2021年江苏省泰州市靖江市中考数学一模试题（word版 含答案）

这是一份2021年江苏省泰州市靖江市中考数学一模试题（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省泰州市靖江市中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（ ）

A． B． C． D．
3．下列图形中既是中心对称又是轴对称的是（ ）

A．可回收垃圾 B．其他垃圾 C．有害垃圾 D．厨余垃圾
4．下列各式中计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知、是关于的方程的两根，下列结论中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．方程必有一正根
6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D为半圆AB的中点，CD交AB于点E，若AC＝8，BC＝6，则BE的长为（　　）

A．4.25 B． C．3 D．4.8

二、填空题
7．若分式的值为0，则x的值为________．
8．点到轴的距离是__________．
9．我国高铁通车总里程居世界第一，到2020年末高铁总里程达到37900千米，37900用科学记数法表示为________．
10．正六边形的内角和为___度．
11．若，则的值为______．
12．四边形中，，顺次连接它的各边中点所得的四边形是________．
13．如图，圆锥底面半径为，母线长为，侧面展开图是圆心角等于的扇形，则该圆锥的底面半径为________．

14．如图，在中，，是中点，，垂足为，若，则________．

15．如图，直线与x轴交于点B，与双曲线（x＞0）交于点A，过点B作x轴的垂线，与双曲线交于点C．且AB＝AC，则k的值为______．

16．如图在菱形中，，是、的交点，是线段上的动点（不与点、重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好在边上，若要使得，则的范围为________．


三、解答题
17．（1）计算：．
（2）化简：．
18．为保护环境“赤子之心”环保公益中心组织1000名学生参加义务收集废旧电池的活动，下面随机抽取50名学生对收集的废旧电池数量进行统计：
废旧电池数/节
3
4
5
6
8
人数/人
10
15
12
7
6
（1）上述数据中，废旧电池节数的众数是________节，中位数是________节；
（2）这次活动中，1000名学生共收集废旧电池多少节？
19．在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．
（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率为 ；
（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．
20．现有一块质量为10kg的甲、乙两种金属的合金．用甲种金属若干与这块合金重新熔炼，所得的新合金中甲种金属占3份，乙种金属占2份，如果再用相同数量的甲种金属与新合金重新熔炼，那么所得合金中甲种金属占7份，乙种金属占3份．求每次所用的甲种金属的质量．
21．港珠澳大桥，从2009年开工建造，于2018年10月24日正式通车．其全长55公里，连接港珠澳三地，集桥、岛、隧于一体，是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.73，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）

22．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点直线分别交轴、轴于、两点．
（1）直接写出不等式的解集；
（2）求的值；
（3）求点的坐标．

23．已知：如图1，中，．
（1）请你以为一边，在的同侧构造一个与全等的三角形，画出图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）参考（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：
如图2，在四边形中①；②；③．请在上述三条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由你选择的条件是________，结论是_______（只要填写序号）

24．如图，是的直径，交于点，是弧的中点，与交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．

25．（阅读理解）设点在矩形内部，当点到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“和谐点”例如：如图1矩形中，若，则称为边的“和谐点”．
（解题运用）已知点在矩形内部，且，．
（1）设是边的“和谐点”，则______边的“和谐点”（填“是”或“不是”）；
（2）若是边的“和谐点”连接，，当时，求的长度；
（3）如图2，若是边的和谐点”，连接，，，求的最大值．

26．已知抛物线与轴交于点、两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点在抛物线上时
①如图1，过点且不与坐标轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点，求直线的方程；
②如图2若直线与抛物线的一个交点为，点在点的右侧，过点作轴交直线于点，延长到点使得，试判断点是否在抛物线上？请说明理由．



参考答案
1．A
【详解】
分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A．
2．D
【分析】
由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式．
【详解】
解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数，
所以图2表示的过程应是在计算5＋（−2），
故选：D．
【点睛】
此题考查了有理数的加法，解题的关键是：理解图1表示的计算．
3．C
【分析】
根据中心对称图形和轴对称图形的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】
解：A．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，
B．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，
C．既是中心对称又是轴对称图形，
D．是轴对称图形但不是中心对称图形，
故选C．
【点睛】
本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的定义，熟练掌握上述定义，是解题的关键．
4．A
【分析】
根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，积的乘方法则，即可得到答案．
【详解】
解：A. ，故该选项正确，
B. ，故该选项错误，
C. ，故该选项错误，
D. ，故该选项错误．
故选A．
【点睛】
本题主要考查整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，积的乘方法则，是解题的关键．
5．B
【分析】
由题意利用一元二次方程根与系数的关系，得出结论．
【详解】
解：∵、是关于的方程的两根，
∴，，，
∴，方程必有一正根，
故选B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握，，是解题的关键，属于基础题．
6．B
【分析】
连接OD,作CH⊥AB于H,先利用勾股定理算出AB的长度,再根据等面积法算出CH,进而算出BH,利用△CHE∽△DOE对应边成比例求出OE与EH的关系式,通过列式算出EH即可算出BE．
【详解】
连接OD,作CH⊥AB于H,如图,

∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB＝90°,
∴AB＝＝10,
∵CH•AB＝AC•BC,
∴CH＝＝,
在Rt△BCH中,BH＝＝,
∵点D为半圆AB的中点,
∴OD⊥AB,
∴OD∥CH,
∴△CHE∽△DOE,
∴EH：OE＝CH：OD＝：5＝24：25,
∴OE＝EH,
∵EH+EH+＝5,
∴EH＝,
∴BE＝EH+BH＝+＝．
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理、相似的性质和判定、圆直径所对圆周角,关键在于结合图形灵活使用条件．
7．4
【分析】
根据分式的值为0的条件可直接进行求解．
【详解】
解：由分式的值为0，则有：
，
∴，
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查分式的值为0，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键．
8．3
【分析】
根据到x轴的距离等于点的纵坐标的长度是解题的关键．
【详解】
解：点（2，-3）到x轴的距离为|-3|=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
9．3.79×104，
【分析】
根据科学记数法的定义，即可求解．
【详解】
解：37900=3.79×104，
故答案是：3.79×104．
【点睛】
本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的形式：a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），是解题的关键．
10．720
【详解】
多边形内角和公式．
由多边形的内角和公式：180°（n﹣2），即可求得正六边形的内角和：180°×（6﹣2）=180°×4=720°．
11．1
【分析】
将变形，用含b的式子表示a，将变形后的式子代入所求的代数式中进行化简即可．
【详解】
解：由得，
将代入，得
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了代数式求值及合并同类项．利用了整体代入的思想，是一道基本题型．
12．菱形
【分析】
根据三角形中位线定理和菱形的判定定理，即可得到答案．
【详解】
解：∵E，F分别是DC，AD的中点，
∴EF=AC，EF∥AC，
同理，GH=AC，GH∥AC，GF=BD，
∴EF=GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC=BD，
∴EF=GF，
∴平行四边形EFGH为菱形．
故答案是：菱形．

【点睛】
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理，菱形的判定定理是解题的关键．
13．3
【分析】
由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可得：再解方程可得答案．
【详解】
解：由圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可得：



故答案为：
【点睛】
本题考查的是圆锥的侧面展开图，弧长的计算，掌握以上知识是解题的关键．
14．50°
【分析】
由∠CED＝∠ACB＝90°，∠CDE＝∠ADC，得到△CDE∽△ADC，可得CD2＝DE•AD，再证明△BDE∽△ADB，可得∠BED＝∠ABC，进而即可解决问题．
【详解】
解：∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACB＝90°，
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CD：AD＝DE：CD，
∴CD2＝DE•AD，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD；
∵CD2＝DE•AD，
∴BD2＝DE•AD，
∴BD：AD＝DE：BD；
又∵∠ADB＝∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴∠BED＝∠ABC，
∵，
∴∠ABC=50°，
∴∠BED=50°．
故答案是：50°．
【点睛】
该题主要考查了相似三角形的判定及其性质，熟练掌握“母子相似”模型，是解题的关键．
15．4
【分析】
根据一次函数解析式可得点B坐标，即可用k表示出点C纵坐标，根据AC=AB可得点A在BC垂直平分线上，可表示出点A纵坐标，代入反比例函数解析式可求出点A横坐标，代入一次函数解析式求出k值即可．
【详解】
∵直线与x轴交于点B，
∴当时，，
∴点B的坐标为，
∵过点B作x轴的垂线，与双曲线交于点C，
∴点C的坐标为，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∴点A的纵坐标为，
∵点A在双曲线上，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
∵点A在直线上，
∴，
解得：．
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数综合，根据垂直平分线的性质表示出点A的纵坐标是解题关键．
16．45°＜α＜60°
【分析】
连接PC，先证明Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，从而得∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝180°−2α，结合∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，即可求出α的范围．
【详解】
解：连接PC，

∵在菱形中，BD所在直线是对称轴，
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好在边上，即：PQ＝PA，
∴PQ＝PC＝PA，
∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠ACQ=∠APQ=，
∴∠CDB＝90°−α；
∵PQ＝QD，
∴∠PQC＝2∠CDB＝180°−2α，
∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝180°−2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°−2α＞α，
∴45°＜α＜60°．
故答案是：45°＜α＜60°．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质及圆周角定理的综合应用，得出Q、C、A三点共圆利用圆周角定理得出结论是解题的关键．
17．（1）2+；（2）
【分析】
（1）原式第一项利用立方根定义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】
解：（1）原式=2-1+2+-1=2+；
（2）原式=．
18．（1）4，4.5；（2）4800节
【分析】
（1）从统计表格即可求得众数为5，然后按从大到小给所有数据排序，求出中位数即可；
（2）求出50名学生收集废旧电池的总数，再求平均数，进而即可求解．
【详解】
解：（1）从统计表格得，众数为4节；由于收集3节和4节电池的人数有25个人，收集5节的人有12人，所以中位数＝（4＋5）÷2＝4.5（节），
故答案是：4，4.5；
（2）50名学生平均每人收集废旧电池的个数＝（10×3＋15×4＋12×5＋7×6＋6×8）÷50＝4.8（节），
1000×4.8=4800（节）．
【点睛】
本题考查了从统计图中获取信息的能力，掌握平均数、中位数和众数等概念是解题的关键．
19．（1）；（2）．
【分析】
（1）直接根据概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出刚好是一男生一女生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中刚好是一男生一女生的结果数为6，
所以刚好是一男生一女生的概率．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
20．5kg
【分析】
设每次所用的甲种金属有xkg，原来这块合金中含甲种金属的百分比是y，根据两次重新熔炼后甲种金属所占份额，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
解：设每次所用的甲种金属有xkg，原来这块合金中含甲种金属的百分比是y，
依题意，得：，解得：，
答：每次所用的甲种金属有5kg．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．93.7米
【分析】
首先在直角三角形ADC中求得AD的长，然后在直角三角形BDC中求得BD的长，两者相加即可求得AB的长．
【详解】
在Rt△ADC中，∵，CD=100，∴AD=tan30°•CD．
在Rt△BDC中，∵，CD=100，∴BD=tan20°•CD≈0.36×100=36．
故AB=AD+DB=57.7+36=93.7（米）．
答：斜拉索顶端A点到海平面B点的距离93.7米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，难度适中，通过直角三角形，利用三角函数求解是解题的关键．
22．（1）-3＜x＜0或x＞1；（2）；（3）C(-2，0)
【分析】
（1）取直线在双曲线的上方部分所对应的x的值，即可求解；
（2）把，代入中，用含m的代数式表示a，c，进而即可求解；
（3）令y=0，得，从而得：，进而即可求解．
【详解】
解：（1）∵，即：，
∴从图像上看，取直线在双曲线的上方部分所对应的x的值，
即：不等式的解集为：-3＜x＜0或x＞1；
（2）把，代入中，得：，，
∴a+c=，
∴=；
（3）把，代入中，得，解得：，
令y=0，得，解得：，
∴C(-2，0)．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．
23．（1）作图见详解；（2）①②；③
【分析】
（1）以点A为圆心AC为半径画弧，再以点C为圆心AD长为半径画弧，两个弧的交点为点E，连接AE，CE，即可；
（2）延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，证明，可得∠B=∠E，AB=CE，进而即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图所示：

（2）选择的条件是①②，结论是③，理由如下：
延长DA至点E，使AE=CB，连接CE，
∵，∠DAC+∠EAC=180°，
∴∠ACB=∠EAC，
在和中，
∵，
∴，
∴∠B=∠E，AB=CE，
∵，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∴CD=AB，
故答案是：①②；③．

【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键．
24．（1）见详解；（2）
【分析】
（1）连接AD，根据圆周角定理，由E是 的中点得到∠EAB＝∠EAD，由于∠ACB＝2∠EAB，则∠ACB=∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）先证明出∠EAC＝∠AFD，进而利用三角函数的定义和勾股定理解答即可．
【详解】
（1）证明：连接AD，如图，

∵E是的中点，
∴∠DAB＝2∠EAB，
∵∠ACB＝2∠EAB，
∴∠ACB＝∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＋∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，即∠BAC＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）∵∠EAC＋∠EAB=90°，∠DAE＋∠AFD=90°，∠EAD=∠EAB，
∴∠EAC=∠AFD，
∴CF=AC=6，
∵，
∴CD= AC∙=4，
∴DF=2，
∵AD2=AC2−CD2=62−42=20，
∴AF＝=．

【点睛】
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．
25．（1）是；（2）或；（3）
【分析】
（1）连接PB、PC，证△BAP≌△CDP（SAS），得PB＝PC，即可得出结论；
（2）先由“和谐点”的定义得PB＝PC，PA＝PD，则点P在AD和BC的垂直平分线上，过点P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，求出AE＝PF＝3，再证△APF∽△PBF，得PF2＝AF•BF，设AF＝x，则BF＝10−x，解得x＝2或x＝8，再利用勾股定理，即可求解；
（3）过点P作PN⊥AB于N，先证出tan∠PAB•tan∠PBA＝，设AN＝x，则BN＝10−x，得到关于x的二次函数，进而即可得出结论．
【详解】
解：（1）P是边BC的“和谐点”，理由如下：
连接PB、PC，如图1所示：

∵P是边AD的“和谐点”，
∴PA＝PD，
∴∠PDA＝∠PAD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠CDA＝∠BAD＝90°，
∴∠BAP＝∠CDP，
在△BAP和△CDP中，
，
∴△BAP≌△CDP（SAS），
∴PB＝PC，
∴P是边BC的“和谐点”，
故答案为：是；
（2）∵P是边BC的“和谐点”，
由（1）可知：P也是边AD的“和谐点”，
∴PB＝PC，PA＝PD，
∴点P在AD和BC的垂直平分线上，
过点P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，如图3所示：

则AE＝AD，∠PEA＝∠PFA＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，BC＝AD＝8，
∴四边形AEPF是矩形，AE＝4，
∴AE＝PF＝4，
∵，且P在矩形内部，
∴∠APF＋∠BPF＝90°，
∵PF⊥AB，
∴∠AFP＝∠PFB＝90°，
∴∠APF＋∠PAF＝90°，
∴∠PAF＝∠BPF，
∴△APF∽△PBF，
∴AF：PF＝PF：BF，
∴PF2＝AF•BF，
∴PF2＝AF（AB−AF），
设AF＝x，
则BF＝10−x，
∴x（10−x）＝42，
解得：x＝2或x＝8，
当AF＝2时，PA＝=，
当AF＝8时，PA＝=，
∴PA的值为：或；
（3）过点P作PN⊥AB于N，如图2所示：

由（2）知：点P在AD和BC的垂直平分线上，
∴PN＝BC＝4，
∵tan∠PAB＝，tan∠PBA＝，
∴tan∠PAB •tan∠PBA＝×＝＝，
∴=，
设AN＝x，则BN＝10−x，
∴= x（10−x）=−（x−5）2＋，
∴当x＝5时，有最大值．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、新定义“和谐点”的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义以及二次函数的应用等知识；本题综合性强，熟练掌握新定义“和谐点”的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
26．（1）；（2）①；②点N在抛物线上，理由见详解
【分析】
（1）将代入中，求出m的值，进而即可求解；
（2）①设直线的解析式为，联立抛物线和直线的函数解析式，得到关于x的一元二次方程，结合判别式得到m，n的关系，进而即可得到答案；②过点Q作直线l∥x轴，过点M作ME⊥l，过点N作NF⊥l，可得，设QE=QF=n，表示出，，再联立：，求出另外一个交点的横坐标为x1，进而即可得到结论．
【详解】
解：（1）将代入中，得：，解得：m=0，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①设直线的解析式为：，
∴，即：，
∵过点且不与坐标轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点，
∴ ①，
∵在抛物线上，
∴a=，即：，
将代入得： ②，
∴联立①②得：，解得：，
∴直线的解析式为：；
②点N在抛物线上，理由如下：
过点Q作直线l∥x轴，过点M作ME⊥l，过点N作NF⊥l，
在和中，
，
∴，
∴QE=QF，FN=ME，
设QE=QF=n，
∵PQ∥y轴，
∴，
∴，，，
联立：，得：，
设直线与抛物线的另外一个交点的横坐标为x1，则，
∴x1=4-=2-n=，
∴另外一个交点就是N点，即点N在抛物线上．

【点睛】
本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握函数图像上点的坐标特征，通过作辅助线表示出各个点的横坐标，是解题的关键．