人教版新课标B必修43.2.1倍角公式精练

这是一份人教版新课标B必修43.2.1倍角公式精练，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若csθ>0，sin2θ<0，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[答案] D
[解析] ∵csθ>0，sin2θ＝2sinθcsθ<0，
∴sinθ<0，
∴角θ是第四象限角．
2．若tanθ＋eq \f(1,tanθ)＝4，则sin2θ＝( )
A．eq \f(1,5) B．eq \f(1,4)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,2)
[答案] D
[解析] 本题考查了三角恒等变换与三角函数的求值．
tanθ＋eq \f(1,tanθ)＝eq \f(sinθ,csθ)＋eq \f(csθ,sinθ)＝eq \f(1,sinθcsθ)＝eq \f(1,\f(1,2)sin2θ)＝4，
∴sin2θ＝eq \f(1,2).
3．(2015·湖南浏阳一中高一月考)已知csθ＝eq \f(1,3)，θ∈(0，π)，则cs(π＋2θ)等于( )
A．－eq \f(4\r(2),9) B．eq \f(4\r(2),9)
C．－eq \f(7,9) D．eq \f(7,9)
[答案] D
[解析] cs(π＋2θ)＝－cs2θ
＝－(2cs2θ－1)＝－(2×eq \f(1,9)－1)＝eq \f(7,9).
4．函数f(x)＝cs4x－sin4x的最小正周期是( )
A．eq \f(π,2) B．π
C．2π D．4π
[答案] B
[解析] f(x)＝cs4x－sin4x
＝(cs2x＋sin2x)(cs2x－sin2x)
＝cs2x，
∴函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
5．计算eq \r(1＋cs100°)－eq \r(1－cs100°)等于( )
A．－2cs5° B．2cs5°
C．－2sin5° D．2sin5°
[答案] C
[解析] eq \r(1＋cs100°)－eq \r(1－cs100°)
＝eq \r(1－cs80°)－eq \r(1＋cs80°)
＝eq \r(2sin240°)－eq \r(2cs240°)
＝eq \r(2)(sin40°－cs40°)
＝2(eq \f(\r(2),2)sin40°－eq \f(\r(2),2)cs40°)
＝2sin(40°－45°)＝－2sin5°.
6.eq \f(2sin2α,1＋cs2α)·eq \f(cs2α,cs2α)＝( )
A．tanα B．tan2α
C．1 D．eq \f(1,2)
[答案] B
[解析] 原式＝eq \f(2sin2α,2cs2α)·eq \f(cs2α,cs2α)＝eq \f(sin2α,cs2α)＝tan2α.
二、填空题
7．(2015·湖南浏阳一中高一月考)sin15°cs15°＝________.
[答案] eq \f(1,4)
[解析] sin15°cs15°＝eq \f(1,2)sin30°＝eq \f(1,4).
8．taneq \f(π,12)－eq \f(1,tan\f(π,12))的值等于________．
[答案] －2eq \r(3)
[解析] taneq \f(π,12)－eq \f(1,tan\f(π,12))＝eq \f(tan2\f(π,12)－1,tan\f(π,12))
＝－eq \f(21－tan2\f(π,12),2tan\f(π,12))
＝－2cteq \f(π,6)＝－2eq \r(3).
三、解答题
9．已知csα＝－eq \f(12,13)，α∈(π，eq \f(3π,2))，求sin2α，cs2α，tan2α的值．
[解析] ∵csα＝－eq \f(12,13)，α∈(π，eq \f(3π,2))，
∴sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－－\f(12,13)2)＝－eq \f(5,13)，
∴sin2α＝2sinαcsα＝2×(－eq \f(5,13))×(－eq \f(12,13))＝eq \f(120,169)，
cs2α＝2cs2α－1＝2×(－eq \f(12,13))2－1＝eq \f(119,169)，
tan2α＝eq \f(sin2α,cs2α)＝eq \f(120,119).
10．(2015·胶州二中高一期末测试)已知函数f(x)＝sin(2x－eq \f(π,6))＋2cs2x－1(x∈R)，求f(x)的单调递增区间．
[解析] f(x)＝sin(2x－eq \f(π,6))＋2cs2x－1
＝sin(2x－eq \f(π,6))＋cs2x
＝sin2xcseq \f(π,6)－cs2xsineq \f(π,6)＋cs2x
＝eq \f(\r(3),2)sin2x＋eq \f(1,2)cs2x
＝sin(2x＋eq \f(π,6))．
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－eq \f(π,3)，kπ＋eq \f(π,6)]，k∈Z.
一、选择题
1．设a＝(eq \f(3,2)，sinα)，b＝(csα，eq \f(1,3))，且a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．60°
C．75° D．45°
[答案] D
[解析] 由题意，得eq \f(3,2)×eq \f(1,3)＝sinαcsα，
∴sinαcsα＝eq \f(1,2)，
∴eq \f(1,2)sin2α＝eq \f(1,2)，
∴sin2α＝1.
∴α为锐角，
∴2α＝90°，∴α＝45°.
2．设向量a＝(1，csθ)与b＝(－1,2csθ)垂直，则cs2θ等于( )
A．eq \f(\r(2),2) B．eq \f(1,2)
C．0 D．－1
[答案] C
[解析] ∵a⊥b，∴a·b＝0.
∴－1＋2cs2θ＝0，
∴cs2θ＝0.
3．设a＝eq \f(\r(2),2)(sin17°＋cs17°)，b＝2cs213°－1，c＝eq \f(\r(3),2)， 则( )
A．cC．a[答案] A
[解析] a＝eq \f(\r(2),2)cs17°＋eq \f(\r(2),2)cs17°＝sin(45°＋17°)＝sin62°，b＝2cs213°－1＝cs26°＝sin(90°－26°)＝sin64°，
c＝eq \f(\r(3),2)＝sin60°.
由正弦函数单调性可知：b>a>c.
4．已知等腰三角形底角的余弦值为eq \f(2,3)，则顶角的正弦值是( )
A．eq \f(4\r(5),9) B．eq \f(2\r(5),9)
C．－eq \f(4\r(5),9) D．－eq \f(2\r(5),9)
[答案] A
[解析] 令底角为α，则顶角β＝π－2α，且csα＝eq \f(2,3)，
∴sinα＝eq \f(\r(5),3)，∴sinβ＝sin(π－2α)＝sin2α
＝2sinαcsα＝2×eq \f(\r(5),3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4\r(5),9).
二、填空题
5．函数f(x)＝sin2(2x－eq \f(π,4))的最小正周期是________．
[答案] eq \f(π,2)
[解析] f(x)＝sin2(2x－eq \f(π,4))＝eq \f(1－cs4x－\f(π,2),2)
＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)sin4x，
∴T＝eq \f(2π,4)＝eq \f(π,2).
6．已知θ为第三象限角，sin4θ＋cs4θ＝eq \f(5,9)，则sin2θ＝________.
[答案] eq \f(2\r(2),3)
[解析] sin4θ＋cs4θ＝eq \f(5,9)，
∴(sin2θ＋cs2θ)2－2sin2θcs2θ＝eq \f(5,9)，
∴1－eq \f(1,2)sin22θ＝eq \f(5,9)，
∴sin22θ＝eq \f(8,9).
∵θ为第三象限角，
∴2kπ＋π<θ<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
∴4kπ＋2π<2θ<4kπ＋3π，k∈Z，
∴sin2θ＝eq \f(2\r(2),3).
三、解答题
7．(2014·江苏，15)已知α∈(eq \f(π,2)，π)，sinα＝eq \f(\r(5),5).
(1)求sin(eq \f(π,4)＋α)的值；
(2)求cs(eq \f(5π,6)－2α)的值．
[解析] (1)∵α∈(eq \f(π,2)，π)，sinα＝eq \f(\r(5),5)，
∴csα＝－eq \r(1－\f(\r(5),5)2)＝－eq \f(2\r(5),5)，
∴sin(eq \f(π,4)＋α)＝sineq \f(π,4)csα＋cseq \f(π,4)sinα
＝eq \f(\r(2),2)×(－eq \f(2\r(5),5))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)得sin2α＝2sinαcsα
＝2×eq \f(\r(5),5)×(－eq \f(2\r(5),5))＝－eq \f(4,5)，
cs2α＝2cs2α－1＝eq \f(3,5)，
所以cs(eq \f(5π,6)－2α)＝cseq \f(5π,6)cs2α＋sineq \f(5π,6)sin2α
＝(－eq \f(\r(3),2))×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×(－eq \f(4,5))＝－eq \f(3\r(3)＋4,10).
8．(2015·河北正定高一期末测试)设f(x)＝sinxcsx－cs2(x＋eq \f(π,4))，求f(x)的单调区间．
[解析] f(x)＝sinxcsx－cs2(x＋eq \f(π,4))
＝eq \f(1,2)sin2x－eq \f(1＋cs2x＋\f(π,2),2)
＝eq \f(1,2)sin2x＋eq \f(1,2)sin2x－eq \f(1,2)
＝sin2x－eq \f(1,2).
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得kπ－eq \f(π,4)≤x≤kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z.
由2kπ＋eq \f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得kπ＋eq \f(π,4)≤x≤kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ－eq \f(π,4)，kπ＋eq \f(π,4)]，k∈Z，单调递减区间为[kπ＋eq \f(π,4)，kπ＋eq \f(3π,4)]，k∈Z.
9. (2015·天津理，15)已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝sin2x－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．
[解析] (1)f(x)＝eq \f(1－cs 2x,2)－eq \f(1－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))),2)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 2x＋\f(\r(3),2)sin 2x))－eq \f(1,2)cs 2x
＝eq \f(\r(3),4)sin 2x－eq \f(1,4)cs 2x
＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))).
所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，－\f(π,6)))上是减函数，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上是增函数，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \f(1,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \f(\r(3),4)，
所以f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))
上的最大值为eq \f(\r(3),4)，最小值为－eq \f(1,2).