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2021年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷
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这是一份2021年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了作图题请用直尺，四象限，等内容，欢迎下载使用。
2021年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．﹣2021
3．（3分）如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从左面看到该几何体的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣7 B．14×10﹣7 C．1.4×10﹣8 D．1.4×10﹣9
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，其中点B的坐标为（2，1），三角形AOB绕B点顺时针旋转90°得到三角形A'O'B，旋转后点O所对应点O′坐标为（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，3） C．（0，2） D．（﹣2，1）
6．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（ ）
A．2 B． C． D．1
7．（3分）如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝58°，那么∠DOC的度数为（ ）
A．32° B．64° C．61° D．58°
8．（3分）已知一次函数y＝ax+bc图象如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：（﹣）÷＝ ．
10．（3分）“绿水青山就是金山银山”，某区根据实际情况，推进“退耕还林”行动，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有270平方千米，耕地面积恰好为林地面积的30%．为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米，设改变后耕地面积为x平方千米，林地面积为y平方千米，根据题意，列出方程组为 ．
11．（3分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，则a的取值范围为 ．
12．（3分）一组数据4，7，x，6，9众数是9，则这5个数据的平均数为 ．
13．（3分）如图，扇形圆心角为60°，半径为4，点E，F分别为OA，OB中点，连接BE与AF相交于点G，则阴影部分面积为 ．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝4，延长BC至E，使得BC＝CE，连接DE，取DE中点F，连接BF，则点A到直线BF的距离为 ．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）已知：△ABC．
求作：一个圆O，使圆心O到AB，AC距离相等，并且与线段AC相切，切点为线段AC中点．
四．解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（1）求值：4cos30°﹣|1﹣2|；
（2）先化简再求值：（3x+3）÷（x2﹣1），其中x＝+1．
17．（6分）2021年4月1日青岛市召开了全国文明城市总结表彰暨争创全国文明典范城市动员部署会．会议结束后，我区第一时间行动，狠抓落实整改，迅速掀起全国文明典范城市创建热潮．某学校举办了“全国文明典范城市创建我先行”为主题的志愿服务活动，综合实践社团随机调查了部分同学在“洁净家园”“文明出行”“遵纪守德”“文明餐桌”四项活动中选择一项参加活动的意愿，并根据调查结果绘制成了如下不完整的统计图．
（1）综合实践社团随机调查的学生总人数为 ；
（2）在图一中“遵纪守德”所在的扇形的圆心角度数为 °；
（3）请你将条形图补充完整；
（4）该校共有学生1200人，请你估计志愿服务活动选择“文明出行”的学生人数．
18．（6分）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有甲、乙2位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，用树状图或列表法求《大学》被选中的概率．
19．（6分）新建成的海天中心主楼堪称“青岛第一高楼”，成为青岛地标性建筑之一，如图为了测量海天中心主楼AB的高度，某数学实践小组在D处测得楼顶B的仰角为22.62°，仪器CD高度为1.50米，将仪器CD沿着CA方向前进392米到达EF，在F处测得楼顶B的仰角为37°，请计算海天中心主楼AB的高度．
（sin22.62°≈，tan22.62°≈，cos37°≈，tan37°≈）
20．（8分）如图，在▱ABCD中，BA⊥AC，延长DC至E，使得DC＝CE，连接BE，连接AE交BC于O．
（1）求证：△COE≌△BOA；
（2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由．
21．（8分）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”．某公司研发生产了一款废气处理设备，固定成本800（万元），每生产一件成本为10（万元），该设备销售量m件与销售单价x（万元/件）满足函数m＝﹣2x+120．
（1）试求利润y（万元）与售价x（万元/件）之间的函数关系式；
（2）当销售价x（万元/件）定为多少时，使得利润最大，最大利润是多少？
（3）在让购买者得到实惠的前提下，公司还要获利250万元，那么销售单价应该定为多少？
22．（10分）如图，一次函数y＝ax+5的图象与y轴相交于点C，与反比例函数y＝的图象相交于点A（m，4），B（2，1），点D为OC中点，连接OA，OB，连接BD交OA于E．
（1）求a，k，m的值；
（2）求直线OA的方程；
（3）求直线BD的方程；
（4）求△OBE的面积．
23．（10分）问题提出：在平面上，给出n个圆把平面至多分割成多少个区域？
问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题．
探究一：1条直线可以将平面分成2个区域；2条直线时，要使分成的区域尽最多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4个区域；3条直线时，如图1，要使分成的区域尽量多，就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，而每条射线和线段将已有的区城一分为二，这样就多了2+1＝3个区域，所以3条直线至多将平面分成7个区域；4条直线时，如图2，要使分成的区域尽量多，就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和4﹣2＝2条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了2+2＝4个区域，所以三条直线至多将平面分成11个区域；5条直线时，如图3，要使分成的区域尽量多，就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到4个交点，这4个交点将第5条直线分为了2条射线和5﹣2＝3条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了2+3＝5个区域，所以三条直线至多将平面分成16个区域；由此可推断6条直线可以将平面至多分成 个区域；依此类推n条直线可以将平面至多分成 个区域．
探究二：1个圆可以将平面分成2个区域；2个圆时，要使分成的区域尽量多，2个圆相交将平面分成4个区域；3个圆时，要使分成的区域尽量多，第3个圆与前2个圆都相交被分成了2（3﹣1）＝4条弧，将平面至多分成了4+4＝8个区域；4个圆时，要使分成的区域尽量多，第4个圆与前3个圆都相交被分成了2（4﹣1）＝6条弧，将平面至多分成了8+6＝14个区城；以此类推5个圆可以将平面分成 个区域．
问题解决：n个圆至多可以将平面分成 个区城．
问题拓展：仿照前面的过程，n个三角形至多可以将平面分成 个区城．
24．（12分）已知：如图，矩形ABCD中和Rt△EBF中，点C在BF上，∠EBF＝90°，AB＝BF＝8cm，AD＝BE＝6cm，连接BD，点M从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点N从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点M作GH⊥AB交AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜10）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，MF⊥BD？
（2）连接MN，做NQ⊥BE交BE于Q，当四边形MHQN为矩形时，求t的值；
（3）连接NC，NH，设四边形NCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（4）点M在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段EF的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2021年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．﹣2021
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：A．
3．（3分）如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从左面看到该几何体的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左面看到该几何体的形状图是，
故选：A．
4．（3分）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣7 B．14×10﹣7 C．1.4×10﹣8 D．1.4×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故选：C．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，其中点B的坐标为（2，1），三角形AOB绕B点顺时针旋转90°得到三角形A'O'B，旋转后点O所对应点O′坐标为（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，3） C．（0，2） D．（﹣2，1）
【分析】分别作出O，A的对应点O′，A′即可．
【解答】解：如图，△A'O'B即为所求作．观察图像可知，O′（1，3）．
故选：A．
6．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（ ）
A．2 B． C． D．1
【分析】依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到∠AEB'＝60°，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，
∴B'E＝2AE，
设AE＝x，则B'E＝2x＝BE，
∵AB＝6，
∴x+2x＝6，
解得x＝2．
故选：A．
7．（3分）如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝58°，那么∠DOC的度数为（ ）
A．32° B．64° C．61° D．58°
【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，易得∠1，利用圆周角定理可得结果．
【解答】解：连接BC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BEC＝58°，
∴∠1＝90°﹣∠BEC＝90°﹣58°＝32°，
∴∠DOC＝2∠1＝2×32°＝64°，
故选：B．
8．（3分）已知一次函数y＝ax+bc图象如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用二次函数与反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+bc图象经过第一、二、四，象限，
∴a＜0，bc＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图像的开口向下，
故C和D不合题意；
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵双曲线位于第一、三象限，
∴c＞0，
故A符合题意；
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵双曲线位于第二、四象限，
∴c＜0，
故B不符合题意；
故选：A．
二．填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：（﹣）÷＝ ．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝（2﹣）÷
＝2﹣
＝，
故答案为：．
10．（3分）“绿水青山就是金山银山”，某区根据实际情况，推进“退耕还林”行动，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有270平方千米，耕地面积恰好为林地面积的30%．为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米，设改变后耕地面积为x平方千米，林地面积为y平方千米，根据题意，列出方程组为 ．
【分析】根据等量关系为：林地面积+耕地面积＝270；耕地面积＝林地面积×30%．根据这两个等量关系，可列方程组得出答案即可．
【解答】解：设改变后耕地面积为x平方千米，林地面积为y平方千米，
根据题意，列出方程组为．
故答案为：．
11．（3分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，则a的取值范围为 a＞﹣8 ．
【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到顶点的纵坐标小于0，然后代入数据计算即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5），
∴该抛物线开口向下，
又∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，
∴＜0，
解得a＞﹣8，
故答案为：a＞﹣8．
12．（3分）一组数据4，7，x，6，9众数是9，则这5个数据的平均数为 7 ．
【分析】先根据众数的定义求出x的值，再根据平均数的计算公式列式计算即可．
【解答】解：∵数据4，7，x，6，9众数是9，
∴x＝9，
∴这组数据的平均数是（4+7+9+6+9）÷5＝7；
故答案为：7．
13．（3分）如图，扇形圆心角为60°，半径为4，点E，F分别为OA，OB中点，连接BE与AF相交于点G，则阴影部分面积为 ．
【分析】连接AB，如图，先判断△OAB为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到AF⊥OB，OF＝BF＝2，BE平分∠ABO，则可计算出AF＝2，GF＝，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△AOF﹣S△BGF进行计算．
【解答】解：连接AB，如图，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∵点E，F分别为OA，OB中点，
∴AF⊥OB，OF＝BF＝2，BE平分∠ABO，
∴AF＝＝2，∠OBE＝30°，
∴GF＝BF＝，
∴阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△AOF﹣S△BGF
＝﹣×2×2﹣×2×
＝．
故答案为．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝4，延长BC至E，使得BC＝CE，连接DE，取DE中点F，连接BF，则点A到直线BF的距离为 ．
【分析】过F作FG⊥BE于G，根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝4，∠ABC＝∠DCB＝90°，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理得到BF＝＝＝2，过A作AH⊥BF于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过F作FG⊥BE于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝4，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∵FG⊥CE，DC⊥CE，
∴FG∥DC，
∵点F是DE中点，
∴DF＝EF，
∵BC＝CE＝4，
∴CG＝GE＝CE＝2，
∴FG＝CD＝2，
∴BF＝＝＝2，
过A作AH⊥BF于H，
∴∠AHB＝∠BGF＝90°，
∴∠BAH+∠ABH＝∠ABH+∠FBG＝90°，
∴∠BAH＝∠FBG，
∴△ABH∽△BFG，
∴，
∴＝，
∴AH＝，
即点A到直线BF的距离为．
故答案为：．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）已知：△ABC．
求作：一个圆O，使圆心O到AB，AC距离相等，并且与线段AC相切，切点为线段AC中点．
【分析】作线段AC的垂直平分线交AC于点D，作∠BAC的角平分线AP交EF于点O，以O为圆心，OD为半径作⊙O即可．
【解答】解：如图，⊙O即为所求作．
四．解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（1）求值：4cos30°﹣|1﹣2|；
（2）先化简再求值：（3x+3）÷（x2﹣1），其中x＝+1．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值和绝对值，可以解答本题；
（2）根据分式的除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）4cos30°﹣|1﹣2|
＝4×﹣（2﹣1）
＝2﹣2+1
＝1；
（2）（3x+3）÷（x2﹣1）
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
17．（6分）2021年4月1日青岛市召开了全国文明城市总结表彰暨争创全国文明典范城市动员部署会．会议结束后，我区第一时间行动，狠抓落实整改，迅速掀起全国文明典范城市创建热潮．某学校举办了“全国文明典范城市创建我先行”为主题的志愿服务活动，综合实践社团随机调查了部分同学在“洁净家园”“文明出行”“遵纪守德”“文明餐桌”四项活动中选择一项参加活动的意愿，并根据调查结果绘制成了如下不完整的统计图．
（1）综合实践社团随机调查的学生总人数为 400 ；
（2）在图一中“遵纪守德”所在的扇形的圆心角度数为 90 °；
（3）请你将条形图补充完整；
（4）该校共有学生1200人，请你估计志愿服务活动选择“文明出行”的学生人数．
【分析】（1）根据洁净家园的人数和所占的百分比，可以计算出综合实践社团随机调查的学生总人数；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出在图一中“遵纪守德”所在的扇形的圆心角度数；
（3）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出文明餐桌的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（4）根据条形统计图中的数据，可以计算出志愿服务活动选择“文明出行”的学生人数．
【解答】解：（1）综合实践社团随机调查的学生总人数为：120÷30%＝400（人），
故答案为：400；
（2）在图一中“遵纪守德”所在的扇形的圆心角度数为：360°×＝90°，
故答案为：90；
（3）文明餐桌的人数为：400﹣120﹣100﹣60＝120，
补全的条形统计图如右图所示；
（4）1200×＝180（人），
即估计志愿服务活动选择“文明出行”的学生有180人．
18．（6分）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有甲、乙2位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，用树状图或列表法求《大学》被选中的概率．
【分析】先画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：把《大学》《中庸》《论语》《孟子》分别记为A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，《大学》被选中的结果有6个，
∴《大学》被选中的概率为＝．
19．（6分）新建成的海天中心主楼堪称“青岛第一高楼”，成为青岛地标性建筑之一，如图为了测量海天中心主楼AB的高度，某数学实践小组在D处测得楼顶B的仰角为22.62°，仪器CD高度为1.50米，将仪器CD沿着CA方向前进392米到达EF，在F处测得楼顶B的仰角为37°，请计算海天中心主楼AB的高度．
（sin22.62°≈，tan22.62°≈，cos37°≈，tan37°≈）
【分析】连接DF，并且延长DF交AB于点G，得出四边形CDFE，EFGA是矩形，设FG＝x，根据正切值表示出BG，求出x的值，再根据AB＝BG+AG即可得出海天中心主楼AB的高度．
【解答】解：连接DF，并且延长DF交AB于点G，
则四边形CDFE，EFGA是矩形，EF＝CD＝GA，DF＝CE，FG＝AE，
由题意知：CE＝392米，CD＝EF＝AG＝1.50米，
∠BDG＝22.62°，∠BFG＝37°，
设FG＝x，在△BGF中，
∵tan∠BFG＝，
∴tan37°＝，
∴BG＝x，
在△BDG中，
tan∠BDG＝，
∴tan22.62°＝＝＝，
∴BG＝×（392+x）＝x，
解得：x＝490，
∴FG＝490（米），
BG＝×490＝367.5（米 ），
∴AB＝BG+AG＝367.5+1.5＝369（米 ），
∴海天中心主楼AB的高度是369米．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，BA⊥AC，延长DC至E，使得DC＝CE，连接BE，连接AE交BC于O．
（1）求证：△COE≌△BOA；
（2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质证得∠ABO＝∠D，AB＝DC，AB∥DC，进而证得∠CEO＝∠BAO，AB＝CE，根据三角形全等的判定即可证得△COE≌△BOA；
（2）先证得四边形ABEC是平行四边形，进而证得是矩形，根据勾股定理求出AB＝AC，即可得到四边形ABEC是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABO＝∠D，AB＝DC，AB∥DC，
∴AB∥DE，
∴∠CEO＝∠BAO，
∵DC＝CE，
∴AB＝CE，
在△COE和△BOA中，
，
∴△COE≌△BOA（AAS）；
（2）解：当BC＝AB时，四边形ABEC是正方形，
理由如下：
由（1）知，AB＝CE，AB∥CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴四边形ABEC是矩形，
在Rt△ABC中，
∵BC2＝AB2+AC2，BC＝AB，
∴（AB）2＝AB2+AC2，
∴AB2＝AC2，
∴AB＝AC，
∴四边形ABEC是正方形．
21．（8分）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”．某公司研发生产了一款废气处理设备，固定成本800（万元），每生产一件成本为10（万元），该设备销售量m件与销售单价x（万元/件）满足函数m＝﹣2x+120．
（1）试求利润y（万元）与售价x（万元/件）之间的函数关系式；
（2）当销售价x（万元/件）定为多少时，使得利润最大，最大利润是多少？
（3）在让购买者得到实惠的前提下，公司还要获利250万元，那么销售单价应该定为多少？
【分析】（1）利用销量×每件利润﹣投入成本＝总利润进而求出即可；
（2）把函数关系式化为顶点式，利用二次函数的增减性求出即可；
（3）根据公司还要获利250万元列出方程进而求出即可．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（x﹣10）•m﹣800
＝（x﹣10）•（﹣2x+120）﹣800
＝﹣2x2+140x﹣1200﹣800
＝﹣2x2+140x﹣2000，
∴利润y（万元）与售价x（万元/件）之间的函数关系式为y＝﹣2x2+140x﹣2000；
（2）由（1）得：y＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝35时，y最大值为450，
答：当销售价（万元/件）定为35时，使得利润最大，最大利润是450万元；
（3）由题意得：y＝﹣2x2+140x﹣2000＝250，
解得：x1＝25，x2＝45，
∵在让购买者得到实惠的前提下，
∴销售单价应该定为25（万元/件），
答：销售单价应该定为25万元/件．
22．（10分）如图，一次函数y＝ax+5的图象与y轴相交于点C，与反比例函数y＝的图象相交于点A（m，4），B（2，1），点D为OC中点，连接OA，OB，连接BD交OA于E．
（1）求a，k，m的值；
（2）求直线OA的方程；
（3）求直线BD的方程；
（4）求△OBE的面积．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得a、k，然后把点A（m，4）解析式即可求得m；
（2）（3）根据待定系数法求得即可；
（4）解析式联立，解方程组求得E的坐标，然后根据S△OBE＝S△OBD﹣S△ODE即可求得．
【解答】解：（1）∵点B（2，1）在一次函数y＝ax+5的图象上，
∴2a+5＝1，
∴a＝﹣2，
∵点B（2，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×1＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A（m，4）在反比例函数图象上，
∴4m＝2，
∴m＝；
（2）设直线OA的解析式为y＝k1x，
∵A（，4），
∴k1＝4，
∴k1＝8，
∴直线OA的解析式为y＝8x；
（3）∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，
∴C（0，5），
∵点D为OC中点，
∴D（0，），
设直线BD的解析式为y＝k2x+b，
∴，解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+；
（4）解得，
∴E（，），
∴S△OBE＝S△OBD﹣S△ODE＝×2﹣×＝．
23．（10分）问题提出：在平面上，给出n个圆把平面至多分割成多少个区域？
问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题．
探究一：1条直线可以将平面分成2个区域；2条直线时，要使分成的区域尽最多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4个区域；3条直线时，如图1，要使分成的区域尽量多，就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，而每条射线和线段将已有的区城一分为二，这样就多了2+1＝3个区域，所以3条直线至多将平面分成7个区域；4条直线时，如图2，要使分成的区域尽量多，就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和4﹣2＝2条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了2+2＝4个区域，所以三条直线至多将平面分成11个区域；5条直线时，如图3，要使分成的区域尽量多，就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到4个交点，这4个交点将第5条直线分为了2条射线和5﹣2＝3条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了2+3＝5个区域，所以三条直线至多将平面分成16个区域；由此可推断6条直线可以将平面至多分成 22 个区域；依此类推n条直线可以将平面至多分成 个区域．
探究二：1个圆可以将平面分成2个区域；2个圆时，要使分成的区域尽量多，2个圆相交将平面分成4个区域；3个圆时，要使分成的区域尽量多，第3个圆与前2个圆都相交被分成了2（3﹣1）＝4条弧，将平面至多分成了4+4＝8个区域；4个圆时，要使分成的区域尽量多，第4个圆与前3个圆都相交被分成了2（4﹣1）＝6条弧，将平面至多分成了8+6＝14个区城；以此类推5个圆可以将平面分成 22 个区域．
问题解决：n个圆至多可以将平面分成 n2﹣n+2 个区城．
问题拓展：仿照前面的过程，n个三角形至多可以将平面分成 3n2﹣3n+2 个区城．
【分析】探究一：从简单到复杂，找出规律得出结论，最后求和即可得结论；
探究二：从简单到复杂，找出规律得出结论；
问题解决：由探究二的规律可得结论；
问题拓展：仿照前面过程，找出规律即可得到结论．
【解答】解：探究一：由题意：
1条直线把平面分成1+1＝2个区域；
2条直线把平面分成1+1+2＝4个区域；
3条直线把平面分成1+1+2+3＝7个区域；
4条直线把平面分成1+1+2+3+4＝11个区域；
5条直线把平面分成1+1+2+3+4+5＝16个区域；
6条直线把平面分成1+1+2+3+4+5+6＝22个区域；
.....．
n条直线把平面分成1+1+2+3+...+n＝1+＝个区域；
故答案为：22，．
探究二：根据题意：
1个圆把平面分成（1﹣1）×1+2＝2个区域；
2个圆把平面分成（2﹣1）×2+2＝4个区域；
3个圆把平面分成（3﹣1）×3+2＝8个区域；
4个圆把平面分成（4﹣1）×4+2＝14个区域；
5个圆把平面分成（5﹣1）×5+2＝22个区域；
问题解决：n个圆把平面分成（n﹣1）×n+2＝n2﹣n+2个区域，
故答案为：22，n2﹣n+2；
问题拓展：
设n个三角形最多把平面分成An个区域，
n＝1时，A1＝2；
n＝2时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形有2×3个交点，6个交点把第二个三角形的边分成了6段，
这6段的每一段都将原来的每个区域分成了2个区域，从而增加了6个区域，即A2＝2+2×3＝8；
n＝3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3＝12个交点，从而增加了12个区域，即A3＝2+2×3+4×3＝20；
一般地，第n个三角形与前面（n﹣1）个三角形最多有2（n﹣1）×3个交点，从而增加2（n﹣1）×3个区域，
故An＝2+2×3+4×3+......+2（n﹣1）×3
＝2+[2+4+......+2（n﹣1）]×3
＝2+3n（n﹣1）
＝3n2﹣3n+2．
故答案为：3n2﹣3n+2．
24．（12分）已知：如图，矩形ABCD中和Rt△EBF中，点C在BF上，∠EBF＝90°，AB＝BF＝8cm，AD＝BE＝6cm，连接BD，点M从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点N从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点M作GH⊥AB交AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜10）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，MF⊥BD？
（2）连接MN，做NQ⊥BE交BE于Q，当四边形MHQN为矩形时，求t的值；
（3）连接NC，NH，设四边形NCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（4）点M在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段EF的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作FM⊥BD，利用勾股定理得BD＝FE＝10，再根据三角函数得方程，求解可得答案；
（2）若MHQN为矩形时，根据同角三角函数得t，再解方程可得答案；
（3）连接NH与BF交于K，根据比例线段，列出方程，得BK、CK的值，然后根据面积的和差关系得答案；
（4）作EF中线与BD交M，过M作MJ⊥AB于J，得用同角的三角函数关系得到关于t的方程，求解可得答案．
【解答】解：（1）作FM⊥BD，
∵AD＝6，AB＝8，BE＝6，AF＝8，
∴BD＝FE＝10，
∵cos∠DBF＝，cos，
∴，
∴t＝．
（2）若MHQN为矩形时，
∴NQ＝MH，＝sin，
∴MH＝MB＝（10﹣t），，
∴t，
∴（10﹣t）＝t，
∴t＝．
（3）连接NH与BF交于K，
∵BH＝BM＝（10﹣t），BQ＝BE﹣EQ＝6﹣t，，
∴，
∴BK＝t，CK＝6﹣，
∴S＝＝＝．
（4）存在，过点R作EF中垂线与BD交M，
∴RE＝5，ET＝，BT＝，
过M作MJ⊥AB于J，
∴＝tan∠MJT＝＝，
∴，
∴＝tan∠MBJ＝＝，
∴BJ＝MJ，
∴BT＝BJ+TJ＝MJ＝，
∴BM＝＝，
∵BM＝10﹣t，
∴10﹣t＝，
∴t＝．
2021年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．﹣2021
3．（3分）如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从左面看到该几何体的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣7 B．14×10﹣7 C．1.4×10﹣8 D．1.4×10﹣9
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，其中点B的坐标为（2，1），三角形AOB绕B点顺时针旋转90°得到三角形A'O'B，旋转后点O所对应点O′坐标为（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，3） C．（0，2） D．（﹣2，1）
6．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（ ）
A．2 B． C． D．1
7．（3分）如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝58°，那么∠DOC的度数为（ ）
A．32° B．64° C．61° D．58°
8．（3分）已知一次函数y＝ax+bc图象如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：（﹣）÷＝ ．
10．（3分）“绿水青山就是金山银山”，某区根据实际情况，推进“退耕还林”行动，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有270平方千米，耕地面积恰好为林地面积的30%．为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米，设改变后耕地面积为x平方千米，林地面积为y平方千米，根据题意，列出方程组为 ．
11．（3分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，则a的取值范围为 ．
12．（3分）一组数据4，7，x，6，9众数是9，则这5个数据的平均数为 ．
13．（3分）如图，扇形圆心角为60°，半径为4，点E，F分别为OA，OB中点，连接BE与AF相交于点G，则阴影部分面积为 ．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝4，延长BC至E，使得BC＝CE，连接DE，取DE中点F，连接BF，则点A到直线BF的距离为 ．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）已知：△ABC．
求作：一个圆O，使圆心O到AB，AC距离相等，并且与线段AC相切，切点为线段AC中点．
四．解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（1）求值：4cos30°﹣|1﹣2|；
（2）先化简再求值：（3x+3）÷（x2﹣1），其中x＝+1．
17．（6分）2021年4月1日青岛市召开了全国文明城市总结表彰暨争创全国文明典范城市动员部署会．会议结束后，我区第一时间行动，狠抓落实整改，迅速掀起全国文明典范城市创建热潮．某学校举办了“全国文明典范城市创建我先行”为主题的志愿服务活动，综合实践社团随机调查了部分同学在“洁净家园”“文明出行”“遵纪守德”“文明餐桌”四项活动中选择一项参加活动的意愿，并根据调查结果绘制成了如下不完整的统计图．
（1）综合实践社团随机调查的学生总人数为 ；
（2）在图一中“遵纪守德”所在的扇形的圆心角度数为 °；
（3）请你将条形图补充完整；
（4）该校共有学生1200人，请你估计志愿服务活动选择“文明出行”的学生人数．
18．（6分）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有甲、乙2位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，用树状图或列表法求《大学》被选中的概率．
19．（6分）新建成的海天中心主楼堪称“青岛第一高楼”，成为青岛地标性建筑之一，如图为了测量海天中心主楼AB的高度，某数学实践小组在D处测得楼顶B的仰角为22.62°，仪器CD高度为1.50米，将仪器CD沿着CA方向前进392米到达EF，在F处测得楼顶B的仰角为37°，请计算海天中心主楼AB的高度．
（sin22.62°≈，tan22.62°≈，cos37°≈，tan37°≈）
20．（8分）如图，在▱ABCD中，BA⊥AC，延长DC至E，使得DC＝CE，连接BE，连接AE交BC于O．
（1）求证：△COE≌△BOA；
（2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由．
21．（8分）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”．某公司研发生产了一款废气处理设备，固定成本800（万元），每生产一件成本为10（万元），该设备销售量m件与销售单价x（万元/件）满足函数m＝﹣2x+120．
（1）试求利润y（万元）与售价x（万元/件）之间的函数关系式；
（2）当销售价x（万元/件）定为多少时，使得利润最大，最大利润是多少？
（3）在让购买者得到实惠的前提下，公司还要获利250万元，那么销售单价应该定为多少？
22．（10分）如图，一次函数y＝ax+5的图象与y轴相交于点C，与反比例函数y＝的图象相交于点A（m，4），B（2，1），点D为OC中点，连接OA，OB，连接BD交OA于E．
（1）求a，k，m的值；
（2）求直线OA的方程；
（3）求直线BD的方程；
（4）求△OBE的面积．
23．（10分）问题提出：在平面上，给出n个圆把平面至多分割成多少个区域？
问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题．
探究一：1条直线可以将平面分成2个区域；2条直线时，要使分成的区域尽最多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4个区域；3条直线时，如图1，要使分成的区域尽量多，就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，而每条射线和线段将已有的区城一分为二，这样就多了2+1＝3个区域，所以3条直线至多将平面分成7个区域；4条直线时，如图2，要使分成的区域尽量多，就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和4﹣2＝2条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了2+2＝4个区域，所以三条直线至多将平面分成11个区域；5条直线时，如图3，要使分成的区域尽量多，就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到4个交点，这4个交点将第5条直线分为了2条射线和5﹣2＝3条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了2+3＝5个区域，所以三条直线至多将平面分成16个区域；由此可推断6条直线可以将平面至多分成 个区域；依此类推n条直线可以将平面至多分成 个区域．
探究二：1个圆可以将平面分成2个区域；2个圆时，要使分成的区域尽量多，2个圆相交将平面分成4个区域；3个圆时，要使分成的区域尽量多，第3个圆与前2个圆都相交被分成了2（3﹣1）＝4条弧，将平面至多分成了4+4＝8个区域；4个圆时，要使分成的区域尽量多，第4个圆与前3个圆都相交被分成了2（4﹣1）＝6条弧，将平面至多分成了8+6＝14个区城；以此类推5个圆可以将平面分成 个区域．
问题解决：n个圆至多可以将平面分成 个区城．
问题拓展：仿照前面的过程，n个三角形至多可以将平面分成 个区城．
24．（12分）已知：如图，矩形ABCD中和Rt△EBF中，点C在BF上，∠EBF＝90°，AB＝BF＝8cm，AD＝BE＝6cm，连接BD，点M从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点N从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点M作GH⊥AB交AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜10）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，MF⊥BD？
（2）连接MN，做NQ⊥BE交BE于Q，当四边形MHQN为矩形时，求t的值；
（3）连接NC，NH，设四边形NCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（4）点M在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段EF的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
2021年山东省青岛市崂山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（3分）﹣的相反数是（ ）
A． B． C．2021 D．﹣2021
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：A．
3．（3分）如图是由几个相同的小正方体堆砌成的几何体，从左面看到该几何体的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左面看到该几何体的形状图是，
故选：A．
4．（3分）中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米＝0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A．1.4×10﹣7 B．14×10﹣7 C．1.4×10﹣8 D．1.4×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故选：C．
5．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度，其中点B的坐标为（2，1），三角形AOB绕B点顺时针旋转90°得到三角形A'O'B，旋转后点O所对应点O′坐标为（ ）
A．（1，3） B．（﹣2，3） C．（0，2） D．（﹣2，1）
【分析】分别作出O，A的对应点O′，A′即可．
【解答】解：如图，△A'O'B即为所求作．观察图像可知，O′（1，3）．
故选：A．
6．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（ ）
A．2 B． C． D．1
【分析】依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到∠AEB'＝60°，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到AE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，
∴B'E＝2AE，
设AE＝x，则B'E＝2x＝BE，
∵AB＝6，
∴x+2x＝6，
解得x＝2．
故选：A．
7．（3分）如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝58°，那么∠DOC的度数为（ ）
A．32° B．64° C．61° D．58°
【分析】连接BC，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB＝90°，易得∠1，利用圆周角定理可得结果．
【解答】解：连接BC，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BEC＝58°，
∴∠1＝90°﹣∠BEC＝90°﹣58°＝32°，
∴∠DOC＝2∠1＝2×32°＝64°，
故选：B．
8．（3分）已知一次函数y＝ax+bc图象如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c与反比例函数y＝的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用二次函数与反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+bc图象经过第一、二、四，象限，
∴a＜0，bc＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图像的开口向下，
故C和D不合题意；
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵双曲线位于第一、三象限，
∴c＞0，
故A符合题意；
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵双曲线位于第二、四象限，
∴c＜0，
故B不符合题意；
故选：A．
二．填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
9．（3分）计算：（﹣）÷＝ ．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝（2﹣）÷
＝2﹣
＝，
故答案为：．
10．（3分）“绿水青山就是金山银山”，某区根据实际情况，推进“退耕还林”行动，将某一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有270平方千米，耕地面积恰好为林地面积的30%．为求改变后林地面积和耕地面积各多少平方千米，设改变后耕地面积为x平方千米，林地面积为y平方千米，根据题意，列出方程组为 ．
【分析】根据等量关系为：林地面积+耕地面积＝270；耕地面积＝林地面积×30%．根据这两个等量关系，可列方程组得出答案即可．
【解答】解：设改变后耕地面积为x平方千米，林地面积为y平方千米，
根据题意，列出方程组为．
故答案为：．
11．（3分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，则a的取值范围为 a＞﹣8 ．
【分析】根据题意和题目中的函数解析式，可以得到顶点的纵坐标小于0，然后代入数据计算即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5），
∴该抛物线开口向下，
又∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣（a+5）图象与x轴无交点，
∴＜0，
解得a＞﹣8，
故答案为：a＞﹣8．
12．（3分）一组数据4，7，x，6，9众数是9，则这5个数据的平均数为 7 ．
【分析】先根据众数的定义求出x的值，再根据平均数的计算公式列式计算即可．
【解答】解：∵数据4，7，x，6，9众数是9，
∴x＝9，
∴这组数据的平均数是（4+7+9+6+9）÷5＝7；
故答案为：7．
13．（3分）如图，扇形圆心角为60°，半径为4，点E，F分别为OA，OB中点，连接BE与AF相交于点G，则阴影部分面积为 ．
【分析】连接AB，如图，先判断△OAB为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到AF⊥OB，OF＝BF＝2，BE平分∠ABO，则可计算出AF＝2，GF＝，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△AOF﹣S△BGF进行计算．
【解答】解：连接AB，如图，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∵点E，F分别为OA，OB中点，
∴AF⊥OB，OF＝BF＝2，BE平分∠ABO，
∴AF＝＝2，∠OBE＝30°，
∴GF＝BF＝，
∴阴影部分面积＝S扇形AOB﹣S△AOF﹣S△BGF
＝﹣×2×2﹣×2×
＝．
故答案为．
14．（3分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝4，延长BC至E，使得BC＝CE，连接DE，取DE中点F，连接BF，则点A到直线BF的距离为 ．
【分析】过F作FG⊥BE于G，根据正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝4，∠ABC＝∠DCB＝90°，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理得到BF＝＝＝2，过A作AH⊥BF于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：过F作FG⊥BE于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝4，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∵FG⊥CE，DC⊥CE，
∴FG∥DC，
∵点F是DE中点，
∴DF＝EF，
∵BC＝CE＝4，
∴CG＝GE＝CE＝2，
∴FG＝CD＝2，
∴BF＝＝＝2，
过A作AH⊥BF于H，
∴∠AHB＝∠BGF＝90°，
∴∠BAH+∠ABH＝∠ABH+∠FBG＝90°，
∴∠BAH＝∠FBG，
∴△ABH∽△BFG，
∴，
∴＝，
∴AH＝，
即点A到直线BF的距离为．
故答案为：．
三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）已知：△ABC．
求作：一个圆O，使圆心O到AB，AC距离相等，并且与线段AC相切，切点为线段AC中点．
【分析】作线段AC的垂直平分线交AC于点D，作∠BAC的角平分线AP交EF于点O，以O为圆心，OD为半径作⊙O即可．
【解答】解：如图，⊙O即为所求作．
四．解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（1）求值：4cos30°﹣|1﹣2|；
（2）先化简再求值：（3x+3）÷（x2﹣1），其中x＝+1．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值和绝对值，可以解答本题；
（2）根据分式的除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）4cos30°﹣|1﹣2|
＝4×﹣（2﹣1）
＝2﹣2+1
＝1；
（2）（3x+3）÷（x2﹣1）
＝
＝，
当x＝+1时，原式＝＝．
17．（6分）2021年4月1日青岛市召开了全国文明城市总结表彰暨争创全国文明典范城市动员部署会．会议结束后，我区第一时间行动，狠抓落实整改，迅速掀起全国文明典范城市创建热潮．某学校举办了“全国文明典范城市创建我先行”为主题的志愿服务活动，综合实践社团随机调查了部分同学在“洁净家园”“文明出行”“遵纪守德”“文明餐桌”四项活动中选择一项参加活动的意愿，并根据调查结果绘制成了如下不完整的统计图．
（1）综合实践社团随机调查的学生总人数为 400 ；
（2）在图一中“遵纪守德”所在的扇形的圆心角度数为 90 °；
（3）请你将条形图补充完整；
（4）该校共有学生1200人，请你估计志愿服务活动选择“文明出行”的学生人数．
【分析】（1）根据洁净家园的人数和所占的百分比，可以计算出综合实践社团随机调查的学生总人数；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出在图一中“遵纪守德”所在的扇形的圆心角度数；
（3）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出文明餐桌的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（4）根据条形统计图中的数据，可以计算出志愿服务活动选择“文明出行”的学生人数．
【解答】解：（1）综合实践社团随机调查的学生总人数为：120÷30%＝400（人），
故答案为：400；
（2）在图一中“遵纪守德”所在的扇形的圆心角度数为：360°×＝90°，
故答案为：90；
（3）文明餐桌的人数为：400﹣120﹣100﹣60＝120，
补全的条形统计图如右图所示；
（4）1200×＝180（人），
即估计志愿服务活动选择“文明出行”的学生有180人．
18．（6分）“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有甲、乙2位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，用树状图或列表法求《大学》被选中的概率．
【分析】先画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：把《大学》《中庸》《论语》《孟子》分别记为A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，《大学》被选中的结果有6个，
∴《大学》被选中的概率为＝．
19．（6分）新建成的海天中心主楼堪称“青岛第一高楼”，成为青岛地标性建筑之一，如图为了测量海天中心主楼AB的高度，某数学实践小组在D处测得楼顶B的仰角为22.62°，仪器CD高度为1.50米，将仪器CD沿着CA方向前进392米到达EF，在F处测得楼顶B的仰角为37°，请计算海天中心主楼AB的高度．
（sin22.62°≈，tan22.62°≈，cos37°≈，tan37°≈）
【分析】连接DF，并且延长DF交AB于点G，得出四边形CDFE，EFGA是矩形，设FG＝x，根据正切值表示出BG，求出x的值，再根据AB＝BG+AG即可得出海天中心主楼AB的高度．
【解答】解：连接DF，并且延长DF交AB于点G，
则四边形CDFE，EFGA是矩形，EF＝CD＝GA，DF＝CE，FG＝AE，
由题意知：CE＝392米，CD＝EF＝AG＝1.50米，
∠BDG＝22.62°，∠BFG＝37°，
设FG＝x，在△BGF中，
∵tan∠BFG＝，
∴tan37°＝，
∴BG＝x，
在△BDG中，
tan∠BDG＝，
∴tan22.62°＝＝＝，
∴BG＝×（392+x）＝x，
解得：x＝490，
∴FG＝490（米），
BG＝×490＝367.5（米 ），
∴AB＝BG+AG＝367.5+1.5＝369（米 ），
∴海天中心主楼AB的高度是369米．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，BA⊥AC，延长DC至E，使得DC＝CE，连接BE，连接AE交BC于O．
（1）求证：△COE≌△BOA；
（2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由．
【分析】（1）根据平行四边形的性质证得∠ABO＝∠D，AB＝DC，AB∥DC，进而证得∠CEO＝∠BAO，AB＝CE，根据三角形全等的判定即可证得△COE≌△BOA；
（2）先证得四边形ABEC是平行四边形，进而证得是矩形，根据勾股定理求出AB＝AC，即可得到四边形ABEC是正方形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABO＝∠D，AB＝DC，AB∥DC，
∴AB∥DE，
∴∠CEO＝∠BAO，
∵DC＝CE，
∴AB＝CE，
在△COE和△BOA中，
，
∴△COE≌△BOA（AAS）；
（2）解：当BC＝AB时，四边形ABEC是正方形，
理由如下：
由（1）知，AB＝CE，AB∥CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴四边形ABEC是矩形，
在Rt△ABC中，
∵BC2＝AB2+AC2，BC＝AB，
∴（AB）2＝AB2+AC2，
∴AB2＝AC2，
∴AB＝AC，
∴四边形ABEC是正方形．
21．（8分）2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和”．某公司研发生产了一款废气处理设备，固定成本800（万元），每生产一件成本为10（万元），该设备销售量m件与销售单价x（万元/件）满足函数m＝﹣2x+120．
（1）试求利润y（万元）与售价x（万元/件）之间的函数关系式；
（2）当销售价x（万元/件）定为多少时，使得利润最大，最大利润是多少？
（3）在让购买者得到实惠的前提下，公司还要获利250万元，那么销售单价应该定为多少？
【分析】（1）利用销量×每件利润﹣投入成本＝总利润进而求出即可；
（2）把函数关系式化为顶点式，利用二次函数的增减性求出即可；
（3）根据公司还要获利250万元列出方程进而求出即可．
【解答】解：（1）由题意得：
y＝（x﹣10）•m﹣800
＝（x﹣10）•（﹣2x+120）﹣800
＝﹣2x2+140x﹣1200﹣800
＝﹣2x2+140x﹣2000，
∴利润y（万元）与售价x（万元/件）之间的函数关系式为y＝﹣2x2+140x﹣2000；
（2）由（1）得：y＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝35时，y最大值为450，
答：当销售价（万元/件）定为35时，使得利润最大，最大利润是450万元；
（3）由题意得：y＝﹣2x2+140x﹣2000＝250，
解得：x1＝25，x2＝45，
∵在让购买者得到实惠的前提下，
∴销售单价应该定为25（万元/件），
答：销售单价应该定为25万元/件．
22．（10分）如图，一次函数y＝ax+5的图象与y轴相交于点C，与反比例函数y＝的图象相交于点A（m，4），B（2，1），点D为OC中点，连接OA，OB，连接BD交OA于E．
（1）求a，k，m的值；
（2）求直线OA的方程；
（3）求直线BD的方程；
（4）求△OBE的面积．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得a、k，然后把点A（m，4）解析式即可求得m；
（2）（3）根据待定系数法求得即可；
（4）解析式联立，解方程组求得E的坐标，然后根据S△OBE＝S△OBD﹣S△ODE即可求得．
【解答】解：（1）∵点B（2，1）在一次函数y＝ax+5的图象上，
∴2a+5＝1，
∴a＝﹣2，
∵点B（2，1）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×1＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A（m，4）在反比例函数图象上，
∴4m＝2，
∴m＝；
（2）设直线OA的解析式为y＝k1x，
∵A（，4），
∴k1＝4，
∴k1＝8，
∴直线OA的解析式为y＝8x；
（3）∵直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，
∴C（0，5），
∵点D为OC中点，
∴D（0，），
设直线BD的解析式为y＝k2x+b，
∴，解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+；
（4）解得，
∴E（，），
∴S△OBE＝S△OBD﹣S△ODE＝×2﹣×＝．
23．（10分）问题提出：在平面上，给出n个圆把平面至多分割成多少个区域？
问题探究：
为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题．
探究一：1条直线可以将平面分成2个区域；2条直线时，要使分成的区域尽最多，则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4个区域；3条直线时，如图1，要使分成的区域尽量多，就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到2个交点，这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段，而每条射线和线段将已有的区城一分为二，这样就多了2+1＝3个区域，所以3条直线至多将平面分成7个区域；4条直线时，如图2，要使分成的区域尽量多，就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到3个交点，这3个交点将第4条直线分为了2条射线和4﹣2＝2条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了2+2＝4个区域，所以三条直线至多将平面分成11个区域；5条直线时，如图3，要使分成的区域尽量多，就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交，避免多条直线相交于一点和平行关系的出现，这样就会得到4个交点，这4个交点将第5条直线分为了2条射线和5﹣2＝3条线段，而每条射线和线段将已有的区域一分为二，这样就多了2+3＝5个区域，所以三条直线至多将平面分成16个区域；由此可推断6条直线可以将平面至多分成 22 个区域；依此类推n条直线可以将平面至多分成 个区域．
探究二：1个圆可以将平面分成2个区域；2个圆时，要使分成的区域尽量多，2个圆相交将平面分成4个区域；3个圆时，要使分成的区域尽量多，第3个圆与前2个圆都相交被分成了2（3﹣1）＝4条弧，将平面至多分成了4+4＝8个区域；4个圆时，要使分成的区域尽量多，第4个圆与前3个圆都相交被分成了2（4﹣1）＝6条弧，将平面至多分成了8+6＝14个区城；以此类推5个圆可以将平面分成 22 个区域．
问题解决：n个圆至多可以将平面分成 n2﹣n+2 个区城．
问题拓展：仿照前面的过程，n个三角形至多可以将平面分成 3n2﹣3n+2 个区城．
【分析】探究一：从简单到复杂，找出规律得出结论，最后求和即可得结论；
探究二：从简单到复杂，找出规律得出结论；
问题解决：由探究二的规律可得结论；
问题拓展：仿照前面过程，找出规律即可得到结论．
【解答】解：探究一：由题意：
1条直线把平面分成1+1＝2个区域；
2条直线把平面分成1+1+2＝4个区域；
3条直线把平面分成1+1+2+3＝7个区域；
4条直线把平面分成1+1+2+3+4＝11个区域；
5条直线把平面分成1+1+2+3+4+5＝16个区域；
6条直线把平面分成1+1+2+3+4+5+6＝22个区域；
.....．
n条直线把平面分成1+1+2+3+...+n＝1+＝个区域；
故答案为：22，．
探究二：根据题意：
1个圆把平面分成（1﹣1）×1+2＝2个区域；
2个圆把平面分成（2﹣1）×2+2＝4个区域；
3个圆把平面分成（3﹣1）×3+2＝8个区域；
4个圆把平面分成（4﹣1）×4+2＝14个区域；
5个圆把平面分成（5﹣1）×5+2＝22个区域；
问题解决：n个圆把平面分成（n﹣1）×n+2＝n2﹣n+2个区域，
故答案为：22，n2﹣n+2；
问题拓展：
设n个三角形最多把平面分成An个区域，
n＝1时，A1＝2；
n＝2时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形有2×3个交点，6个交点把第二个三角形的边分成了6段，
这6段的每一段都将原来的每个区域分成了2个区域，从而增加了6个区域，即A2＝2+2×3＝8；
n＝3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4×3＝12个交点，从而增加了12个区域，即A3＝2+2×3+4×3＝20；
一般地，第n个三角形与前面（n﹣1）个三角形最多有2（n﹣1）×3个交点，从而增加2（n﹣1）×3个区域，
故An＝2+2×3+4×3+......+2（n﹣1）×3
＝2+[2+4+......+2（n﹣1）]×3
＝2+3n（n﹣1）
＝3n2﹣3n+2．
故答案为：3n2﹣3n+2．
24．（12分）已知：如图，矩形ABCD中和Rt△EBF中，点C在BF上，∠EBF＝90°，AB＝BF＝8cm，AD＝BE＝6cm，连接BD，点M从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点N从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s．过点M作GH⊥AB交AB于点H，交CD于点G．设运动时间为t（s）（0＜t＜10）．
解答下列问题：
（1）当t为何值时，MF⊥BD？
（2）连接MN，做NQ⊥BE交BE于Q，当四边形MHQN为矩形时，求t的值；
（3）连接NC，NH，设四边形NCGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（4）点M在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段EF的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作FM⊥BD，利用勾股定理得BD＝FE＝10，再根据三角函数得方程，求解可得答案；
（2）若MHQN为矩形时，根据同角三角函数得t，再解方程可得答案；
（3）连接NH与BF交于K，根据比例线段，列出方程，得BK、CK的值，然后根据面积的和差关系得答案；
（4）作EF中线与BD交M，过M作MJ⊥AB于J，得用同角的三角函数关系得到关于t的方程，求解可得答案．
【解答】解：（1）作FM⊥BD，
∵AD＝6，AB＝8，BE＝6，AF＝8，
∴BD＝FE＝10，
∵cos∠DBF＝，cos，
∴，
∴t＝．
（2）若MHQN为矩形时，
∴NQ＝MH，＝sin，
∴MH＝MB＝（10﹣t），，
∴t，
∴（10﹣t）＝t，
∴t＝．
（3）连接NH与BF交于K，
∵BH＝BM＝（10﹣t），BQ＝BE﹣EQ＝6﹣t，，
∴，
∴BK＝t，CK＝6﹣，
∴S＝＝＝．
（4）存在，过点R作EF中垂线与BD交M，
∴RE＝5，ET＝，BT＝，
过M作MJ⊥AB于J，
∴＝tan∠MJT＝＝，
∴，
∴＝tan∠MBJ＝＝，
∴BJ＝MJ，
∴BT＝BJ+TJ＝MJ＝，
∴BM＝＝，
∵BM＝10﹣t，
∴10﹣t＝，
∴t＝．
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