高中数学第二章 平面向量2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算当堂检测题

这是一份高中数学第二章 平面向量2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算当堂检测题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．(2014·广东文，3)已知向量a＝(1,2)、b＝(3,1)，则b－a＝( )
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
[答案] B
[解析] ∵a＝(1,2)、b＝(3,1)，∴b－a＝(3－1,1－2)＝(2，－1)．
2．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与eq \(AB,\s\up6(→))相等，已知A(1,2)、B(3，2)，则x的值为( )
A．－1 B．－1或4
C．4 D．1或4
[答案] A
[解析] ∵A(1,2)、B(3,2)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，又∵eq \(AB,\s\up6(→))＝a，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝2,x2－3x－4＝0))，
∴x＝－1.
3．(2014·北京文，3)已知向量a＝(2,4)、b＝(－1,1)，则2a－b＝( )
A．(5,7) B．(5,9)
C．(3,7) D．(3,9)
[答案] A
[解析] 2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)
4．已知eq \(AB,\s\up6(→))＝(5，－3)、C(－1,3)、eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))，则点D的坐标是( )
A．(11,9) B．(4,0)
C．(9,3) D．(9，－3)
[答案] D
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(5，－3)，∴eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))＝(10，－6)，
设D(x，y)，又C(－1,3)，
∴eq \(CD,\s\up6(→))＝(x＋1，y－3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝10,y－3＝－6))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝9,y＝－3)).
5．已知两点A(4,1)、B(7，－3)，则与向量eq \(AB,\s\up6(→))同向的单位向量是( )
A．eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→)) B．－eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→))
C．eq \f(1,25)eq \(AB,\s\up6(→)) D．－eq \f(1,25)eq \(AB,\s\up6(→))
[答案] A
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，－4)，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(32＋－42)＝5，故与向量eq \(AB,\s\up6(→))同向的单位向量是eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,5)eq \(AB,\s\up6(→)).
6．已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设eq \(OA,\s\up6(→))＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则点A位于( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵x2＋x＋1>0，－(x2－x＋1)<0，
∴点A位于第四象限．
二、填空题
7．若点O(0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且eq \(OA′,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB′,\s\up6(→))＝3eq \(OB,\s\up6(→))，则点A′的坐标为________．点B′的坐标为________，向量eq \(A′B′,\s\up6(→))的坐标为________．
[答案] (2,4) (－3,9) (－5,5)
[解析] ∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，
∴eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－1,3)，
eq \(OA′,\s\up6(→))＝2×(1,2)＝(2,4)，eq \(OB′,\s\up6(→))＝3×(－1,3)＝(－3,9)．
∴A′(2,4)，B′(－3,9)，eq \(A′B′,\s\up6(→))＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．
8．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，则eq \(BD,\s\up6(→))＝________.
[答案] (－3，－5)
[解析] eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)．∴eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)．
三、解答题
9．(1)设向量a、b的坐标分别是(－1,2)、(3，－5)，求a＋b，a－b,2a＋3b的坐标；
(2)设向量a、b、c的坐标分别为(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a－b＋c的坐标．
[解析] (1)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．
(2)3a－b＋c＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5)
＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5)
＝(3＋2＋0，－9－4＋5)
＝(5，－8)．
10．设已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→)).求t为何值时，
(1)P在x轴上？
(2)P在y轴上？
(3)P在第二象限？
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,3)，∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2)＋t(3，3)＝(1＋3t,2＋3t)．
(1)当点P在x轴上时，2＋3t＝0，t＝－eq \f(2,3).
(2)当点P在y轴上时，1＋3t＝0，∴t＝－eq \f(1,3).
(3)当点P在第二象限时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋3t<0,2＋3t>0))，
∴－eq \f(2,3)一、选择题
1．已知a＝(5，－2)、b＝(－4，－3)、c＝(x，y)，且2a＋b－3c＝0，则c等于( )
A．(－2，eq \f(7,3)) B．(2，eq \f(7,3))
C．(2，－eq \f(7,3)) D．(－2，－eq \f(7,3))
[答案] C
[解析] 2a＋b－3c＝(10，－4)＋(－4，－3)－(3x,3y)＝(6－3x，－7－3y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6－3x＝0,－7－3y＝0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝－\f(7,3))).
2．点A(m，n)关于点B(a，b)的对称点坐标为( )
A．(－m，－n) B．(a－m，b－n)
C．(a－2m，b－2n) D．(2a－m,2b－n)
[答案] D
[解析] 设点A(m，n)关于点B(a，b)的对称点为A′(x，y)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(m＋x,2),b＝\f(n＋y,2)))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2a－m,y＝2b－n)).
∴A′(2a－m,2b－n)．
3．原点O为正六边形ABCDEF的中心，eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1，－eq \r(3))、eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－eq \r(3))，则eq \(OC,\s\up6(→))等于( )
A．(2,0) B．(－2,0)
C．(0，－2eq \r(3)) D．(0，eq \r(3))
[答案] A
[解析] OABC为平行四边形，∴eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2,0)．
4．已知向量a＝(1,2)、b＝(2,3)、c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1、λ2的值分别为( )
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
[答案] D
[解析] ∵c＝λ1a＋λ2b
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)
＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝λ1＋2λ2,4＝2λ1＋3λ2))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ1＝－1,λ2＝2)).故选D．
二、填空题
5．设点A(2,0)、B(4,2)，点P在直线AB上，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(AP,\s\up6(→))|，则点P的坐标为________．
[答案] (3,1)或(1，－1)
[解析] ∵点P在直线AB上，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(AP,\s\up6(→))|，
当点P在线段AB上时，P为线段AB的中点，
∴P(eq \f(2＋4,2)，eq \f(0＋2,2))，即P(3,1)．
当点P在线段BA的延长线上时，
eq \(AB,\s\up6(→))＝－2eq \(AP,\s\up6(→))，设P(x，y)，
∴－2eq \(AP,\s\up6(→))＝(4－2x，－2y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝4－2x,2＝－2y))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝－1)).∴P(1，－1)．
6．已知e1、e2是平面内两个不共线向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，则c用a和b表示为________．
[答案] c＝a－2b
[解析] 设c＝xa＋yb.
则c＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
∵e1、e2不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－2y＝7,－2x＋y＝－4))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝－2))，∴c＝a－2b.
三、解答题
7．已知△ABC的两个顶点A(3,7)和B(－2,5)，求C点坐标，使AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上．
[解析] 设C点坐标为(x，y)，根据中点坐标公式，可得AC的中点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3＋x,2)，\f(y＋7,2))).
又∵AC的中点在x轴上，∴eq \f(y＋7,2)＝0，
∴y＝－7，
同理可得BC中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2＋x,2)，\f(5＋y,2))).
∵BC的中点在y轴上，
∴eq \f(－2＋x,2)＝0，∴x＝2，∴C(2，－7)．
8．若向量|a|＝|b|＝1，且a＋b＝(1,0)，求向量a、b的坐标．
[解析] 设a＝(m，n)、b＝(p，q)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋n2＝1,p2＋q2＝1,m＋p＝1,n＋q＝0))，
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝p＝\f(1,2),q＝－\f(\r(3),2),n＝\f(\r(3),2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝p＝\f(1,2),q＝\f(\r(3),2),n＝－\f(\r(3),2))).
故a＝(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))、b＝(eq \f(1,2)，－eq \f(\r(3),2))或a＝(eq \f(1,2)，－eq \f(\r(3),2))、b＝(eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))．
9．已知直线上三点P1、P、P2满足|eq \(P1P,\s\up6(→))|＝eq \f(2,3)|eq \(PP2,\s\up6(→))|，且P1(2，－1)、P2(－1,3)，求点P的坐标．
[解析] ∵|eq \(P1P,\s\up6(→))|＝eq \f(2,3)|eq \(PP2,\s\up6(→))|，
∴eq \(P1P,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(PP2,\s\up6(→))或eq \(P1P,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(PP2,\s\up6(→))，
设P(x，y)，则(x－2，y＋1)＝±eq \f(2,3)(－1－x,3－y)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝\f(2,3)－1－x,y＋1＝\f(2,3)3－y))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝－\f(2,3)－1－x,y＋1＝－\f(2,3)3－y)).
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(4,5),y＝\f(3,5)))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8,y＝－9)).
故点P的坐标为(eq \f(4,5)，eq \f(3,5))或(8，－9)．