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2021年上海市部分学校中考数学调研试卷（3月份）
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这是一份2021年上海市部分学校中考数学调研试卷（3月份），共25页。
2021年上海市部分学校中考数学调研试卷（3月份）
一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）某运动队为了选拔“神枪手”，举行射击比赛，最后由甲、乙两名选手进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计算，甲、乙两名选手的总成绩都是99.6环，甲的方差是0.27，乙的方差是0.18，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
5．（4分）在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，那么顺次联结四边形ABCD各边中点所得的四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
6．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．内含两圆的圆心距大于零
B．没有公共点的两圆叫两圆外离
C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点
D．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）ABCDE图1【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是 厘米．
8．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD＝3，BD＝4，AE＝2，那么AC＝ ．
9．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为 ．
10．（4分）正八边形的中心角等于 度．
11．（4分）某班40名学生参加了一次“献爱心一日捐”活动，捐款人数与捐款额如图所示，根据图中所提供的信息，你认为这次捐款活动中40个捐款额的中位数是 元．
12．（4分）某区有6000名学生参加了“创建国家卫生城市”知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩（得分都是整数）作为样本，绘制成频率分布直方图如图，请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分﹣99.5分的学生大约有 名．
13．（4分）已知在离地面30米的高楼窗台A处测得地面花坛中心标志物C的俯角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为 米．
14．（4分）已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP＝x，那么x的取值范围是 ．
15．（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，设，，如果用向量表示向量，那么＝ ．
16．（4分）已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 ．
17．（4分）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ．
18．（4分）如图，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高，AD：DC＝1：3，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线AB重合，设AC与DF相交于点O，则S△AOF：S△DOC＝ ．
三．解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知两个不平行的向量先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）
20．（10分）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与x轴交于点A，在第一象限内与反比例函数图象交于点B，BC垂直于x轴，垂足为点C，且OC＝2AO．求：
（1）点C的坐标；
（2）反比例函数的解析式．
21．（10分）如图，已知BC是⊙O的弦，点A在⊙O上，AB＝AC＝10，cos∠ABC＝．
（1）求弦BC的长；
（2）求∠OBC的正切值．
22．（10分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和条形图，根据图形信息回答下列问题：
（1）本次抽测的男生有 人，抽测成绩的众数是 ；
（2）请将条形图补充完整；
（3）若规定引体向上6次以上（含6次）为体能达标，则该校125名九年级男生中估计有多少人体能达标？
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝DC，点E在对角线BD上，作∠ECF＝90°，CF＝EC，联结DF．
（1）求证：BD⊥DF；
（2）当BC2＝DE•DB时，试判断四边形DECF的形状，并说明理由．
24．（12分）如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．
25．（14分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，sin∠BCD＝，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．
（1）求证：∠BCD＝∠BDC；
（2）如图1，若以P为圆心，PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，DP的长；
（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP＝CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．
2021年上海市部分学校中考数学调研试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
对称轴为直线x＝2，
故选：D．
2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出cotA＝即可得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴cotA＝＝，
故选：C．
3．（4分）下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别根据一次函数及反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵正比例函数y＝x中，k＝＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项错误；
B、∵正比例函数y＝﹣x中，k＝﹣＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项正确；
C、∵反比例函数y＝中，k＝3＞0，∴函数图象在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣3＞0，∴函数图象在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选：B．
4．（4分）某运动队为了选拔“神枪手”，举行射击比赛，最后由甲、乙两名选手进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计算，甲、乙两名选手的总成绩都是99.6环，甲的方差是0.27，乙的方差是0.18，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵甲的方差是0.27，乙的方差是0.18，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定；
故选：B．
5．（4分）在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，那么顺次联结四边形ABCD各边中点所得的四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．
【解答】解：已知：AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH是矩形
证明：∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，（三角形的中位线平行于第三边）
∴四边形EFGH是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO＝∠ENO＝90°，
∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴∠MEN＝90°，
∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故选：C．
6．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．内含两圆的圆心距大于零
B．没有公共点的两圆叫两圆外离
C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点
D．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称
【分析】利用两圆的位置关系、外离两圆的性质、相交两圆的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、内含两圆的圆心距可以等于零，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、没有公共点的两圆可以外离也可以内含，故错误，是假命题，不符合题意；
C、联结相切两圆的圆心的线段可能不经过切点，故错误，是假命题，不符合题意；
D、相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）ABCDE图1【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是 4 厘米．
【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac＝16，故b的值可求．
【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac＝16，
解得b＝±4，
又∵线段是正数，
∴b＝4．
故答案为4．
8．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD＝3，BD＝4，AE＝2，那么AC＝ ．
【分析】由平行可得到＝，代入可求得EC，再利用线段的和可求得AC．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝3，BD＝4，AE＝2，
∴＝，
解得EC＝，
∴AC＝AE+EC＝2+＝，
故答案为：．
9．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为 0＜x＜2 ．
【分析】根据点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数．
【解答】解：因为点P（x﹣2，x）在第二象限，所以，解得0＜x＜2．
10．（4分）正八边形的中心角等于 45 度．
【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；
故答案为45．
11．（4分）某班40名学生参加了一次“献爱心一日捐”活动，捐款人数与捐款额如图所示，根据图中所提供的信息，你认为这次捐款活动中40个捐款额的中位数是 15 元．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：∵捐款的总人数为40，第20个与第21个数据都是15元，
∴中位数是15元．
故答案为：15．
12．（4分）某区有6000名学生参加了“创建国家卫生城市”知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩（得分都是整数）作为样本，绘制成频率分布直方图如图，请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分﹣99.5分的学生大约有 900 名．
【分析】利用总人数6000乘以对应的频率即可．
【解答】解：该区本次竞赛成绩在89.5分﹣99.5分的学生有：6000（1﹣0.1﹣0.2﹣0.3﹣0.25）＝900（人）．
故答案是：900．
13．（4分）已知在离地面30米的高楼窗台A处测得地面花坛中心标志物C的俯角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为 10 米．
【分析】利用解直角三角形的知识知一边和角求另一边即可．
【解答】解：根据题意得到AB＝30米，∠BAC＝30°，
∵AB⊥BC，
∴BC＝AB•tan30°＝30×＝10米，
∴标志物C离此栋楼房的地面距离BC为10米，
故答案为10．
14．（4分）已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP＝x，那么x的取值范围是 x＞5 ．
【分析】根据点在圆外的判断方法得到x的取值范围．
【解答】解：∵点P在半径为5的⊙O外，
∴OP＞5，即x＞5．
故答案为x＞5．
15．（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，设，，如果用向量表示向量，那么＝ ．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由四边形ABCD是平行四边形，求得，继而求得答案．
【解答】解：如图，四边形ABCD是平行四边形，
∴＝，AO＝AC，
∵，
∴＝+＝+，
∴＝（+）＝．
故答案为：．
16．（4分）已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 96 ．
【分析】由菱形的性质可得BO＝AO＝8，AB＝10，AC⊥BD，由勾股定理可求BO＝6，即可求解．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，周长是40，AC＝16，
∴BO＝AO＝8，AB＝10，AC⊥BD，
∴OB＝＝＝6，
∴BD＝12，
∴菱形ABCD的面积＝＝96，
故答案为：96．
17．（4分）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 （﹣4，1），（0，5） ．
【分析】如图，与⊙A外切半径相等且连心线与直线y＝x平行的两个圆分别为⊙B，⊙C，运用两圆外切的性质和点的坐标特点，运用数形结合求出图形中AE、BE、AF、CF的长，进而得到两圆心的坐标．
【解答】解：点A的坐标为（﹣2，3过点A的直线与y＝x平行并过点A，
∴过点A的直线与y＝x平行，
∴过点A的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，
∴与⊙A外切半径相等且连心线与直线y＝x平行的两个圆分别为⊙B，⊙C
如图，△AEB△AFC都是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，∴AE＝BE＝AF＝CF＝2，
∴C（﹣4，1），B（0，5）．
故答案为：（﹣4，1），（0，5）
18．（4分）如图，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高，AD：DC＝1：3，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线AB重合，设AC与DF相交于点O，则S△AOF：S△DOC＝ ．
【分析】如图，作DG⊥AB于G，设AD＝x，则BD＝3x，由勾股定理就可以求出AB＝x，由三角形的面积公式求出DG的值，由三角函数值求出AG，就可以表示出AE，从而求出AF，再由△AFO∽△DCO就可以求出结论．
【解答】解：作DG⊥AB于G，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C．
设AD＝x，则BD＝3x，由勾股定理，得
AB＝x，
∴AC＝x．
∴，
∴，
∴GD＝．
∵＝＝tan∠C．
∴tan∠B＝．
∵∠ADG+∠GAD＝90°，∠B+∠GAD＝90°，
∴∠ADG＝∠B．
∴tan∠ADG＝，
∴，
∴AG＝．
∵△FDE是由△CDA旋转得来的，
∴△FDE≌△CDA，
∴DE＝DA．∠F＝∠C．
∵DG⊥AB，
∴AG＝EG．
∴AE＝2AG，
∴AE＝．
∴AF＝＝．
∵∠AOF＝∠DOC，∠F＝∠C，
∴△AFO∽△DCO，
∴S△AOF：S△DOC＝＝（）2．
＝．
故答案为：．
三．解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知两个不平行的向量先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）
【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形．
【解答】解：＝＝．
如图：＝2，＝﹣，
则＝．
即即为所求．
20．（10分）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与x轴交于点A，在第一象限内与反比例函数图象交于点B，BC垂直于x轴，垂足为点C，且OC＝2AO．求：
（1）点C的坐标；
（2）反比例函数的解析式．
【分析】（1）由一次函数的解析式求出图形与坐标轴的交点，根据OC＝2OA，求得点C的坐标；
（2）根据BC垂直于x轴，得到平行线，得到对应线段成比例，列方程求解，得到B点的坐标，应用待定系数法求得反比例函数的解析式．
【解答】解：如图在y＝x中，令x＝0，则y＝，y＝0，x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），C（0，），
∴OA＝1，OD＝，
∵OC＝2OA，
∴OC＝2，
∴C（2，0）；
（2）∵BC垂直于x轴，
∴OD∥BC，
∴＝，
∴BC＝，
∴B（2，），
设反比例函数的解析式：y＝，
把点B（2，）代入得k＝3，
∴反比例函数的解析式：y＝．
21．（10分）如图，已知BC是⊙O的弦，点A在⊙O上，AB＝AC＝10，cos∠ABC＝．
（1）求弦BC的长；
（2）求∠OBC的正切值．
【分析】（1）根据圆心角定理，得出，利用三角函数关系求出AD的长，进而求出BC的长；
（2）设⊙O的半径OB＝r，由OA＝OB＝r，得OD＝8﹣r，利用勾股定理得出r的长，从而求出∠OBC的正切的值．
【解答】解：（1）联结AO，AO的延长线与弦BC相交于点D．
在⊙O中，∵AB＝AC，
∴，
又∵AD经过圆心O，
∴AD⊥BC，BC＝2BD．
在Rt△ABD中，AB＝10，，
∴．
由勾股定理得．
∴BC＝12．
（2）设⊙O的半径OB＝r．
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
．
在⊙O中，由OA＝OB＝r，
得OD＝8﹣r．
在Rt△OBD中，由勾股定理得BD2+OD2＝OB2，
即36+（8﹣r）2＝r2．
解得．
∴．
∴．
∴．
22．（10分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和条形图，根据图形信息回答下列问题：
（1）本次抽测的男生有 25 人，抽测成绩的众数是 6次 ；
（2）请将条形图补充完整；
（3）若规定引体向上6次以上（含6次）为体能达标，则该校125名九年级男生中估计有多少人体能达标？
【分析】（1）用7次的人数除以7次所占的百分比即可求得总人数，然后求得6次的人数即可确定众数；
（2）补齐6次小组的小长方形即可．
（2）用总人数乘以达标率即可．
【解答】解：（1）观察统计图知达到7次的有7人，占28%，
∴7÷28%＝25人，
达到6次的有25﹣2﹣5﹣7﹣3＝8人，
故众数为6次；…（4分）
（2）
（3）（人）．
答：该校125名九年级男生约有90人体能达标．…（3分）
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝DC，点E在对角线BD上，作∠ECF＝90°，CF＝EC，联结DF．
（1）求证：BD⊥DF；
（2）当BC2＝DE•DB时，试判断四边形DECF的形状，并说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△BCE≌△DCF，可得∠EBC＝∠FDC，由等腰直角三角形的性质可求∠EBC＝∠FDC＝∠BDC＝45°，即可求解；
（2）通过证明△CDE∽△BDC，可得∠DEC＝∠DCB＝90°，由正方形的判定可得结论．
【解答】证明：（1）∵∠BCD＝∠ECF＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC＝∠FDC，
∵BC＝DC，∠BCD＝90°，
∴∠DBC＝∠BDC＝45°，
∴∠FDC＝45°，
∴∠FDB＝90°，
∴BD⊥DF．
（2）四边形DECF是正方形．理由如下：
∵BC2＝DE•DB，BC＝DC，
∴DC2＝DE•DB，
∴，
∵∠CDE＝∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DEC＝∠DCB＝90°，
∵∠FDE＝∠ECF＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵CE＝CF，
∴四边形DECF是正方形．
24．（12分）如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．
【分析】（1）直接代入A、B两点坐标求出b、c的值，即可得到抛物线解析式；
（2）①利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据P、M两点的坐标即可表示出PM的长度；
②可设点N坐标为，再由MN∥BC可知当MN＝BC时可判定四边形BCMN为平行四边形，分点P在OC上、点P在OC延长线上两种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵抛物线经过A（0，1）和点B，
∴，
∴解得：，
∴．
∴该抛物线表达式为．
（2）①由题意可得：直线AB的解析式为，
∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP＝m，
∴P（m，0），，
∴．
②由题意可得：，MN∥BC，
∴当MN＝BC时，四边形BCMN为平行四边形．
1° 当点P在线段OC上时，，
又∵BC＝，
∴．
得m1＝1，m2＝2．
2° 当点P在线段OC的延长线上时，．
∴，
解得 （不合题意，舍去），．
综上所述，当m的值为1或2或时，以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
25．（14分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，sin∠BCD＝，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．
（1）求证：∠BCD＝∠BDC；
（2）如图1，若以P为圆心，PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，DP的长；
（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP＝CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．
【分析】（1）作DQ⊥BC，在直角△CDQ中利用三角函数即可求解；
（2）设DP＝x，当⊙P与⊙H外切时，PH＝DH+BP，据此即可列方程求得；
（3）作PM∥BE，分△ADH∽△FCE和△ADH∽△ECF两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比相等求解．
【解答】解：（1）作DQ⊥BC，
∵BQ＝AD＝3，DQ＝AB＝4，
∴CD＝＝2，CQ＝2，
∴BC＝5＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC；
（2）设DP＝x，则DH＝x，PH＝x，BP＝5﹣x．
当⊙P与⊙H外切时，PH＝DH+BP，
即x＝x+5﹣x，
解得：x＝；
（3）作PM∥BE．
则PM＝DP＝x，DH＝HM＝x，
由＝＝1，CF＝FM＝﹣x，
当△ADH∽△FCE时，，
即＝，
解得：x＝﹣10（舍去）．
当△ADH∽△ECF时，＝，
即＝，
解得：x＝．
∴DP的长是．
2021年上海市部分学校中考数学调研试卷（3月份）
一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）某运动队为了选拔“神枪手”，举行射击比赛，最后由甲、乙两名选手进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计算，甲、乙两名选手的总成绩都是99.6环，甲的方差是0.27，乙的方差是0.18，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
5．（4分）在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，那么顺次联结四边形ABCD各边中点所得的四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
6．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．内含两圆的圆心距大于零
B．没有公共点的两圆叫两圆外离
C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点
D．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）ABCDE图1【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是 厘米．
8．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD＝3，BD＝4，AE＝2，那么AC＝ ．
9．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为 ．
10．（4分）正八边形的中心角等于 度．
11．（4分）某班40名学生参加了一次“献爱心一日捐”活动，捐款人数与捐款额如图所示，根据图中所提供的信息，你认为这次捐款活动中40个捐款额的中位数是 元．
12．（4分）某区有6000名学生参加了“创建国家卫生城市”知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩（得分都是整数）作为样本，绘制成频率分布直方图如图，请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分﹣99.5分的学生大约有 名．
13．（4分）已知在离地面30米的高楼窗台A处测得地面花坛中心标志物C的俯角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为 米．
14．（4分）已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP＝x，那么x的取值范围是 ．
15．（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，设，，如果用向量表示向量，那么＝ ．
16．（4分）已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 ．
17．（4分）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 ．
18．（4分）如图，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高，AD：DC＝1：3，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线AB重合，设AC与DF相交于点O，则S△AOF：S△DOC＝ ．
三．解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知两个不平行的向量先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）
20．（10分）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与x轴交于点A，在第一象限内与反比例函数图象交于点B，BC垂直于x轴，垂足为点C，且OC＝2AO．求：
（1）点C的坐标；
（2）反比例函数的解析式．
21．（10分）如图，已知BC是⊙O的弦，点A在⊙O上，AB＝AC＝10，cos∠ABC＝．
（1）求弦BC的长；
（2）求∠OBC的正切值．
22．（10分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和条形图，根据图形信息回答下列问题：
（1）本次抽测的男生有 人，抽测成绩的众数是 ；
（2）请将条形图补充完整；
（3）若规定引体向上6次以上（含6次）为体能达标，则该校125名九年级男生中估计有多少人体能达标？
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝DC，点E在对角线BD上，作∠ECF＝90°，CF＝EC，联结DF．
（1）求证：BD⊥DF；
（2）当BC2＝DE•DB时，试判断四边形DECF的形状，并说明理由．
24．（12分）如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．
25．（14分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，sin∠BCD＝，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．
（1）求证：∠BCD＝∠BDC；
（2）如图1，若以P为圆心，PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，DP的长；
（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP＝CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．
2021年上海市部分学校中考数学调研试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
对称轴为直线x＝2，
故选：D．
2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A． B． C． D．
【分析】根据锐角三角函数的定义，直接得出cotA＝即可得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴cotA＝＝，
故选：C．
3．（4分）下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别根据一次函数及反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵正比例函数y＝x中，k＝＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项错误；
B、∵正比例函数y＝﹣x中，k＝﹣＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项正确；
C、∵反比例函数y＝中，k＝3＞0，∴函数图象在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣3＞0，∴函数图象在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项错误．
故选：B．
4．（4分）某运动队为了选拔“神枪手”，举行射击比赛，最后由甲、乙两名选手进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计算，甲、乙两名选手的总成绩都是99.6环，甲的方差是0.27，乙的方差是0.18，则下列说法中，正确的是（ ）
A．甲的成绩比乙的成绩稳定
B．乙的成绩比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【解答】解：∵甲的方差是0.27，乙的方差是0.18，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定；
故选：B．
5．（4分）在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，那么顺次联结四边形ABCD各边中点所得的四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【分析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．
【解答】解：已知：AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH是矩形
证明：∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，（三角形的中位线平行于第三边）
∴四边形EFGH是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，
∴∠EMO＝∠ENO＝90°，
∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴∠MEN＝90°，
∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
故选：C．
6．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．内含两圆的圆心距大于零
B．没有公共点的两圆叫两圆外离
C．联结相切两圆圆心的线段必经过切点
D．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称
【分析】利用两圆的位置关系、外离两圆的性质、相交两圆的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、内含两圆的圆心距可以等于零，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、没有公共点的两圆可以外离也可以内含，故错误，是假命题，不符合题意；
C、联结相切两圆的圆心的线段可能不经过切点，故错误，是假命题，不符合题意；
D、相交两圆的交点关于这两个圆的连心线对称，正确，是真命题，符合题意，
故选：D．
二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）ABCDE图1【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是 4 厘米．
【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac＝16，故b的值可求．
【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac＝16，
解得b＝±4，
又∵线段是正数，
∴b＝4．
故答案为4．
8．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD＝3，BD＝4，AE＝2，那么AC＝ ．
【分析】由平行可得到＝，代入可求得EC，再利用线段的和可求得AC．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝3，BD＝4，AE＝2，
∴＝，
解得EC＝，
∴AC＝AE+EC＝2+＝，
故答案为：．
9．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为 0＜x＜2 ．
【分析】根据点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数．
【解答】解：因为点P（x﹣2，x）在第二象限，所以，解得0＜x＜2．
10．（4分）正八边形的中心角等于 45 度．
【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；
故答案为45．
11．（4分）某班40名学生参加了一次“献爱心一日捐”活动，捐款人数与捐款额如图所示，根据图中所提供的信息，你认为这次捐款活动中40个捐款额的中位数是 15 元．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：∵捐款的总人数为40，第20个与第21个数据都是15元，
∴中位数是15元．
故答案为：15．
12．（4分）某区有6000名学生参加了“创建国家卫生城市”知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩分布情况，竞赛组委会从中随机抽取部分学生的成绩（得分都是整数）作为样本，绘制成频率分布直方图如图，请根据提供的信息估计该区本次竞赛成绩在89.5分﹣99.5分的学生大约有 900 名．
【分析】利用总人数6000乘以对应的频率即可．
【解答】解：该区本次竞赛成绩在89.5分﹣99.5分的学生有：6000（1﹣0.1﹣0.2﹣0.3﹣0.25）＝900（人）．
故答案是：900．
13．（4分）已知在离地面30米的高楼窗台A处测得地面花坛中心标志物C的俯角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为 10 米．
【分析】利用解直角三角形的知识知一边和角求另一边即可．
【解答】解：根据题意得到AB＝30米，∠BAC＝30°，
∵AB⊥BC，
∴BC＝AB•tan30°＝30×＝10米，
∴标志物C离此栋楼房的地面距离BC为10米，
故答案为10．
14．（4分）已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP＝x，那么x的取值范围是 x＞5 ．
【分析】根据点在圆外的判断方法得到x的取值范围．
【解答】解：∵点P在半径为5的⊙O外，
∴OP＞5，即x＞5．
故答案为x＞5．
15．（4分）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，设，，如果用向量表示向量，那么＝ ．
【分析】首先根据题意画出图形，然后由四边形ABCD是平行四边形，求得，继而求得答案．
【解答】解：如图，四边形ABCD是平行四边形，
∴＝，AO＝AC，
∵，
∴＝+＝+，
∴＝（+）＝．
故答案为：．
16．（4分）已知四边形ABCD是菱形，周长是40，如果AC＝16，那么菱形ABCD的面积为 96 ．
【分析】由菱形的性质可得BO＝AO＝8，AB＝10，AC⊥BD，由勾股定理可求BO＝6，即可求解．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，周长是40，AC＝16，
∴BO＝AO＝8，AB＝10，AC⊥BD，
∴OB＝＝＝6，
∴BD＝12，
∴菱形ABCD的面积＝＝96，
故答案为：96．
17．（4分）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y＝x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（﹣2，3），半径为，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 （﹣4，1），（0，5） ．
【分析】如图，与⊙A外切半径相等且连心线与直线y＝x平行的两个圆分别为⊙B，⊙C，运用两圆外切的性质和点的坐标特点，运用数形结合求出图形中AE、BE、AF、CF的长，进而得到两圆心的坐标．
【解答】解：点A的坐标为（﹣2，3过点A的直线与y＝x平行并过点A，
∴过点A的直线与y＝x平行，
∴过点A的直线与两坐标轴围成等腰直角三角形，
∴与⊙A外切半径相等且连心线与直线y＝x平行的两个圆分别为⊙B，⊙C
如图，△AEB△AFC都是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，∴AE＝BE＝AF＝CF＝2，
∴C（﹣4，1），B（0，5）．
故答案为：（﹣4，1），（0，5）
18．（4分）如图，已知等腰△ABC，AD是底边BC上的高，AD：DC＝1：3，将△ADC绕着点D旋转，得△DEF，点A、C分别与点E、F对应，且EF与直线AB重合，设AC与DF相交于点O，则S△AOF：S△DOC＝ ．
【分析】如图，作DG⊥AB于G，设AD＝x，则BD＝3x，由勾股定理就可以求出AB＝x，由三角形的面积公式求出DG的值，由三角函数值求出AG，就可以表示出AE，从而求出AF，再由△AFO∽△DCO就可以求出结论．
【解答】解：作DG⊥AB于G，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C．
设AD＝x，则BD＝3x，由勾股定理，得
AB＝x，
∴AC＝x．
∴，
∴，
∴GD＝．
∵＝＝tan∠C．
∴tan∠B＝．
∵∠ADG+∠GAD＝90°，∠B+∠GAD＝90°，
∴∠ADG＝∠B．
∴tan∠ADG＝，
∴，
∴AG＝．
∵△FDE是由△CDA旋转得来的，
∴△FDE≌△CDA，
∴DE＝DA．∠F＝∠C．
∵DG⊥AB，
∴AG＝EG．
∴AE＝2AG，
∴AE＝．
∴AF＝＝．
∵∠AOF＝∠DOC，∠F＝∠C，
∴△AFO∽△DCO，
∴S△AOF：S△DOC＝＝（）2．
＝．
故答案为：．
三．解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知两个不平行的向量先化简，再求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．）
【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图形．
【解答】解：＝＝．
如图：＝2，＝﹣，
则＝．
即即为所求．
20．（10分）已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与x轴交于点A，在第一象限内与反比例函数图象交于点B，BC垂直于x轴，垂足为点C，且OC＝2AO．求：
（1）点C的坐标；
（2）反比例函数的解析式．
【分析】（1）由一次函数的解析式求出图形与坐标轴的交点，根据OC＝2OA，求得点C的坐标；
（2）根据BC垂直于x轴，得到平行线，得到对应线段成比例，列方程求解，得到B点的坐标，应用待定系数法求得反比例函数的解析式．
【解答】解：如图在y＝x中，令x＝0，则y＝，y＝0，x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），C（0，），
∴OA＝1，OD＝，
∵OC＝2OA，
∴OC＝2，
∴C（2，0）；
（2）∵BC垂直于x轴，
∴OD∥BC，
∴＝，
∴BC＝，
∴B（2，），
设反比例函数的解析式：y＝，
把点B（2，）代入得k＝3，
∴反比例函数的解析式：y＝．
21．（10分）如图，已知BC是⊙O的弦，点A在⊙O上，AB＝AC＝10，cos∠ABC＝．
（1）求弦BC的长；
（2）求∠OBC的正切值．
【分析】（1）根据圆心角定理，得出，利用三角函数关系求出AD的长，进而求出BC的长；
（2）设⊙O的半径OB＝r，由OA＝OB＝r，得OD＝8﹣r，利用勾股定理得出r的长，从而求出∠OBC的正切的值．
【解答】解：（1）联结AO，AO的延长线与弦BC相交于点D．
在⊙O中，∵AB＝AC，
∴，
又∵AD经过圆心O，
∴AD⊥BC，BC＝2BD．
在Rt△ABD中，AB＝10，，
∴．
由勾股定理得．
∴BC＝12．
（2）设⊙O的半径OB＝r．
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
．
在⊙O中，由OA＝OB＝r，
得OD＝8﹣r．
在Rt△OBD中，由勾股定理得BD2+OD2＝OB2，
即36+（8﹣r）2＝r2．
解得．
∴．
∴．
∴．
22．（10分）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师从中随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成尚不完整的扇形图和条形图，根据图形信息回答下列问题：
（1）本次抽测的男生有 25 人，抽测成绩的众数是 6次 ；
（2）请将条形图补充完整；
（3）若规定引体向上6次以上（含6次）为体能达标，则该校125名九年级男生中估计有多少人体能达标？
【分析】（1）用7次的人数除以7次所占的百分比即可求得总人数，然后求得6次的人数即可确定众数；
（2）补齐6次小组的小长方形即可．
（2）用总人数乘以达标率即可．
【解答】解：（1）观察统计图知达到7次的有7人，占28%，
∴7÷28%＝25人，
达到6次的有25﹣2﹣5﹣7﹣3＝8人，
故众数为6次；…（4分）
（2）
（3）（人）．
答：该校125名九年级男生约有90人体能达标．…（3分）
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝DC，点E在对角线BD上，作∠ECF＝90°，CF＝EC，联结DF．
（1）求证：BD⊥DF；
（2）当BC2＝DE•DB时，试判断四边形DECF的形状，并说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△BCE≌△DCF，可得∠EBC＝∠FDC，由等腰直角三角形的性质可求∠EBC＝∠FDC＝∠BDC＝45°，即可求解；
（2）通过证明△CDE∽△BDC，可得∠DEC＝∠DCB＝90°，由正方形的判定可得结论．
【解答】证明：（1）∵∠BCD＝∠ECF＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠EBC＝∠FDC，
∵BC＝DC，∠BCD＝90°，
∴∠DBC＝∠BDC＝45°，
∴∠FDC＝45°，
∴∠FDB＝90°，
∴BD⊥DF．
（2）四边形DECF是正方形．理由如下：
∵BC2＝DE•DB，BC＝DC，
∴DC2＝DE•DB，
∴，
∵∠CDE＝∠BDC，
∴△CDE∽△BDC，
∴∠DEC＝∠DCB＝90°，
∵∠FDE＝∠ECF＝90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵CE＝CF，
∴四边形DECF是正方形．
24．（12分）如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．
【分析】（1）直接代入A、B两点坐标求出b、c的值，即可得到抛物线解析式；
（2）①利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据P、M两点的坐标即可表示出PM的长度；
②可设点N坐标为，再由MN∥BC可知当MN＝BC时可判定四边形BCMN为平行四边形，分点P在OC上、点P在OC延长线上两种情况进行讨论即可．
【解答】解：（1）∵抛物线经过A（0，1）和点B，
∴，
∴解得：，
∴．
∴该抛物线表达式为．
（2）①由题意可得：直线AB的解析式为，
∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP＝m，
∴P（m，0），，
∴．
②由题意可得：，MN∥BC，
∴当MN＝BC时，四边形BCMN为平行四边形．
1° 当点P在线段OC上时，，
又∵BC＝，
∴．
得m1＝1，m2＝2．
2° 当点P在线段OC的延长线上时，．
∴，
解得 （不合题意，舍去），．
综上所述，当m的值为1或2或时，以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
25．（14分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，sin∠BCD＝，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．
（1）求证：∠BCD＝∠BDC；
（2）如图1，若以P为圆心，PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，DP的长；
（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP＝CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．
【分析】（1）作DQ⊥BC，在直角△CDQ中利用三角函数即可求解；
（2）设DP＝x，当⊙P与⊙H外切时，PH＝DH+BP，据此即可列方程求得；
（3）作PM∥BE，分△ADH∽△FCE和△ADH∽△ECF两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比相等求解．
【解答】解：（1）作DQ⊥BC，
∵BQ＝AD＝3，DQ＝AB＝4，
∴CD＝＝2，CQ＝2，
∴BC＝5＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC；
（2）设DP＝x，则DH＝x，PH＝x，BP＝5﹣x．
当⊙P与⊙H外切时，PH＝DH+BP，
即x＝x+5﹣x，
解得：x＝；
（3）作PM∥BE．
则PM＝DP＝x，DH＝HM＝x，
由＝＝1，CF＝FM＝﹣x，
当△ADH∽△FCE时，，
即＝，
解得：x＝﹣10（舍去）．
当△ADH∽△ECF时，＝，
即＝，
解得：x＝．
∴DP的长是．
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