2020-2021学年第二章 平面向量2.1 向量的线性运算2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算精练

这是一份2020-2021学年第二章 平面向量2.1 向量的线性运算2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算精练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知数轴上A点坐标为－5，AB＝－7，则B点坐标是( )
A．－2 B．2
C．12 D．－12
[答案] D
[解析] ∵xA＝－5，AB＝－7，
∴xB－xA＝－7，∴xB＝－12.
2．设a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则实数λ的值等于( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－2 D．2
[答案] A
[解析] ∵向量a＋λb与－(b－2a)共线，∴存在实数k，使得a＋λb＝－k(b－2a)＝－kb＋2ka，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k＝1,λ＝－k))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,2),λ＝－\f(1,2))).
3．已知e1、e2不共线，若a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2，且a∥b，则k的值为( )
A．8 B．－8
C．3 D．－3
[答案] B
[解析] ∵a∥b，∴存在实数m，使得a＝mb，
即3e1－4e2＝6me1＋mke2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝6m,－4＝mk))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,2),k＝－8)).
4．在四边形ABCD中，若eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
[答案] B
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))，∴AB∥CD，且AB>CD，
∴四边形ABCD为梯形．
5．已知平面内有一点P及一个△ABC，若eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))，则( )
A．点P在△ABC外部 B．点P在线段AB上
C．点P在线段BC上 D．点P在线段AC上
[答案] D
[解析] eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))，
∴eq \(PC,\s\up6(→))＝－2eq \(PA,\s\up6(→)).∴点A、P、C三点共线，
∴点P在线段AC上．
6．已知向量a、b，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A、B、C B．A、B、D
C．B、C、D D．A、C、D
[答案] B
[解析] ∵Beq \(D,\s\up6(→))＝Beq \(C,\s\up6(→))＋Ceq \(D,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2Aeq \(B,\s\up6(→))，∴Aeq \(B,\s\up6(→))与Beq \(D,\s\up6(→))共线，又∵Aeq \(B,\s\up6(→))与Beq \(D,\s\up6(→))有公共点B，∴A、B、D三点共线．
二、填空题
7．轴上三点A、B、C的坐标分别为1、－1、－5，则AC＋BC＝________，|AC|＋|BC|＝________.
[答案] －10 10
[解析] AC＋BC＝－6＋(－4)＝－10，
|AC|＋|BC|＝6＋4＝10.
8．设数轴上A、B的坐标分别是2、6，则AB的中点C的坐标是________．
[答案] 4
[解析] ∵xA＝2，xB＝6.
∴AB中点C的坐标为xC＝eq \f(xA＋xB,2)＝eq \f(2＋6,2)＝4.
三、解答题
9．设两个非零向量a与b不共线，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线．
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)
∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up6(→))，∴eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(BD,\s\up6(→))共线，
又它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．
10. 如图，在△ABC中，D、E分别为边BC、AC的中点，记eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝m.
求证：eq \(DE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)m＋eq \f(1,4)a.
[解析]
∵D为BC的中点，
∴eq \(DB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝m－eq \f(1,2)a.
又∵D，E分别为BC，AC的中点，
∴DE綊eq \f(1,2)AB，∴eq \(DE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)m＋eq \f(1,4)a.
一、选择题
1．设a、b是不共线的向量，eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋kb，eq \(AC,\s\up6(→))＝ma＋b(k、m∈R)，则当A、B、C三点共线时，有( )
A．k＝m B．km－1＝0
C．km＋1＝0 D．k＋m＝0
[答案] B
[解析] ∵A、B、C三点共线，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝neq \(AC,\s\up6(→))，∴a＋kb＝mna＋nb，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mn＝1,k＝n))，∴mk－1＝0.
2．已知点P是△ABC所在平面内的一点，且3eq \(PA,\s\up6(→))＋5eq \(PB,\s\up6(→))＋2eq \(PC,\s\up6(→))＝0，设△ABC的面积为S，则△PAC的面积为( )
A．eq \f(3,4)S B．eq \f(2,3)S
C．eq \f(1,2)S D．eq \f(2,5)S
[答案] C
[解析] 如图，由于3eq \(PA,\s\up6(→))＋5eq \(PB,\s\up6(→))＋2eq \(PC,\s\up6(→))＝0，则3(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))＝－2(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))，则
eq \f(3\(PA,\s\up6(→))＋\(PB,\s\up6(→)),2)＝eq \f(－2\(PB,\s\up6(→))＋\(PC,\s\up6(→)),2)，设AB、BC的中点M、N，则eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))，eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))，即3eq \(PM,\s\up6(→))＝－2eq \(PN,\s\up6(→))，则点P在中位线MN上，则△PAC的面积是△ABC的面积的一半．
3．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
[答案] D
[解析] ∵a、b不共线且c∥d，
∴eq \f(k,1)＝eq \f(1,－1)，∴k＝－1，此时c＝－d，即c与d反向．
4．在△ABC中，P为一动点，且eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的 ( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[答案] C
[解析] 如图，
取BC的中点D，连接AD，并延长AD至点E，使得AD＝DE，连接BE、CE.
则四边形ABEC为平行四边形，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→)).
由eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，得
eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝λ(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))＝2λeq \(AD,\s\up6(→))，
∴A、P、D三点共线．
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
又∵λ∈[0，＋∞)，
∴点P的轨迹通过△ABC的重心．
二、填空题
5．已知e1、e2是两个不共线的向量，a＝k2e1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,2)k))e2与b＝2e1＋3e2是两个平行的向量，则k＝________.
[答案] eq \f(1,3)或－2
[解析] ∵a∥b，
∴存在实数m，使得a＝mb，
∴k2e1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(5,2)k))e2＝m(2e1＋3e2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k2＝2m,1－\f(5,2)k＝3m))，
即3k2＋5k－2＝0，
∴k＝eq \f(1,3)或－2.
6．已知D、E分别是△ABC的边BC、CA上的点，且eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则eq \(DE,\s\up6(→))＝________.
[答案] －eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b
[解析] 如图，
Deq \(E,\s\up6(→))＝Deq \(B,\s\up6(→))＋Beq \(A,\s\up6(→))＋Aeq \(E,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,3)Beq \(C,\s\up6(→))＋Beq \(A,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)Aeq \(C,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,3)(b－a)－a＋eq \f(2,3)b
＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
三、解答题
7.如图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝eq \f(1,3)BD，求证：M、N、C三点共线．
[解析] 设eq \(AB,\s\up6(→))＝e1，eq \(AD,\s\up6(→))＝e2，则：
eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝－e1＋e2，
eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)e1＋eq \f(1,3)e2，
eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)e1，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＝e2，
eq \(MC,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)e1＋e2，
eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)e1－eq \f(1,3)e1＋eq \f(1,3)e2
＝eq \f(1,6)e1＋eq \f(1,3)e2＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)e1＋e2)).
故eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(MC,\s\up6(→))，故M、N、C三点共线．
8．在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是它的中位线，求证：EF∥AD∥BC且EF＝eq \f(1,2)(AD＋BC)．
[解析] 在梯形ABCD中，由AD∥BC可知eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))且eq \(AD,\s\up6(→))≠0∴可设eq \(BC,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))(λ∈R)．
又EF是梯形ABCD的中位线，
∴E、F分别是AB、CD的中点，
∴eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→))＝0，eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝0.
∵eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))，
∴2eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(EB,\s\up6(→)))＋(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋(eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋λeq \(AD,\s\up6(→))，即eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(1＋λ)eq \(AD,\s\up6(→)).∴eq \(EF,\s\up6(→))∥eq \(AD,\s\up6(→))，
又EF与AD没有公共点，∴EF∥AD，∴EF∥AD∥BC．
又由2eq \(EF,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))及eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))同向，
可得|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)(|eq \(AD,\s\up6(→))|＋|eq \(BC,\s\up6(→))|)，
∴EF＝eq \f(1,2)(AD＋BC)．
综上可知，EF∥AD∥BC，且EF＝eq \f(1,2)(AD＋BC)．
9．设a、b是不共线的两个非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．
[解析] ∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8＝λk,k＝2λ))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝4,λ＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－4,λ＝－2)).故k＝±4.