高中数学人教版新课标B必修4第三章 三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1两角和与差的余弦当堂检测题

第三章　3.1　3.1.1　

一、选择题

1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是(　　)

A．0  B．

C．  D．－

[答案]　A

[解析]　cos75°cos15°－sin435°sin15°

＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15°

＝cos75cos15°－sin75°sin15°

＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.

2．在△ABC中，若sinAsinB<cosAcosB，则△ABC一定为(　　)

A．等边三角形  B．直角三角形

C．锐角三角形  D．钝角三角形

[答案]　D

[解析]　∵sinAsinB<cosAcosB，

∴cosAcosB－sinAsinB>0，

∴cos(A＋B)>0，

∵A、B、C为三角形的内角，

∴A＋B为锐角，

∴C为钝角．

3．下列结论中，错误的是(　　)

A．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

B．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ

C．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

D．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ

[答案]　B

[解析]　当α、β的终边都落在x轴的正半轴上或都落在x轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立，故选项B是错误的．

4．在锐角△ABC中，设x＝sinAsinB，y＝cosAcosB，则x、y的大小关系是(　　)

A．x≥y  B．x≤y

C．x>y  D．x<y

[答案]　C

[解析]　y－x＝cos(A＋B)，在锐角三角形中<A＋B<π，y－x<0，即x>y.

5．化简sin(x＋y)sin(x－y)＋cos(x＋y)cos(x－y)的结果是(　　)

A．sin2x  B．cos2y

C．－cos2x  D．－cos2y

[答案]　B

[解析]　原式＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y.

6．△ABC中，cosA＝，且cosB＝，则cosC等于(　　)

A．－  B．

C．－  D．

[答案]　B

[解析]　由cosA>0，cosB>0知A、B都是锐角，

∴sinA＝＝，sinB＝＝，

∴cosC＝－cos(A＋B)＝－(cosAcosB－sinAsinB)

＝－＝.

二、填空题

7．若cosα＝，α∈(0，)，则cos(α＋)＝________.

[答案]　

[解析]　∵cosα＝，α∈(0，)，

∴sinα＝.

∴cos(α＋)＝cosαcos－sinαsin＝×－×＝.

8．已知cos(－α)＝，则cosα＋sinα的值为________．

[答案]　

[解析]　cos(－α)＝coscosα＋sinsinα

＝cosα＋sinα

＝(cosα＋sinα)＝，

∴cosα＋sinα＝.

三、解答题

9．已知cosα＝，sin(α－β)＝，且α、β∈(0，)．

求：cos(2α－β)的值．

[解析]　∵α、β∈(0，)，

∴α－β∈(－，)，

∴sinα＝＝，

cos(α－β)＝＝，

∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]

＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)

＝×－×＝.

10. 已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos(α－β)的值．

[解析]　将sinα＋sinβ＝，两边平方得，

sin2α＋2sinαsinβ＋sin2β＝　 ①，

将cosα＋cosβ＝两边平方得，

cos2α＋2cosαcosβ＋cos2β＝　 ②，

①＋②得2＋2cos(α－β)＝1，

∴cos(α－β)＝－.

一、选择题

1.的值为(　　)

A．－  B．－

C．  D．

[答案]　D

[解析]　

＝

＝

＝cos30°＝.

2．在△ABC中，若tanA·tanB>1，则△ABC一定是(　　)

A．等边三角形  B．直角三角形

C．锐角三角形  D．钝角三角形

[答案]　C

[解析]　∵sinA·sinB>cosA·cosB，

∴cosA·cosB－sinA·sinB<0，

即cos(A＋B)<0，

∵A、B、C为三角形的内角，

∴A＋B为钝角，∴C为锐角．

又∵tanA·tanB>1，

∴tanA>0，tanB>0，

∴A、B均为锐角，故△ABC为锐角三角形．

3．在锐角△ABC中，设x＝sinA·sinB，y＝cosA·cosB，则x、y的大小关系为(　　)

A．x≤y  B．x>y

C．x<y  D．x≥y

[答案]　B

[解析]　y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)，

∵△ABC为锐角三角形，

∴C为锐角，∵A＋B＝π－C，

∴A＋B为钝角，

∴cos(A＋B)<0，∴y<x.

4．函数f(x)＝sinx－cos(x＋)的值域为(　　)

A．[－2,2]  B．[－，]

C．[－1,1]  D．[－，]

[答案]　B

[解析]　f(x)＝sinx－cos(x＋)

＝sinx－cosxcos＋sinxsin

＝sinx－cosx

＝(sinx－cosx)

＝sin(x－)∈[－，]．

二、填空题

5．形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式的值是________．

[答案]　0

[解析]　＝ad－bc，

∴＝coscos－sinsin

＝cos(＋)＝cos＝0.

6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanα·tanβ＝________.

[答案]　－

[解析]　∵cos(α＋β)＝，

∴cosαcosβ－sinαsinβ＝，  ①

∵cos(α－β)＝，

∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝，  ②

由①②得，

∴tanαtanβ＝＝－.

三、解答题

7．已知cos(α－30°)＝，30°<α<90°，求cosα的值．

[解析]　∵30°<α<90°，

∴0°<α－30°<60°.

∵cos(α－30°)＝，

∴sin(α－30°)＝＝，

∴cosα＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝×－×＝.

8．已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，若向量a与b的夹角为60°，求cos(α－β)的值．

[解析]　∵a·b＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ＝6cos(α－β)，

∴|a|＝2，|b|＝3，

又∵a与b的夹角为60°，

∴cos60°＝＝＝cos(α－β)，

∴cos(α－β)＝.

9. 已知函数f(x)＝2cos(ωx＋)(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.

(1)求ω的值；

(2)设α、β∈[0，]，f(5α＋)＝－，f(5β－)＝，求cos(α＋β)的值．

[解析]　(1)∵T＝10π＝，∴ω＝.

(2)由(1)得f(x)＝2cos(x＋)，

∵－＝f(5α＋)＝2cos[(5α＋)＋]

＝2cos(α＋)＝－2sinα，

∴sinα＝，cosα＝.

∵＝f(5β－)＝2cos[(5β－)＋]＝2cosβ，

∴cosβ＝，sinβ＝.

∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.