高中第二章 平面向量2.3 平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课堂检测

这是一份高中第二章 平面向量2.3 平面向量的数量积2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课堂检测，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知a＝(－2，－3)、b＝(eq \f(3,2)，－1)，则向量a与b的夹角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)
[答案] D
[解析] 由a·b＝－2×eq \f(3,2)＋(－3)×(－1)＝0，∴a⊥b.
2．(2015·河南南阳高一期末测试)设向量a＝(2,0)、b＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝eq \f(1,2)
C．(a－b)⊥b D．a∥b
[答案] C
[解析] |a|＝2，b＝eq \r(2)，∴|a|≠|b|；
a·b＝2×1＋0×1＝2；
a－b＝(1，－1)，(a－b)·b＝1×1＋(－1)×1＝0，
∴(a－b)⊥b，故选C．
3．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
[答案] C
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1，－3)，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，
且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(10).∴△ABC为等腰直角三角形．
4．已知a＝(－3,2)、b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A．－eq \f(1,7) B．eq \f(1,7)
C．－eq \f(1,6) D．eq \f(1,6)
[答案] A
[解析] ∵a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
∴λa＋b＝(－3λ－1,2λ)
a－2b＝(－3,2)－2(－1,0)＝(－1,2)，
由(λa＋b)⊥(a－2b)，
得4λ＋3λ＋1＝0，∴λ＝－eq \f(1,7).
5．(2015·新课标Ⅱ，4)向量a＝(1，－1)、b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案] C
[解析] 由题意可得a2＝2，a·b＝－3，所以(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.故选C．
6．(2014·重庆理，4)已知向量a＝(k,3)、b＝(1,4)、c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A．－eq \f(9,2) B．0
C．3 D．eq \f(15,2)
[答案] C
[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算与向量的垂直，因为2a－3b＝(2k－3，－6)，又因为(2a－3b)⊥c，所以，(2a－3b)·c＝0，即(2k－3，－6)·(2,1)＝0，∴4k－6－6＝0，解得k＝3，本题根据条件也可以转化为2a·c－3b·c＝0化简求解．
二、填空题
7．(2015·广州高一期末测试)已知向量a＝(1,2)、b＝(x,2)，且a⊥b，则实数x的值为________．
[答案] －4
[解析] ∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴x＋4＝0，∴x＝－4.
8．已知向量a＝(－4,3)、b＝(－3,4)，b在a方向上的投影是________．
[答案] eq \f(24,5)
[解析] b在a方向上的投影为|b|cs〈b，a〉＝eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－4×－3＋3×4,5)＝eq \f(24,5).
三、解答题
9．(2015·河南新乡高一期末测试)已知向量a＝(1,0)、b＝(1,2)、c＝(0,1)．
(1)求实数λ和μ，使c＝λa＋μb；
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝－a＋3c，eq \(AC,\s\up6(→))＝4a－2c，求向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角θ.
[解析] (1)c＝λa＋μb＝(λ＋μ，2μ)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋μ＝0,2μ＝1))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,2),μ＝\f(1,2))).
(2)eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，－2)，
∴csθ＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(－4－6,\r(10)×\r(20))＝－eq \f(\r(2),2).
又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(3π,4).
10. (2015·广东理，16)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))、n＝(sin x，cs x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．
[解析] (1)解法一：∵m⊥n，∴m·n＝0，即eq \f(\r(2),2)sinx－eq \f(\r(2),2)csx＝0，∴tanx＝1.
解法二：∵m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sin x，cs x)，且m⊥n，
m·n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))·(sin x，cs x)
＝eq \f(\r(2),2)sin x－eq \f(\r(2),2)cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，
又x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，
∴x－eq \f(π,4)＝0，即x＝eq \f(π,4)，∴tan x＝tan eq \f(π,4)＝1.
(2)由题意知cs eq \f(π,3)＝eq \f(m·n,|m|·|n|)
＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－\r(2),2)))2·\r(sin2x＋cs2x)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2)，又x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，
∴x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,6)，即x＝eq \f(5π,12).
一、选择题
1．(2014·山东文，7)已知向量a＝(1，eq \r(3))、b＝(3，m)，若向量a、b的夹角为eq \f(π,6)，则实数m＝( )
A．2eq \r(3) B．eq \r(3)
C．0 D．－eq \r(3)
[答案] B
[解析] 本题考查向量的坐标运算及数量积．
a·b＝3＋eq \r(3)m＝|a|·|b|·cseq \f(π,6)
＝2×eq \r(9＋m2)×eq \f(\r(3),2).解得，m＝eq \r(3).
2．(2015·福建文，7)设a＝(1,2)、b＝(1,1)，c＝a＋kb，若b⊥c，则实数k的值等于( )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(5,3)
C．eq \f(5,3) D．eq \f(3,2)
[答案] A
[解析] 由已知得c＝(1,2)＋k(1,1)＝(k＋1，k＋2)，因为b⊥c，则b·c＝0，因此k＋1＋k＋2＝0，
解得k＝－eq \f(3,2)，故选A．
3．若向量a＝(1,2)、b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
A．－eq \f(π,4) B．eq \f(π,6)
C．eq \f(π,4) D．eq \f(3π,4)
[答案] C
[解析] 本题考查了向量的坐标运算．
∵a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)，则cs<2a＋b，a－b>＝eq \f(3×0＋9,3\r(2)·3)＝eq \f(\r(2),2)，∴2a＋b，a－b＝eq \f(π,4).
4．已知a＝(2,4)，则与a垂直的单位向量的坐标是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))
B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))
[答案] D
[解析] 设与a垂直的单位向量的坐标是(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝1,2x＋4y＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2\r(5),5),y＝\f(\r(5),5)))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2\r(5),5),y＝－\f(\r(5),5))).
二、填空题
5．(2014·湖北理，11)设向量a＝(3,3)、b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.
[答案] ±3
[解析] 因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a－λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.
6．(2014·四川文，14)平面向量a＝(1,2)、b＝(4,2)、c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.
[答案] 2
[解析] 本题考查了平面向量的坐标运算、数量积等基础知识c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，由题意有：eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(b·c,|b||c|)
即：eq \f(a·c,|a|)＝eq \f(b·c,|b|)，代入得：
eq \f(m＋4＋4m＋4,\r(5))＝eq \f(4m＋16＋4m＋4,\r(20))，解得m＝2.
三、解答题
7．(2015·山东临沂高一期末测试)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)．
(1)求eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))；
(2)若实数t满足(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，求t的值．
[解析] (1)eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,5)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－1,1)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝3×(－1)＋5×1＝2.
(2)∵eq \(OB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－2，－1)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t,5＋t)．
又∵(eq \(AB,\s\up6(→))－teq \(OC,\s\up6(→)))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，
∴2×(3＋2t)＋3×(5＋t)＝0，
∴t＝－3.
8．已知a＝(3,4)、b＝(4,3)，求x、y的值使(xa＋yb)⊥a，且|xa＋yb|＝1.
[解析] ∵a＝(3,4)，b＝(4,3)，∴xa＋yb＝(3x＋4y,4x＋3y)．
又(xa＋yb)⊥a，∴(xa＋yb)·a＝0，
∴3(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0，
即25x＋24y＝0，①
又|xa＋yb|＝1，∴|xa＋yb|2＝1，
∴(3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1.
整理得25x2＋48xy＋25y2＝1，
即x(25x＋24y)＋24xy＋25y2＝1.②
由①②有24xy＋25y2＝1，③
将①变形代入③可得y＝±eq \f(5,7).
当y＝eq \f(5,7)时，x＝－eq \f(24,35)，
当y＝－eq \f(5,7)时，x＝eq \f(24,35).
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(24,35),y＝－\f(5,7)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(24,35),y＝\f(5,7))).
9. 设a＝(4，－3)、b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．
[解析] a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(4＋2t，t－3)，
(a＋tb)·b＝(4＋2t，t－3)·(2,1)＝5t＋5，
|a＋tb|＝eq \r(4＋2t2＋t－32)＝eq \r(5t＋12＋20)，
由(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cs45°，
得5t＋5＝eq \f(5\r(2),2)eq \r(t＋12＋4)，
即t2＋2t－3＝0，解得t＝－3或t＝1.
经检验知t＝－3不符合题意，舍去．所以t＝1.