2021年山东省滨州市无棣县中考一模数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年山东省滨州市无棣县中考一模数学试题（word版 含答案），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年山东省滨州市无棣县中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．的相反数为－2021，则等于（ ）
A．2021 B．－2021 C． D．
2．自新型冠状病毒肺炎肆虐全球以来，万众一心战疫情已成为世界各国的共同语言，Worldometers世界实时统计数据显示，截至北京时间2021年3月25日7时01分，全球累计确诊新冠肺炎（COVID-19）病例超过125300000例，将125300000用科学记数法表示为（ ）
A．1.253×107 B．1.253×108 C．0.1253×109 D．1253×105
3．四个运算：①a3+a2＝a5；②；③a6÷a3＝a2；④（a﹣1）（a+2）＝a2﹣2，运算结果正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．如图，ABCD，AD⊥AC，∠ACD＝55°，则∠BAD＝（ ）

A．70° B．55° C．45° D．35°
5．为预防“新冠肺炎”，我县学校要求学生每日测量体温，九（1）班一名同学连续一周体温情况如表所示：则该名同学这一周体温数据的众数和中位数分别是（ ）
日期
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期天
体温
36.3
36.3
36.6
36.4
36.3
36.5
36.4

A．36.4和36.3 B．36.3和36.4 C．36.3和36.3 D．36.3和36.2
6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
7．疫情期间，小区的王阿姨和李奶奶通过外卖订购了两包蔬菜．王阿姨订购的一包蔬菜 包括西红柿、茄子、青椒各1千克，共花费11.8元；李奶奶订购的一包蔬菜包括西红柿2千克，茄子1.5千克，共花费13元，已知青椒每千克4.2元，则西红柿和茄子的价格是（ ）
A．3.6元/千 克，4元千克 B．4.4 元/千克，3.2 元/千克
C．4元/千克，3.6元千克 D．3.2元/千克，4.4元/千克
8．如图，在平行四边形ABCD中，AE：DE＝2：1，连接BE，交AC于点F，AC＝12，则AF为（ ）

A．4 B．6 C．5.2 D．4.8
9．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝60°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）

A．55° B．65° C．60° D．75°
10．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）

A．1.12米 B．1.24米 C．1.42米 D．1.62米
11．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝6；③a﹣b+c＜0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣2≤x＜2；⑤当x＜0时y随x的增大而增大．其中正确结论的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

二、填空题
13．若a+b=-4，a-b=2，则=_______．
14．若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形．
15．分式与的和为2，则x的值为________．
16．如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为___________．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝8，AC＝6，则cos∠DCB＝__________．

18．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，方程x+5＝ax+b的解是_________．

19．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC的中点，连接AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝_____．

20．观察下列各式：，，，，…猜想：（n是正整数）=____________．

三、解答题
21．先化简再求值，其中x=（-2021）0+（﹣1）3+﹣．
22．2021年1月，市教育局在全市中小学中选取了56所学校进行了教育满意度调查．评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生家长进行了手机短信问卷调查，了解他们的孩子每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图．

根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生家长人数是 ；扇形统计图中的圆心角α等于 ．
（2）补全统计直方图．
（3）被抽取家长的孩子还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．（共五个道次）
23．如图，点为正方形对角线上一点， 于点， 于点．
（1）求证：．
（2）若正方形的边长为12，求，四边形的周长．

24．如图所示，⊙O的半径为4，点A是⊙O上一点，直线l过点A；P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l于点B，交⊙O于点E，直径PD延长线交直线l于点F，点A是的中点．
（1）求证：直线l是⊙O的切线；
（2）若PA=6，求PB的长．

25．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且D点的横坐标是它的纵坐标的2倍．
（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．

26．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；
（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．

27．已知、是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．
28．已知：，（＞）是一元二次方程的两个实数根，设，， …，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题：
①利用配方法求，的值，并利用一元二次方程根与系数的关系直接写出，的值．
②猜想：当n≥3时，，，之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性．
(注：关于x的一元二次方程若有两根，则有)


参考答案
1．A
【分析】
根据相反数的概念解题即可．
【详解】
2021的相反数为-2021，
∴a等于2021，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查相反数，掌握相反数的概念是解题的关键．
2．B
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】
解：125300000=1.253×108．
故选：B．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．B
【分析】
利用合并同类项法则、同底数幂的除法法则、多项式乘以多项式法则及负整数指数幂的意义，计算判断即可．
【详解】
解：∵a3与a2不是同类项，不能合并，故A错误；
，故选项B正确；
a6÷a3=a3≠a2，故选项C错误；
（a-1）（a+2）=a2+a-2，故选项D错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则、多项式乘以多项式法则及负整数指数幂的意义，掌握整式的相关性质和法则是解决本题的关键．
4．D
【分析】
由垂线的定义可得△ACD是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余得到∠ADC==35°，最后由平行线的性质得∠BAD=∠ADC=35°．
【详解】
解：∵AD⊥AC，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵∠ACD=55°
∴∠ADC=90°-55°=35°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC=∠BAD=35°，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质垂线的定义以及直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关知识是解答此题的关键．
5．B
【分析】
根据众数和中位数的定义求解可得．
【详解】
解：将这组数据重新排列为36.3、36.3、36.3、36.4、36.4、36.5、36.6，
所以这组数据的众数为36.3，中位数为36.4，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．D
【分析】
根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【详解】
（k-2）x2-2kx+k-6=0，
∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，
∴，
解得：且k≠2．
故选D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
7．D
【分析】
根据审题发现题目中有两个未知数，根据题意得出两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可．
【详解】
设每千克西红柿和茄子的价格各位x、y元，
由题可得：，
解得，
∴每千克西红柿和茄子的价格各位3.2元、4.4元．
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是分析题意准确列出方程组，利用消元法解方程组．
8．D
【分析】
根据平行四边形的对边相等可得AD=BC，然后求出AE=AD=BC，再根据相似三角形的对应边成比例求出AF、FC的比，然后求解即可．
【详解】
解：在▱ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∵AE：DE＝2：1，，
∴AE=AD=BC，
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF．
∴AF：FC=AE：BC=2：3，
∴，
∵AC=12，
∴AF=×12=4.8．
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的对边平行且相等的性质，熟记定理并求出AF、FC的比是解题的关键．
9．C
【分析】
连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB=180°-∠A=120°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD=CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接CD，

∵∠A=60°，
∴∠CDB=180°-∠A=120°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD=CD，
∴∠ODB=∠ODC= ∠BDC=60°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确理解题意是解题的关键．
10．B
【分析】
根据黄金分割的定义即可列出，即可选择．
【详解】
根据题意可知，且，
∴米．
故选B．
【点睛】
本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．
11．D
【详解】
试题分析：根据旋转和等边三角形的性质得出∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，求出△ACD是等边三角形，求出AD=AC，根据菱形的判定得出四边形ABCD和ACED都是菱形，根据菱形的判定推出AC⊥BD． ∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC， ∴∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE， ∴∠ACD=120°﹣60°=60°， ∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，AC=AD=DE=CE， ∴四边形ACED是菱形，
∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC=AD， ∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，∴①②③都正确
考点：(1)、旋转的性质；(2)、等边三角形的性质；(3)、菱形的判定．
12．B
【分析】
利用抛物线与x轴的交点个数和判别式的意义对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对②进行判断；利用对称轴得到b＝﹣4a，由于x＝﹣1时，y＞0，可对③进行判断；利用抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质可对⑤进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，顶点在x轴上方，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
即4ac＜b2，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（6，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝6，所以②正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
所以③错误；
当﹣2＜x＜6时，y＞0，所以④错误；
当x＜0时，y随x的增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
13．-8
【分析】
根据平方差公式的逆运算求解即可．
【详解】
原式，
故答案为：-8．
【点睛】
本题考查平方差公式的逆运算，熟记基本的乘法公式是解题关键．
14．七
【分析】
根据多边形的内角和公式，列式求解即可.
【详解】
设这个多边形是边形，根据题意得，
，
解得.
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键.
15．4
【分析】
根据题意可列分式方程，解出方程，并验根即可．
【详解】
根据题意可知，
等式两边同乘得：，
整理得：，
解得．
经检验是原分式方程的根．
故答案为：．
【点睛】
本题考查解分式方程．掌握解分式方程的步骤是解答本题的关键．特别注意要验根．
16．
【分析】
求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积．
【详解】
解：由题意，知AC=4，BC=4-2=2，∠A1BC=90°．
由旋转的性质，得A1C=AC=4．
在Rt△A1BC中，cos∠ACA1=．
∴∠ACA1=60°．
∴扇形ACA1的面积为．
即线段CA扫过的图形的面积为．
故选：D．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
17．
【分析】
根据同角的余角相等，可得到∠A=∠DCB，求出∠A的余弦即可得结论．
【详解】
解：∵∠ACD+∠BCD=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD．
在Rt△ABC中，
∵cosA= ．
∴cos∠BCD= ．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了余弦三角函数，利用同角的余角相等得到∠A与∠DCB的关系是解决本题的关键．
18．x＝20
【分析】
根据一次函数图象的交点即为两直线解析式所组成的方程组的解，即可得出答案．
【详解】
根据图象可知两直线的交点坐标为，
∴方程的解是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数与一元一次方程的关系．掌握该一元次一方程的解即为两直线交点的横坐标是解答本题的关键．
19．或．
【分析】
根据矩形的性质得到AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝∠B＝90°，根据勾股定理得到，设PD′＝PD＝x，则AP＝6-x，当△APD′是直角三角形时，①当∠AD′P＝90°时，②当∠APD′＝90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论．
【详解】
解：在矩形中，，，
，，
是的中点，
，
，
沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，
，
设，则，
当是直角三角形时，
①当时，
，
，
，
△，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，当是直角三角形时，或，
故答案为：或．

【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
20．
【分析】
观察题干各等式的规律发现等号右边为左边各底数之和的平方，由此写出答案即可．
【详解】
∵，…，
∴，
∵，
∴上式整理得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查规律探究，总结每个等式的变化规律，熟记常见的求和公式是解题关键．
21．，
【分析】
利用分式的运算法则化简，再利用实数的混合运算法则求出x的值，最后将x的值代入化简后的式子求值即可．
【详解】
解：原式
∵，

．
即当时，原式．
【点睛】
本题考查分式的化简求值以及实数的混合运算．掌握各运算法则是解答本题的关键．
22．（1）30，144°；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据题意列式求值；
（2）根据相应数据画图即可；
（3）根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可．
【详解】
解：（1）6÷20%=30，（30-3-7-6-2）÷30×360°=12÷30×360°=144°，
答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144°；
故答案为：30，144°；
（2）补全统计图如图所示：

（3）根据题意列表如下：
设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道，
小红  小花
1
2
3
4
5
1
 
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
2
（1，2）
 
（3，2）
（4，2）
（5，2）
3
（1，3）
（2，3）
 
（4，3）
（5，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
 
（5，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
 
记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A，
∴．
【点睛】
本题考查了列表法和树状图法求概率，频数分布直方图，扇形统计图，正确的识图是解题的关键．
23．（1）见解析；（2）24
【分析】
（1）由已知可以得到△ABP≌△CBP，从而得到PA=PC，又可得四边形PFCE是矩形，从而有EF=PC，最后可以得到结论；
（2）由（1）可得PE=CF，PF=CE，再根据正方形的性质可得BE=PE，最后可得矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=24．
【详解】
（1）证明：连接PC，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠BCD=90°，
在△ABP与△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．
又∵∠BCD=90°，
∴四边形PFCE是矩形，
∴EF=PC，
∴PA=EF；
（2）由（1）知四边形PFCE是矩形，
∴PE=CF，PF=CE，
又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，
∴BE=PE，
又∵BC=12，
∴矩形PFCE的周长为2(PE+EC)=2(BE+EC)=2BC=24．
【点睛】
本题考查正方形的应用，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定和性质、矩形的判定和性质等是解题关键 ．
24．（1）证明见解析；（2）PB=．
【分析】
（1）如图，连接DE，OA，根据垂径定理证明OA⊥BF即可；
（2）如图，作OH⊥PA于H，只要证明△AOH∽△PAB，可得，即可解决问题．
【详解】
（1）如图，连接DE，OA，
∵PD是直径，
∴∠DEP=90°，
∵PB⊥FB，
∴∠DEP=∠FBP，
∴DE∥BF，
∵，
∴OA⊥DE，
∴OA⊥BF，
∴直线l是⊙O的切线；
（2）如图，作OH⊥PA于H，
∵OA=OP，OH⊥PA，
∴AH=PH=3，
∵OA∥PB，
∴∠OAH=∠APB，
∵∠AHO=∠ABP=90°，
∴△AOH∽△PAB，
∴，
∴，
∴PB=．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、垂径定理、切线的判定等，正确添加辅助线、熟练掌握和运用相关知识是解题的关键.
25．（1）D（2，1），（2）,, （3）
【分析】
（1）过D作DM⊥x轴，交x轴于点M，可得三角形ODM与三角形OBA相似，根据D点的横坐标是它的纵坐标的2倍及E（4，n），求出AB的长即可；
（2）由D为OB的中点，以及B坐标求出D坐标，把D代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，把E坐标代入反比例解析式求出n的值即可；
（3）由折叠的性质得到三角形OGH与三角形FGH全等，利用全等三角形的对应边相等得到OG＝FG，由F在反比例图象上，确定出F坐标，进而求出CF的长，在三角形CFG中，设OG＝FG＝x，可得CG＝2﹣x，利用勾股定理求出x的值，即为OG的长．
【详解】
（1）过D作DM⊥x轴，交x轴于点M，

∵D点的横坐标是它的纵坐标的2倍，即OM＝2DM，
∴OA＝2AB，
∵E（4，n），即OA＝4，AE＝n，
∴AB＝2；
（2）∵D为OB中点，B（4，2），
∴D（2，1），
把D（2，1）代入y＝中，得1＝，即k＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
把E（4，n）代入反比例解析式得：n＝＝；
（3）设F（a，2），代入y＝，得2＝，解得a=1，
故F（1，2），
所以CF＝1，
由折叠得：△OGH≌△FGH，
∴OG＝FG，
∵OC＝AB＝2，
设OG＝FG＝x，得到CG＝2﹣x，
在Rt△CFG中，由勾股定理得：FG2＝CG2+CF2，即x2＝（2﹣x）2+1，
整理得：4x＝5，
解得：x＝，
则OG＝．
【点睛】
此题属于反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，待定系数法确定反比例解析式，以及折叠的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
26．（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）； （3）（1，﹣2），（1，4）
【分析】
（1）抛物线解析式为y＝a（x＋1）（x−3）＝a（x2−2x−3），将点C坐标代入即可求解；

（2）先求出直线BC的解析式，设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），得到DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，再利用，即可求解；
（3）分MC是斜边、MB是斜边两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2−2x−3），
将点C坐标代入,得
-3a＝3，解得：a＝-1，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），
∴，解得，
∴y＝﹣x+3，
设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值；
（3）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x=1
设点M（1，m），
则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；
①当MC是斜边时，
1+（m﹣3）2＝m2+4+18；
解得：m＝﹣2；
②当MB是斜边时，
同理可得：m＝4，
故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
27．的值为1.
【分析】
由题意先根据根与系数的关系得到，，再变形已知条件得到，解得，然后根据判别式的意义确定k的值．
【详解】
解：由已知定理得：，，
∴，
即，解得：，
当时，△=，
∴舍去；
当时， △=，
∴的值为1．
【点睛】
本题考查根与系数的关系与根的判别式，注意掌握若、是一元二次方程的两根时，．
28．①，；，；②，证明见解析
【分析】
①按照配方法的步骤对原方程进行求解即可得出，的值，然后结合根与系数的关系求出，的值即可；
②根据材料定义得和，然后联立求和即可推出结论．
【详解】
①移项，得，
配方，得，
即，
开平方，得，
即，
∴，．
于是，，．
②猜想：．
证明：根据根的定义，，
两边都乘以，得，①
同理，，②
①＋②，得，
∵，，，
∴，
即．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系以及新定义问题，理解材料给出的定义，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．