的图象的可能情况．
7. (四川省绵阳市2021届高三第三次诊断)已知，，，则，，的大小关系为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，
由于函数在上单调递增，所以，
由于函数在上单调递减，所以，
所以. 故选A．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
幂、指、对函数作为基本初等函数，其图象与性质的应用仍然是高考中的热点，而对幂、指数式和对数式的运算要求有所降低．重要题型有：
（1）比较指数式与对数式的大小；
（2）解关于含有函数的不等式；
（3）判定方程的解的个数问题；
（4）确定函数的单调性和奇偶性，并证明；
（5）不等式恒成立的问题.
【还可能怎么考】
已知函数.
（1）求满足不等式的x的取值范围；
（2）当m取何值时，方程有一个解？两个解？
（3）求在区间上的值域或单调性；
（4）若不等式在R上恒成立，求m的取值范围．
【方法总结】利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小，底数相同，考虑指数函数的单调性；指数相同，考虑幂函数的单调性；当底数和指数都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围来比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用来比较大小．
8．(广西玉林市、柳州市2021届高三第二次模拟)已知关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由关于的方程有三个不相等的实数根，可知直线与函数
的图象有三个交点.画出直线与函数的大致图象如图所示：

显然当时，直线与函数的图象有一个交点；
则当时，只需直线与函数的图象有两个交点即可.
令，得，则直线与函数的图象相切时，切点坐标为，此时.由图象可知，当时，直线与函数的图象在时有两个交点.
则当时，关于的方程有三个不相等的实数根．故选B．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
函数的零点问题是数形兼具的题型，也是高频撞题点，经常作为压轴小题来考查．解题思想：把函数问题转化为方程解的问题，调整结构为两个易画图象的函数．考查方式有：求函数的零点（或确定零点所在的区间），零点个数的判断，所有零点的和，零点构成的式子的范围等．
【还可能怎么考】
（1）二分法确定零点的区间，此类问题比较基础；
（2）零点范围问题，此类问题是确定解的精确度的问题；
（3）零点个数问题，此类问题往往可以将函数问题转化为方程解的个数问题，也可以将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题；
（4）零点与导数的综合；
（5）零点有关的创新试题．
【方法总结】
利用函数的零点情况求参数值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为求函数的值域问题；
（3）转化为两个熟知函数的图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．
撞题点四 导数的几何意义
9．(四川省绵阳市2021届高三第三次诊断)若曲线在点处的切线过点，则实数___________.
【答案】
【解析】，则，所以，
则曲线在点处的切线方程为，
又因为切线过点，所以，解得.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
曲线的切线问题是课标卷中的常考内容之一，一般考查利用导数求某一点处的切线方程，难度不大，近几年高考均有考查．
【还可能怎么考】
（1）已知切点坐标求切线方程；
（2）已知切线方程（或斜率）求切点坐标或曲线方程；
（3）已知曲线方程求切线倾斜角的取值范围；
（4）已知两条不同的曲线有相同的切线，求参数问题．
【方法总结】
用导数求切线方程的关键在于求出切点及切线的斜率．设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程为．
撞题点五 导数的应用（小题型）
10．(江苏省徐州市2021届高三下学期第三次调研)已知函数是定义在区间上的可导函数，
满足且（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，则，即单调递减，∵
，∴，即，即，选项可变形为：A．，B．，C．，D．.
对于选项C，证明，即证成立，令
，则，∴在上单调递减，∴，∴当时，成立，则选项C正确.若选项B成立，则必有，即
成立，取，则，矛盾，则选项B不正确；同理选项D不正确.
故选C.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
导数的应用是高考命题的热点，常应用导数研究函数的单调性、极值、最值，难度中等偏上，属于综合性较强的内容．根据题意合理地构造函数，再利用导数研究函数的单调性，得到问题的解答．
【还可能怎么考】
（1）求函数的单调区间（极值或最值）；
（2）根据函数的单调性（极值或最值）求参数的取值范围；
（3）不等式恒成立问题；
（4）根据零点个数确定参数的取值范围．
【方法总结】
掌握好常用的构造函数的几种方法：
（1）条件中含有时，构造；
（2）条件中含有时，构造；
（3）条件中含有时，构造；
（4）条件中含有时，构造；
（5）条件中含有时，构造．
撞题点六 不等式的性质
11．（天津市部分区2021届高三下学期质量调查）设，，且，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，
当且仅当，时，等号成立，
所以的最小值为. 故答案为.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
近几年高考单纯考查基本不等式的题目很少，但并不意味着不考，基本不等式作为重要工具，经常与其他知识点交汇进行考查，比如结合函数、解析几何的最值及范围问题等进行考查．
【还可能怎么考】
（1）利用基本不等式求最值；
（2）求参数的取值范围；
（3）证明不等式；
（4）实际应用问题．
【方法总结】
利用基本不等式求最值时，要注意必须满足的三个条件，即一正二定三相等：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
撞题点七 线性规划
12．（三省三校“333”2021届高考备考诊断性联考）若实数，满足约束条件，则的最小值为
A． B．1
C． D．
【答案】C
【解析】作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

的几何意义为平面区域内的点到原点的距离的平方加1，
所以的最小值为.故选C．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
高考中线性规划几乎每年必考，多出现在第5-9题或第13-14题的位置，题目比较简单，常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型），与其他知识点交汇考查的可能性较小．
【还可能怎么考】
（1）求表示的平面区域的面积；
（2）求目标函数的最值；
（3）利用目标函数的最值求参数的取值范围；
（4）线性规划的实际应用．
【方法总结】
线性规划问题需要明确的几个问题：
（1）首先，明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线；
（2）其次，确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率，还是点到直线的距离等，特别是要将目标函数同几何意义进行联系，得到符合要求的解；
（3）最后，结合图形确定目标函数的最值或取值范围．
撞题点八 三角函数的图象与性质
13．（四省（四川云南贵州西藏）名校2021届高三第一次大联考）已知为锐角，且满足
，则的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由为锐角，且满足，
可知，则，可排除选项A、B，
由得，
所以，所以．故选D．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
三角函数的化简求值是高考的常考题型，诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角公式等是重要的考查点，高考对本知识点的要求虽然不高，但是必须对三角函数公式正向、逆向的运用、变形的运用熟练掌握，才能拿到高考试题的分值．
【还可能怎么考】
（1）给角求值；
（2）给值求值；
（3）给值求角；
（4）三角函数式的化简；
（5）三角函数式的证明．
【方法总结】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
（1）一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式，要学会根据三角函数值来缩小角的范围的方法，合理有效地降低问题的难度；
（2）二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
（3）三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”，“遇根式要升幂”等．
14．(江西省赣州市会昌县七校2021届高三联合)已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说法正确的是
A．函数的周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上有且仅有1个零点
D．函数在上为减函数
【答案】D
【解析】因为函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，，故A错误；
由得，则，将函数的图象向左平移个单位长度后的图象对应的解析式为，其图象关于原点对称，所以
为奇函数，则，所以，因为，所以，，于是，因为，所以B错误；
因为，，故C错误；
由得，所以函数在上为减函数，故D正确.
故选D．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
三角函数的图象与性质属于高考必考知识点，难度中等或偏上．常考题型有：三角函数的图象变换，求三角函数的解析式，三角函数的定义域、值域、周期性、单调性与对称性．
【还可能怎么考】
（1）考查三角函数的性质（最值、周期性、对称性等）；
（2）三角函数的图象变换；
（3）已知函数图象求函数的解析式．
【方法总结】
（1）已知函数的图象求函数的解析式：
①；
②由函数的最小正周期求；
③利用“五点法”中的特殊点求，一般用最高点或最低点．解决此类问题的关键是将解析式中的与函数图象联系起来，建立起关于的方程组，通过解方程组得到的值，进而得到函数的解析式.
（2）函数的性质：
①；
②最小正周期；
③由求图象的对称轴；
④由求图象的对称中心；
⑤由求函数的单调递增区间；由
求函数的单调递减区间．解决此类问题的关键是将看成一个整体，再根据需要满足的条件确定函数的各种性质.
15．（河南省六市2021届高三第二次联考）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为___________.
【答案】
【解析】，∴由正弦定理得，即，
由余弦定理得，即，解得，
又，，，
，，
故的面积为.
故答案为.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
如果解答题考查数列，则必考一道解三角形的小题，难度中等偏上．主要考查利用正、余弦定理解决边角问题，将正、余弦定理与面积相结合，与正弦定理相关的解的个数问题，判断三角形的形状，正、余弦定理与平面向量、不等式、函数等知识的综合应用．
【还可能怎么考】
（1）利用正、余弦定理解三角形；
（2）判断三角形的形状；
（3）与面积相关的问题；
（4）解斜三角形．
【方法总结】
解三角形问题，多为边、角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；
第二步：定工具，即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实现边角之间的互化；
第三步：根据所给的条件，利用正弦定理、余弦定理、三角形的面积建立关于边角为未知数的方程组，解方程组求出结果．
撞题点九 向量的线性运算及有关概念
16．(2021届云南省昆明市高考“三诊一模”第二次教学质量检测)已知点是所在平面内的一点，且，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，而 ，
∴，又，∴，
∴.故选D．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
考查平面向量的题目每年必考一道，重点考查向量的几何运算与代数运算，难度较小．此类问题一般单独命题，有时作为工具，在解答题中与其他知识交汇进行考查．常见题型有：平面向量的有关概念、平面向量的线性运算、共线向量定理及应用、平面向量基本定理等．
【还可能怎么考】
平面向量基本概念的考查、共线向量定理及应用、平面向量基本定理的应用、向量平行与垂直的坐标运算．
【方法总结】
若三点共线，P是平面内任意一点，则存在实数，使得.
17．（云南省红河州2021届高中毕业生第一次复习统一检测）已知向量，， 若，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为向量，，所以，，
又，所以，解得.故选A．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
平面向量的数量积问题是高考重点考查的内容，研究该问题主要有两个思路：
（1）代数法：建立平面直角坐标系，利用坐标研究数量积问题；
（2）利用基底表示目标向量，把问题转化为已知向量的数量积问题．
【还可能怎么考】
平面向量的数量积的运算、向量的模、向量的夹角、向量的平行与垂直、与四心相关的问题、极化恒等式、向量与其他知识的综合等．
【方法总结】
平面向量数量积的类型及求法：
（1）求平面向量的数量积有三种方法：
①夹角公式：，；
②设，，坐标公式：，；
③利用数量积的几何意义．
（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简．
撞题点十 数列（小题）
18．(浙江省东阳中学2021届高三暑期第三次检测)已知数列的前n项和，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，①，则②，且，
即，所以.
②-①得，
即，即，
所以，即.
则.故选A．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
数列如果不考解答题，一般会考两个数列小题，等差数列是其中一个考点，重点考查等差数列的通项公式与前项和公式的应用，也可能考查与的关系，或与其他知识综合进行考查．
【还可能怎么考】
等差数列的基本量的计算，等差数列的性质，等差数列的判定，等差数列与函数、不等式的综合等．
【方法总结】
在解决等差数列的运算问题时，有两个处理思路：
（1）利用基本量，将多元问题简化为一元问题，思路简单、目标明确；
（2）利用等差数列的性质．
注意：在应用性质时要注意其前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．
19．(浙江省温州市2021届高三下学期3月高考适应性测试)已知递增等差数列的前项和为，若，且成等比数列，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设递增等差数列的公差为，
因为是递增的等差数列，，
所以，即①，
由成等比数列，得，
整理得，即②，
联立①②，解得，或（舍去），
所以.故选D．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
等比数列是高考的一个重要考点，考查等比数列的通项公式与前项和公式的应用，
（1）运用等比数列的前项和公式时，要注意对公比进行分类讨论；
（2）当公比不为1时，，其中，同时要注意等比数列的首项与公比均不为零．
【还可能怎么考】
等比数列的基本量的计算，等比数列的性质，等比数列的判定，等比数列与函数、不等式的综合等．
【方法总结】
（1）对于等差数列来说，，可以看作以为自变量的一次函数，且函数的定义域是正整数集或它的有限子集，所以研究等差数列的通项问题时，可以利用一次函数图象为直线的特点，通过几何特征研究等差数列；
（2）对于等差数列来说，，所以可以看作自变量为的二次函数（当时），且二项式系数等于公差的一半；
（3）若数列是各项为正的等比数列，则，可以看作定义域为正整数集的指数函数；
（4）若数列是各项为正的等比数列，则，其中.
撞题点十一 立体几何（小题）
20．(河南省新乡市2021届高三第三次模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的半径长是

A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】根据三视图可得该三棱锥的直观图如下，
分别取、的中点、，连接PE，DE.
则有平面，，，，，
所以，，，是的外心，
所以球心在过点，且与平面垂直的直线上，连接OP，OC.
设外接球的半径为，
在中，由，得，
在直角梯形中，，即，解得，.
故选A.

考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
高考中一般考查两道立体几何小题，且与数学文化问题相结合是高考的一个热点，此类问题主要考查求空间几何体的表面积或体积．
【还可能怎么考】
此类问题还可以设计为生活中的数学问题、建筑问题、数学文化问题等.
（1）将三视图还原成简单几何体，再求简单几何体的表面积或体积；
（2）利用转化的方法求三棱锥的体积，所谓转化法就是转换三棱锥的底面或高，将原来不易求解面积的底面转换为容易求解面积的底面，或将原来不易看出的高转化为容易看出，并易求解的高.常用的转化方法有平行转换和比例转换；
（3）求某个三棱锥的表面积或体积的最大值，往往建立关于某个变量的函数，通过函数的单调性和函数的定义域确定函数的最大值，进而求得三棱锥的最大值．
【方法总结】
（1）割补法：利用割补法将问题转化为基本的柱、锥、台、球，再根据柱、锥、台、球的表面积和体积公式求几何体的体积、表面积或外接球、内切球的表面积与体积等；
（2）等积法：利用三棱锥的等积性可以把任何一个面作为三棱锥的底面，求体积时可以选择容易计算的底面和高来求解.此种方法也常常用来求解不易求出的点到面的距离问题．
21．（河南省郑州市第一中学2021届高三模拟预测卷）正方体的棱长为1，点是棱的中点，点都在球的球面上，则球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，作图如下：

连接AC，BD交于点O1，由题意知，为△外接圆的圆心，三棱锥外接球的球心为，连接，
由球心与截面圆圆心的连线垂直于截面可得，底面，
设球的半径为，连接，
则，作,则四边形为矩形，设，
在中，，即，
在中，，即，
联立方程解得，
所以所求球的表面积为.故选C.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
有关球的组合体问题是立体几何的一个重点与难点，同时也是高考的热点．
【还可能怎么考】
柱体的外接球、锥体的外接球、台体的外接球、几何体的内切球、与几何体棱相切的球的问题．
【方法总结】
解决与几何体有关的内切球或外接球的问题时，解题的关键是确定球心的位置．
（1）对于内切球的问题，要注意球心到各个面的距离相等且都为球的半径；
（2）对于外接球的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球的半径组成的直角三角形，利用勾股定理可求得球的半径．
（3）考査球的切、接问题，关于球的接、切问题是近些年来高考常考的题型，解答此类问题应抓住以下几个关键点：①正确找准球心；②注意截面圆圆心与球心连线垂直于截面圆所在的平面；③注意找球心的方法类比平面几何中的三角形外接圆圆心的找法，通过多面体各面外接圆圆心作截面的垂线，交点即为球心.
22．（河南省2021届高三下学期高考适应性考试）如图，圆锥的轴截面为正三角形，其面积为，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线所成角的余弦值为

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，
如图，取的中点，连接，为弧的中点，
则，是轴截面，则平面平面，
又平面，平面平面，所以平面，
而平面，所以，
又是的中点，则，所以或其补角是异面直线所成的角．
因为，，所以，，
所以异面直线所成角的余弦值为．故选B．

考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
直线与平面所成的角的问题在高考中时常考到，此类问题多以柱体或锥体为载体，考查空间问题平面化的思想，难度中等．
【还可能怎么考】
空间角除考查线面角，还可能考查异面直线所成的角、二面角，如果是特殊角，往往直接求角；如果是非特殊角，往往求角的三角函数值．
【方法总结】
平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面的直线问题来解决，具体步骤如下：
（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角或其补角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
撞题点十二 直线与圆的位置关系
23．已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即 ，
又由原点到直线的距离为，
即的最小值为．故选C．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
直线与圆的位置关系是高考考查的热点之一，通常涉及位置关系的判断、圆的切线、直线与圆相交的弦长、公共弦、弦的中点的问题等．
【还可能怎么考】
求圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的切线、圆与圆的位置关系、弦长与中点弦问题、与圆相关的最值问题、与圆相关的轨迹问题等．
【方法总结】
判断直线与圆的位置关系的方法：
（1）几何法：利用d与r的关系；
（2）代数法：先联立方程，然后利用判别式判断；
（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判定直线与圆相交．
注意：上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
撞题点十三 圆锥曲线的基本性质
24．（四川省成都市2021届高三毕业班摸底）已知点P在椭圆上，F1是椭圆C的左焦点，线段PF1的中点在圆上.记直线PF1的斜率为k，若，则椭圆C的离心率的最小值为____________．
【答案】
【解析】如图，设线段的中点为，连接，设椭圆C的右焦点为F2，连接PF2，因为点在圆上，
所以.由于是线段的中点，所以，所以.
设，则，所以，.
在三角形中，由余弦定理得
，
所以，
由于，，所以，
所以，所以，
由于，所以不等式左边成立，
右边，即，可化为，
，解得，所以椭圆C的离心率的最小值为.
故答案为.

考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的简单几何性质、椭圆方程的求法、椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是椭圆定义，更是高考的热点问题，在各种题型中均有涉及．
【还可能怎么考】
椭圆的定义及应用、求椭圆的标准方程、椭圆的离心率、椭圆的简单几何性质、弦长问题、中点弦问题、切线问题、最值与范围问题等．
【方法总结】
椭圆中常用的重要结论：
（1）若是椭圆的不平行于对称轴的弦，为坐标原点，为的中点，则．
（2）设点是椭圆上异于长轴端点的任一点，，为其焦点，记，则：①；②．
（3）若在椭圆上，则过点的椭圆的切线方程是．
（4）若在椭圆外，则过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线的方程为．
（5）已知椭圆，为坐标原点，，为椭圆上两动点，且，则：①；②的最小值为；③的最小值为．
25．（百校联盟2021届高考复习全程精练模拟卷一）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，，是双曲线的一条渐近线上的两个不同点，满足，都垂直于轴，过作，垂足为，若四边形的面积是三角形面积的4倍，则双曲线的离心率
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【解析】如图，设渐近线，则，
又因为，故四边形的面积为，
三角形的面积为，则有，
即，离心率．故选C.

考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
双曲线是高考必考知识点，难度比椭圆和抛物线略低一些．高考主要考查双曲线的定义、方程、离心率和渐近线等基础知识，侧重考查基本量的计算．
【还可能怎么考】
双曲线的定义及应用、求双曲线的标准方程、双曲线的离心率、双曲线的简单几何性质、弦长问题、中点弦问题、切线问题、最值与范围问题等．
【方法总结】
双曲线中常用的重要结论：
（1）若是双曲线的不平行于对称轴且过原点的弦，为的中点，则．
（2）设点是双曲线上异于实轴端点的任一点，，为其焦点，记，则：①；②．
（3）若在双曲线上，则过点的双曲线的切线方程为．
（4）若在双曲线外，则过点作双曲线的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线的方程为．
（5）已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则：①；②的最小值为；③的最小值为．
26．（山东省菏泽市2021届高三下学期3月一模）在抛物线上任取一点(不为原点)，为抛物线的焦点，连接并延长交抛物线于另一点过分别作准线的垂线，垂足分别为记线段的中点为则的面积的最小值为____________．
【答案】
【解析】焦点为，设直线的方程为，
由得，
设，则由根与系数的关系可得
取的中点为，连接，则，，，

，
当且仅当时，等号成立，的面积最小为. 故答案为4．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
抛物线是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线及其几何性质．
【还可能怎么考】
抛物线的定义及应用、求抛物线的标准方程、抛物线的简单几何性质、弦长问题、中点弦问题、切线问题、最值与范围问题等．
【方法总结】
抛物线中常用的重要结论：
若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论：
（1）．
（2）．
（3）焦点弦长公式①，，当时，焦点弦长取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为．
焦点弦长公式②：（为直线与对称轴的夹角）．
（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角，为坐标原点）．
撞题点十四 概率统计（小题）
27．（2021届新高考同一套题信息原创卷（二））算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位……，上面一颗珠（简称上珠）代表5，下面一颗珠（简称下珠）代表1，即五颗下珠的大小等于同组一颗上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一颗上珠，从个位、十位和百位这三组中随机往上拨2颗下珠，则算盘表示的数能被5整除的概率是

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，若上珠下拨的是个位，表示5，下珠上的两个都在个位、十位或百位，这时表示的数是，，；若上珠下拨的是十位，表示50，下珠上的两个都在个位、十位或百位，这时表示的数是，，；若上珠下拨的是个位，表示5，下珠上的两个分别在个位、十位，或者个位、百位，或者十位、百位，这时表示的数是，，；若上珠下拨的是十位，表示50，下珠上的两个分别在个位、十位，或者个位、百位，或者十位、百位，这时表示的数是，，，所以表示的数可能为7，16，25，52，61，70，106，115，151，160，205，250，其中能被5整除的有6个，故所求事件的概率为.故选B．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
从近几年的高考试题来看，古典概型是考查的热点．
【还可能怎么考】
（1）用频率估计概率；
（2）利用概率解决实际问题中的公平性问题；
（3）利用极大似然法思想解决决策问题．
【方法总结】
（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，一定要注意它们是否是等可能的．
（2）用列举法求古典概型的概率，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序，做到不重复、不遗漏．
（3）注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题．
28．（河北省唐山市2021届高三下学期第二次模拟）劳动力调查是一项抽样调查.2021年的劳动力调查以第七次人口普查的最新数据为基础抽取相关住户进入样本，并且采用样本轮换模式．劳动力调查的轮换是按照“”模式进行，即一个住户连续个月接受调查，在接下来的个月中不接受调查，然后再接受连续个月的调查，经历四次调查之后退出样本．调查进行时保持每月进入样本接受第一次调查的新住户数量相同．若从第个月开始，每个月都有的样本接受第一次调查，的样本接受第二次调查，的样本接受第三次调查，的样本接受第四次调查，则的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】假设每月新增一组人，将其编号为1,2,3,4,…，则每个月接受调查的情况为：第1月 ：1；第2月：1,2；第3月：2,3；第4月：3,4；第5月：4,5；第6月：5,6；第7月：6,7；第8月：7,8；第9月：8,9；第10月：9,10；第11月：10,11；第12月：11,12；第13月：12,13,1；第14月：14,13,2,1；第15月：15,14,3,2；可知从第14个月开始，接受调查的有4组，并且分别接受第一次调查、第二次调查、第三次调查和第四次调查. 故选C.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
统计学属于高考必考题型，难度一般较小．此类问题主要内容选自：
（1）三种抽样（以分层抽样为主）；
（2）频率分布表和频率分布直方图（或其他图表）；
（3）回归分析；
（4）独立性检验．
【还可能怎么考】
频率分布直方图、茎叶图、折线图、雷达图、条形图等．
【方法总结】
（1）三种抽样方法的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的概率相等.不同点是简单随机抽样是从总体中逐个抽取；系统抽样是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中进行抽取；分层抽样是将总体分层，分层进行抽取；
（2）在频率分布直方图中，频率==小长方形的面积=小长方形的高组距；各小组的频率之和=小长方形的面积之和=1；各组的频率之比=各组的频数之比=各小组的高之比=各小长方形的面积之比；
（3）相关关系的判断：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线的附近，那么就说变量和变量具有线性相关关系；利用相关系数，当时，两个变量正相关；当时，两个变量负相关；
（4）回归直线：回归直线方程为，其中是回归直线的斜率，是回归直线的截距，回归直线一定经过样本中心点；
（5）独立性检验的一般步骤：
①确认：独立性检验原理只能解决两个对象，且每个对象有两类属性的问题，所以对一个实际问题，我们要首先确定能否用独立性检验的思想方法解决；
②抽取：如果确实属于独立性检验问题，要科学地抽取样本，样本容量适当，不可太小；
③列表：根据数据列出列联表；
④假设：提出假设，即所研究的两类对象无关；
⑤计算：根据公式计算的观测值；
⑥判断：比较观测值与临界表中相应的检验水平，根据小概率原理肯定或者否定假设，即判断是否相关．
29．（四川省绵阳市2021届高三第三次诊断）在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和上一时期相比较的增长率.根据下图，2020年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法错误的是

A．2020年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌
B．2020年1月至2020年12月全国居民消费价格环比有涨有跌
C．2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大
D．2020年我国居民消费价格中3月消费价格最低
【答案】D
【解析】对于A，观察图中同比曲线，除11月份同比为－0.5%，其余均是正值，所以2020年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌，A正确.
对于B，观察图中环比曲线，有正有负，如2月份0.8%，3月份%，环比有涨有跌，B正确.
对于C，观察图中同比曲线，1月份同比增加5.4%，大于其他月份同比值，故2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大，C正确.
对于D，观察图中环比曲线，3月份环比值－1.2%，4月份－0.9%，易知4月份消费价格比3月份低，故D错误.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
概率统计中的决策性问题也是高考的热点问题，与生活实际紧密结合，充分考查学生分析问题、解决问题的能力．
【还可能怎么考】
事故预防决策、产品性能决策、风险决策、投资决策、方案决策等．
【方法总结】
（1）利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时易出错，应注意区分这三者．
（2）在频率分布直方图中：
①最高的小长方形底边中点的横坐标即众数；
②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
用频率分布直方图可以估计出的几个数据：
（1）众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；
（2）平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；
（3）中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
撞题点十五 创新题
30．（山东省德州市2021届高三二模）运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即．现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】类比球的体积求法，利用祖暅原理，将橄榄球与一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥几何体放在两个平行平面间（如图所示），
则．
故选B．

31．（江苏省徐州市2021届高三下学期第三次调研）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是
A．小寒比大寒的晷长长一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同
C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长长

【答案】C
【解析】由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列，其中寸，寸，公差为寸，则，解得（寸）；
同理可知，由冬至到夏至的晷长构成等差数列，寸，寸，公差寸.
故小寒与大寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，选项A正确；
∵春分的晷长为，∴，
秋分的晷长为，，故春分和秋分两个节气的晷长相同，所以B正确；
小雪的晷长为，，115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；
立春的晷长、立秋的晷长分别为，，
∴，，∴，
故立春的晷长比立秋的晷长长，故D正确.
故选C.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
合情推理在高考中时而考到，重点考查归纳推理，经常以图表或解析式的形式考查．
【还可能怎么考】
图表形式或解析式的形式考查.
【方法总结】
归纳推理的一般步骤：
（1）通过观察个别情况发现某些相同的性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想），常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
①数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；
②形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳．
撞题点十六 概率统计解答题
32．（云南省玉溪市普通高中2021届高三第一次教学质量检测）物理学中常用“伏安法”测量电阻值（单位：欧姆），现用仪器测量某一定值电阻在不同电压下的电流值得到一组数据，其中，和分别表示第i次测量数据的电流（单位：安培）和电压（单位：伏特），计算得．
（1）用最小二乘法求出回归直线方程（与精确到0.01）；
（2）由“伏安法”可知，直线的斜率是电阻的估计值，请用计算得到的数据说明电阻的估计值．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
【解析】（1），，
，
．所以，回归直线方程为．
（2）由“伏安法”可知，直线的斜率是电阻的估计值，所以电阻的估计值为4.70欧姆．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
回归分析是统计学的热点之一，主要考查散点图、变量间的相关关系的判断以及线性回归方程的求法，考查学生分析问题、解决问题的能力．
【还可能怎么考】
给出频率分布直方图，估计总体的平均数、中位数等数字特征，或根据频率分布直方图估计总体的概率，然后求某事件的概率．
【方法总结】
求线性回归直线方程的步骤：
（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；
（2）求系数：公式有两种形式，即．当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；
（3）求：；
（4）写出回归直线方程．
33．（四川省成都市川大附中2021届高三第二次模拟）2020年，全球爆发了新冠肺炎疫情，为了预防疫情蔓延，某校推迟2020年的春季线下开学，并采取了“停课不停学”的线上授课措施.为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了该校的100名学生(男生与女生的人数之比为3∶2)对线上课程进行评价打分，若评分不低于80分视为满意，其得分情况的频率分布直方图如图所示，若根据频率分布直方图得到的评分不低于70分的频率为0.85.

（1）估计这100名学生对线上课程评分的平均值；(每组数据用该组的区间中点值为代表)
（2）结合频率分布直方图，请完成以下列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”；
态度
性别
满意
不满意
合计
男生



女生

10

合计


100
附：，其中.

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【解析】（1）由已知得，解得，
又，解得，
所以这100名学生对线上课程评分的平均值为.
（2）由题意可得，列联表如下表：
态度
性别
满意
不满意
合计
男生
25
35
60
女生
30
10
40
合计
55
45
100
因此，
∴有99%的把握认为对“线上教学是否满意与性别有关”.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
独立性检验是统计学的热点之一，重点考查学生分析问题、解决问题的能力．
【还可能怎么考】
（1）两类变量相关性的判断；
（2）独立性检验与概率统计的综合．
【方法总结】
独立性检验的一般步骤：
（1）根据样本数据列列联表；
（2）根据公式计算的观测值；
（3）查表比较的观测值与临界值的大小关系，作出统计判断．
撞题点十七 数列解答题
34．（2021届普通高中教育教学质量监测考试全国I卷）已知公差不为的等差数列中，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为.
因为，，成等比数列，所以.
又因为，所以，化简得，
又因为公差不为，所以.
故.
（2）依题意，，
故.
35．（安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第二次教学质量检查）已知数列中，，，其前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和为，证明：.
【解析】（1）由题意知，，
从而，即，
又，∴ 数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
故.
（2），
∴.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
高考中的数列题，重点考查通性通法，难度偏小.
【还可能怎么考】
主要考查方式有：（1）以等差、等比数列为核心，考查通项与前n项和问题；（2）已知递推公式求通项公式；（3）数列求和；（4）数列与函数、不等式的综合考查.
【方法总结】
由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等比数列法，取倒数法，取对数法等；
数列求和的常用方法有：直接法，分组求和法，错位相减法，裂项相消法，并项法，倒序相加法等.
撞题点十八 解三角形解答题
36．（江苏省徐州市2021届高三下学期第三次调研）设的内角所对的边长分别为且，.
（1）求和边长a；
（2）当取最小值时，求的面积.
【解析】（1）由正弦定理及与得：
，，其中R是的外接圆半径.
两式相除，得，设，，
∵B是的内角，∴，
∵，∴，∴，，
将代入，得，
∴.
（2）由（1）及余弦定理知，
∴，
当且仅当时，取得最小值.
∴，
∴取最小值时，的面积为.
37．（云南省2021届高三二模）已知的内角、、的对边分别为、、，.
（1）求；
（2）若，求的面积的最大值.
【解析】（1），
，
，即.
，∴，.∵，∴.
（2）由（1）知：，又，∴，.
，，解得（当且仅当时取等号）.
.当时，由得，
的面积的最大值为.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
解三角形是高考考查的热点，难度有逐年攀升的迹象．常考题型有：①解三角形中的边角互化求角、求边；②三角形形状的判定；③最值（取值范围）问题；④解三角形的实际问题．
【还可能怎么考】
利用正、余弦定理解三角形，利用中线（角平分线、中垂线或高线）解三角形，解四边形问题，实际问题（测量距离、高度、角度等）．
【方法总结】
一般解题步骤为：①审题：阅读问题，理解问题的实际背景、有关名词、术语，明确已知与所求，理清量与量间的关系；②根据题意画出示意图，将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型；③正确应用正、余弦定理及其他有关知识解三角形；④将三角形中的解还原为实际问题的答案．
撞题点十九 立体几何解答题
38．(广西南宁市2021届高三一模)如图，在直四棱柱中，上、下底面均为菱形，点，，分别为，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面.

【解析】（1）如图，取的中点，连接，
为的中点，，且，
在直四棱柱中，，为的中点，
，故四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面.

（2）四边形是菱形，，为等边三角形，
是的中点，，
在直四棱柱中，平面，平面，，
，平面，
，平面.
39．(吉林省长春市2021届高三质量监测（二）)如图，在三棱柱中，平面为棱上一点，若．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．

【解析】（1）由题可得三棱柱的侧面的平面图如下所示.

因为在三棱柱中，平面，所以四边形是矩形，
又因为，，
所以，所以，则，
所以，所以，
所以，所以.
因为平面，平面，所以，，
又,所以平面，平面，所以，
又，所以，,平面.
（2）因为平面，，
所以.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
立体几何文科试题中，第一问证明线面、面面的位置关系，第二问往往是求距离或体积，尤其是利用等体积法求距离.
【还可能怎么考】
（1）证明线面平行、面面平行问题：线面位置关系是高考中重点考查的内容；
（2）证明线面垂直、面面垂直问题：线面位置关系是高考中重点考查的内容；
（3）求直线与平面所成的角；
（4）求几何体的体积.
【方法总结】
（1）证明线面平行的方法：
①应用定义法，证明直线和平面没有公共点；
②应用判定定理：证明平面外一条直线与平面内一条直线平行．此种方法经常需要在平面内构造出一条与平面外直线平行的直线；
③应用面面平行性质定理：两个平行平面中一个平面内的直线与另一平面平行，此种方法往往需要构造一个平面包含某一直线．
（2）证明线面垂直的方法：
①应用定义法，证明直线和平面内所有直线垂直；
②应用判定定理：证明直线与平面内两条相交直线垂直．此种方法有时需要在平面内构造出两条相交直线；
③两条平行直线中一条直线垂直于这个平面，那么另一条也垂直这个平面；
④应用面面垂直性质定理．
（3）等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．
撞题点二十 圆锥曲线解答题
40．(湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期)在平面直角坐标系中，已知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点F的两条直线,与曲线分别相交于A,B和C,D四点，且M,N分别为,的中点.设与的斜率依次为,，若，求证：直线MN恒过定点.
【解析】（1）由题意，设，
因为圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，
可得，化简得.
（2）易知直线，的斜率存在，
设直线，的方程分别为，，.
联立方程组，整理得，
所以，则，同理，
所以，
由，可得，
所以直线的方程为，
整理得，所以直线恒过定点.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解所求动点的轨迹方程实质为动点的横纵坐标所满足的等量关系式，通常的方法有直接法，定义法，几何法，相关点法（代入法），参数法.
【还可能怎么考】
直接法求轨迹方程、定义法求轨迹方程、相关点法求轨迹方程、参数法求轨迹方程.
【方法总结】
解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1．参数法：
参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常设为变量）；②利用条件找到与过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2．由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
41．(2021届高三新高考统一适应性考试江苏省南通中学)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的长轴长为4，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点A(a，0)，B(0，b)，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)．
①若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4.求证：k1k2+k3k4为定值；
②若直线l的斜率为，求四边形APBQ的面积的最大值．

【解析】（1）由题意得
解得a2=4，b2=3.所以椭圆C的标准方程为+=1.
（2）①点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，)．
设点P的坐标为(m，n)，由对称性知点Q的坐标为(–m，–n)．
所以k1=，k2=.所以k1k2=·=.
又因为点P在椭圆C：＋=1上，所以+=1，即m2–4=–n2，
所以k1k2==–. 同理k3k4=–.所以k1k2+k3k4=+=–，为定值．
②由题意得A(2，0)，B(0，)．设l：y=x+t.
由点A(2，0)，B(0，)位于直线l的两侧，得<0，
解得– 由，消去y并整理，得3x2+2tx+2t2–6=0.
由判别式=(2t)2–4×3×(2t2–6)>0，得t2<6.
当–0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由根与系数的关系得，x1+x2=–，x1x2=.
|PQ|=·=·=·.
点A(2，0)到直线l：y=x+t的距离d1==.
因为– 点B(0，)到直线l：y=x+t的距离d2==.
因为– 因此，四边形APBQ的面积=·|PQ|·(d1＋d2)
=×××=2.
因为– 考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的热点.
【还可能怎么考】
定点问题、定直线问题、定值问题、存在性问题、探究性问题、焦点弦问题、焦点三角形问题.
【方法总结】
一、圆锥曲线中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
二、解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量.
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数.
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值.
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算、推理过程中消去变量，从而得到定值.
42．(福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”2021届高三三校联考)已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且点到点的最大距离为，点到点的最小距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线交椭圆于,两点，坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值.
【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，
解得，，因此，椭圆的标准方程为.
（2）设,.
① 当轴时，；
② 当与轴不垂直时，设直线的方程为，则，
.
将代入椭圆方程整理，得，
，.

，
当且仅当时，等号成立.
.
综上，面积的最大值为.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
圆锥曲线中最值与范围问题是高考中的热点，常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．
【还可能怎么考】
考查直线与圆锥曲线的位置关系，及它们在相交时构成的弦的长度、某个角的角度、某个三角形或四边形的面积、两个向量的数量积、斜率等最值或范围问题.
【方法总结】
在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
43．(甘肃省兰州市2020-2021学年高三下学期诊断)已知抛物线及点.
（1）以抛物线焦点为圆心，为半径作圆，求圆与抛物线交点的横坐标；
（2）,是抛物线上不同的两点，且直线与轴不垂直，弦的垂直平分线恰好经过点，求的取值范围.
【解析】（1）由已知得，则，所以圆的方程为，
由，得，
解得：或，由于，所以，
所以，圆与抛物线交点的横坐标为；
（2）设弦的中点为，设,,，
则，，设线段的中垂线的方程为，
则直线的斜率，，
，，
则直线的方程为，即，
由，得，即，
，，
，，

.
的取值范围是.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
圆锥曲线中探索性问题是高考中的热点，经常与定值、定点问题综合到一起考查.
【方法总结】
存在性问题的求解策略：
（1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性明朗化，一般步骤：
①假设满足条件的曲线（或直线、点等）存在，用待定系数法设出；
②列出关于待定系数的方程（组）；
③若方程（组）有实数解，则曲线（或直线、点等）存在，否则不存在.
（2）反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法.
解析几何问题考查时往往不是单一的某一问题，而是多个问题的组合，是一个综合性的问题．
撞题点二十一 函数导数解答题
44．（福建省福州市2021届高三数学10月调研）设函数．
（1）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．
【解析】（1），依题意有，故．
经检验满足题意．
，的定义域为，
，
当时，；当时，；当时，．
所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减，且在处取得极大值．
（2）的定义域为，．
方程的判别式．
①若，即，在的定义域内，故无极值．
②若，则或．
（a）当时，，，当时，，
当时，，所以无极值．
（b）当时，，，也无极值．
③若，即或，
则有两个不同的实根，．
（a）当时，，从而在的定义域内没有零点，故无极值．
（b）当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，
可知在取得极值．
综上，存在极值时，的取值范围为．
所以的极值之和为.
由可得，则，
，
所以．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
利用导数证明不等式是高考的热点，解题的关键是构造辅助函数，通过构造辅助函数，将不等式的证明问题转化为判断函数的单调性或函数的最值问题．
【还可能怎么考】
构造函数证明不等式、双变量不等式的证明、极值点偏移问题、数列型不等式的证明.
【方法总结】
利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数的导函数符号，确定差函数的单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
45．(北京市西城区2021届高三一模)已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：函数存在极小值；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，
所以．
又，所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由，得．
令，则．
当时，，当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以的最小值为．
当时，，．
又在上单调递增，
故存在，使得，在区间上，在区间上．
所以，在区间上，在区间上，
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数存在极小值．
（3）对任意的实数，恒成立，等价于．
由（2）得，①当时，，则在区间上，即．
所以在上单调递增，所以的最小值为．
由，得，满足题意．
②当时，由（2）知，在上单调递减，
所以当时，，不满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
在不等式恒成立或不等式有解的条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数法，直接移项构造辅助函数．
【方法总结】
（1）对于任意的，总存在，使得；
（2）对于任意的，总存在，使得；
（3）若存在，对于任意的，使得；
（4）若存在，对于任意的，使得；
（5）对于任意的，，使得；
（6）对于任意的，，使得；
（7）若存在，总存在，使得
（8）若存在，总存在，使得．
46．（北京市延庆区2021届高三上学期统测）已知函数.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）当，时，求函数的最大值；
（3）当，时，判断函数的零点个数，并说明理由.
【解析】（1）当时，函数，，
，
所以，
所以曲线在原点处的切线方程为.
（2），
令，
则，
当，时，，所以在上单调递增.
所以，即，仅在处，其余各处，
所以在上单调递增，
所以当时，的最大值为.
（3），
因为，当时，，仅在处，其余各处，
所以在上单调递减，
因为，
所以存在唯一，使得，
即在上有且只有一个零点，
因为，
所以是偶函数，其图象关于轴对称，
所以在上有且只有一个零点，
所以在上有2个零点.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
函数的零点问题是近几年高考中的热点，常见题型有：利用导数讨论零点的个数；利用导数证明零点的唯一性；根据零点的个数讨论参数的取值范围.
【方法总结】
判断函数零点个数的常用方法：①直接研究原函数，明确函数的单调性，求出函数的极值与最值，画出草图，函数的零点个数即是函数图象与x轴的交点个数；②分离出参数，转化为，利用导数知识明确函数的单调性、极值与最值，结合图象，函数的零点个数即直线与函数的图象的交点个数.
撞题点二十二 坐标系与参数方程
47．（云南省2021届高三二模）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为，直线过点且与直线平行.
（1）直接写出曲线的普通方程和直线的参数方程；
（2）设直线与曲线交于两点.若是与的等比中项，求实数的值.
【解析】（1）曲线的普通方程为；
直线的参数方程为（为参数）.
（具体求解过程如下：因为，所以，
所以即为曲线的普通方程；
因为的普通方程为，且，所以倾斜角的正切值为，
所以，所以，
又的直角坐标为即，
所以直线的参数方程为（为参数）.）
（2）将代入曲线的普通方程，
化简得：
.
设两点对应的参数分别为，，
则，
是与的等比中项，
，，即.
，解得.
.
48．（甘肃省兰州市2020-2021学年高三下学期诊断）在平面直角坐标系中，双曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）若，设双曲线的一条渐近线与相交于两点，求；
（2）若，分别在与上任取点和，求的最小值.
【解析】（1）若，曲线的直角坐标方程为：，
双曲线的方程为，一条渐近线方程为：，
圆心到直线的距离，，则.
另解：由题可知双曲线的方程为，一条渐近线方程为：，
该渐近线的极坐标方程为.
由得，故.
.
（2）若，曲线的直角坐标方程为，圆心，半径.
在双曲线上任取一点，
则，
当时，.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
极坐标与参数方程作为两个选做大题之一出现，主要考查极坐标方程、参数方程与平面直角坐标方程的互化，直线与曲线的位置关系的判断以及距离的最值问题，难度中等.
【还可能怎么考】
（1）求曲线的极坐标方程和普通方程及两个方程间的相互转化；
（2）求直线与曲线相交时形成的弦的弦长；
（3）求点的直角坐标或极坐标；
（4）求曲线上的点到直线的距离的最小值，并求取得最小值时点的坐标.
【方法总结】
利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题：
经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：（1）；（2）；（3）；（4）．
撞题点二十三 不等式选讲
49．（二轮复习联考（一）2021届高三）函数.
（1）求不等式的解集;
（2）已知函数的最小值为，正实数满足，求证：.
【解析】（1）由题可得，所以，
即或或,解得或，
所以不等式的解集为.
（2），则，
所以，
故，
当且仅当时取等号.
50．（云南省2021届高三二模）已知函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，且，求证：，.
【解析】（1）不等式可化为：，
当时，，解得，；
当时，，；
当时，，解得，；
综上所述：实数的取值范围为.
（2）（当且仅当时取等号），
又（当且仅当，即时取等号），
.
考题猜测全视角
【为什么猜这个题？】
不等式选讲作为两个选做大题之一出现，一般涉及绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题以及不等式证明.
【还可能怎么考】
已知函数，，.
（1）当时，作出的图象；
（2）若，求的取值范围；
（3）若不等式恒成立，求的取值范围；
（4）若不等式的解集不是空集，求的取值范围；
（5）若恒成立，求的取值范围；
（6）设，且当时，，求的取值范围；
（7）当时，恒成立，求的取值范围；
（8）若函数的图象都在的上方，求的取值范围.
【方法总结】
绝对值不等式的求解以及证明问题，难度中等.
（1）绝对值不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
（2）已知不等式恒成立（或有解）求参数范围的方法：
①分离参数法，②更换主元法，③数形结合法.