高中数学人教版新课标B必修43.2.2半角的正切、余切和正弦课堂检测

这是一份高中数学人教版新课标B必修43.2.2半角的正切、余切和正弦课堂检测，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．函数y＝cs2eq \f(x,2)的最小正周期是( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,4)
C．π D．2π
[答案] D
[解析] y＝cs2eq \f(x,2)＝eq \f(1＋csx,2)，
∴函数y＝cs2eq \f(x,2)的最小正周期T＝2π.
2．下列各式中，值等于eq \f(1,2)的是( )
A．cs45°cs15°＋sin45°sin15°B．cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)
C．eq \f(tan22.5°,1－tan222.5°)D．eq \r(\f(1＋cs\f(π,3),2))
[答案] C
[解析] eq \f(tan22.5°,1－tan222.5°)＝eq \f(2tan22.5°,21－tan222.5°)＝eq \f(1,2)tan45°＝eq \f(1,2).
3．已知2sinθ＝1＋csθ，则cteq \f(θ,2)的值为( )
A．2 B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2)或0 D．2或0
[答案] D
[解析] 2sinθ＝2cs2eq \f(θ,2)，
∴2cseq \f(θ,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))＝0，
∴cseq \f(θ,2)＝0或2sineq \f(θ,2)－cseq \f(θ,2)＝0，∴cteq \f(θ,2)＝0或2.
4．化简：sin2x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋tanx·tan\f(x,2)))结果应为( )
A．2sinx B．2csx
C．2sin2x－2sinx D．tanx
[答案] A
[解析] ∵1＋tanx·taneq \f(x,2)＝1＋tanx·eq \f(1－csx,sinx)
＝1＋eq \f(1－csx,csx)＝eq \f(1,csx)，
∴原式＝sin2x·eq \f(1,csx)＝2sinxcsx·eq \f(1,csx)＝2sinx.
5．若csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限的角，则eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．2 D．－2
[答案] A
[解析] 解法一：∵csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，
∴sinα＝－eq \f(3,5)，taneq \f(α,2)＝eq \f(1－csα,sinα)
＝eq \f(1＋\f(4,5),－\f(3,5))＝－3，
∴eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq \f(1－3,1＋3)＝－eq \f(1,2).
解法二：∵α是第三象限角，csα＝－eq \f(4,5)，
∴sinα＝－eq \f(3,5).
∴eq \f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(a,2))＝eq \f(1＋\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)),1－\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))＝eq \f(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2),cs\f(α,2)－sin\f(α,2))
＝eq \f(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2),cs\f(α,2)－sin\f(α,2))·eq \f(cs\f(α,2)＋sin\f(α,2),cs\f(α,2)＋sin\f(α,2))＝eq \f(1＋sinα,csα)＝eq \f(1－\f(3,5),－\f(4,5))＝－eq \f(1,2).
6．函数y＝cs2(x＋eq \f(π,4))，x∈R( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
[答案] D
[解析] y＝cs2(x＋eq \f(π,4))＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cs(2x＋eq \f(π,2))＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)sin2x，x∈R.
∴函数y＝cs2(x＋eq \f(π,4))是非奇非偶函数．
二、填空题
7．已知sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2)＝－eq \f(3,\r(5))，且eq \f(5π,2)<α<3π，则cteq \f(α,4)的值为________．
[答案] eq \f(1－\r(5),2)
[解析] 由sineq \f(α,2)＋cseq \f(α,2)＝－eq \f(3,\r(5))，得sinα＝eq \f(4,5)，
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2＝1－sinα＝1－eq \f(4,5)＝eq \f(1,5).
∵eq \f(5π,2)<α<3π，∴eq \f(5π,4)∴sineq \f(α,2)再由已知得cseq \f(α,2)＝－eq \f(1,\r(5))，
∴cteq \f(α,4)＝－eq \r(\f(1＋cs\f(α,2),1－cs\f(α,2)))＝－eq \r(\f(1－\f(\r(5),5),1＋\f(\r(5),5)))＝eq \f(1－\r(5),2).
8．若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sinθ－24＝0，则cseq \f(θ,2)＝________.
[答案] ±eq \f(4,5)
[解析] ∵25sin2θ＋sinθ－24＝0，
∴sinθ＝eq \f(24,25)或sinθ＝－1.
∵θ是第二象限角，∴sinθ＝eq \f(24,25).∴csθ＝eq \f(7,25).
∵θ是第二象限角，
∴2kπ＋eq \f(π,2)<θ<2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋eq \f(π,4)∴eq \f(θ,2)是第一或第三象限角．
∴cseq \f(θ,2)＝±eq \r(\f(1＋csθ,2))＝±eq \r(\f(1＋\f(7,25),2))＝±eq \f(4,5).
三、解答题
9．化简：eq \f(1＋sinα＋csαsin\f(α,2)－cs\f(α,2),\r(2＋2csα))(0<α<π)．
[解析] ∵0<α<π，
∴0∴原式＝eq \f(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)sin\f(α,2)－cs\f(α,2),\r(2·2cs2\f(α,2)))
＝eq \f(2cs\f(α,2)cs\f(α,2)＋sin\f(α,2)sin\f(α,2)－cs\f(α,2),2cs\f(α,2))
＝sin2eq \f(α,2)－cs2eq \f(α,2)＝－csα.
10．若eq \f(3π,2)<α<2π，化简eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs2α)).
[解析] ∵eq \f(3π,2)<α<2π，∴eq \f(3π,4)∴csα>0，cseq \f(α,2)<0.
eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs2α))
＝eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)1＋cs2α))
＝eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(cs2α))＝eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)csα)
＝eq \r(\f(1,2)1＋csα)
＝eq \r(cs2\f(α,2))＝－cseq \f(α,2).
一、选择题
1．设a＝eq \f(\r(2),2)(sin56°－cs56°)，b＝cs50°cs128°＋cs40°·cs38°，c＝eq \f(1－tan240°30′,1＋tan240°30′)，d＝eq \f(1,2)(cs80°－2cs250°＋1)，则a、b、c、d的大小关系为( )
A．a>b>d>c B．b>a>d>c
C．d>a>b>c D．c>a>d>b
[答案] B
[解析] a＝sin56°cs45°－cs56°sin45°
＝sin(56°－45°)＝sin11°＝cs79°，
b＝cs50°cs128°＋cs40°cs38°
＝sin40°(－sin38°)＋cs40°cs38°
＝cs(40°＋38°)＝cs78°，
c＝eq \f(1－tan240°30′,1＋tan240°30′)＝cs81°，
d＝eq \f(1,2)(cs80°－2cs250°＋1)
＝eq \f(1,2)[cs80°－(2cs250°－1)]
＝eq \f(1,2)(cs80°＋cs80°)＝cs80°，
∴b>a>d>c，故选B．
2．若θ∈[eq \f(π,4)，eq \f(π,2)]，sin2θ＝eq \f(3\r(7),8)，则sinθ＝( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(4,5)
C．eq \f(\r(7),4) D．eq \f(3,4)
[答案] D
[解析] 本题考查了三角恒等变换以及倍半角公式．
由θ∈[eq \f(π,4)，eq \f(π,2)]可得2θ∈[eq \f(π,2)，π]，
cs2θ＝－eq \r(1－sin22θ)＝－eq \f(1,8)，sinθ＝eq \r(\f(1－cs2θ,2))＝eq \f(3,4).
3．若csα＝eq \f(1,3)，且α∈(0，π)，则sineq \f(α,2)的值为( )
A．eq \f(\r(3),3) B．－eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(6),3) D．－eq \f(\r(6),3)
[答案] A
[解析] ∵α∈(0，π)，∴eq \f(α,2)∈(0，eq \f(π,2))．
∴sineq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－csα,2))＝eq \r(\f(1－\f(1,3),2))＝eq \f(\r(3),3).
4．若eq \f(tanθ＋1,2＋tanθ)＝eq \f(1,3)，则eq \f(cs2θ,1＋sin2θ)的值为( )
A．3 B．－3
C．－2 D．－eq \f(1,2)
[答案] A
[解析] 由条件得tanθ＝－eq \f(1,2)，
∴eq \f(cs2θ,1＋sin2θ)＝eq \f(csθ－sinθcsθ＋sinθ,sinθ＋csθ2)＝eq \f(1－tanθ,1＋tanθ)＝3.
二、填空题
5．函数y＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－1))cseq \f(π,2)x的最小正周期是________．
[答案] 2
[解析] y＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－1))cseq \f(π,2)x
＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)x－\f(π,2)))·cseq \f(π,2)x
＝sineq \f(π,2)x·cseq \f(π,2)x＝eq \f(1,2)sinπx，
∴最小正周期T＝2.
6．设向量a＝(csα，eq \f(1,2))的模为eq \f(\r(2),2)，则cs2α的值为________．
[答案] －eq \f(1,2)
[解析] 由已知，得cs2α＋eq \f(1,4)＝eq \f(1,2)，∴cs2α＝eq \f(1,4).
∴cs2α＝2cs2α－1＝－eq \f(1,2).
三、解答题
7．求证：eq \f(cs2α,ct\f(α,2)－tan\f(α,2))＝eq \f(1,4)sin2α.
[解析] 左边＝eq \f(cs2α,\f(cs\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))
＝eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2)))＝eq \f(cs2α,\f(csα,\f(1,2)sinα))
＝eq \f(1,2)sinαcsα＝eq \f(1,4)sin2α＝右边．
∴等式成立．
8．(2015·河南新乡高一测试)已知向量a＝(5eq \r(3)csx，csx)，b＝(sinx,2csx)，设函数f(x)＝a·b＋|b|2＋eq \f(3,2).
(1)当x∈[0，eq \f(π,2)]时，求函数f(x)的最值；
(2)当x∈[eq \f(π,6)，eq \f(π,2)]时，若f(x)＝8，求函数f(x＋eq \f(π,8))的值．
[解析] (1)f(x)＝a·b＋|b|2＋eq \f(3,2)
＝5eq \r(3)sinxcsx＋2cs2x＋sin2x＋4cs2x＋eq \f(3,2)
＝5eq \r(3)sinxcsx＋5cs2x＋eq \f(5,2)
＝eq \f(5\r(3),2)sin2x＋eq \f(51＋cs2x,2)＋eq \f(5,2)
＝5sin(2x＋eq \f(π,6))＋5.
由0≤x≤eq \f(π,2)，得eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，
∴－eq \f(1,2)≤sin(2x＋eq \f(π,6))≤1，
∴函数f(x)的最大值为10，最小值为eq \f(5,2).
(2)f(x)＝5sin(2x＋eq \f(π,6))＋5＝8，
∴sin(2x＋eq \f(π,6))＝eq \f(3,5).
∵eq \f(π,6)≤x≤eq \f(π,2)，∴eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6).
∴cs(2x＋eq \f(π,6))＝－eq \f(4,5).
f(x＋eq \f(π,8))＝5sin[2(x＋eq \f(π,8))＋eq \f(π,6)]＋5
＝5sin[(2x＋eq \f(π,6))＋eq \f(π,4)]＋5
＝5sin(2x＋eq \f(π,6))cseq \f(π,4)＋5cs(2x＋eq \f(π,6))sineq \f(π,4)＋5
＝5×eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋5×(－eq \f(4,5))×eq \f(\r(2),2)＋5＝5－eq \f(\r(2),2).
9．已知函数f(x)＝eq \f(4cs4x－2cs2x－1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))·sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))).
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,12)π))的值；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，求g(x)＝eq \f(1,2)f(x)＋sin2x的最大值和最小值．
[解析] f(x)＝eq \f(4cs4x－2cs2x－1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))·sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x)))
＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋cs2x,2)))2－2cs2x－1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))·cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))
＝eq \f(cs22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x)))＝eq \f(cs22x,\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x)))
＝eq \f(cs22x,\f(1,2)cs2x)＝2cs2x.
∴(1)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,12)π))＝2cseq \f(17π,6)＝2cseq \f(5π,6)＝－eq \r(3).
(2)g(x)＝eq \f(1,2)f(x)＋sin2x＝cs2x＋sin2x
＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴eq \f(π,4)≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(5π,4)，
∴g(x)max＝eq \r(2)，g(x)min＝－1.