第11讲 解一元一次方程（一） 知识点及练习题 -小升初数学衔接教材

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第11讲解一元一次方程（一）
【知识衔接】
————小学初中课程解读————
小学课程
初中课程
小学数学中，要求能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+2＝5，2x-x＝3），了解方程的作用，了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。


初中数学中，能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，经历估计方程解的过程，掌握等式的基本性质，能解一元一次方程.
————小学知识回顾————
1、方程和等式
等式：表示相等关系的式子叫做等式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、解方程。
解方程：求方程中未知数的值的过程叫做解方程。
解方程的依据：等式的性质。
① 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
② 等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。
————初中知识链接————
1.等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
  如果 a＝b，那么a ± c＝b ± c.
2.等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
 如果a＝b，那么ac＝bc，如果a＝b(c≠0)，那么
3.一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
4.移项的概念：
我们将方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
5.解方程的步骤：（1）移项；（2）合并同类项；（3）未知数的系数化1.

【经典题型】
小学经典题型
1．与方程3x+8=68的解相同的是（ ）
A、12x=360
B、8+2x=68
C、15x=320﹣x
【答案】C
【解析】解：3x+8=68
3x+8﹣8=68﹣8
3x=60
3x÷3=60÷3
x=20，
A、把x=20代入12x=360，
左边=12×20=240，右边=360，
左边≠右边，
所以它们的解不同；
B、把x=20代入8+2x=68，
左边=8+2×20=8+40=48，右边=68，
左边≠右边，
所以它们的解不同；
C、把x=20代入15x=320﹣x，
左边=15×20=300，右边=320﹣20=300，
左边=右边，
所以它们的解相同；
故选：C．
【分析】求出方程3x+8=68的解，再把x的值分别代入各选项中的方程，看方程的左右两边是否相等．据此解答．
2．方程5x﹣2=18的解是（ ）
A、x=2
B、x=4
C、x=3.2
【答案】B
【解析】解：5x﹣2=18 5x﹣2+2=18+2
5x=20
5x÷5=20÷5
x=4
所以方程5x﹣2=18的解是x=4；
故选：B．
【分析】依据等式的性质，方程两边同时加上2，再同时除以5求解．
3．（ ）是方程2.5X﹣4=4.75的解．
A．X=0.3 B．X=3 C．X=3.5
【答案】C
【解析】
试题分析：根据等式的性质求出方程2.5X﹣4=4.75的解即可判断．
解：2.5X﹣4=4.75
2.5X﹣4+4=4.75+4
2.5X=8.75
2.5X÷2.5=8.75÷2.5
X=3.5
故选：C．
【点评】此题考查了利用等式的基本性质解方程的能力．
4．方程x﹣=，方程的解是（　　）
A．0.5 B．0.7 C．1.1
【答案】C

点评：本题运用等式的基本性质进行解答即可，注意等于号要对齐．
5．当x=________时，4x+5=10；如果3x+b=20，那么6x+2b=________．
【答案】1.25；40
【解析】解： 4x+5=10
4x+5﹣5=10﹣5
4x=5
4x÷4=5÷4
x=1.25；
3x+b=20
6x+2b
=（3x+b）×2
=20×2
=40；
故答案为：1.25，40．
【分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时减去5，再两边同时出于，即可求出未知数x的值；（2）要求6x+2b的值，应先根据3x+b=20，把方程3x+b=20左右两边同时乘以2即可求出．
6．解方程
（1）3 x+5 x=48 （2）3x-1.4=1.6
【答案】（1）3 x+5 x=48
8x=48
x=6
（2）3x-1.4=1.6
3x=3
x=1
初中经典题型
1．已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
试题分析：将x=2代入方程可得：4+a－9=0，解得：a=5．
考点：解一元一次方程
2．若（m-2）x|m|-1=5是一元一次方程，则m的值为（ ）
A．±2 B．-2 C．2 D．4
【答案】B．
【解析】
试题解析：根据题意，得，
解得：m=-2．
故选B．
考点：一元一次方程的定义．
3．下列方程中，解为的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：A．当x=4时，左边=4-1=3≠右边，故x=4不是该方程的解．故本选项错误；
B．当x=4时，左边=4×4=16≠右边，故x=4不是该方程的解．故本选项错误；
C．当x=4时，左边=4×4-1=15，右边=3×4+3=15，故x=4是该方程的解．故本选项正确；
D．当x=4时，左边=≠右边，故x=4不是该方程的解．故本选项错误；
故选C．
考点：方程的解．
4．一元一次方程4x=5x-2的解是（ ）
A．x=2 B．x=-2
C．x= D．x=-
【答案】A．
【解析】
试题解析：方程4x=5x-2，
移项，合并同类项得：-x=-2，
解得：x=2．
故选A．
考点：解一元一次方程．
5．将3x﹣7=2x变形正确的是（ ）
A．3x+2x=7 B．3x﹣2x=﹣7 C．3x+2x=﹣7 D．3x﹣2x=7
【答案】D

考点：等式的性质．
6．方程2x﹣1=3x+2的解为（ ）
A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3
【答案】D
【解析】
试题分析：方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
解：方程2x﹣1=3x+2，
移项得：2x﹣3x=2+1，
合并得：﹣x=3．
解得：x=﹣3，
故选D．
考点：解一元一次方程．
7．若代数式4m-5的值与m-的值互为相反数,则m的值为(　　)
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】
∵代数式4m−5的值与m−的值互为相反数，
∴4m−5+m−=0，
解得m=.
故选:C.
8．解方程3x+6=x-7时,移项正确的是(　　)
A．3x+x=6-7 B．3x-x=6-7 C．3x-x=-7-6 D．3x-x=7-6
【答案】C
【解析】
对原方程进行移项，可得：3x-x=-7-6.
故选:C.
9．已知关于x的方程2x+a-9=0的解是x=2，则a的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】
∵方程2x+a﹣9=0的解是x=2，∴2×2+a﹣9=0，
解得a=5．故选：D．　
10．甲种蔬菜比乙种蔬菜单价少5角,张阿姨买了2斤甲蔬菜和3斤乙蔬菜,一共花了20元,如果设甲种蔬菜的单价为x元/斤,那么下列方程正确的是(　　)
A．2x+3(x+5)=20 B．2x+3(x+0.5)=20 C．2x+3(x-0.5)=20 D．2x+3(x-5)=20
【答案】B
【解析】
设甲种蔬菜的单价为x元/斤，由题意得：
2x+3(x+0.5)=20，
故选：B.
11．方程2x－1＝3x＋2的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
【答案】D
【解析】
试题分析：首先进行移项可得：2x－3x=2+1，合并同类项可得：－x=3，解得：x=－3.
考点：解一元一次方程
12．学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是（ ）
A．25台 B．50台 C．75台 D．100台
【答案】C
【解析】
试题分析：首先设去年购置计算机数量为x台，则今年购置计算机的数量为3x台，根据题意可得：x+3x=100，解得：x=25，则3x=3×25=75（台），即今年购置计算机的数量为75台.
13．已知方程（m+1）x∣m∣+3=0是关于x的一元一次方程，则m的值是 ．
【答案】1
【解析】
试题分析：根据一元一次方程的定义可得：=1且m+1≠0，解得：m=1．
考点：一元一次方程的定义．
14．已知x=﹣1是关于x的方程2x﹣3a=﹣4的解，则a为 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：把x=-1代入方程2x﹣3a=﹣4得，2×（-1）-3a=-4，解得a=．故答案为．
考点：一元一次方程的解．
15．方程的解是 ．
【答案】x=－3
【解析】
试题分析：首先进行移项，然后合并同类项并求解.2x－x=－3 解得：x=－3.
考点：一元一次方程的解法.
16．当x=________时,4x+8与3x-10互为相反数.
【答案】
【解析】试题解析：根据题意得：4x+8+3x-10=0，
移项合并得：7x=2，
解得：x=.
故答案为： .
17．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将转化为分数时，可设=x，则x=0.3+x，解得x= ，即=．仿此方法，将化成分数是___.
【答案】
【解析】
利用已知设0.=x,则x=0.45+x，解方程即可求出答案．
解：设0. =x，则x=0.45+x，
解方程得．
故答案为：．
18．已知，则方程ax=b的解为__________。
【答案】x=-2
【解析】
解: 由题意得:
a-3=0, b+6=0
解得a=3,b= - 6,
把a=3,b=-6代入ax=b得:3x= - 6,
解得:x= - 2.
故填:-2
19.解方程
（1）5x﹣5=8x+1．
（2）3x﹣3=4x+5
【答案】（1）x=﹣2；（2）x=﹣8

考点：一元一次方程的解法．
20．淘淘到书店帮同学买书,售货员告诉他,如果用20元钱办会员卡,将享受八折优惠,请问在这次买书中,淘淘在什么情况下,办会员卡与不办会员卡费用一样?当淘淘买标价共计200元的书时,怎么做合算?能省多少钱?
【答案】办会员卡合算,能省20元.
【解析】
设总书价为x元时,办会员卡与不办会员卡费用一样,
由题意得x=20+0.8x,解得x=100.
所以总书价为100元时,办会员卡与不办会员卡费用一样.
当淘淘买标价共计200元的书时,办会员卡需付费20+200×0.8=180(元),能省的钱数为200-180=20(元).
所以办会员卡合算,能省20元.
21．关于x的方程ax+a-1=2与5x-8=2的解相同,求a的值.
【答案】a=1.
【解析】
5x-8=2,
移项,得5x=2+8,
合并同类项,得5x=10,
系数化为1,得x=2.
把x=2代入ax+a-1=2,得2a+a-1=2,
移项,得2a+a=2+1,
合并同类项,得3a=3,系数化为1,得a=1.
22．解下列方程：
(1)7x＋6x＝39；
(2)－2x－4x＋5x＝7；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)x＝3
(2)x＝－7
(3)
(4)
【解析】
(1) 7x+6x=39
合并同类项，得 13x=39，
系数化为1，得 x=3.
(2) -2x-4x+5x=7
合并同类项，得 -x=7，
系数化为1，得 x=-7.
(3)
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
(4)
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
变号，而不是方程中的两项简单的交换位置.
23．甲、乙两站相距336千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶72千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶96千米．
(1)若两车同时相向而行，则几小时后相遇？几小时后相距84千米？
(2)若两车同时反向而行，则几小时后相距672千米？
【答案】(1)2小时后相遇 1.5小时或2.5小时后相距84千米;
(2)2小时后相距672千米.
【解析】
(1) 设两车同时相向而行，x小时后相遇.
根据题意，得
72x+96x=336
合并同类项，得 168x=336，
系数化为1，得 x=2.
故两车同时相向而行2小时后相遇.
在两车同时相向而行的条件下，两车相距84千米的情况应该分为在两车相遇之前以及在两车相遇之后两种情况求解.
①在两车相遇之前，设y小时后两车相距84千米.
72y+96y+84=336
合并同类项，得 168y=252，
系数化为1，得 y=1.5.
因为两车同时相向而行2小时后相遇，y=1.52，所以y=2.5是合理的.
答：两车同时相向而行，2小时后相遇；两车从各自车站开出1.5小时或2.5小时后相距84千米.
(2) 设两车同时反向而行，x小时后相距672千米.
根据题意，得
72x+96x+336=672
移项，得 72x+96x=672-336，
合并同类项，得 168x=336，
系数化为1，得 x=2.
答：两车同时反向而行，2小时后相距672千米.
【实战演练】
————先作小学题 —— 夯实基础————
1．下面式子中是方程的是（ ）
A. 4x+3.2 B. 3x=0 C. 3x﹣0.5＞1
【答案】B
2．5x－18＝12的解为（ ）
A. x＝2 B. x＝4 C. x＝6
【答案】C
3．x＝3是下面( )的解。
A. 2x＋9＝15 B. 3x＝4.5
C. 18.8÷x＝4
【答案】A
4．如果2x+4=15，那么计算18﹣0.6x的结果是（ ）
A．15 B．13.7 C．14.7
【答案】C
【解析】
试题分析：首先求出方程2x+4=15的解，然后把这个方程的解代入18﹣0.6x，求出这个式子的值即可．
解：2x+4=15
2x+4﹣4=15﹣4
2x=11
2x÷2=11÷2
x=5.5；
18﹣0.6x
=18﹣0.6×5.5
=18﹣3.3
=14.7；
故选：C．
【点评】此题考查的目的是理解掌握利用等式的性质解方程的方法，以及求含有字母式子的值．
5．已知6.4x=6.58，那么x（ ）
A．大于1 B．等于1 C．大于0 D．大于0等于1
【答案】A
【解析】

【点评】本题考查了运用等式的性质解方程的方法，计算时要细心，注意把等号对齐．本题也可以用一个数（0除外）乘大于1的数，得数比这个数大解答．
6．方程x+2.3=4.6的解是（ ）
A．x=6.9 B．x=2.3 C．x=2
【答案】B
【解析】
试题分析：把方程中的x的解求出来，再选择．方程两边同时减去2.3即可解答
解：x+2.3=4.6
x+2.3﹣2.3=4.6﹣2.3
x=2.3
故选：B．
【点评】本题考查了运用等式的性质解方程的方法，计算时要细心，注意把等号对齐．
7．已知17﹣2x=9，则8（x﹣4）等于（ ）
A．4 B．0 C．72
【答案】B
【解析】
试题分析：把方程17﹣2x=9求出x等于多少，把x代入8（x﹣4）即可．
解：17﹣2x=9，
17﹣2x+2x=9+2x，
17=9+2x，
17﹣9=9+2x﹣9，
8=2x，
8÷2=2x÷2，
x=4，
把x=4代入8（x﹣4）=8×（4﹣4）=8×0=0；
故答案为：B．
【点评】考查了对等式的性质的应用．
8．当x=20时，3x+□=87．□里应填 ．
【答案】27
【解析】
试题分析：由题意得，原式是一个不完整的方程，这里x已知，就要把现在x的值代入方程，把□看作未知数，根据等式的基本性质解答即可．
解：把x=20代入得：
60+□=87
□+60﹣60=87﹣60
□=27
故答案为：27．
【点评】此题考查了解方程的方法，依据是方程的基本性质．
9．如果2x+3=9，那么8x+12= ．
【答案】36．
【解析】
试题分析：首先根据等式的性质，两边同时减去3，然后两边再同时除以2，求出方程2x+3=9的解是多少，最后把求出的方程2x+3=9的解代入8x+12，求出8x+12的值是多少即可．
解：2x+3=9
2x+3﹣3=9﹣3
2x=6
2x÷2=6÷2
x=3
8x+12
=8×3+12
=24+12
=36
故答案为：36．
【点评】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘以或同时除以一个数（0除外），两边仍相等．
10．当x=3时，6.5x﹣8.4= ；当y= 时，3（y+4）=18.6．
【答案】11.1，2.2．
【解析】
试题分析：（1）把x=3代入含字母的式子6.5x﹣8.4中，计算即可求出式子的数值；
（2）根据等式的性质，在方程两边同时除以3，再同时减去4得解．
解：（1）当x=3时
6.5x﹣8.4
=6.5×3﹣8.4
=19.5﹣8.4
=11.1
（2）3（y+4）=18.6
3（y+4）÷3=18.6÷3
y+4﹣4=6.2﹣4
y=2.2．
故答案为：11.1，2.2．
【点评】此题考查含字母的式子求值的方法，也考查了根据等式的性质解方程的能力．
11．解方程。
x＋3.67＝8 2.4x＝12
2.5x÷4＝62.5 0.6x－0.4x＝1
【答案】x＋3.67＝8
解：x＝8－3.67
x＝4.33
2.4x＝12
解：x＝12÷2.4
x＝5
2.5x÷4＝62.5
解：2.5x＝62.5×4
x＝250÷2.5
x＝100
0.6x－0.4x＝1
解：0.2x＝1
x＝5

————再战初中题 —— 能力提升————
1．下列方程的变形中,移项正确的是(　　)
A．由7+x=3得x=3+7 B．由5x=x-3得5x+x=-3
C．由2x+3-x=7得2x+x=7-3 D．由2x-7+x=6得2x+x=6+7
【答案】D
【解析】
A项，由7+x=3得x=3-7，故错误；
B项，由5x=x-3得5x-x=-3，故错误；
C项，由2x+3-x=7得2x-x=7-3，故错误；
D项，由2x-7+x=6得2x+x=6+7，正确.
故选:D.
2．如果x＝m是方程x－m＝1的根，那么m的值是(　 　)
A．0 B．2 C．－2 D．－6
【答案】C
【解析】
将x＝m代入方程得：m－m＝1，解得：m＝－2，故答案选C.
3．方程+x+2x=210的解为(　　)
A．x=20 B．x=40 C．x=60 D．x=80
【答案】C
【解析】
合并同类项得
系数化为1得x=60．
故选:C．
4．小明买书需用34元钱,付款时恰好用了1元和5元的纸币共10张,设所用的1元纸币为x张,根据题意,下面所列方程正确的是(　　)
A．x+10(x-50)=34 B．x+5(10-x)=34 C．x+5(x-10)=34 D．5x+(10-x)=34
【答案】B
【解析】
设所用的1元纸币为x张，根据题意得：
x+5(10−x)=34，
5．某同学在解方程5x-1=■x+3时,把■处的数字看错了,解得x=-,则该同学把■看成了(　　)
A．8 B．- C．-8 D．3
【答案】A
【解析】
设■处未知数为y，
则将代入方程得：
移项，整理得，y=8.
故选：A.
6．下列方程中，解是=1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：A方程的解为x=2；B方程的解为x=－1；C方程的解为x=－1；D方程的解为x=1.
考点：解一元一次方程.
7．下列各式中：①x+3=5﹣x；②﹣5﹣4=﹣9；③3x2﹣2x=4x；④x=5，是一元一次方程的有 （写出对应的序号）．
【答案】①③④
【解析】
试题分析：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．
解：①x+3=5﹣x是一元一次方程；
②﹣5﹣4=﹣9是等式；
③3x2﹣2x=4x是一元一次方程；
④x=5是一元一次方程．
故答案为：①③④．
考点：一元一次方程的定义．
8．若关于x的方程x2m﹣1+8=0是一元一次方程，则m= ．
【答案】1．
【解析】
试题分析：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．
解：因为关于x的方程x2m﹣1+8=0是一元一次方程，
可得：2m﹣1=1，
解得：m=1．
故答案为：1．
考点：一元一次方程的定义．
9．若x=﹣2是方程2x+a=0的解，则a= ．
【答案】4．

考点：一元一次方程的解．
10．方程3x=5x﹣14的解是x= ．
【答案】7．
【解析】
试题分析：根据方程3x=5x﹣14，可以得到方程的解，本题得以解决．
解：3x=5x﹣14
移项，得
﹣2x=﹣14，
系数化为1，得
x=7
故答案为：7．
考点：解一元一次方程．
11．若x﹣3与1互为相反数，则x= ．
【答案】2
【解析】
试题分析：利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
解：根据题意得：x﹣3+1=0，
解得：x=2，
故答案为：2
考点：解一元一次方程．
12．如果关于x的方程3x+4=0与方程3x+4k=18是同解方程，则k=___.
【答案】
【解析】
解方程3x+4=0可得x=-，
∵3x+4=0与3x+4k=18是同解方程，
∴x=-也是3x+4k=18的解，
∴3×（-）+4k=18，
解得k=．
故答案为：
13．解下列方程:
(1)3x=5x-4；(2)7x-5=x+2.
【答案】(1) x=2；(2) x=.
【解析】
(1)移项,得3x-5x=-4,合并同类项,得-2x=-4,系数化为1,得x=2,因此,方程的解为x=2.
(2)移项,得7x-x=2+5,合并同类项,得6x=7,系数化为1,得x=,因此,方程的解为x=.
14．解下列方程：
（1）4﹣m=﹣m；
（2）56﹣8x=11+x；
（3）x+1=5+x；
（4）﹣5x+6+7x=1+2x﹣3+8x．
【答案】(1) m=-10;(2)x=5；（3）x=4；(4)x=1.
【解析】
(1) 移项,得-m+m=-4.
合并同类项,得m=-4.
系数化为1,得m=-10. 
(2) 移项,得-8x-x=11-56.
合并同类项,得-9x=-45.
系数化为1,得x=5.
 (3) 移项,得x-x=5-1.
合并同类项,得x=4.
 (4) 移项,得-5x+7x-2x-8x=1-3-6.
合并同类项,得-8x=-8.
系数化为1,得x=1.
15．m为何值时，关于x的方程4x-2m=3x-1的解是x=2x-3m的解的2倍？
【答案】
【解析】
试题分析：解方程得，解方程得，再根据方程的解是的解的2倍即可得到关于m的方程，解出即可.
解方程得，解方程得
因为方程的解是的解的2倍
所以，解得.
16．解下列方程：
(1)0.25y－0.75y＝8＋3；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)y＝－22
(2)
(3)x＝2
(4)x＝2
【解析】
(1) 0.25y-0.75y=8+3
合并同类项，得 -0.5y=11，
系数化为1，得 y=-22.
(2)
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
(3)
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
(4)
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .