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北师大版八年级下册第四章 因式分解综合与测试学案
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这是一份北师大版八年级下册第四章 因式分解综合与测试学案，共13页。学案主要包含了学习目标，学习重点，学习难点，自主探究，合作探究，交流预展，展示提升等内容，欢迎下载使用。
1．理解公因式的概念，能熟练确定多项式各项的公因式．
2．掌握用直接提公因式法分解因式的基本方法．
【学习重点】
掌握公因式为单项式类型提公因式法的基本方法．
【学习难点】
熟练确定多项式各项的公因式．
行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．
方法指导：对于多项式类型的公因式，应注意a－b和b－a这种互为相反数类型可变为相同形式，所以也属于公因式．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．什么是因式分解？
答：把一个多项式分成几个整式积的形式叫因式分解．
2．你能把下列多项式分解因式吗？你是怎样想到的？
ax＋ay＋az；4x＋8；x2－x.
解：ax＋ay＋az＝a(x＋y＋z)；4x＋8＝4(x＋2)；x2－x＝x(x－1)；
运用乘法分配律．
自学互研 生成能力
eq \a\vs4\al(知识模块一 确定公因式)
【自主探究】
阅读教材P95的内容，回答下列问题：
什么叫公因式？如何确定？举例说明．
答：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．以8a3b2c＋12abc为例，其公因式为4abc.公因式确定方法是：系数取各系数最大公约数；字母取相同字母的最低次幂，组成公因式．
范例1：多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是( D )
A．abc B．3a2b2 C．3a2b2c D．3ab
仿例1：多项式－6ab2＋18ab2－12a3b2c的公因式是( C )
A．－6ab2c B．－ab2 C．－6ab2 D．－6a3b2c
仿例2：下列各组代数式中，没有公因式的是( A )
A．ax＋y和x＋y B．2x和4y
C．2(a－b)和3(b－a) D．－x2＋xy和y－x
仿例3：指出下列多项式中各项的公因式：
(1)2n－2n＋1的公因式是2n；
(2)4x(y－1)2－8x(y－1)3的公因式是4x(y－1)2．
学习笔记：
行为提示：当多项式首项系数为负数，通常先提出“－”号．
行为提示：在群学后期教师可有意安排每组的展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示 、有补充、有质疑、有评价穿插其中．
学习笔记：
检测可当堂完成．
归纳：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式 (或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
eq \a\vs4\al(知识模块二 用提公因式法分解因式)
【自主探究】
阅读教材P95－96的内容，回答下列问题：
什么是提公因式法？
答：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法． 范例2：因式分解：(1)4a2＋6ab＋2a；
(2)－5x3＋10x2－15x；
(3)eq \f(1,4)a3b2－2a2b3.
解：(1)原式＝2a·2a＋2a·3b＋2a·1
＝2a(2a＋3b＋1)；
(2)原式＝－5x·x2＋(－5x)·(－2x)＋(－5x)·3
＝－5x(x2－2x＋3)；
(3)原式＝eq \f(1,4)(a3b2－8a2b3)
＝eq \f(1,4)a2b2(a－b)．
【合作探究】
仿例1：将－axy－ax2y2＋2axz提公因式后，另一因式是( D )
A．xy＋x2y2－2xz B．－y＋x2y－2z
C．y－xy2＋2z D．y＋xy2－2z
仿例2：(大连中考)若a＝49，b＝109，则ab－9a的值为4__900．
归纳：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)把多项式各项写成公因式与另一项乘积的形式；(3)提公因式并确定另一因式．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 确定公因式
知识模块二 用提公因式法分解因式
提公因式法——公因式为多项式
【学习目标】
1．进一步理解因式分解的意义和公因式的意义．
2．熟练运用提公因式法分解因式．
【学习重点】
掌握公因式为多项式的提公因式法．
【学习难点】
熟练进行多项式变形后提取公因式．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．
学习笔记：公因式为多项式，要注意将多项式进行变形，如y－x＝－(x－y)，(x－y)2＝(y－x)2，(x－y)3＝－(y－x)3.变形时要注意符号的变化．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．什么是公因式？如何确定公因式？
答：多项式各项都含有的因式叫做这个多项式各项的公因式．确定公因式：系数取各项系数最大公约数，字母(或多项式)取相同字母(或多项式)的最低次幂．
2．什么是提公因式法？
答：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种方法叫提公因式法．
自学互研 生成能力
eq \a\vs4\al(知识模块 公因式为多项式的提公因式法)
【自主探究】
阅读教材P97的内容，回答下列问题：
范例1：分解因式：
(1)a(2－x)＋b(2－x)－c(x－2)；
(2)a(m－n)2＋b(n－m)2；
(3)a(a－b)3－(b－a)3.
解：(1)原式＝a(2－x)＋b(2－x)＋c(2－x)
＝(2－x)(a＋b＋c)；
(2)原式＝a(m－n)2＋b(m－n)2
＝(m－n)2(a＋b)；
(3)原式＝a(a－b)3＋(a－b)3
＝(a－b)3(a＋1)．
【合作探究】
仿例1：分解因式3m(x－y)－2(y－x)2＝( B )
A．(x－y)(3m＋2x－2y) B．(x－y)(3m－2x＋2y)
C．(y－x)(2y－2x＋3m) D．(y－x)(2x－2y＋3m)
解题思路：分解因式3m(x－y)－2(y－x)2要将(y－x)2变为(x－y)2.原式＝3m(x－y)－2(x－y)2＝(x－y)[3m－2(x－y)]＝(x－y)(3m－2x＋2y)．
仿例2：(1)因式分解：m(x－y)＋n(x－y)＝(x－y)(m＋n)；
(2)因式分解：8(a－b)2－12(b－a)＝4(a－b)(2a－2b＋3)．
归纳：当公因式是形如(a－b)n或(b－a)n时，要注意幂指数n的奇偶性：当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n；当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n.
范例2：下列变形正确的是①④⑤．(填序号)
①a－b＝－(b－a)；②a＋b＝－(a＋b)；③(b－a)2＝－(a－b)2；④(a－b)2＝(b－a)2；⑤(a－b)3＝－(b－a)3.
仿例：(娄底期中)因式分解：
(1)2x(a－b)＋3y(b－a)；
解：原式＝2x(a－b)－3y(a－b)
＝(a－b)(2x－3y)；
(2)x(x2－xy)－(4x2－4xy)．
解：原式＝x2(x－y)－4x(x－y)
＝x(x－y)(x－4)．
行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．
学习笔记：
检测可当堂完成．
仿例2：已知a＋b＝－5，ab＝7，求a2b＋ab2－a－b的值．
解：a2b＋ab2－a－b
＝ab(a＋b)－(a＋b)
＝(a＋b)(ab－1)，
当a＋b＝－5，ab＝7时，原式＝－5×(7－1)＝－30.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块 公因式为多项式的提公因式法
平方差公式
【学习目标】
1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点．
2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．
【学习重点】
熟练应用平方差公式分解因式．
【学习难点】
利用平方差公式时系数与指数的变化．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．
方法指导：平方差公式是由乘法公式逆变形而得来的，引导学生注意系数的变化．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．因式分解：(1)a(y＋1)－b(y＋1)；(2)3x2－2x.
解：(1)原式＝(y＋1)(a－b)；
(2)原式＝x(3x－2)．
2．计算：(x＋2)(x－2)＝x2－4；
(a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2；
(4x－5y)(4x＋5y)＝16x2－25y2．
3．你能将x2－4，a2－9b2和16x2－25y2分解因式吗？
答：将2中计算反过来写即可．
自学互研 生成能力
eq \a\vs4\al(知识模块一 直接用平方差公式分解因式)
【自主探究】
阅读教材P99的内容，回答下列问题：
1．什么是平方差公式？
答：把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，反过来，就得到a2－b2＝(a＋b)(a－b)，运用这个公式可将一个二项式的平方差分解因式．
2．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是( C )
A．a2＋b2 B．y2＋9 C．－16＋a2 D．－x2－y2
方法指导：
学习笔记：在计算中引入因式分解会使计算大大简化．注意因式分解的顺序，先提公因式，再用平方差公式分解．
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．
学习笔记：
检测可当堂完成．
3．(揭西期末)因式分解x2－9y2的正确结果是( B )
A．(x＋9y)(x－9y) B．(x＋3y)(x－3y)
C．(x－3y)2 D．(x－9y)2
4．(1)(苏州中考)因式分解：a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)；
(2)(葫芦岛中考)因式分解：4m2－9n2＝(2m＋3n)(2m－3n)．
归纳：引导学生观察多项式是否符合平方差的形式，且分解后系数要写成原系数的算术平方根．
eq \a\vs4\al(知识模块二 运用提公因式法和平方差公式分解因式)
范例：分解因式：
(1)3ax2－3ay2；
解：原式＝3a(x2－y2)
＝3a(x＋y)(x－y)； (2)x2(a－b)＋4(b－a)．
解：原式＝x2(a－b)－4(a－b)
＝(a－b)(x2－4)
＝(a－b)(x＋2)(x－2)．
仿例1：分解因式：
(1)a4－16；
解：原式＝(a2＋4)(a2－4)＝(a2＋4)(a＋2)(a－2)；
(2)－4(x－2y)2＋9(x＋y)2.
解：原式＝[3(x＋y)]2－[2(x－2y)]2＝[3(x＋y)＋2(x－2y)][3(x＋y)－2(x－2y)]＝(5x－y)(x＋7y)．
仿例2：计算：(1)7582－2582；(2)25×1012－992×25.
解：(1)原式＝(758＋258)(758－258)＝1 016×500＝508 000；
(2)原式＝25×(1012－992)＝25×(101＋99)(101－99)＝25×200×2＝10 000.
归纳：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
【合作探究】
变例：248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．
解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 直接用平方差公式分解因式
知识模块二 运用提公因式法和平方差公式分解因式
完全平方公式
【学习目标】
1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点．
2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．
【学习重点】
熟练应用完全平方公式分解因式．
【学习难点】
完全平方式的确定及分解后系数指数的变化．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．
方法指导：引导学生辨别完全平方式，要符合两数的平方和，加上或减去两数积的2倍，正确分解因式．
学习笔记：
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．计算：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2；(x－3)2＝x2－6x＋9；(y＋1)2＝y2＋2y＋1；(2x－3y)2＝4x2－12xy＋9y2．
2．将1计算反过来，你会将以下式子分解因式吗？
(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2；(3)x2－6x＋9；(4)y2＋2y＋1；(5)4x2－12xy＋9y2.
解：(1)原式＝(a＋b)2；(2)原式＝(a－b)2；(3)原式＝(x－3)2；(4)原式＝(y＋1)2；(5)原式＝(2x－3y)2.
自学互研 生成能力
eq \a\vs4\al(知识模块一 运用完全平方公式分解因式)
【自主探究】
什么是完全平方公式？什么是公式法？
答：将乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，反过来，就得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2，把乘法公式反过来，就可以用来把其他多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做运用公式法．
范例1：下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2－1 D．x2－6x＋9
仿例1：若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是( D )
A．4 B．－4 C．±2 D．±4
仿例2：小明同学利用完全平方公式对下列式子进行因式分解，你认为正确的是( D )
A．x2＋4x＋4＝(x＋4)2
B．4x2－2x＋1＝(2x－1)2
C．9－6(m－n)＋(m－n)2＝(3－m－n)2
D．－a2－b2＋2ab＝－(a－b)2
归纳：能运用完全平方公式分解因式的条件：①三项式；②两项可化为两个数(或整式)的平方；③另一项为这两个数(或整式)积的2倍．
仿例3：分解因式：
(1)y2－y＋eq \f(1,4)；(2)9a2－30a＋25；(3)(x－y)2－6(x－y)＋9.
解：(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))eq \s\up12(2)；(2)原式＝(3a－5)2；(3)原式＝(x－y－3)2.
eq \a\vs4\al(知识模块二 用提公因式法，运用公式法分解因式)
范例2：分解因式：
(1)3x3－6x2y＋3xy2；(2)4x2y－4xy2－x3；(3)(x－1)2－6(x－1)＋9；(4)(x－2y)2＋8xy.
解：(1)原式＝3x(x2－2xy＋y2)＝3x(x－y)2；
(2)原式＝－x(x2－4xy＋4y2)＝－x(x－2y)2；
(3)原式＝(x－1－3)2＝(x－4)2；
(4)原式＝x2－4xy＋4y2＋8xy＝x2＋4xy＋4y2＝(x＋2y)2.
仿例1：(东台期中)已知代数式－a2＋2a－1，无论a取任何值，它的值一定是( B )
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．
学习笔记：
检测可当堂完成．
仿例2：(路南区二模)计算1252－50×125＋252的结果为( C )
A．100 B．150 C．10 000 D．22 500
仿例3：已知ab＝2，a－b＝3，则a3b－2a2b2＋ab3＝18．
仿例4：(平谷区期末)多项式x2－mxy＋9y2能用完全平方公式分解，则m的值是( D )
A．3 B．6 C．±3 D．±6
归纳：分解因式要注意以下问题：首先提取公因式，然后考虑运用分式法，看能否用平方差公式或完全平方公式分解因式．分解因式要使每一个因式都不能再分解为止．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 运用完全平方公式分解因式
知识模块二 用提公因式法，运用公式法分解因式
因式分解
【学习目标】
1．理解因式分解的意义以及因式分解与整式乘法的关系．
2．对因式分解作出正确判断，培养观察能力．
【学习重点】
因式分解的意义及因式分解与整式乘法的关系．
【学习难点】
对因式分解及整式乘法关系的理解．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．
方法指导：因式分解必须把一个多项式分成几个单项式与多项式相乘的形式，并且不能与整式乘法混淆．
学习笔记：因式分解是整式乘法的逆变形，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式，用这种方法可检测因式分解的结果是否正确．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．计算下面各式：
m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(x＋2)(x－2)＝x2－4；(a－b)2＝a2－2ab＋b2．
2．根据左边的结果填空：
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；x2－4＝(x＋2)(x－2)；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
很显然第1题中各式属于整式乘法，第2题中各式的变形属于什么呢？
自学互研 生成能力
eq \a\vs4\al(知识模块一 因式分解的意义)
【自主探究】
阅读教材P92－93的内容，回答下列问题：
1．你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？
答：a3－a＝a(a2－a)＝a(a＋1)(a－1)．
2．什么叫因式分解？
答：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可以称为分解因式．
范例1：下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( C )
A．a(x＋y)＝ax＋ay B．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4
C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋16x＝(x＋4)(x－4)＋6x
仿例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有( B )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
仿例2：通过计算说明992＋99不能被( D )
A．9整除 B．99整除 C．100整除 D．101整除
归纳：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式，因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
eq \a\vs4\al(知识模块二 因式分解的简单应用)
【自主探究】
范例2：如果多项式3x2－mx＋n因式分解的结果为(3x＋2)(x－1)，求m，n的值．
解：∵(3x＋2)(x－1)＝3x2－x－2，∴－m＝－1，n＝－2，∴m＝1.
仿例1：若m2－n2＝8，且m－n＝2，则m＋n＝4．
仿例2：(2x＋a)(2x－a)是哪个多项式因式分解的结果( B )
A．4x2＋a2 B．4x2－a2 C．－4x2＋a2 D．－4x2－a2
范例3：利用因式分解计算：2 016×45＋2 016×56－2 016×100.
解：原式＝2 016×(45＋56－100)
＝2 016.
仿例：利用因式分解计算：2 0163－2 0162－2 014×2 0162.
解：原式＝2 0162×2 016－2 0162×1－2 0162×2 014
＝2 0162(2 016－1－2 014)
＝2 0162×1
＝2 0162.
行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．
学习笔记：
检测可当堂完成．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 因式分解的意义
知识模块二 因式分解的简单应用
第四章小结与复习
【学习目标】
1．对本章知识进行巩固复习，形成熟练性认识．
2．进一步熟悉提公因式法，运用公式法分解因式．
【学习重点】
根据多项式特征，选择适当方法分解因式．
【学习难点】
熟练应用提公因式法、运用公式法分解因式．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．
情景导入 生成问题
知识结构框图
因式分解因式分解的概念公式法平方差公式—a2－b2＝(a＋b)(a－b)完全平方差公式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2提公因式法
自学互研 生成能力
eq \a\vs4\al(知识模块一 提公因式法)
范例1：若a为有理数，是整式a(a－1)－a＋1的值是( A )
A．非负数 B．正数 C．负数 D．0
学习笔记：
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．
学习笔记：
检测可当堂完成．
仿例1：(江西模拟)已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y－4xy2＝20．
仿例2：△ABC的三边长为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则△ABC是( B )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
eq \a\vs4\al(知识模块二 公式法)
范例2：(禅城中考)下列多项式中不能用公式法分解的是( D )
A．－a2－b2＋2ab B．a2＋a＋eq \f(1,4)
C．－a2＋25b2 D．－4－b2
仿例1：(1)(南通中考)因式分解：4m2－n2＝(2m＋n)(2m－n)；
(2)(东营中考)分解因式：4＋12(x－y)＋9(x－y)2＝(3x－3y＋2)2．
仿例2：因式分解或利用因式分解进行简便计算：
(1)9x2－16y2； (2)(y＋1)(y＋2)＋eq \f(1,4)；
(3)662＋652－130×66; (4)4x2－(y2－2y＋1)．
解：(1)原式＝(3x＋4y)(3x－4y)；
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)；
(3)原式＝662＋652－2×65×66＝(66－65)2＝1；
(4)原式＝4x2－(y－1)2＝(2x＋y－1)(2x－y＋1)．
eq \a\vs4\al(知识模块三 提公因式法和公式法的综合)
范例3：因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2；
(3)a2(a－b)3＋b2(b－a)3; (4)(a＋3)(a－7)＋25.
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2；
(3)原式＝a2(a－b)3－b2(a－b)3＝(a－b)3(a2－b2)＝(a－b)4(a＋b)；
(4)原式＝(a＋3)(a－7)＋25＝a2－4a－21＋25＝a2－4a＋4＝(a－2)2.
归纳：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
仿例1：无论x，y取任何值时，多项式x2＋y2－2x－4y＋6的值总是( A )
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
仿例2：(甘南中考)已知a2－a－1＝0，则a3－a2－a＋2 015＝2__015．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 提公因式法
知识模块二 公式法
知识模块三 提公因式法和公式法的综合
1．理解公因式的概念，能熟练确定多项式各项的公因式．
2．掌握用直接提公因式法分解因式的基本方法．
【学习重点】
掌握公因式为单项式类型提公因式法的基本方法．
【学习难点】
熟练确定多项式各项的公因式．
行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．
方法指导：对于多项式类型的公因式，应注意a－b和b－a这种互为相反数类型可变为相同形式，所以也属于公因式．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．什么是因式分解？
答：把一个多项式分成几个整式积的形式叫因式分解．
2．你能把下列多项式分解因式吗？你是怎样想到的？
ax＋ay＋az；4x＋8；x2－x.
解：ax＋ay＋az＝a(x＋y＋z)；4x＋8＝4(x＋2)；x2－x＝x(x－1)；
运用乘法分配律．
自学互研 生成能力
eq \a\vs4\al(知识模块一 确定公因式)
【自主探究】
阅读教材P95的内容，回答下列问题：
什么叫公因式？如何确定？举例说明．
答：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．以8a3b2c＋12abc为例，其公因式为4abc.公因式确定方法是：系数取各系数最大公约数；字母取相同字母的最低次幂，组成公因式．
范例1：多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是( D )
A．abc B．3a2b2 C．3a2b2c D．3ab
仿例1：多项式－6ab2＋18ab2－12a3b2c的公因式是( C )
A．－6ab2c B．－ab2 C．－6ab2 D．－6a3b2c
仿例2：下列各组代数式中，没有公因式的是( A )
A．ax＋y和x＋y B．2x和4y
C．2(a－b)和3(b－a) D．－x2＋xy和y－x
仿例3：指出下列多项式中各项的公因式：
(1)2n－2n＋1的公因式是2n；
(2)4x(y－1)2－8x(y－1)3的公因式是4x(y－1)2．
学习笔记：
行为提示：当多项式首项系数为负数，通常先提出“－”号．
行为提示：在群学后期教师可有意安排每组的展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示 、有补充、有质疑、有评价穿插其中．
学习笔记：
检测可当堂完成．
归纳：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式 (或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
eq \a\vs4\al(知识模块二 用提公因式法分解因式)
【自主探究】
阅读教材P95－96的内容，回答下列问题：
什么是提公因式法？
答：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法． 范例2：因式分解：(1)4a2＋6ab＋2a；
(2)－5x3＋10x2－15x；
(3)eq \f(1,4)a3b2－2a2b3.
解：(1)原式＝2a·2a＋2a·3b＋2a·1
＝2a(2a＋3b＋1)；
(2)原式＝－5x·x2＋(－5x)·(－2x)＋(－5x)·3
＝－5x(x2－2x＋3)；
(3)原式＝eq \f(1,4)(a3b2－8a2b3)
＝eq \f(1,4)a2b2(a－b)．
【合作探究】
仿例1：将－axy－ax2y2＋2axz提公因式后，另一因式是( D )
A．xy＋x2y2－2xz B．－y＋x2y－2z
C．y－xy2＋2z D．y＋xy2－2z
仿例2：(大连中考)若a＝49，b＝109，则ab－9a的值为4__900．
归纳：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)把多项式各项写成公因式与另一项乘积的形式；(3)提公因式并确定另一因式．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 确定公因式
知识模块二 用提公因式法分解因式
提公因式法——公因式为多项式
【学习目标】
1．进一步理解因式分解的意义和公因式的意义．
2．熟练运用提公因式法分解因式．
【学习重点】
掌握公因式为多项式的提公因式法．
【学习难点】
熟练进行多项式变形后提取公因式．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．
学习笔记：公因式为多项式，要注意将多项式进行变形，如y－x＝－(x－y)，(x－y)2＝(y－x)2，(x－y)3＝－(y－x)3.变形时要注意符号的变化．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．什么是公因式？如何确定公因式？
答：多项式各项都含有的因式叫做这个多项式各项的公因式．确定公因式：系数取各项系数最大公约数，字母(或多项式)取相同字母(或多项式)的最低次幂．
2．什么是提公因式法？
答：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种方法叫提公因式法．
自学互研 生成能力
eq \a\vs4\al(知识模块 公因式为多项式的提公因式法)
【自主探究】
阅读教材P97的内容，回答下列问题：
范例1：分解因式：
(1)a(2－x)＋b(2－x)－c(x－2)；
(2)a(m－n)2＋b(n－m)2；
(3)a(a－b)3－(b－a)3.
解：(1)原式＝a(2－x)＋b(2－x)＋c(2－x)
＝(2－x)(a＋b＋c)；
(2)原式＝a(m－n)2＋b(m－n)2
＝(m－n)2(a＋b)；
(3)原式＝a(a－b)3＋(a－b)3
＝(a－b)3(a＋1)．
【合作探究】
仿例1：分解因式3m(x－y)－2(y－x)2＝( B )
A．(x－y)(3m＋2x－2y) B．(x－y)(3m－2x＋2y)
C．(y－x)(2y－2x＋3m) D．(y－x)(2x－2y＋3m)
解题思路：分解因式3m(x－y)－2(y－x)2要将(y－x)2变为(x－y)2.原式＝3m(x－y)－2(x－y)2＝(x－y)[3m－2(x－y)]＝(x－y)(3m－2x＋2y)．
仿例2：(1)因式分解：m(x－y)＋n(x－y)＝(x－y)(m＋n)；
(2)因式分解：8(a－b)2－12(b－a)＝4(a－b)(2a－2b＋3)．
归纳：当公因式是形如(a－b)n或(b－a)n时，要注意幂指数n的奇偶性：当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n；当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n.
范例2：下列变形正确的是①④⑤．(填序号)
①a－b＝－(b－a)；②a＋b＝－(a＋b)；③(b－a)2＝－(a－b)2；④(a－b)2＝(b－a)2；⑤(a－b)3＝－(b－a)3.
仿例：(娄底期中)因式分解：
(1)2x(a－b)＋3y(b－a)；
解：原式＝2x(a－b)－3y(a－b)
＝(a－b)(2x－3y)；
(2)x(x2－xy)－(4x2－4xy)．
解：原式＝x2(x－y)－4x(x－y)
＝x(x－y)(x－4)．
行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．
学习笔记：
检测可当堂完成．
仿例2：已知a＋b＝－5，ab＝7，求a2b＋ab2－a－b的值．
解：a2b＋ab2－a－b
＝ab(a＋b)－(a＋b)
＝(a＋b)(ab－1)，
当a＋b＝－5，ab＝7时，原式＝－5×(7－1)＝－30.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块 公因式为多项式的提公因式法
平方差公式
【学习目标】
1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点．
2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．
【学习重点】
熟练应用平方差公式分解因式．
【学习难点】
利用平方差公式时系数与指数的变化．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．
方法指导：平方差公式是由乘法公式逆变形而得来的，引导学生注意系数的变化．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．因式分解：(1)a(y＋1)－b(y＋1)；(2)3x2－2x.
解：(1)原式＝(y＋1)(a－b)；
(2)原式＝x(3x－2)．
2．计算：(x＋2)(x－2)＝x2－4；
(a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2；
(4x－5y)(4x＋5y)＝16x2－25y2．
3．你能将x2－4，a2－9b2和16x2－25y2分解因式吗？
答：将2中计算反过来写即可．
自学互研 生成能力
eq \a\vs4\al(知识模块一 直接用平方差公式分解因式)
【自主探究】
阅读教材P99的内容，回答下列问题：
1．什么是平方差公式？
答：把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，反过来，就得到a2－b2＝(a＋b)(a－b)，运用这个公式可将一个二项式的平方差分解因式．
2．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是( C )
A．a2＋b2 B．y2＋9 C．－16＋a2 D．－x2－y2
方法指导：
学习笔记：在计算中引入因式分解会使计算大大简化．注意因式分解的顺序，先提公因式，再用平方差公式分解．
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．
学习笔记：
检测可当堂完成．
3．(揭西期末)因式分解x2－9y2的正确结果是( B )
A．(x＋9y)(x－9y) B．(x＋3y)(x－3y)
C．(x－3y)2 D．(x－9y)2
4．(1)(苏州中考)因式分解：a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)；
(2)(葫芦岛中考)因式分解：4m2－9n2＝(2m＋3n)(2m－3n)．
归纳：引导学生观察多项式是否符合平方差的形式，且分解后系数要写成原系数的算术平方根．
eq \a\vs4\al(知识模块二 运用提公因式法和平方差公式分解因式)
范例：分解因式：
(1)3ax2－3ay2；
解：原式＝3a(x2－y2)
＝3a(x＋y)(x－y)； (2)x2(a－b)＋4(b－a)．
解：原式＝x2(a－b)－4(a－b)
＝(a－b)(x2－4)
＝(a－b)(x＋2)(x－2)．
仿例1：分解因式：
(1)a4－16；
解：原式＝(a2＋4)(a2－4)＝(a2＋4)(a＋2)(a－2)；
(2)－4(x－2y)2＋9(x＋y)2.
解：原式＝[3(x＋y)]2－[2(x－2y)]2＝[3(x＋y)＋2(x－2y)][3(x＋y)－2(x－2y)]＝(5x－y)(x＋7y)．
仿例2：计算：(1)7582－2582；(2)25×1012－992×25.
解：(1)原式＝(758＋258)(758－258)＝1 016×500＝508 000；
(2)原式＝25×(1012－992)＝25×(101＋99)(101－99)＝25×200×2＝10 000.
归纳：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
【合作探究】
变例：248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．
解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 直接用平方差公式分解因式
知识模块二 运用提公因式法和平方差公式分解因式
完全平方公式
【学习目标】
1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点．
2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．
【学习重点】
熟练应用完全平方公式分解因式．
【学习难点】
完全平方式的确定及分解后系数指数的变化．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．
方法指导：引导学生辨别完全平方式，要符合两数的平方和，加上或减去两数积的2倍，正确分解因式．
学习笔记：
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．计算：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2；(x－3)2＝x2－6x＋9；(y＋1)2＝y2＋2y＋1；(2x－3y)2＝4x2－12xy＋9y2．
2．将1计算反过来，你会将以下式子分解因式吗？
(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2；(3)x2－6x＋9；(4)y2＋2y＋1；(5)4x2－12xy＋9y2.
解：(1)原式＝(a＋b)2；(2)原式＝(a－b)2；(3)原式＝(x－3)2；(4)原式＝(y＋1)2；(5)原式＝(2x－3y)2.
自学互研 生成能力
eq \a\vs4\al(知识模块一 运用完全平方公式分解因式)
【自主探究】
什么是完全平方公式？什么是公式法？
答：将乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，反过来，就得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2，把乘法公式反过来，就可以用来把其他多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做运用公式法．
范例1：下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2－1 D．x2－6x＋9
仿例1：若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是( D )
A．4 B．－4 C．±2 D．±4
仿例2：小明同学利用完全平方公式对下列式子进行因式分解，你认为正确的是( D )
A．x2＋4x＋4＝(x＋4)2
B．4x2－2x＋1＝(2x－1)2
C．9－6(m－n)＋(m－n)2＝(3－m－n)2
D．－a2－b2＋2ab＝－(a－b)2
归纳：能运用完全平方公式分解因式的条件：①三项式；②两项可化为两个数(或整式)的平方；③另一项为这两个数(或整式)积的2倍．
仿例3：分解因式：
(1)y2－y＋eq \f(1,4)；(2)9a2－30a＋25；(3)(x－y)2－6(x－y)＋9.
解：(1)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))eq \s\up12(2)；(2)原式＝(3a－5)2；(3)原式＝(x－y－3)2.
eq \a\vs4\al(知识模块二 用提公因式法，运用公式法分解因式)
范例2：分解因式：
(1)3x3－6x2y＋3xy2；(2)4x2y－4xy2－x3；(3)(x－1)2－6(x－1)＋9；(4)(x－2y)2＋8xy.
解：(1)原式＝3x(x2－2xy＋y2)＝3x(x－y)2；
(2)原式＝－x(x2－4xy＋4y2)＝－x(x－2y)2；
(3)原式＝(x－1－3)2＝(x－4)2；
(4)原式＝x2－4xy＋4y2＋8xy＝x2＋4xy＋4y2＝(x＋2y)2.
仿例1：(东台期中)已知代数式－a2＋2a－1，无论a取任何值，它的值一定是( B )
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．
学习笔记：
检测可当堂完成．
仿例2：(路南区二模)计算1252－50×125＋252的结果为( C )
A．100 B．150 C．10 000 D．22 500
仿例3：已知ab＝2，a－b＝3，则a3b－2a2b2＋ab3＝18．
仿例4：(平谷区期末)多项式x2－mxy＋9y2能用完全平方公式分解，则m的值是( D )
A．3 B．6 C．±3 D．±6
归纳：分解因式要注意以下问题：首先提取公因式，然后考虑运用分式法，看能否用平方差公式或完全平方公式分解因式．分解因式要使每一个因式都不能再分解为止．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 运用完全平方公式分解因式
知识模块二 用提公因式法，运用公式法分解因式
因式分解
【学习目标】
1．理解因式分解的意义以及因式分解与整式乘法的关系．
2．对因式分解作出正确判断，培养观察能力．
【学习重点】
因式分解的意义及因式分解与整式乘法的关系．
【学习难点】
对因式分解及整式乘法关系的理解．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．
方法指导：因式分解必须把一个多项式分成几个单项式与多项式相乘的形式，并且不能与整式乘法混淆．
学习笔记：因式分解是整式乘法的逆变形，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式，用这种方法可检测因式分解的结果是否正确．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．计算下面各式：
m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(x＋2)(x－2)＝x2－4；(a－b)2＝a2－2ab＋b2．
2．根据左边的结果填空：
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；x2－4＝(x＋2)(x－2)；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
很显然第1题中各式属于整式乘法，第2题中各式的变形属于什么呢？
自学互研 生成能力
eq \a\vs4\al(知识模块一 因式分解的意义)
【自主探究】
阅读教材P92－93的内容，回答下列问题：
1．你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？
答：a3－a＝a(a2－a)＝a(a＋1)(a－1)．
2．什么叫因式分解？
答：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可以称为分解因式．
范例1：下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( C )
A．a(x＋y)＝ax＋ay B．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4
C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋16x＝(x＋4)(x－4)＋6x
仿例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有( B )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
仿例2：通过计算说明992＋99不能被( D )
A．9整除 B．99整除 C．100整除 D．101整除
归纳：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式，因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
eq \a\vs4\al(知识模块二 因式分解的简单应用)
【自主探究】
范例2：如果多项式3x2－mx＋n因式分解的结果为(3x＋2)(x－1)，求m，n的值．
解：∵(3x＋2)(x－1)＝3x2－x－2，∴－m＝－1，n＝－2，∴m＝1.
仿例1：若m2－n2＝8，且m－n＝2，则m＋n＝4．
仿例2：(2x＋a)(2x－a)是哪个多项式因式分解的结果( B )
A．4x2＋a2 B．4x2－a2 C．－4x2＋a2 D．－4x2－a2
范例3：利用因式分解计算：2 016×45＋2 016×56－2 016×100.
解：原式＝2 016×(45＋56－100)
＝2 016.
仿例：利用因式分解计算：2 0163－2 0162－2 014×2 0162.
解：原式＝2 0162×2 016－2 0162×1－2 0162×2 014
＝2 0162(2 016－1－2 014)
＝2 0162×1
＝2 0162.
行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．
学习笔记：
检测可当堂完成．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 因式分解的意义
知识模块二 因式分解的简单应用
第四章小结与复习
【学习目标】
1．对本章知识进行巩固复习，形成熟练性认识．
2．进一步熟悉提公因式法，运用公式法分解因式．
【学习重点】
根据多项式特征，选择适当方法分解因式．
【学习难点】
熟练应用提公因式法、运用公式法分解因式．
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．
情景导入 生成问题
知识结构框图
因式分解因式分解的概念公式法平方差公式—a2－b2＝(a＋b)(a－b)完全平方差公式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2提公因式法
自学互研 生成能力
eq \a\vs4\al(知识模块一 提公因式法)
范例1：若a为有理数，是整式a(a－1)－a＋1的值是( A )
A．非负数 B．正数 C．负数 D．0
学习笔记：
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．
学习笔记：
检测可当堂完成．
仿例1：(江西模拟)已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y－4xy2＝20．
仿例2：△ABC的三边长为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则△ABC是( B )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
eq \a\vs4\al(知识模块二 公式法)
范例2：(禅城中考)下列多项式中不能用公式法分解的是( D )
A．－a2－b2＋2ab B．a2＋a＋eq \f(1,4)
C．－a2＋25b2 D．－4－b2
仿例1：(1)(南通中考)因式分解：4m2－n2＝(2m＋n)(2m－n)；
(2)(东营中考)分解因式：4＋12(x－y)＋9(x－y)2＝(3x－3y＋2)2．
仿例2：因式分解或利用因式分解进行简便计算：
(1)9x2－16y2； (2)(y＋1)(y＋2)＋eq \f(1,4)；
(3)662＋652－130×66; (4)4x2－(y2－2y＋1)．
解：(1)原式＝(3x＋4y)(3x－4y)；
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)；
(3)原式＝662＋652－2×65×66＝(66－65)2＝1；
(4)原式＝4x2－(y－1)2＝(2x＋y－1)(2x－y＋1)．
eq \a\vs4\al(知识模块三 提公因式法和公式法的综合)
范例3：因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2；
(3)a2(a－b)3＋b2(b－a)3; (4)(a＋3)(a－7)＋25.
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2；
(3)原式＝a2(a－b)3－b2(a－b)3＝(a－b)3(a2－b2)＝(a－b)4(a＋b)；
(4)原式＝(a＋3)(a－7)＋25＝a2－4a－21＋25＝a2－4a＋4＝(a－2)2.
归纳：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
仿例1：无论x，y取任何值时，多项式x2＋y2－2x－4y＋6的值总是( A )
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
仿例2：(甘南中考)已知a2－a－1＝0，则a3－a2－a＋2 015＝2__015．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 提公因式法
知识模块二 公式法
知识模块三 提公因式法和公式法的综合
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