2021年重庆中考数学强化训练试卷（二）

这是一份2021年重庆中考数学强化训练试卷（二），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年重庆中考数学强化训练试卷（二）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分。共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案。其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）下列数字中最小的数为（　　）
A．2 B．﹣1 C．0 D．
2．（4分）由五个小立方体搭成如图的几何体，从正面看到的平面图形是（　　）

A． B．
C． D．
3．（4分）估计+2的值在（　　）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．3a﹣a＝2 C．（a2）3＝a5 D．a•a2＝a3
5．（4分）下列命题，真命题是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角为直角的四边形为矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
6．（4分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺．”如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（4分）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A为切点，PO与⊙O相交于B点，已知∠BCA＝34°，C为⊙O上一点，连接CA，CB，则∠P的度数为（　　）

A．34° B．56° C．22° D．28°
8．（4分）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（　　）

A．（8，6） B．（9，6） C． D．（10，6）
9．（4分）一天，小明和朋友一起到小区测量小明所住楼房的高度，他们首先在A测得楼房顶部E的仰角为37°，然后沿着斜坡AB走了7.8米到B处，再测得楼房顶部E的仰角为45°，身高忽略不计．已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，楼房EF所离BC高度CD为1.8米．则楼房自身高度EF大约为（　　）米
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

A．40.8 B．33.6 C．31.8 D．30.6
10．（4分）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞7，且关于y的分式方程﹣1＝的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣11
11．（4分）有甲乙两个均装有进水管和出水管的容器（进水管和出水管在单位时间内进水量和出水量均为常量），初始时，甲容器打开进水管，乙容器打开出水管，甲容器到8分钟时，关闭进水管打开出水管，到16分钟时，又打开了进水管（此时甲容器既进水又出水），到28分钟时，两容器同时关闭所有水管，容器中的水量y（升）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，则从初始时刻到两容器中最后一次水量相等时所需要的时间为（　　）

A．15分钟 B．20分钟 C．分钟 D．分钟
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△BCD为直角三角形，∠BCD＝90°，其中B（0，4），tan∠OBC＝，点D在反比例函数y＝（x＞0）图象上，且CD＝，以BC为边作平行四边形BCEF，其中点F在反比例函数y＝（x＞0）图象上，点E在x轴上，则点E的横坐标为（　　）

A． B． C．3 D．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国“可燃冰”储存量达到1211亿吨，将1211用科学记数法可表示为　 　．
14．（4分）﹣20210+＝　 　．
15．（4分）如图，在等边△ABC中，O为BC中点，以O为圆心画弧DE，弧DE分别与AB、AC相切于点D、E，若BD＝1，则图中阴影部分的面积为　 　．

16．（4分）现有五张完全相同的不透明的卡片，其正面分别写有﹣1，0，1，5，6五个数．把这五张卡片背面朝上洗匀后放在桌上，小张先随面抽取一张卡片，其上的数字记为x，小李再从剩下卡片中随机抽取一卡片，其上的数字记为y，这样确定了点P（x，y），则点P在直线y＝﹣x+5的概率为　 　．
17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝10，BC＝12，点E、F分别在边CD、BC上，将△CEF沿EF翻折得到△C'EF，若点C的对应点C'恰好落在AD边上，且满足AC'＝2C'D，则点E到BC边的距离为　 　．

18．（4分）端午将至，吃粽子是中华民族的传统．粽子馅料有很多品种，比如素馅，肉馅，甜味馅．去年某商人抓住商机，购进素馅，肉馅，甜味馅三种粽子．已知销售每袋素馅粽子的利润率为10%，每袋肉馅粽子的利润率为20%，每袋甜味馅粽子的利润率为30%，当售出的三种馅料粽子的袋数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的三种馅料粽子的袋数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%，那么当售出的三种馅料粽子的袋数之比为2：3：4时，这个商人得到的总利润率为　 　．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）。请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上。
19．（10分）化简：
（1）（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣2）2．
（2）．
20．（10分）如图，已知△ABC，在BC的延长线上取一点D使得AD＝AC．
（1）在AC左侧，求作点E，使得AE＝AB，CE＝DB，连接AE、CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论．）
（2）求证：∠EAB＝∠CAD．

21．（10分）重庆是一个非常适合旅游打卡的城市，在渝中区有“洪崖洞”，南岸区有“南山一颗树”等等，为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各m名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为A组：x＜18，B组：18≤x＜22，C组：22≤x＜26，D组：26≤x≤30，x表示问卷测试的分数），其中男生得分处于C组的有14人，男生C组得分情况分别为：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25．

男生、女生得分的平均数、中位数、众数（单位：分）如表所示：
组别
平均数
中位数
众数
男
20
n
22
女
20
23
20
（1）直接写出m，n的值，并补全条形统计图；
（2）通过以上数据分析，你认为成绩更好的是男生还是女生？说明理由（一条理由即可）；
（3）已知初三年级总人数为1800人，请估计参加问卷测试，成绩处于C组的人数．
22．（10分）根据我们学习函数的过程和方法，对函数y＝的图象与性质进行探究．
（1）如表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣3.5
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
3.5
…
y
…
﹣
m
2

0
n
﹣2


…
则m的值为　 　，n的值为　 　．
（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出该函数的一条性质：　 　．

（3）若x3﹣2x≥x，结合图象，直接写出x的取值范围　 　．
23．（10分）五一假期即将到来，重庆是一个集山水、美食为一体的旅游城市，重庆某商家在4月就进行了“五一节”特产促销，已知江津米花糖每盒12元，梁平张鸭子每盒50元，第一次促销期间，共卖出江津米花糖和梁平张鸭子共计2000盒．
（1）若卖出米花糖和鸭子的总销售额不低于54400元，则至少卖出梁平张鸭子多少盒？
（2）第一次促销结束，为了回馈顾客，在第二次促销期间，米花糖每盒降价a%，鸭子每盒降价4a%，米花糖数量在（1）问最多的数量下增加6a%，鸭子数量在（1）问最少的数量下增加4a%，最终第二次促销总销售额比第一次促销的最低销售额54400元少80a元，求a的值．
24．（10分）在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性，现在我们继续探索一类数．
定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍等于千位与个位数字之和，那我们称这个四位数t为“优数”．
例如：当t＝6414时，∵2×（4+1）﹣（6+4）＝0，∴6414是“优数”；
当t＝4257时，∵2×（2+5）﹣（4+7）＝3≠0，∴4257不是“优数”．
（1）判断1318和7401是否为“优数”，并说明理由；
（2）已知：t＝（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9且a，b，c均为正整数）是“优数”，且满足与的差能被7整除，且F（t）＝|4+a﹣b﹣c|，求F（t）的最大值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是第三象限内抛物线上一个动点，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，求线段DE最大值及此时点D的坐标；
（3）将抛物线向右平移5个单位得到抛物线y′．抛物线y′与抛物线y交于点F，连接CF，若点P是x轴上一动点，是否存在这样的点P，使得∠PCB＝∠OCF，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题（本大题1个小题，8分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
26．（8分）在△ABC中，AC＝BC，D为△ABC外一点，连接CD．

（1）如图1，若∠ACB＝60°，CD∥AB，连接BD交AC于点E，且CD＝2AB＝2，求S△BCE．
（2）如图2，CE＝CD，∠ECB＝∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG＝EC，M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN＝BF．
（3）如图3，若∠ACB＝90°，CD∥AB，将AD绕着A点顺时针旋转60°得到AD'，连接DD'，BD'，且AC＝，求BD'的最小值．

2021年重庆中考数学强化训练试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分。共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案。其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）下列数字中最小的数为（　　）
A．2 B．﹣1 C．0 D．
【分析】根据正数比0大，负数比0小，两个负数相比较，绝对值大的反而小可直接得到答案．
【解答】解：由题可得，＜﹣1＜0＜2，
∴四个选项中最小的数为﹣，
故选：D．
2．（4分）由五个小立方体搭成如图的几何体，从正面看到的平面图形是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面可看到三列正方形的个数依次为2，1，1．
故选：C．
3．（4分）估计+2的值在（　　）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3到4之间
【分析】先估算的大小，在确定+2的值在哪两个数之间．
【解答】解：∵1＜＜2，
∴3＜+2＜4，
∴+2的值在3和4之间，
故选：D．
4．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a3＝a6 B．3a﹣a＝2 C．（a2）3＝a5 D．a•a2＝a3
【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；
B、3a﹣a＝2a，故此选项错误；
C、（a2）3＝a6，故此选项错误；
D、a•a2＝a3，故此选项正确；
故选：D．
5．（4分）下列命题，真命题是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角为直角的四边形为矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，本选项说法是假命题；
B、有一个角为直角的平行四边形为矩形，本选项说法是假命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，本选项说法是真命题；
故选：D．
6．（4分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺．问木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺．”如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题的等量关系是：木长+4.5＝绳长；×绳长+1＝木长，据此可列方程组即可．
【解答】解：设木条长为x尺，绳子长为y尺，根据题意可得，
，
故选：A．
7．（4分）如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A为切点，PO与⊙O相交于B点，已知∠BCA＝34°，C为⊙O上一点，连接CA，CB，则∠P的度数为（　　）

A．34° B．56° C．22° D．28°
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可求出结果．
【解答】解：∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP＝90°，
又∵∠BCA＝34°，
∴∠O＝2∠AOB＝68°，
∴∠P＝90°﹣∠AOB＝90°﹣68°＝22°．
故选：C．
8．（4分）如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（　　）

A．（8，6） B．（9，6） C． D．（10，6）
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出EF的长，进而得出△OBC∽△OEF，进而得出EO的长，即可得出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝＝，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故选：B．
9．（4分）一天，小明和朋友一起到小区测量小明所住楼房的高度，他们首先在A测得楼房顶部E的仰角为37°，然后沿着斜坡AB走了7.8米到B处，再测得楼房顶部E的仰角为45°，身高忽略不计．已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，楼房EF所离BC高度CD为1.8米．则楼房自身高度EF大约为（　　）米
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

A．40.8 B．33.6 C．31.8 D．30.6
【分析】过A作AH⊥BC交CB的延长线于点H，延长BC交EF的延长线于点G，作AJ⊥EF于点J，则FG＝CD＝1.8米，AH＝JG，由坡度求出AH＝3（米），BH＝7.2（米），再证BG＝EG，设BG＝EG＝x米．则HG＝AJ＝（x+7.2）米，EJ＝（x﹣3）米，然后由锐角三角函数定义得≈0.75，解得：x≈33.6，即可解决问题．
【解答】解：过A作AH⊥BC交CB的延长线于点H，延长BC交EF的延长线于点G，作AJ⊥EF于点J，如图所示：
则四边形AHGJ与四边形DCGF都是矩形，
∴FG＝CD＝1.8米，AH＝JG，
在Rt△AHB中，AB＝7.8米，＝，
∴AH＝3（米），BH＝7.2（米），
∵∠EBG＝45°，∠G＝90°，
∴BG＝EG，
设BG＝EG＝x米．则HG＝AJ＝（x+7.2）米，EJ＝（x﹣3）米，
在Rt△AEJ中，tan∠EAJ＝≈0.75，
∴≈0.75，
解得：x≈33.6，
即EG≈33.6米
∴EF＝EG﹣FG≈33.6﹣1.8＝31.8（米），
故选：C．

10．（4分）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞7，且关于y的分式方程﹣1＝的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣11
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有非负整数解确定出整数a的值，进而求出之和即可．
【解答】解：解不等式组得：，
由不等式组的解集为x＞7，得到2﹣a≤7，
∴a≥﹣5，
分式方程去分母得：ay+5﹣y+3＝﹣4，
解得：y＝，
由分式方程有正整数解且a≥﹣5，
∴a＝﹣5，﹣3，﹣2，﹣1，0，
当a＝﹣3时，y＝3，分式方程分母不能为0，
∴a＝﹣5，﹣2，﹣1，0，
∴所有整数a的和为﹣8．
故选：C．
11．（4分）有甲乙两个均装有进水管和出水管的容器（进水管和出水管在单位时间内进水量和出水量均为常量），初始时，甲容器打开进水管，乙容器打开出水管，甲容器到8分钟时，关闭进水管打开出水管，到16分钟时，又打开了进水管（此时甲容器既进水又出水），到28分钟时，两容器同时关闭所有水管，容器中的水量y（升）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，则从初始时刻到两容器中最后一次水量相等时所需要的时间为（　　）

A．15分钟 B．20分钟 C．分钟 D．分钟
【分析】由图可得甲容器进水管每分钟进水量、出水管每分钟出水量，从而可得16分钟后甲容器剩余水量与时间解析式，乙容器剩余水量与时间的解析式，联立求出交点坐标即可得到答案．
【解答】解：由图可得甲容器进水管每分钟进水量为40÷8＝5（升/分），甲容器出水管每分钟出水量为（40﹣20）÷（16﹣8）＝2.5（升/分），
∴16分钟后，甲容器剩余水量y与时间的解析式为：y＝20+（5﹣2.5）（x﹣16）＝2.5x﹣20，
而乙容器5分钟时剩余水量33升，28分钟时剩余水量10升，
∴乙容器剩余水量y与时间的解析式为：y＝﹣x+38，
解得x＝，
故选：C．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△BCD为直角三角形，∠BCD＝90°，其中B（0，4），tan∠OBC＝，点D在反比例函数y＝（x＞0）图象上，且CD＝，以BC为边作平行四边形BCEF，其中点F在反比例函数y＝（x＞0）图象上，点E在x轴上，则点E的横坐标为（　　）

A． B． C．3 D．
【分析】作DH⊥x轴于H．解直角三角形求得OC，然后利用相似三角形的性质求出点D坐标，求出k的值以及点F坐标即可解决问题；
【解答】解：如图，作DH⊥x轴于H．
∵B（0，4），
∴OB＝4，
在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，tan∠OBC＝，
∴＝，
∴OC＝2，
∵∠BOC＝∠BCD＝∠CHD＝90°，
∴∠BCO+∠OBC＝90°，∠BCO+∠DCH＝90°，
∴∠OBC＝∠DCH，
∴△BOC∽△CHD，
∴，
∵B（0，4），C（2，0），CD＝，
∴BC＝2，
∴CH＝2，DH＝1，
∴D（4，1），
∵D在反比例y＝图象上，
∴k＝4，
∴F（1，4），
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴BF∥EC，BF＝EC，
∴EC＝1，
∴OE＝3，
∴点E的横坐标为3．
故选：C．

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
13．（4分）“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国“可燃冰”储存量达到1211亿吨，将1211用科学记数法可表示为　1.211×103　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将数字1211用科学记数法可表示为1.211×103．
故答案是：1.211×103．
14．（4分）﹣20210+＝　1　．
【分析】原式利用零指数幂，以及立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣1+2
＝1．
故答案为：1．
15．（4分）如图，在等边△ABC中，O为BC中点，以O为圆心画弧DE，弧DE分别与AB、AC相切于点D、E，若BD＝1，则图中阴影部分的面积为　4﹣π　．

【分析】连接AO，根据等边三角形的性质得出AO⊥BC，AB＝BC，∠B＝60°，根据切线的性质得出∠BDO＝90°，求出BO＝2BD＝2，AB＝2BO＝4，再根据三角形的面积和扇形的面积求出答案即可．
【解答】解：连接AO，

∵以O为圆心画弧DE，弧DE分别与AB、AC相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠BDO＝∠CEO＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠BOD＝∠COE＝30°，
∴∠DOE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，OB＝2BD，OC＝2CE，
∵OB＝OC，BD＝1，
∴OB＝OC＝2，
∴BC＝2+2＝4，
即AB＝BC＝4，
由勾股定理得：OD＝＝＝，
由勾股定理得：AO＝＝＝2，
∴阴影部分的面积S＝S△ABC﹣S扇形DOE＝﹣＝＝4﹣π，
故答案为：4﹣π．
16．（4分）现有五张完全相同的不透明的卡片，其正面分别写有﹣1，0，1，5，6五个数．把这五张卡片背面朝上洗匀后放在桌上，小张先随面抽取一张卡片，其上的数字记为x，小李再从剩下卡片中随机抽取一卡片，其上的数字记为y，这样确定了点P（x，y），则点P在直线y＝﹣x+5的概率为　　．
【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出点P在直线y＝﹣x+5的的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：

共有20个等可能的结果数，其中点P（x，y）在直线y＝﹣x+5的结果数为4个，
∴点P（x，y）在直线y＝﹣x+5的概率为＝，
故答案为：．
17．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝10，BC＝12，点E、F分别在边CD、BC上，将△CEF沿EF翻折得到△C'EF，若点C的对应点C'恰好落在AD边上，且满足AC'＝2C'D，则点E到BC边的距离为　　．

【分析】过E作EH⊥BC于H，过C'作C'G⊥CD交CD延长线于G，在Rt△ECH中，利用勾股定理列方程节课解决．
【解答】解：过E作EH⊥BC于H，过C'作C'G⊥CD交CD延长线于G，
∵AC'＝2C'D，BC＝12，
∴C'D＝4，
∵平行四边形ABCD中，∠A＝60°，
∴AB∥CD，
∴∠GDC'＝∠A＝60°，
∴GD＝2，GC'＝2，
∵翻折，
∴EC＝EC'，
∴设EC＝EC'＝x，则DE＝10﹣x，
∴GE＝12﹣x，
∴x2﹣（12﹣x）2＝（2）2，
∴x＝，
∴EC＝，
∵∠C＝∠A＝60°，
在Rt△ECH中，
EH＝sin60°×EC＝．

故答案为：．
18．（4分）端午将至，吃粽子是中华民族的传统．粽子馅料有很多品种，比如素馅，肉馅，甜味馅．去年某商人抓住商机，购进素馅，肉馅，甜味馅三种粽子．已知销售每袋素馅粽子的利润率为10%，每袋肉馅粽子的利润率为20%，每袋甜味馅粽子的利润率为30%，当售出的三种馅料粽子的袋数之比为1：3：1时，商人得到的总利润率为22%；当售出的三种馅料粽子的袋数之比为3：2：1时，商人得到的总利润率为20%，那么当售出的三种馅料粽子的袋数之比为2：3：4时，这个商人得到的总利润率为　25%　．
【分析】分清问题中的成本、利润、利润率．注意设未知数，根据条件建立方程组，如何解方程组是这样的问题的关键．
【解答】解：设每袋素馅粽子的成本是a元，售价是A元；
每袋素馅粽子的成本是b元，售价是B元；每袋素馅粽子的成本是c元，售价是C元．
根据题意得到A＝1.1a，B＝1.2b，C＝1.3c．①，
设最后一种情况的利润率是x，
得到②，
将条件①代入方程组②可以解得，②，
于是，x＝0.25＝25%．
故答案为：25%．
三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）。请将解答过程书写在答题卷中对应的位置上。
19．（10分）化简：
（1）（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣2）2．
（2）．
【分析】（1）根据多项式乘多项式、完全平方公式可以解答本题；
（2）根据分式的减法和乘法可以解答本题．
【解答】解：（1）（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣2）2
＝x2﹣x﹣6﹣x2+4x﹣4
＝3x﹣10；
（2）
＝
＝．
20．（10分）如图，已知△ABC，在BC的延长线上取一点D使得AD＝AC．
（1）在AC左侧，求作点E，使得AE＝AB，CE＝DB，连接AE、CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论．）
（2）求证：∠EAB＝∠CAD．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）证明△ABD≌△AEC（SSS），可得结可．
【解答】（1）解：如图，线段AE，CE即为所求作．

（2）证明；在△ABD和△AEC中，
，
∴△ABD≌△AEC（SSS），
∴∠BAD＝∠EAC，
∴∠EAB＝∠CAD．
21．（10分）重庆是一个非常适合旅游打卡的城市，在渝中区有“洪崖洞”，南岸区有“南山一颗树”等等，为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各m名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为A组：x＜18，B组：18≤x＜22，C组：22≤x＜26，D组：26≤x≤30，x表示问卷测试的分数），其中男生得分处于C组的有14人，男生C组得分情况分别为：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25．

男生、女生得分的平均数、中位数、众数（单位：分）如表所示：
组别
平均数
中位数
众数
男
20
n
22
女
20
23
20
（1）直接写出m，n的值，并补全条形统计图；
（2）通过以上数据分析，你认为成绩更好的是男生还是女生？说明理由（一条理由即可）；
（3）已知初三年级总人数为1800人，请估计参加问卷测试，成绩处于C组的人数．
【分析】（1）根据男生C组人数以及百分比求出男生总人数即可，根据中位数的定义求解即可．
（2）根据中位数或众数的大小判断即可．
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）m＝14÷28%＝50（人），
50×（2%+24%）＝12（人），
∴男生中位数n＝（25+25）÷2＝25，
女生C组人数＝50﹣2﹣13﹣20＝15（人），
条形图如图所示：

（2）男生的成绩比较好，因为男生的中位数比女生的中位数大（也可以根据众数的大小判断）；
（3）1800×＝522（人），
答：估计成绩处于C组的人数约为522人．
22．（10分）根据我们学习函数的过程和方法，对函数y＝的图象与性质进行探究．
（1）如表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣3.5
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
3.5
…
y
…
﹣
m
2

0
n
﹣2


…
则m的值为　　，n的值为　﹣　．
（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出该函数的一条性质：　函数关于原点对称　．

（3）若x3﹣2x≥x，结合图象，直接写出x的取值范围　﹣2≤x≤0或x　．
【分析】（1）观察表格发现函数关于原点对称
（2）将表中点用平滑曲线连接
（3）画出y＝x的图像，找到交点横坐标，即可求得取值范围
【解答】解：（1）∵表中各点关于原点对称，所以x＝﹣3与x＝3的值互为相反数，
∴m＝﹣，
同理：n＝﹣，
故m＝，n＝．
（2）如图，性质为函数关于原点对称．
（3）x3﹣2x＝x，
x（x2﹣3）＝0，
x＝0或x2﹣3＝0，
解得：x＝0或x＝2或x＝﹣2．
由图得当x3﹣2x≥x时
﹣2≤x≤0或x≥2．
23．（10分）五一假期即将到来，重庆是一个集山水、美食为一体的旅游城市，重庆某商家在4月就进行了“五一节”特产促销，已知江津米花糖每盒12元，梁平张鸭子每盒50元，第一次促销期间，共卖出江津米花糖和梁平张鸭子共计2000盒．
（1）若卖出米花糖和鸭子的总销售额不低于54400元，则至少卖出梁平张鸭子多少盒？
（2）第一次促销结束，为了回馈顾客，在第二次促销期间，米花糖每盒降价a%，鸭子每盒降价4a%，米花糖数量在（1）问最多的数量下增加6a%，鸭子数量在（1）问最少的数量下增加4a%，最终第二次促销总销售额比第一次促销的最低销售额54400元少80a元，求a的值．
【分析】（1）设至少卖出梁平张鸭子x盒，则卖江津米花糖（2000﹣x）盒，由题意得关于x的不等式，求解即可；
（2）根据（1）的结果得出米花糖最多卖出的盒数，根据题意得出关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设至少卖出梁平张鸭子x盒，则卖出江津米花糖（2000﹣x）盒，由题意得：
50x+12（2000﹣x）≥54400，
解得：x≥800，
∴x的最小值是800，
∴至少卖出梁平张鸭子800盒；
（2）∵（1）中最少卖出梁平张鸭子800盒，
∴米花糖最多卖出的盒数为：2000﹣800＝1200（盒）．
由题意得：
12×（1﹣a%）×1200×（1+6a%）+50（1﹣4a%）×800×（1+4a%）＝54400﹣80a，
解得a1＝0（舍），a2＝5．
∴a的值为5．
24．（10分）在数的学习过程中，我们通过对其中一些具有某种特性的数进行研究探索，发现了数字的美和数学的灵动性，现在我们继续探索一类数．
定义：一个各位数字均不为0的四位自然数t，若t的百位、十位数字之和的2倍等于千位与个位数字之和，那我们称这个四位数t为“优数”．
例如：当t＝6414时，∵2×（4+1）﹣（6+4）＝0，∴6414是“优数”；
当t＝4257时，∵2×（2+5）﹣（4+7）＝3≠0，∴4257不是“优数”．
（1）判断1318和7401是否为“优数”，并说明理由；
（2）已知：t＝（1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9且a，b，c均为正整数）是“优数”，且满足与的差能被7整除，且F（t）＝|4+a﹣b﹣c|，求F（t）的最大值．
【分析】（1）利用“优数”的定义解答即可；
（2）利用“优数”的定义及已知条件结合数位上数字的特征解答．
【解答】解：（1）1318不是“优数”．理由：
∵2×（1+3）≠1+8，
∴1318不是“优数”；
7401是“优数”．理由：
∵2×（4+0）＝7+1，
∴7401是“优数”．
（2）∵t＝是“优数”，
∴2（a+b）＝4+c．
∴c＝2a+2b﹣4．
∵＝40+a﹣10b﹣c，
∴＝40+a﹣10b﹣（2a+2b﹣4）
＝44﹣a﹣12b
＝6×7﹣7×2b+2b﹣a+2．
∵与的差能被7整除，
∴2b﹣a+2能被7整除．
∵1≤a≤9，1≤b≤9，且a，b，c均为正整数，
∴﹣5≤2b﹣a+2≤19．
∴2b﹣a+2＝0或7或14．
∴2b﹣a＝﹣2或5或12．
∵2（a+b）＝4+c，1≤c≤9．
∴5≤2（a+b）≤13．
∴2.5≤a+b≤6.5．
①当2b﹣a＝﹣2时，a＝4，b＝1．
∴t＝4416．
F（t）＝|4+a﹣b﹣c|＝1；
②当2b﹣a＝5时，a＝1，b＝3．
∴t＝4134．
∴F（t）＝|4+a﹣b﹣c|＝2；
③当2b﹣a＝12时，
∵a≥1，
∴2b≥13．
∴b≥6.5．这与a+b≤6.5矛盾，此种情况不存在．
综上，F（t）的最大值为：2．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＞0）与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是第三象限内抛物线上一个动点，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，求线段DE最大值及此时点D的坐标；
（3）将抛物线向右平移5个单位得到抛物线y′．抛物线y′与抛物线y交于点F，连接CF，若点P是x轴上一动点，是否存在这样的点P，使得∠PCB＝∠OCF，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，求出直线AC的解析式，可得△PED是等腰直角三角形，设出点D的坐标，从而得到点P的坐标，表示出PD的长，根据二次函数的最值即可求解；
（3）分点P在CF的左侧，点P在CF的右侧两种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，0）、B（1，0）分别代入y＝ax2+bx﹣2，得
，
解得：，
所以抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣2；
（2）过点D作x轴的垂线，交直线AC于点P，如图1，

将x＝0代人y＝x2+x﹣2中，得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
将点A（﹣2，0），C（0，﹣2）代人y＝mx+n中，
得，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2．
∵OA＝OC＝2，∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝45°．
∵PD⊥x轴，
∴PD∥CF，
∵DE⊥AC，
∴∠DPE＝∠ACO＝45°，∠PED＝90°，
∴△PED为等腰直角三角形．
∴DE＝PE＝PD．
设点D的坐标为（k，k2+k﹣2），则点P的坐标为（k，﹣k﹣2），
∴PD＝﹣k﹣2﹣（k2+k﹣2）＝﹣k2﹣2k＝﹣（k+1）2+1．
∵﹣1＜0，
∴当k＝﹣1时，PD有最大值1，此时DE的值也最大为，k2+k﹣2＝﹣2，
∴此时点D的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）∵将抛物线向右平移5个单位得到抛物线y′．
∴y′＝（x﹣5）2+（x﹣5）﹣2＝x2﹣9x+18，
∵抛物线y′与抛物线y交于点F，
∴F（2，4），
∵C（0，﹣2）．
∴tan∠OCF＝＝，
点P在CF的右侧时，如图：过点P作PM⊥CF于M，设BM＝x，

∵B（1，0），C（0，﹣2），
∴OC＝2，OB＝1，BC＝，
∵∠COB＝∠PMB，∠OBC＝∠MBP，
∴△OBC∽△MBP，
∴，
∴PM＝2x，
∵∠PCB＝∠OCF，tan∠OCF＝，
∴tan∠PCB＝＝，
∴，解得：x＝，
∵BM＝x，PM＝2x，
∴BP＝＝x＝1，
∴OP＝OB+BP＝1+1＝2，
∴P（2，0）；
点P在CF的左侧时，如图：过点P作PN⊥CF于N，设BN＝x，

∵∠PBC＝∠BPN，∠COB＝∠PBN＝90°，
∴△COB∽△PBN，
∴，
∴PN＝2x，
∵∠PCB＝∠OCF，tan∠OCF＝，
∴tan∠PCB＝＝，
∴，解得：x＝，
∵BN＝x，PN＝2x，
∴BP＝x＝，
∴OP＝OB﹣BP＝1﹣＝，
∴P（，0）；
综上，存在这样的点P，点P的坐标为P（2，0）或P（，0）．
四、解答题（本大题1个小题，8分）请把答案写在答题卷上对应的空白处，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
26．（8分）在△ABC中，AC＝BC，D为△ABC外一点，连接CD．

（1）如图1，若∠ACB＝60°，CD∥AB，连接BD交AC于点E，且CD＝2AB＝2，求S△BCE．
（2）如图2，CE＝CD，∠ECB＝∠DCA，ED交AB于点F，FG垂直平分EC，且FG＝EC，M，N分别为AF，CD中点，连接MN，求证：MN＝BF．
（3）如图3，若∠ACB＝90°，CD∥AB，将AD绕着A点顺时针旋转60°得到AD'，连接DD'，BD'，且AC＝，求BD'的最小值．
【分析】（1）如图1中，过点B作BH⊥AC于H．想办法求出EC，BH，可得结论．
（2）如图2中，延长AN到H，使得NH＝AN，连接FH，CF．利用全等三角形的性质证明FH＝BF，可得结论．
（3）如图3中，在直线CD上取两点E，F，连接AE，AF，使得△AEF是等边三角形，过点A作AR⊥EF于R，连接ED′，过点B作BH⊥ED′交ED′的延长线于H，设AB交EH于J．证明∠CHE＝60°＝定值，推出点D的运动轨迹是直线ED′，当BD′与BH重合时BD′定值最小，求出BH即可．
【解答】（1）解：如图1中，过点B作BH⊥AC于H．

∵AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵BH⊥AC，
∴AH＝CH＝，
∴BH＝，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
∴EC＝AC＝，
∴S△BEC＝•EC•BH＝××＝．

（2）证明：如图2中，延长AN到H，使得NH＝AN，连接FH，CF．

∵DN＝CN，∠AND＝∠HNC，AN＝NH，
∴△AND≌△HNC（SAS），
∴AD＝CH，∠ADN＝∠NCH，
∵CD＝CE，∠DCA＝∠ECB，CA＝CB，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴AD＝BE，∠CDA＝∠CEB，
∵FG垂直平分线段EC，
∴CG＝EG，FC＝FE，
∵FG＝EC，
∴FG＝GC＝GE，
∴∠FEC＝∠FCE＝45°，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴∠DCF＝45°，
∵∠FCH＝∠NCH+45°，∠BEF＝∠CEB+45°，
∴∠FCH＝∠BEF，
∵CH＝BE，CF＝EF，
∴△FCH≌△FEB（SAS），
∴FH＝BF，
∵AM＝FM，AN＝NH，
∴FH＝2MN，
∴NF＝2MN．

（3）解：如图3中，在直线CD上取两点E，F，连接AE，AF，使得△AEF是等边三角形，过点A作AR⊥EF于R，连接ED′，过点B作BH⊥ED′交ED′的延长线于H，设AB交EH于J．

∵CA＝CB＝，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC＝2，∠CAB＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB＝45°，
∵AR⊥CD，
∴AR＝RC＝，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝＝2，
∵∠DAD′＝∠EAF＝60°，
∴∠D′AE＝∠DAF，
∵D′A＝DA，EA＝FA，
∴△AED′≌△AFD（SAS），
∴∠AED′＝∠AFD＝60°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠CED′＝60°＝定值，
∴点D的运动轨迹是直线ED′，
∴当BD′与BH重合时BD′定值最小，
∵AB∥CD，
∴∠AJE＝∠CEH＝60°，
∴△AJE是等边三角形，
∴AJ＝AE＝2，
∴BJ＝AB﹣AJ＝2﹣2，
∴BH＝BJ•sin30°＝3﹣，
∴BD′的最小值为3﹣．