（新高考）2021届高三第三次模拟检测卷 数学（1）

这是一份（新高考）2021届高三第三次模拟检测卷 数学（1），共20页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知函数和，则下列正确的是等内容，欢迎下载使用。
（新高考）2021届高三第三次模拟检测卷数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．2．设，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件3．已知复数满足（为虚数单位），且在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的虚部为（    ）A． B．3 C． D．4．设等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ）A．当且仅当时，取最小值 B．当且仅当时，取最大值C．当且仅当时，取最小值 D．当且仅当时，取最大值5．若向量，，且与共线，则实数的值为（    ）A． B． C． D．6．把5名志愿者分配到三个不同的社区，每个社区至少有一个志愿者，其中甲社区恰有1名志愿者的分法有（    ）A．14种 B．35种 C．70种 D．100种7．若不等式对任意成立，则的取值范围为（    ）A． B．C．  D．8．已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（    ）A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数和，则下列正确的是（    ）A．的图象可由的图象向右平移个单位得到B．时，C．的对称轴方程为D．若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为S，下列有关的结论，正确的是（    ）A．若为锐角三角形，则B．若，则C．，其中为外接圆的半径D．若为非直角三角形，则11．已知实数，满足方程．则下列选项正确的是（    ）A．的最大值是B．的最大值是C．过点作的切线，则切线方程为D．过点作的切线，则切线方程为12．关于函数，下列说法正确的是（    ）A．是的极小值点B．函数有且只有1个零点C．存在正整数，使得恒成立D．对任意两个正实数，，且，若，则 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设为虚数单位，则的展开式中含的项为________．14．函数的图象关于点_______成中心对称，记函数的最大值为，最小值为，则_______．15．已知直线过定点，过点向圆作切线，切点分别为，则弦所在的直线方程为____________．16．已知正三棱柱的体积为，，过点的平面与平面无公共点，则三棱柱在平面内的正投影面积为________． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，D为AC边上一点，，，．（1）求的值；（2）若，求AD的长．     18．（12分）已知正项数列的前项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．       19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，面面，、分别为、的中点．（1）证明：面面；（2）求面与面所成锐二面角的余弦值．   20．（12分）2021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“”新高考模式．“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考；“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科；“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四种中选两种．为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人统计选考科目人数如下表： 选考物理选考历史共计男生40 50女生   共计 30 （1）补全列联表；（2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查了本校的3名学生．设这3人中选考历史的人数为，求的分布列及数学期望；（3）根据表中数据判断是否有的把握认为“选考物理与性别有关”？请说明理由．参考附表：参考公式：，其中．            21．（12分）已知等轴双曲线的顶点，分别是椭圆的左、右焦点，且是椭圆与双曲线某个交点的横坐标．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的上顶点，求证：直线恒过定点．        22．（12分）设函数．（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．      
（新高考）2021届高三第三次模拟检测卷数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由函数的值域为，可知，则；由函数的值域为，可知．所以，故选A．2．【答案】B【解析】解不等式，得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件，故选B．3．【答案】C【解析】设，则，可得，因为，，解得，，所以，则．故选C．4．【答案】A【解析】因为，则，从而，因此该等差数列是递增数列，所以．由，得，则数列的前6项为负数，从第7项起为正数，所以当且仅当时，取最小值，故选A．5．【答案】B【解析】，，，，与共线，，解得，故选B．6．【答案】C【解析】甲社区恰有1名志愿者有种，对其余4人先分组，再分配．其余4人的分组有“3和1”及“2和2”两种分法：（1）按“3和1”分组，有；（2）按“2和2”分组，有；故甲社区恰有1名志愿者的分法有，故选C．7．【答案】A【解析】由题得不等式对任意成立，所以，即，解得或，故选A．8．【答案】A【解析】∵，∴，∴，即函数是周期的周期函数．又∵函数是定义在上的偶函数，且时，，∴当时，，令，则函数的零点个数即为函数和的图象交点个数，分别作出函数和的图象，如下图，显然与在上有1个交点，在上有一个交点，当时，，而，所以或时，与无交点．综上，函数和的图象交点个数为2，即函数的零点个数是2．故选A． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】ABD【解析】对A，的图象向右平移个单位得到，故A正确；对B，当时，，，即，故B正确；对C，，令，解得，即对称轴为，故C错误；对D，，则的最大值为，故D正确，故选ABD．10．【答案】ABD【解析】对于A中，若为锐角三角形，可得且，可得，且，根据正弦函数的单调性，可得，所以，所以A正确；对于B中，在中，由，根据正弦定理可得，则，可得，解得，所以B正确；对于C中，由三角形的面积公式，可得，由正弦定理知，，可得，所以C不正确；对于D中，在中，可得，则，所以，即，可得，则，所以D正确，故选ABD．11．【答案】AD【解析】对于AB，设，即，由圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，即，解得，即，，即的最大值是，故A正确，B错误；对于CD，显然点在圆上，过与圆心的直线斜率为，由切线性质知，切线斜率，所以切线方程为，整理得，故C错误，D正确，故选AD．12．【答案】ABD【解析】对于A选项，函数的定义域为，函数的导数，∴时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，∴是的极小值点，故A正确；对于B选项，，∴，∴函数在上单调递减，又∵，，∴函数有且只有1个零点，故B正确；对于C选项，若，可得，令，则，令，则，∴在上，，函数单调递增；上，，函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得成立，故C错误；对于D选项，由，，结合A选项可知，，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以，即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确，故选ABD． 第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，则，此时，即含的项为，故答案为．14．【答案】，【解析】，记，，是奇函数，其图象关于坐标原点中心对称，则的最大值和最小值之和为，把的图象向上平移一个单位得到的图象，即的图象关于点对称，且．故答案为，．15．【答案】【解析】，，由，得，．，，点四点共圆，且圆心为的中点，弦是圆和圆的公共弦，又，即，且圆的半径，圆…①，又圆…②，由①②，得弦所在直线方程为，故答案为．16．【答案】【解析】依题意，解得，由题意得平面平面．由于投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以就以平面为投影面．如图①，构造四棱柱，作，，连接，，易得平面，平面，则五边形即为三棱柱在平面内的正投影．要计算的投影的面积即为图②所示图形的面积，由题知，，在中，又，可得，，故所求正投影的面积为，故答案为． 四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）5．【解析】（1）在中，据余弦定理，有．又，所以．（2）因为，则，所以．在中，据正弦定理，有，所以．18．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为在正项数列中，，可得，即，又因为，所以，所以数列是公差为2的等差数列，又，所以．（2）由（1）知，，所以，所以，所以，所以．19．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）设，则，∴，，∴，∴，∴．在等边三角形中，为的中点，∴，∵面面，面，面面，∴面．∵面，∴．∵，，∴面．∵，∴面，∵面，∴面面．（2）由（1）知，，以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，．设面的法向量为，，取，得，，，面的法向量为，∴，∴面与面所成锐二面角的余弦值为．20．【答案】（1）见解析；（2）分布列见解析，；（3）有的把握认为，详见解析．【解析】（1）根据题意补全列联表，如下： 选考物理选考历史共计男生401050女生302050共计7030100（2）的所有可能取值为0，1，2，3，随机变量服从二项分布，由题意，学生选考历史的概率为，且，，，，，的分布列为0123．（3）由表中数据，计算的观测值，参照附表知，有的把握认为“选考物理与性别有关”．21．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由已知可得双曲线方程为．∵，∴交点为．设椭圆的方程为，代入，得，∴椭圆的方程为．（2）证明：显然直线与轴不垂直．设直线与椭圆相交于，，由，得，∴，．∵，∴，即，，∴，整理得，即．∵，，整理得，∴，∴直线恒过定点．22．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）定义域为，，当时，，即在上单调递增，不合题意，；令，解得．当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，，存在，使得成立，则，即，又，，即，令，则，在上单调递增，又，，即实数的取值范围为．（2）当时，，则，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，由且，知，令，，则，在上单调递增，，即，，又，；，，又且在上单调递减，，即．