第08讲 单项式和多项式 知识点及练习题 -小升初数学衔接教材

第8讲单项式和多项式

【知识衔接】

————小学初中课程解读————

————小学知识回顾————

一、运算律

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.式子表示为 a+b=b+a            

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变     

用式子表示为  （a+b）+c= a+（b+c）

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab=ba

乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，

即：（ab）c=a（bc）

乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，

再把积相加，即：a（b+c）= ab+bc

二、常用计算公式

1、长方形面积=长×宽，计算公式S=ab 
2、正方形面积=边长×边长，计算公式S=a×a=a2 
3、长方形周长=（长+宽）×2，计算公式C=(a+b)×2 
4、正方形周长=边长×4，计算公式C=4a 
5、平行四边形面积=底×高，计算公式S=ah 

6、三角形面积=底×高÷2，计算公式S=a×h÷2 
7、梯形面积=（上底+下底）×高÷2，计算公式S=(a+b)×h÷2 
8、长方体体积=长×宽×高，计算公式V=abh 
9、圆的面积=圆周率×半径平方，计算公式V=πr2 
10、正方体体积=棱长×棱长×棱长，计算公式V=a3 
11、长方体和正方体的体积：都可以写成底面积×高，计算公式V=sh 
12、圆柱的体积=底面积×高，计算公式V=sh

————初中知识链接————

1.单项式

（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．

用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．

（2）单项式的系数、次数

单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．

在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或-a这样的式子的系数是1或-1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．

2.多项式

（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．

（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式．

3.整式

（1）概念：单项式和多项式统称为整式．

他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．

（2）规律方法总结：

①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“-”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“-”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．

②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．

【经典题型】

初中经典题型

1．下列说法错误的是（　　）

A．5y4是四次单项式 B．5是单项式

C．的系数是 D．3a2+2a2b﹣4b2是二次三项式

【答案】D

【解析】

A、5y4是四次单项式，故A不符合题意；

B、5是单项式，故B不符合题意；

C、的系数是，故C不符合题意；

D、3a2+2a2b﹣4b2是三次三项，故D符合题意；

故选：D．

2．下列代数式：，其中单项式有m个，多项式有n个，整式有t个，则m＋n＋t等于(　　)

A．12 B．13 C．14 D．15

【答案】A

【解析】

根据多项式和单项式的概念，可知中，

单项式有，共4个；多项式有，共2个；整式有6个，所以.故选择A项.

3．多项式的常数项是(　　)

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】

，其常数项为.

故选：D

点评：

本题考查多项式的定义，解题的关键是熟悉多项式的定义.

4．多项式的项为(　　)

A．，5 B．

C．， D．，5

【答案】C

【解析】

多项式的项为，，故选择C项.

5．在代数式中，多项式的个数是(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】B

【解析】

只有和是多项式，共3个．故选B.

6．下列说法正确的是（  ）

A．x2+1是二次单项式       B．﹣m2的次数是2，系数是1

C．﹣23πab的系数是﹣23    D．数字0也是单项式

【答案】D

【解析】

试题分析：根据单项式系数及次数的定义对各选项进行逐一分析即可．

解：A、x2+1是多项式，故A选项错误；

B、﹣m2的次数是2，系数是﹣1，故B选项错误；

C、﹣23πab的系数是﹣23π，故C选项错误；

D、0是单独的一个数，是单项式，故D选项正确．

故选：D．

考点：单项式．

7．如果﹣22a2bcn是7次单项式，则n的值是（  ）

A．4    B．3    C．2    D．5

【答案】A

【解析】

试题分析：直接利用单项式次数的确定方法得出n的值．

解：∵﹣22a2bcn是7次单项式，

∴2+1+n=7，

∴n=4，

故选A．

考点：单项式．

8．如图，将一张正三角形纸片剪成四个全等的正三角形，得到4个小正三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正三角形再剪成四个小正三角形，共得到7个小正三角形，称为第二次操作；再将其中的一个正三角形再剪成四个小正三角形，共得到10个小正三角形，称为第三次操作；……，以上操作次后，共得到49个小正三角形，则的值为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

∵第一次操作得到4个小正三角形，第二次操作后得到7个小正三角形，第三次操作得到10个小正三角形，

∴第n次操作得到的小正三角形个数为3n+1

则49=3n+1

解得n=16

故选D.

点评：

此题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据一周的图形找到规律.

9．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第10个图案由(　　)个▲组成．

A．30 B．31 C．32 D．33

【答案】B

【解析】

观察发现：

第一个图形有3×2﹣3+1＝4个三角形；

第二个图形有3×3﹣3+1＝7个三角形；

第一个图形有3×4﹣3+1＝10个三角形；

…

第n个图形有3(n+1)﹣3+1＝3n+1个三角形；

当n＝10时，3n+1＝3×10+1＝31，

故选B．

故选：B．

10．单项式的次数是   ．

【答案】4.

【解析】

试题解析：根据单项式次数的定义，单项式的次数为4.

考点：单项式．

11．多项式的一次项系数是     .

【答案】－5

【解析】

试题分析：一次项是指未知数的次数为1次的项，写系数的时候特别要注意带着前面的符号.

考点：一次项系数

12．﹣5x2y2+3x2y+2x﹣5是      次四项式．

【答案】四．

【解析】

试题分析：根据多项式的项和次数的概念解题．此多项式共四项﹣5x2y2，3x2y，2x，﹣5．其最高次项为﹣5x2y2，进而得出答案．

解：此多项式共四项﹣5x2y2，3x2y，2x，﹣5．其最高次项为﹣5x2y2，次数为2+2=4．

故多项式﹣5x2y2+3x2y+2x﹣5是四次四项式，

故答案为：四．

考点：多项式．

13．写一个系数是2014且只含x和y的三次单项式              ．

【答案】或．

【解析】

试题分析：由题意可知，该单项式的系数是2014年，次数之和是3，故该单项式是或．

考点：单项式的系数和次数．

14．的系数是_________，次数是_________。

【答案】    4   

【解析】

单项式的系数是前面的数字，注意要带上符号，系数是指所含字母次数之和

的系数是，次数是4次

故填，4

15．下列整式中，单项式是________________；多项式是 ________________．

.

【答案】；       

【解析】

根据单项式与多项式的定义可知：单项式有：，多项式有：，故填；.

16．已知关于x的多项式不含项和项，则m=__________，n=__________.

【答案】－5    1   

【解析】

因为多项式不含项和项，所以含项和项的单项式的系数应为0，即，求得.故答案为－5，1.

点评：

本题考查多项式的概念，解题的关键是熟悉多项式的概念.

17．代数式是_____次______项式，其中二次项的系数是______．

【答案】三    四       

【解析】

=，次数最高为3，单项式有4项，二次项的系数是.

18．若多项式是按字母x降幂排列的，则m的值是______．

【答案】4或3或2

【解析】

因为此多项式是按字母x降幂排列的，且第一项中x的次数为7，第三项中x的次数为3，

所以的值为6或5或4，

所以m的值为4或3或2，

故答案为：4或3或2.

19．找出下列各式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．
（1）；（2）5a+2b；（3）-y；（4）x2y；（5）25x7

解：（1）（3）（4）（5）符合单项式的定义，是单项式；（2）是两个单项式的和，为多项式．
（1）的系数是，次数是1．（3）-y的系数是-1，次数是1．（4）x2y的系数是，次数是3．（5）25x7的系数是25，次数是7．

20．已知多项式 ⋅

（1）求多项式中各项的系数和次数；

（2）若多项式是7次多项式，求a的值．

【答案】（1）各项的系数分别为：－5，，；各项的指数分别为：，，；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据多项式次数、系数的定义即可得出答案；（2）根据次数是7，可得出关于a的方程，解出即可．

考点：多项式．

【实战演练】

————再战初中题 —— 能力提升————

1．下列式子：x2﹣1，+2，，，﹣5x，3中，整式的个数有（  ）

A．6    B．5    C．4    D．3

【答案】C

【解析】

试题分析：根据分母中不含有字母的式子是整式，可得答案．

解：x2﹣1，，﹣5x，3，是整式，

故选：C．

考点：整式．

2．多项式3x2﹣2x﹣1的各项分别是（  ）

A．3x2，2x，1       B．3x2，﹣2x，1   

C．﹣3x2，2x，﹣1    D．3x2，﹣2x，﹣1

【答案】D

【解析】

试题分析：根据多项式项的定义求解．

解：多项式3x2﹣2x﹣1的各项分别是：3x2，﹣2x，﹣1．

故选D．

考点：多项式．

3．对于代数式3x2﹣x+，下列说法不正确的是（  ）

A．它的一次项系数是﹣1   

B．它是单项式

C．它的常数项是   

D．它是二次三项式

【答案】B

【解析】

试题分析：根据多项式的次数与系数的定义分别分析得出即可．

解：A、代数式，它的一次项系数是﹣1，正确，不合题意；

B、代数式，它是多项式，错误，符合题意；

C、它的常数项是，正确，不合题意；

D、它是二次三项式，正确，不合题意．

故选：B．

考点：多项式．

4．如果一个多项式的次数是5，那么这个多项式各项的次数（    ）．

A．都小于5             B．都大于5        

C．都不小于5           D．都不大于5

【答案】D．

【解析】

试题分析：一个多项式中次数最高的项的次数是这个多项式的次数，据此可知，如果一个多项式的次数是5，那么这个多项式各项的次数都不大于5．

故选：D．

考点：多项式的次数．

5．多项式2﹣3xy+4xy2的次数及最高此项的系数分别是（  ）

A．2，﹣3    B．﹣3，4    C．3，4    D．3，﹣3

【答案】A

【解析】

试题分析：根据多项式的次数，单项式的系数，即可解答．

解：多项式2﹣3xy+4xy2的次数是3，最高项是4xy2，系数是4，

故选：A．

考点：多项式．

6．将多项式按某一字母升(降)幂排列正确的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

A. ，没有按任何一个字母升(降)幂排列，故不符合题意；

B. ，按字母b的降幂排列，故符合题意；

C. ，没有按任何一个字母进行降幂或升幂排列，故不符合题意；

D. ，没有按任何一个字母进行降幂或升幂排列，故不符合题意，

故选B.

7．把多项式按m的降幂排列后，第3项是(　　)

A．9m2 B．7m C．3m3 D．－1

【答案】B

【解析】

把多项式按m的降幂排列为：3m3+9m2+7m-1，

排列后第3项为7m，

故选B.

8．把多项式按x的升幂排列，下列结果正确的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

多项式5x-4x2+3按x的升幂排列为：3+5x-4x2，

故选D.

点评：

本题考查了多项式幂的排列，根据多项式的定义，各项以和的形式组成多项式(有时加号省略不写)，所以在升幂或降幂排列时，各项要保持自己原有的符号．

9．在下列说法中，正确的是(　　)

A．单项式的系数是，次数是2 B．单项式的系数是1，次数是2

C．单项式的系数是2，次数是12 D．单项式的系数是，次数是3

【答案】D

【解析】

A中系数是，次数是3，故A选项错误；

B中系数是π，次数是1，故B选项错误；

C中系数是，次数是4，故C选项错误；

D. 单项式的系数是，次数是3，正确，

故选D.

10．下列说法中正确的有(　　).(1)单项式a既没有系数，也没有次数；(2)单项式的系数是2；(3)单项式的系数与次数都是1；(4)单项式的系数是.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【解析】

 (1)单项式a的系数是1，次数是1，故错误；

(2)单项式的系数是2×108，故错误；

(3)单项式的系数是-1，次数是1，故错误；

(4)单项式的系数是，正确，

所以正确的只有1个，

故选A.

点评：

本题考查的是单项式系数及次数的定义，即单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号．

11．单项式﹣的系数是       ，次数是      ．

【答案】单项式﹣的系数是﹣，次数是3

【解析】

试题分析：根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

解：根据单项式定义得：单项式﹣的系数是﹣，次数是3．

考点：单项式．

12．在a2+（2k﹣6）ab+b2+9中，不含ab项，则k=      ．

【答案】3

【解析】

试题分析：因为多项式不含ab的项，所以令ab项的系数为0，列关于k的方程求解．

解：∵多项式a2+（2k﹣6）ab+b2+9不含ab的项，

∴2k﹣6=0，

解得k=3．

故答案为：3．

考点：多项式．

13．已知﹣6xmy3是一个六次单项式，则m+2的值      ．

【答案】5

【解析】

试题分析：根据单项式次数的概念求解．

解：由﹣6xmy3是一个六次单项式，可得：m+3=6，

解得：m=3，

把m=4代入m+2=5．

故答案为：5．

考点：单项式．

14．单项式的次数是_____．

【答案】5.

【解析】

单项式的次数是.故答案为5．

点评：

本题考查单项式次数的意义，解题的关键是熟练掌握单项式次数的意义.

15．把多项式按要求重新排列：(1)按x的升幂排列：__________；(2)按y的降幂排列：__________.

【答案】(1);    (2).   

【解析】

把多项式按要求重新排列：

(1)按x的升幂排列：；

(2)按y的降幂排列：，

故答案为： ；.

点评：

本题考查了多项式的排列，正确理解升幂与降幂的要求是解题的关键.

16．单项式的系数是________，次数是________．

【答案】    5   

【解析】

单项式的系数是，次数是2+3=5，

故答案为：，5.

点评：

本题考查了单项式的系数与次数，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．

17．写出各单项式的系数和次数．
（1）3xy；（2）5a；（3）x2y.

解：（1）3xy的系数是3，次数是2．（2）5a的系数是5，次数是1，（3）x2y的系数是1，次数是3．

18．指出下列多项式的项和次数，并说明它们是几次几项式，
（1）x4-x2-1；     （2）-3a2-3b2+1；     （3）-2x6+xy-x2y5-2xy3+1．

分析：（1）找到最高次项，进而找到相应的次数；有几个单项式就是几项式；（2）找到最高次项，进而找到相应的次数；有几个单项式就是几项式；（3）找到最高次项，进而找到相应的次数；有几个单项式就是几项式．

解：（1）x4-x-1的项是x4，-x2，-1，次数是4，是四次三项式；（2）-32a-3b2+1的项是-32a，-3b2，1，次数是2，是二次三项式；
（3）-2x6+x5y2-x2y5-2xy3+1的项是-2x6，x5y2，-x2y5，-2xy3，1，次数是7，是七次五项式．

19.把下列代数式的代号填入相应的集合括号里．
（A）a2b+ab2（B）x-x2+1（C） （D）- （E）0（F）-x+ （G）a2+ab2+b3（H）（I）3x2+
（1）单项式集合                                            ；

（2）多项式集合                                           ；
（3）整式集合                                                ；

解：（1）单项式集合（D），（E）；（2）多项式集合（A），（B），（C），（F），（G）；
（3）整式集合（A），（B），（C），（D），（E），（F），（G）；