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2021年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷
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这是一份2021年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）2021年3月15日，南京市鸡鸣寺樱花大道约有61800人前来赏樱，用科学记数法表示61800是（ ）
A．0.618×105 B．6.18×104 C．61.8×103 D．618×102
2．（2分）下列计算中，结果是a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a2•a3 C．a12÷a2 D．（a2）3
3．（2分）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞b C．a＞|b| D．|a|＜|b|
4．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．50°
5．（2分）如图，在△ABC中，P是AB边上一点，在AC边上求作一点Q，使得△AQP∽△ABC．
甲的作法：过点P作PQ∥BC，交AC于点Q，则点Q即为所求．
乙的作法：经过点P，B，C作⊙O，交AC于点Q，则点Q即为所求．
对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都错误 D．甲、乙都正确
6．（2分）已知一次函数y1＝k1x+b1（k1，b1为常数，k1≠0），y2＝k2x+b2（k2，b2为常数，k2≠0）的图象如图所示，则函数y＝y1•y2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．）
7．（2分）﹣3的相反数是 ，的倒数是 ．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2分）分解因式：2a2﹣8的结果为 ．
10．（2分）计算的结果是 ．
11．（2分）设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝ ．
12．（2分）圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 ．
13．（2分）如图，在正五边形ABCDE中，M是CD的中点，连接AC，AM，则∠CAM的度数是 °．
14．（2分）如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，连接AC，BC，且AC∥x轴，BC∥y轴，AC＝BC．若点A的横坐标为2，则k的值为 ．
15．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是BC，DC边上的点，若⊙O经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则⊙O的半径为 ．
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE，将△ABE沿直线AE翻折，使得点B落在DE上的点B'处，连接AB'并延长交CD于点F，则的值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）﹣14+（）﹣1×﹣4cos30°；
（2）（a﹣）÷（a﹣2+）．
18．（7分）解不等式组，并写出它的正整数解．
19．（7分）某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
20．（7分）随机抽取小明家一年中5个月的月用水量（单位：吨），并对当地当年月平均气温（单位：℃）进行了统计，得到下列统计图．
（1）小明家这5个月的月平均用水量为 吨．
（2）下列四个推断：
①当地当年月平均气温的极差为20℃；
②当地当年月平均气温的中位数为17.5℃；
③当地当年月平均气温的平均数在15℃～25℃之间；
④小明家这5个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化，温度越高，月用水量越大．所有合理推断的序号是 ．
（3）如果用小明家5月、7月、8月这三个月的月平均用水量估计当年的用水总量，你认为是否合理？并说明理由．
21．（7分）一个3×3的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．
（1）如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为 ；
（2）如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．
23．（8分）如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1m，垂直高度都为0.3m．测得在C点的仰角∠ACE＝42°，测得在D点的仰角∠ADF＝35°．求银幕AB的高度．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.7，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9）
24．（8分）某早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到220℃时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降，当机内温度降至140℃时，早餐机又自动启动上述程序，直至关机．已知早餐机的机内初始温度为20℃，降温温度是加热速度的2倍．早餐机的机内温度w（℃）与开机之后的时间t（s）之间的函数关系部分图象如图所示．
（1）早餐机的加热速度为 ℃/s；
（2）求线段AB所表示的w与t之间的函数表达式；
（3）将食物放入该早餐机，自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要 s．
25．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2（m是常数）．
（1）若该函数图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围；
（2）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上；
（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是该二次函数图象上的点，当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，则m的取值范围是 ．
26．（9分）如图，在△ABC中，D是BC边上的点，过点D作DE⊥BC交AC边于点E，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接EF，经过点D，E，F的⊙O与边BC另一个公共点为G．
（1）连接GF，求证△BGF∽△DEF；
（2）若AB＝AC，BC＝4，tanC＝2，
①当CD＝1.5时，求⊙O的半径；
②当点D在BC边上运动时，⊙O半径的最小值为 ．
27．（10分）八上教材给出了命题“如果△ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，那么AD＝A'D'”的证明，由此进一步思考…
【问题提出】
（1）在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，如果BC＝B'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，AD＝A'D'，那么△ABC与△A'B'C'全等吗？
（ⅰ）小红的思考
如图，先任意画出一个△ABC，然后按下列作法，作出一个满足条件的△A'B'C'，作法如下：
①作△ABC的外接圆⊙O；
②过点A作AA'∥BC，与⊙O交于点A'；
③连接A'B'（点B'与C重合），A'C'（点C'与B重合），得到△A'B'C'．
请说明小红所作的△A'B'C'≌△ABC．
（ⅱ）小明的思考
如图，对于满足条件的△ABC，△A'B'C'和高AD，A'D'；小明将△A'B'C'通过图形的变换，使边C'B'与BC重合，A'B'，AB相交于点M，连接A'A，易证A'A∥BC．
接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
【拓展延伸】
（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明．
如图，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，（AD＜A'D'），且∠BAC＝∠B′A′C′，＝，求证△ABC∽△A'B'C'．
2021年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）2021年3月15日，南京市鸡鸣寺樱花大道约有61800人前来赏樱，用科学记数法表示61800是（ ）
A．0.618×105 B．6.18×104 C．61.8×103 D．618×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：61800＝6.18×104．
故选：B．
2．（2分）下列计算中，结果是a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a2•a3 C．a12÷a2 D．（a2）3
【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可．
B：根据同底数幂的乘法法则计算即可．
C：根据同底数幂的除法法则计算即可．
D：幂的乘方的计算法则：（am）n＝amn（m，n是正整数），据此判断即可．
【解答】解：∵a2+a4≠a6，
∴选项A的结果不是a6；
∵a2•a3＝a5，
∴选项B的结果不是a6；
∵a12÷a2＝a10，
∴选项C的结果不是a6；
∵（a2）3＝a6，
∴选项D的结果是a6．
故选：D．
3．（2分）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞b C．a＞|b| D．|a|＜|b|
【分析】根据a、b在数轴上的位置和它们与原点的距离可得答案．
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，
故选：B．
4．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．50°
【分析】利用平行线的性质得到∠A＝∠C＝20°，∠AOB＝∠B，结合圆周角定理知∠AOB＝2∠C，易得答案．
【解答】解：如图，∵BC∥OA，∠A＝20°，
∴∠A＝∠C＝20°，∠AOB＝∠B，
∵＝，
∴∠AOB＝2∠C＝40°．
∴∠B＝∠AOB＝40°．
故选：C．
5．（2分）如图，在△ABC中，P是AB边上一点，在AC边上求作一点Q，使得△AQP∽△ABC．
甲的作法：过点P作PQ∥BC，交AC于点Q，则点Q即为所求．
乙的作法：经过点P，B，C作⊙O，交AC于点Q，则点Q即为所求．
对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都错误 D．甲、乙都正确
【分析】根据相似三角形的判定解决问题即可．
【解答】解：乙的作法正确．
理由：∵B，C，Q，P四点共圆，
∴∠B+∠CQP＝180°，
∵∠AQP+∠CQP＝180°，
∴∠AQP＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABC．
甲的作法，无法证明∠AQP＝∠B，故甲的作法错误．
故选：A．
6．（2分）已知一次函数y1＝k1x+b1（k1，b1为常数，k1≠0），y2＝k2x+b2（k2，b2为常数，k2≠0）的图象如图所示，则函数y＝y1•y2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由一次函数的图象与性质判断出k1，k2的符号，以及图象与x轴交点坐标即可．
【解答】解：由图象知：k1＜0，k2＞0，
且﹣2k2+b2＝0，k1+b1＝0，
∴y＝y1•y2，
∴y＝（k1x+b1）（k2x+b2），
∴当x＝﹣2，y＝0，
当x＝1时，y＝0，
∴抛物线过（﹣2，0），（1，0），
且k1k2＜0，
抛物线开口向下，
由图象知：b1＞1，b2＞1，
∴b1×b2＞1
∴D错误，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．）
7．（2分）﹣3的相反数是 3 ，的倒数是 3 ．
【分析】直接利用倒数和相反数的定义得出答案．
【解答】解：﹣3的相反数是：3，的倒数是：3．
故答案为：3，3．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
9．（2分）分解因式：2a2﹣8的结果为 2（a+2）（a﹣2） ．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
10．（2分）计算的结果是 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝＝＝3．
故答案为：3．
11．（2分）设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝ ﹣6 ．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣4，x1•x2＝m，将其代入x1+x2﹣x1x2＝2中即可求出结论．
【解答】解：∵设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣4，x1•x2＝m，
∴x1+x2﹣x1•x2＝﹣4﹣m＝2．
∴m＝﹣6，
故答案为：﹣6．
12．（2分）圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 120° ．
【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数＝圆锥底面周长×180÷15π计算．
【解答】解：圆锥底面周长＝2×3π＝6π，
∴扇形的圆心角的度数＝圆锥底面周长×180÷9π＝120°．
故答案为：120°．
13．（2分）如图，在正五边形ABCDE中，M是CD的中点，连接AC，AM，则∠CAM的度数是 18 °．
【分析】连接AD，利用正多边形的性质，全等三角形的判定定理证得△ABC≌△AED，由全等三角形的性质性质定理可得AC＝AD，∠BAC＝∠EAD＝36°，根据三角形的内角和定理易得结果．
【解答】解：连接AD，
∵正五边形ABCDE中，M是CD的中点，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∠ABC＝∠AED＝＝108°，
＝36°，
∵在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD＝36°，
∴∠ACM＝108°﹣36°＝72°，∠AMC＝90°，
∴∠CAM＝180°﹣∠ACM﹣∠AMC＝180°﹣72°﹣90°＝18°，
故答案为：18．
14．（2分）如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，连接AC，BC，且AC∥x轴，BC∥y轴，AC＝BC．若点A的横坐标为2，则k的值为 36 ．
【分析】先确定A（2，6），则可设C（，6），再表示出B（，），利用CA＝CB得到﹣2＝6﹣，然后解方程得到k的值．
【解答】解：当x＝2时，y＝＝6，则A（2，6），
∵AC∥x轴，
∴C点的纵坐标为6，
设C（，6），
∵BC∥y轴，
∴B点的横坐标为，
∴B（，），
∵CA＝CB，
∴﹣2＝6﹣，
整理得k2﹣48k+432＝0，解得k1＝36，k2＝12，
经检验k1＝36，k2＝12都为原方程的解，
∴k＝36．
故答案为36．
15．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是BC，DC边上的点，若⊙O经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则⊙O的半径为 7﹣2 ．
【分析】连接OA、ON、OM，延长NO交AB于E，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得OM⊥BC，ON⊥CD，再证明NE⊥AB，利用四边形BMOE、四边形OMCN都为矩形得到BE＝OM＝r，OE＝BM，CM＝ON＝r，所以OE＝3﹣r，AE＝4﹣r，在Rt△AOE中利用勾股定理得到（3﹣r）2+（4﹣r）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA、ON、OM，延长NO交AB于E，如图，设⊙O的半径为r，
∵⊙O与BC，DC分别相切于点M，N，
∴OM⊥BC，ON⊥CD，
∵AB∥CD，
∴NE⊥AB，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BMOE、四边形OMCN都为矩形，
∴BE＝OM＝r，OE＝BM，CM＝ON＝r，
∴OE＝BM＝BC﹣MC＝3﹣r，AE＝AB﹣BE＝4﹣r，
在Rt△AOE中，（3﹣r）2+（4﹣r）2＝r2，
整理得r2﹣14r+25＝0，解得r1＝7﹣2，r2＝7+2（舍去），
∴⊙O的半径为7﹣2．
故答案为7﹣2．
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE，将△ABE沿直线AE翻折，使得点B落在DE上的点B'处，连接AB'并延长交CD于点F，则的值为 3 ．
【分析】如图，延长AF交BC的延长线于T．首先证明DE＝DC，AD＝ET＝BC，推出BE＝CT＝EC，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AF交BC的延长线于T．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝AD，AD∥BC，AB∥CD，
由翻折的性质可知，AB′＝AB，
∴AD＝AB′，
∴∠ADB′＝∠AB′D，
∵∠AB′E+∠AB′D＝180°，∠ABE+∠DCE＝180°，∠ABE＝∠AB′E，
∴∠AB′D＝∠DCE，
∵∠ADB′＝∠DEC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴CD＝DE＝BC，
∵BE＝EC＝EB′，
∴DB′＝EB′，
∵AD∥ET，
∴＝＝1，
∴AD＝ET＝BC，AB′＝B′T
∴BE＝CT＝EC，
∵＝＝2，
∴AF＝2FT，
设FT＝m，则AF＝2m，AT＝3m，
∴AB′＝B′T＝1.5m，
∴B′T＝0.5m，
∴＝＝3，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）﹣14+（）﹣1×﹣4cos30°；
（2）（a﹣）÷（a﹣2+）．
【分析】（1）根据有理数的乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的乘法和加减法可以解答本题；
（2）根据分式的加减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）﹣14+（）﹣1×﹣4cos30°
＝﹣1+3×2﹣4×
＝﹣1+6﹣2
＝﹣1+4；
（2）（a﹣）÷（a﹣2+）
＝÷
＝
＝．
18．（7分）解不等式组，并写出它的正整数解．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后再确定它的正整数解．
【解答】解：，
由①得x＜，
由②得x≥﹣5，
不等式组的解集为﹣5≤x＜，
则它的正整数解为1，2．
19．（7分）某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用20min，据此列方程求解．
【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，
由题意得，﹣＝，
解得：x＝15．
经检验：x＝15是原方程的解．
答：骑车学生的速度为15km/h．
20．（7分）随机抽取小明家一年中5个月的月用水量（单位：吨），并对当地当年月平均气温（单位：℃）进行了统计，得到下列统计图．
（1）小明家这5个月的月平均用水量为 20 吨．
（2）下列四个推断：
①当地当年月平均气温的极差为20℃；
②当地当年月平均气温的中位数为17.5℃；
③当地当年月平均气温的平均数在15℃～25℃之间；
④小明家这5个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化，温度越高，月用水量越大．所有合理推断的序号是 ②③④ ．
（3）如果用小明家5月、7月、8月这三个月的月平均用水量估计当年的用水总量，你认为是否合理？并说明理由．
【分析】（1）根据平均数的计算方法进行计算即可；
（2）根据极差、中位数的意义进行判断即可；
（3）根据气温与用水量的变化关系进行判断即可．
【解答】解：（1）（5+23+30+32+10）÷5＝20（吨），
故答案为：20；
（2）月最高气温是30℃，月最低气温是5℃，月平均气温的极差为30℃﹣5℃＝25℃，因此①不正确；
将12个月的平均气温从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为＝17.5，因此中位数是17.5℃，所以②正确；
通过取近似值计算平均数可得，（5+8+10+15+20+25+28+30+26+20+12+7）÷12≈17.2℃，因此③正确；
从两个统计图中数量的变化情况可知，小明家这5个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化，温度越高，月用水量越大，因此④正确；
故答案为：②③④；
（3）不合理，选取的5、7、8这三个月的当地月平均气温都比较高，这三个月的月平均用水量都比较多，这样选取的样本缺乏代表性．
21．（7分）一个3×3的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．
（1）如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为 ；
（2）如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20个等可能的结果，仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为，
故答案为：；
（2）把剩余的5个方格记为1、2、3、4、5，
画树状图如图：
共有20个等可能的结果，仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的结果有8个，
∴仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为＝．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△CBF；
（2）先证四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，可得EO＝FO，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）连接AC，交BD于点O，
∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
23．（8分）如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1m，垂直高度都为0.3m．测得在C点的仰角∠ACE＝42°，测得在D点的仰角∠ADF＝35°．求银幕AB的高度．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.7，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9）
【分析】延长CE、DF交AB于H、G，在Rt△AGD中，由三角函数的定义用AG表示出即DG，在Rt△ACH中，由三角函数的定义用AG表示出即CH，根据DG﹣CH＝1得到关于AG的方程，解方程求出AG即可求出AB．
【解答】解：延长CE、DF交AB于H、G，
由题意知，∠AGD＝∠AHC＝90°，
在Rt△AGD中，∠ADG＝35°，
∴tan35°＝，
即DG＝，
在Rt△ACH中，∠ACH＝42°，
∴tan42°＝，
即CH＝，
∵AH＝AG+GH，GH＝0.3，
∴CH＝，
∵DG﹣CH＝1，
∴﹣＝1，
∴﹣＝1
解得：AG≈4.2，
∴AB＝AG+GH+BH＝4.2+0.3+0.6＝5.1．
答：银幕AB的高度约为5.1m．
24．（8分）某早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到220℃时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降，当机内温度降至140℃时，早餐机又自动启动上述程序，直至关机．已知早餐机的机内初始温度为20℃，降温温度是加热速度的2倍．早餐机的机内温度w（℃）与开机之后的时间t（s）之间的函数关系部分图象如图所示．
（1）早餐机的加热速度为 4 ℃/s；
（2）求线段AB所表示的w与t之间的函数表达式；
（3）将食物放入该早餐机，自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要 115 s．
【分析】（1）根据图象的数据列式计算即可；
（2）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（3）分别求出机内温度由220℃降至180℃所需时间，从140℃升高到220℃所需时间，再列式计算即可．
【解答】解：（1）早餐机的加热速度为：（220﹣20）÷50＝4（℃/s），
故答案为：4；
（2）设线段AB所表示的w与t之间的函数表达式为w＝kt+b，
由降温温度是加热速度的2倍，所以降温速度为8℃/s，即k＝﹣8，
∵图象经过（50，220），
∴220＝﹣8×50+b，
解得b＝620，
∴w＝﹣8t+620；
（3）由题意可知，机内温度由220℃降至180℃所需时间为：（220﹣180）÷8＝5（s）；
机内温度由140℃升高到220℃所需时间为：（180﹣140）÷4＝10（s），
∵10+5+10+5+10+5＝45（s），
∴需升高到220℃时再降温3次，
∴自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要：50+10+20+10+20+5＝115（s）．
故答案为：115．
25．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2（m是常数）．
（1）若该函数图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围；
（2）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上；
（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是该二次函数图象上的点，当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，则m的取值范围是 m≤0或m＝1 ．
【分析】（1）函数图象与x轴有两个不同的公共点即方程﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0有两个不同的实数根，由判别式△＞0即可求得m的取值范围；
（2）先有二次函数解析式求出顶点坐标，再把x＝m，代入直线解析式即可得证；
（3）当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，说明y随x的增大而减小，抛物线开口向下所以对称轴x＝m≤1，要使y2＜y1＜1恒成立，则﹣m2+m+1≤1，即可求出m的取值范围．
【解答】（1）解：令y＝0，则﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0，
∵a＝﹣1，b＝2m，c＝﹣m2﹣m+2，
∴b2﹣4ac＝（2m）2+4（﹣m2﹣m+2）＝﹣4m+8，
∵函数图象与x轴有两个不同的公共点，
∴方程﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0有两个不同的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即﹣4m+8＞0，
解得：m＜2，
∴m＜2时该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
（2）证明：∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝﹣（x﹣m）2﹣m+2，
得顶点坐标为（m，﹣m+2），
将x＝m代入y＝﹣x+2得：y＝﹣m+2，
∴不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上；
（3）由（2）可知抛物线的顶点为（m，﹣m+2），
当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
又∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
∴得出m≤1，
当x＞1时，y＜﹣m2+m+1．
要使y2＜y1＜1恒成立，
则﹣m2+m+1≤1，
∴m2﹣m≥0，
解得：m≥1或m≤0，
综上所述：m≤0或m＝1．
故答案为：m≤0或m＝1．
26．（9分）如图，在△ABC中，D是BC边上的点，过点D作DE⊥BC交AC边于点E，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接EF，经过点D，E，F的⊙O与边BC另一个公共点为G．
（1）连接GF，求证△BGF∽△DEF；
（2）若AB＝AC，BC＝4，tanC＝2，
①当CD＝1.5时，求⊙O的半径；
②当点D在BC边上运动时，⊙O半径的最小值为 ．
【分析】（1）证明∠BDF的两个余角∠B和∠EDF相等，⊙O的内接四边形的一个外角∠FGB等于内对角FED，即可得证；
（2）①由tanC＝2，CD＝1.5可得DE，结合tanB＝tanC＝2和△BGF∽△DEF，可得BG＝，GD＝1，Rt△GED中用勾股定理即可得答案；
②设DC＝x，同①可得GE2＝（4﹣2x）2+（2x）2＝8x2﹣18x+16＝8（x﹣1）2+8，即可得GE的最小值，从而得半径的最小值．
【解答】解：（1）如图：
∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠EDB＝∠BFD＝90°，
在Rt△BFD中，∠B+∠BDF＝90°，
∵∠EDF+∠BDF＝∠EDB＝90°，
∴∠B＝∠EDF，
∵四边形EFGD是⊙O的内接四边形，
∴∠FGB＝∠FED，
∴△BGF∽△DEF；
（2）①连接EG，如图：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴tanB＝tanC＝2，
Rt△EDC中，∠EDC＝90°，
∴tanC＝＝2，
∵DC＝1.5，
∴DE＝2DC＝3，
Rt△BFD中，∠BFD＝90°，
∴tanB＝＝2，
∵△BGF∽△DEF，
∴＝，
∴＝2，
∴BG＝，
∴GD＝BC﹣BG﹣DC＝1，
Rt△GED中，∠GDE＝90°，
∴GD2+DE2＝GE2，
∴GE＝＝，
∵D在⊙O上，且∠GDE＝90°，
∴GE是⊙O的直径，
∴r＝GE＝；
②如图：
设DC＝x，同①的道理，
∵tanC＝＝2，
∴DE＝2x，
∵tanB＝＝tanC＝2，且△BGF∽△DEF，有＝，
∴BG＝x，
∴GD＝4﹣2x，
Rt△GDE中，GD2+DE2＝GE2，
∴GE2＝（4﹣2x）2+（2x）2
＝8x2﹣18x+16
＝8（x﹣1）2+8，
∴当x＝1时，GE2有最小值，最小值为8，
∴GE的最小值为2，半径最小值是，
故答案为：．
27．（10分）八上教材给出了命题“如果△ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，那么AD＝A'D'”的证明，由此进一步思考…
【问题提出】
（1）在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，如果BC＝B'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，AD＝A'D'，那么△ABC与△A'B'C'全等吗？
（ⅰ）小红的思考
如图，先任意画出一个△ABC，然后按下列作法，作出一个满足条件的△A'B'C'，作法如下：
①作△ABC的外接圆⊙O；
②过点A作AA'∥BC，与⊙O交于点A'；
③连接A'B'（点B'与C重合），A'C'（点C'与B重合），得到△A'B'C'．
请说明小红所作的△A'B'C'≌△ABC．
（ⅱ）小明的思考
如图，对于满足条件的△ABC，△A'B'C'和高AD，A'D'；小明将△A'B'C'通过图形的变换，使边C'B'与BC重合，A'B'，AB相交于点M，连接A'A，易证A'A∥BC．
接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
【拓展延伸】
（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明．
如图，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，（AD＜A'D'），且∠BAC＝∠B′A′C′，＝，求证△ABC∽△A'B'C'．
【分析】（1）（ⅰ）根据全等三角形的判定方法可得结论；
（ⅱ）①根据相似三角形的性质可得答案；②由相似三角形的判定定理可得答案；③根据等腰三角形的性质可得答案；
（2）在A′D′上截取A′E＝AD，过点E作FG∥B′C′，分别交A′B′、A′C′于F、G，根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】解：（1）（ⅰ）∵AA′∥BC，
∴∠A′AB＝∠ABC，
∵∠A′AB＝∠A′B′C′，
∴∠A′B′C′＝∠ABC，
∵∠B′A′C′＝∠BAC，B′C′＝BC，
∴△A′B′C′≌△ABC（AAS）．
（ⅱ）①；
②△A′MC∽△AMC；
③∠A′B′C′＝∠ABC．
（2）如图，在A′D′上截取A′E＝AD，过点E作FG∥B′C′，分别交A′B′、A′C′于F、G，
∴∠A′EG＝∠A′D′C′，△A′FG∽△A′B′C′，
∵A′D′是△A′B′C′的高，
∴A′D′⊥B′C′，
∴∠A′EG＝∠A′D′C′＝90°，
∴A′E⊥FG，
∵△A′FG∽△A′B′C′，
∴，
∵，A′E＝AD，
∴，
∴FG＝BC，
在三角形ABC和三角形A′FG中，AD、A′E分别是△ABC和△A′FC的高，
BC＝FG，∠BAC＝∠FA′G，AD＝A′E，
由（1）知△A′FG∽△ABC，
∴△ABC∽△A′B′C′．
2021年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）2021年3月15日，南京市鸡鸣寺樱花大道约有61800人前来赏樱，用科学记数法表示61800是（ ）
A．0.618×105 B．6.18×104 C．61.8×103 D．618×102
2．（2分）下列计算中，结果是a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a2•a3 C．a12÷a2 D．（a2）3
3．（2分）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞b C．a＞|b| D．|a|＜|b|
4．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．50°
5．（2分）如图，在△ABC中，P是AB边上一点，在AC边上求作一点Q，使得△AQP∽△ABC．
甲的作法：过点P作PQ∥BC，交AC于点Q，则点Q即为所求．
乙的作法：经过点P，B，C作⊙O，交AC于点Q，则点Q即为所求．
对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都错误 D．甲、乙都正确
6．（2分）已知一次函数y1＝k1x+b1（k1，b1为常数，k1≠0），y2＝k2x+b2（k2，b2为常数，k2≠0）的图象如图所示，则函数y＝y1•y2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．）
7．（2分）﹣3的相反数是 ，的倒数是 ．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．（2分）分解因式：2a2﹣8的结果为 ．
10．（2分）计算的结果是 ．
11．（2分）设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝ ．
12．（2分）圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 ．
13．（2分）如图，在正五边形ABCDE中，M是CD的中点，连接AC，AM，则∠CAM的度数是 °．
14．（2分）如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，连接AC，BC，且AC∥x轴，BC∥y轴，AC＝BC．若点A的横坐标为2，则k的值为 ．
15．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是BC，DC边上的点，若⊙O经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则⊙O的半径为 ．
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE，将△ABE沿直线AE翻折，使得点B落在DE上的点B'处，连接AB'并延长交CD于点F，则的值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）﹣14+（）﹣1×﹣4cos30°；
（2）（a﹣）÷（a﹣2+）．
18．（7分）解不等式组，并写出它的正整数解．
19．（7分）某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
20．（7分）随机抽取小明家一年中5个月的月用水量（单位：吨），并对当地当年月平均气温（单位：℃）进行了统计，得到下列统计图．
（1）小明家这5个月的月平均用水量为 吨．
（2）下列四个推断：
①当地当年月平均气温的极差为20℃；
②当地当年月平均气温的中位数为17.5℃；
③当地当年月平均气温的平均数在15℃～25℃之间；
④小明家这5个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化，温度越高，月用水量越大．所有合理推断的序号是 ．
（3）如果用小明家5月、7月、8月这三个月的月平均用水量估计当年的用水总量，你认为是否合理？并说明理由．
21．（7分）一个3×3的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．
（1）如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为 ；
（2）如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．
23．（8分）如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1m，垂直高度都为0.3m．测得在C点的仰角∠ACE＝42°，测得在D点的仰角∠ADF＝35°．求银幕AB的高度．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.7，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9）
24．（8分）某早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到220℃时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降，当机内温度降至140℃时，早餐机又自动启动上述程序，直至关机．已知早餐机的机内初始温度为20℃，降温温度是加热速度的2倍．早餐机的机内温度w（℃）与开机之后的时间t（s）之间的函数关系部分图象如图所示．
（1）早餐机的加热速度为 ℃/s；
（2）求线段AB所表示的w与t之间的函数表达式；
（3）将食物放入该早餐机，自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要 s．
25．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2（m是常数）．
（1）若该函数图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围；
（2）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上；
（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是该二次函数图象上的点，当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，则m的取值范围是 ．
26．（9分）如图，在△ABC中，D是BC边上的点，过点D作DE⊥BC交AC边于点E，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接EF，经过点D，E，F的⊙O与边BC另一个公共点为G．
（1）连接GF，求证△BGF∽△DEF；
（2）若AB＝AC，BC＝4，tanC＝2，
①当CD＝1.5时，求⊙O的半径；
②当点D在BC边上运动时，⊙O半径的最小值为 ．
27．（10分）八上教材给出了命题“如果△ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，那么AD＝A'D'”的证明，由此进一步思考…
【问题提出】
（1）在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，如果BC＝B'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，AD＝A'D'，那么△ABC与△A'B'C'全等吗？
（ⅰ）小红的思考
如图，先任意画出一个△ABC，然后按下列作法，作出一个满足条件的△A'B'C'，作法如下：
①作△ABC的外接圆⊙O；
②过点A作AA'∥BC，与⊙O交于点A'；
③连接A'B'（点B'与C重合），A'C'（点C'与B重合），得到△A'B'C'．
请说明小红所作的△A'B'C'≌△ABC．
（ⅱ）小明的思考
如图，对于满足条件的△ABC，△A'B'C'和高AD，A'D'；小明将△A'B'C'通过图形的变换，使边C'B'与BC重合，A'B'，AB相交于点M，连接A'A，易证A'A∥BC．
接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
【拓展延伸】
（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明．
如图，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，（AD＜A'D'），且∠BAC＝∠B′A′C′，＝，求证△ABC∽△A'B'C'．
2021年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）2021年3月15日，南京市鸡鸣寺樱花大道约有61800人前来赏樱，用科学记数法表示61800是（ ）
A．0.618×105 B．6.18×104 C．61.8×103 D．618×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：61800＝6.18×104．
故选：B．
2．（2分）下列计算中，结果是a6的是（ ）
A．a2+a4 B．a2•a3 C．a12÷a2 D．（a2）3
【分析】A：根据合并同类项的方法判断即可．
B：根据同底数幂的乘法法则计算即可．
C：根据同底数幂的除法法则计算即可．
D：幂的乘方的计算法则：（am）n＝amn（m，n是正整数），据此判断即可．
【解答】解：∵a2+a4≠a6，
∴选项A的结果不是a6；
∵a2•a3＝a5，
∴选项B的结果不是a6；
∵a12÷a2＝a10，
∴选项C的结果不是a6；
∵（a2）3＝a6，
∴选项D的结果是a6．
故选：D．
3．（2分）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．|a|＞b C．a＞|b| D．|a|＜|b|
【分析】根据a、b在数轴上的位置和它们与原点的距离可得答案．
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，
故选：B．
4．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，BC∥OA，∠A＝20°，则∠B的度数为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．50°
【分析】利用平行线的性质得到∠A＝∠C＝20°，∠AOB＝∠B，结合圆周角定理知∠AOB＝2∠C，易得答案．
【解答】解：如图，∵BC∥OA，∠A＝20°，
∴∠A＝∠C＝20°，∠AOB＝∠B，
∵＝，
∴∠AOB＝2∠C＝40°．
∴∠B＝∠AOB＝40°．
故选：C．
5．（2分）如图，在△ABC中，P是AB边上一点，在AC边上求作一点Q，使得△AQP∽△ABC．
甲的作法：过点P作PQ∥BC，交AC于点Q，则点Q即为所求．
乙的作法：经过点P，B，C作⊙O，交AC于点Q，则点Q即为所求．
对于甲、乙的作法，下列判断正确的是（ ）
A．甲错误，乙正确 B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都错误 D．甲、乙都正确
【分析】根据相似三角形的判定解决问题即可．
【解答】解：乙的作法正确．
理由：∵B，C，Q，P四点共圆，
∴∠B+∠CQP＝180°，
∵∠AQP+∠CQP＝180°，
∴∠AQP＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABC．
甲的作法，无法证明∠AQP＝∠B，故甲的作法错误．
故选：A．
6．（2分）已知一次函数y1＝k1x+b1（k1，b1为常数，k1≠0），y2＝k2x+b2（k2，b2为常数，k2≠0）的图象如图所示，则函数y＝y1•y2的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由一次函数的图象与性质判断出k1，k2的符号，以及图象与x轴交点坐标即可．
【解答】解：由图象知：k1＜0，k2＞0，
且﹣2k2+b2＝0，k1+b1＝0，
∴y＝y1•y2，
∴y＝（k1x+b1）（k2x+b2），
∴当x＝﹣2，y＝0，
当x＝1时，y＝0，
∴抛物线过（﹣2，0），（1，0），
且k1k2＜0，
抛物线开口向下，
由图象知：b1＞1，b2＞1，
∴b1×b2＞1
∴D错误，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．）
7．（2分）﹣3的相反数是 3 ，的倒数是 3 ．
【分析】直接利用倒数和相反数的定义得出答案．
【解答】解：﹣3的相反数是：3，的倒数是：3．
故答案为：3，3．
8．（2分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
9．（2分）分解因式：2a2﹣8的结果为 2（a+2）（a﹣2） ．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
10．（2分）计算的结果是 ．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝＝＝3．
故答案为：3．
11．（2分）设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝ ﹣6 ．
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣4，x1•x2＝m，将其代入x1+x2﹣x1x2＝2中即可求出结论．
【解答】解：∵设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣4，x1•x2＝m，
∴x1+x2﹣x1•x2＝﹣4﹣m＝2．
∴m＝﹣6，
故答案为：﹣6．
12．（2分）圆锥的底面圆的半径是3，其母线长是9，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角度数是 120° ．
【分析】先由半径求得圆锥底面周长，再由扇形的圆心角的度数＝圆锥底面周长×180÷15π计算．
【解答】解：圆锥底面周长＝2×3π＝6π，
∴扇形的圆心角的度数＝圆锥底面周长×180÷9π＝120°．
故答案为：120°．
13．（2分）如图，在正五边形ABCDE中，M是CD的中点，连接AC，AM，则∠CAM的度数是 18 °．
【分析】连接AD，利用正多边形的性质，全等三角形的判定定理证得△ABC≌△AED，由全等三角形的性质性质定理可得AC＝AD，∠BAC＝∠EAD＝36°，根据三角形的内角和定理易得结果．
【解答】解：连接AD，
∵正五边形ABCDE中，M是CD的中点，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∠ABC＝∠AED＝＝108°，
＝36°，
∵在△ABC与△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD，∠BAC＝∠EAD＝36°，
∴∠ACM＝108°﹣36°＝72°，∠AMC＝90°，
∴∠CAM＝180°﹣∠ACM﹣∠AMC＝180°﹣72°﹣90°＝18°，
故答案为：18．
14．（2分）如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，连接AC，BC，且AC∥x轴，BC∥y轴，AC＝BC．若点A的横坐标为2，则k的值为 36 ．
【分析】先确定A（2，6），则可设C（，6），再表示出B（，），利用CA＝CB得到﹣2＝6﹣，然后解方程得到k的值．
【解答】解：当x＝2时，y＝＝6，则A（2，6），
∵AC∥x轴，
∴C点的纵坐标为6，
设C（，6），
∵BC∥y轴，
∴B点的横坐标为，
∴B（，），
∵CA＝CB，
∴﹣2＝6﹣，
整理得k2﹣48k+432＝0，解得k1＝36，k2＝12，
经检验k1＝36，k2＝12都为原方程的解，
∴k＝36．
故答案为36．
15．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分别是BC，DC边上的点，若⊙O经过点A，且与BC，DC分别相切于点M，N，则⊙O的半径为 7﹣2 ．
【分析】连接OA、ON、OM，延长NO交AB于E，如图，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得OM⊥BC，ON⊥CD，再证明NE⊥AB，利用四边形BMOE、四边形OMCN都为矩形得到BE＝OM＝r，OE＝BM，CM＝ON＝r，所以OE＝3﹣r，AE＝4﹣r，在Rt△AOE中利用勾股定理得到（3﹣r）2+（4﹣r）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA、ON、OM，延长NO交AB于E，如图，设⊙O的半径为r，
∵⊙O与BC，DC分别相切于点M，N，
∴OM⊥BC，ON⊥CD，
∵AB∥CD，
∴NE⊥AB，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BMOE、四边形OMCN都为矩形，
∴BE＝OM＝r，OE＝BM，CM＝ON＝r，
∴OE＝BM＝BC﹣MC＝3﹣r，AE＝AB﹣BE＝4﹣r，
在Rt△AOE中，（3﹣r）2+（4﹣r）2＝r2，
整理得r2﹣14r+25＝0，解得r1＝7﹣2，r2＝7+2（舍去），
∴⊙O的半径为7﹣2．
故答案为7﹣2．
16．（2分）如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，DE，将△ABE沿直线AE翻折，使得点B落在DE上的点B'处，连接AB'并延长交CD于点F，则的值为 3 ．
【分析】如图，延长AF交BC的延长线于T．首先证明DE＝DC，AD＝ET＝BC，推出BE＝CT＝EC，即可解决问题．
【解答】解：如图，延长AF交BC的延长线于T．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝AD，AD∥BC，AB∥CD，
由翻折的性质可知，AB′＝AB，
∴AD＝AB′，
∴∠ADB′＝∠AB′D，
∵∠AB′E+∠AB′D＝180°，∠ABE+∠DCE＝180°，∠ABE＝∠AB′E，
∴∠AB′D＝∠DCE，
∵∠ADB′＝∠DEC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴CD＝DE＝BC，
∵BE＝EC＝EB′，
∴DB′＝EB′，
∵AD∥ET，
∴＝＝1，
∴AD＝ET＝BC，AB′＝B′T
∴BE＝CT＝EC，
∵＝＝2，
∴AF＝2FT，
设FT＝m，则AF＝2m，AT＝3m，
∴AB′＝B′T＝1.5m，
∴B′T＝0.5m，
∴＝＝3，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
（1）﹣14+（）﹣1×﹣4cos30°；
（2）（a﹣）÷（a﹣2+）．
【分析】（1）根据有理数的乘方、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的乘法和加减法可以解答本题；
（2）根据分式的加减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）﹣14+（）﹣1×﹣4cos30°
＝﹣1+3×2﹣4×
＝﹣1+6﹣2
＝﹣1+4；
（2）（a﹣）÷（a﹣2+）
＝÷
＝
＝．
18．（7分）解不等式组，并写出它的正整数解．
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后再确定它的正整数解．
【解答】解：，
由①得x＜，
由②得x≥﹣5，
不等式组的解集为﹣5≤x＜，
则它的正整数解为1，2．
19．（7分）某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用20min，据此列方程求解．
【解答】解：设骑车学生的速度为xkm/h，
由题意得，﹣＝，
解得：x＝15．
经检验：x＝15是原方程的解．
答：骑车学生的速度为15km/h．
20．（7分）随机抽取小明家一年中5个月的月用水量（单位：吨），并对当地当年月平均气温（单位：℃）进行了统计，得到下列统计图．
（1）小明家这5个月的月平均用水量为 20 吨．
（2）下列四个推断：
①当地当年月平均气温的极差为20℃；
②当地当年月平均气温的中位数为17.5℃；
③当地当年月平均气温的平均数在15℃～25℃之间；
④小明家这5个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化，温度越高，月用水量越大．所有合理推断的序号是 ②③④ ．
（3）如果用小明家5月、7月、8月这三个月的月平均用水量估计当年的用水总量，你认为是否合理？并说明理由．
【分析】（1）根据平均数的计算方法进行计算即可；
（2）根据极差、中位数的意义进行判断即可；
（3）根据气温与用水量的变化关系进行判断即可．
【解答】解：（1）（5+23+30+32+10）÷5＝20（吨），
故答案为：20；
（2）月最高气温是30℃，月最低气温是5℃，月平均气温的极差为30℃﹣5℃＝25℃，因此①不正确；
将12个月的平均气温从小到大排列后处在中间位置的两个数的平均数为＝17.5，因此中位数是17.5℃，所以②正确；
通过取近似值计算平均数可得，（5+8+10+15+20+25+28+30+26+20+12+7）÷12≈17.2℃，因此③正确；
从两个统计图中数量的变化情况可知，小明家这5个月的月用水量随着月平均气温的变化而变化，温度越高，月用水量越大，因此④正确；
故答案为：②③④；
（3）不合理，选取的5、7、8这三个月的当地月平均气温都比较高，这三个月的月平均用水量都比较多，这样选取的样本缺乏代表性．
21．（7分）一个3×3的棋盘，在棋盘方格内随机放入棋子，且每一方格内最多放入一枚棋子．
（1）如图①，棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为 ；
（2）如图②，棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内随机放入两枚棋子，求仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20个等可能的结果，仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）棋盘内已有两枚棋子，在剩余的方格内随机放入一枚棋子，这三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为，
故答案为：；
（2）把剩余的5个方格记为1、2、3、4、5，
画树状图如图：
共有20个等可能的结果，仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的结果有8个，
∴仅有三枚棋子恰好能在同一条直线上的概率为＝．
22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．
（1）求证△ADE≌△CBF；
（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADE≌△CBF；
（2）先证四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，可得EO＝FO，即可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵BE＝DF，
∴BF＝DE，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）连接AC，交BD于点O，
∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形．
23．（8分）如图，某电影院的观众席成“阶梯状”，每一级台阶的水平宽度都为1m，垂直高度都为0.3m．测得在C点的仰角∠ACE＝42°，测得在D点的仰角∠ADF＝35°．求银幕AB的高度．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.7，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9）
【分析】延长CE、DF交AB于H、G，在Rt△AGD中，由三角函数的定义用AG表示出即DG，在Rt△ACH中，由三角函数的定义用AG表示出即CH，根据DG﹣CH＝1得到关于AG的方程，解方程求出AG即可求出AB．
【解答】解：延长CE、DF交AB于H、G，
由题意知，∠AGD＝∠AHC＝90°，
在Rt△AGD中，∠ADG＝35°，
∴tan35°＝，
即DG＝，
在Rt△ACH中，∠ACH＝42°，
∴tan42°＝，
即CH＝，
∵AH＝AG+GH，GH＝0.3，
∴CH＝，
∵DG﹣CH＝1，
∴﹣＝1，
∴﹣＝1
解得：AG≈4.2，
∴AB＝AG+GH+BH＝4.2+0.3+0.6＝5.1．
答：银幕AB的高度约为5.1m．
24．（8分）某早餐机开机后，自动启动程序：先匀速加热，当机内温度升高到220℃时，自动停止加热，同时机内温度匀速下降，当机内温度降至140℃时，早餐机又自动启动上述程序，直至关机．已知早餐机的机内初始温度为20℃，降温温度是加热速度的2倍．早餐机的机内温度w（℃）与开机之后的时间t（s）之间的函数关系部分图象如图所示．
（1）早餐机的加热速度为 4 ℃/s；
（2）求线段AB所表示的w与t之间的函数表达式；
（3）将食物放入该早餐机，自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要 115 s．
【分析】（1）根据图象的数据列式计算即可；
（2）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；
（3）分别求出机内温度由220℃降至180℃所需时间，从140℃升高到220℃所需时间，再列式计算即可．
【解答】解：（1）早餐机的加热速度为：（220﹣20）÷50＝4（℃/s），
故答案为：4；
（2）设线段AB所表示的w与t之间的函数表达式为w＝kt+b，
由降温温度是加热速度的2倍，所以降温速度为8℃/s，即k＝﹣8，
∵图象经过（50，220），
∴220＝﹣8×50+b，
解得b＝620，
∴w＝﹣8t+620；
（3）由题意可知，机内温度由220℃降至180℃所需时间为：（220﹣180）÷8＝5（s）；
机内温度由140℃升高到220℃所需时间为：（180﹣140）÷4＝10（s），
∵10+5+10+5+10+5＝45（s），
∴需升高到220℃时再降温3次，
∴自开机之后，要使机内温度不低于180℃的累计时间不少于45s，至少需要：50+10+20+10+20+5＝115（s）．
故答案为：115．
25．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2（m是常数）．
（1）若该函数图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围；
（2）求证：不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上；
（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是该二次函数图象上的点，当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，则m的取值范围是 m≤0或m＝1 ．
【分析】（1）函数图象与x轴有两个不同的公共点即方程﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0有两个不同的实数根，由判别式△＞0即可求得m的取值范围；
（2）先有二次函数解析式求出顶点坐标，再把x＝m，代入直线解析式即可得证；
（3）当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，说明y随x的增大而减小，抛物线开口向下所以对称轴x＝m≤1，要使y2＜y1＜1恒成立，则﹣m2+m+1≤1，即可求出m的取值范围．
【解答】（1）解：令y＝0，则﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0，
∵a＝﹣1，b＝2m，c＝﹣m2﹣m+2，
∴b2﹣4ac＝（2m）2+4（﹣m2﹣m+2）＝﹣4m+8，
∵函数图象与x轴有两个不同的公共点，
∴方程﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝0有两个不同的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即﹣4m+8＞0，
解得：m＜2，
∴m＜2时该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
（2）证明：∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣m+2＝﹣（x﹣m）2﹣m+2，
得顶点坐标为（m，﹣m+2），
将x＝m代入y＝﹣x+2得：y＝﹣m+2，
∴不论m为何值，该函数图象的顶点都在函数y＝﹣x+2的图象上；
（3）由（2）可知抛物线的顶点为（m，﹣m+2），
当1＜x1＜x2时，都有y2＜y1＜1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
又∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，
∴得出m≤1，
当x＞1时，y＜﹣m2+m+1．
要使y2＜y1＜1恒成立，
则﹣m2+m+1≤1，
∴m2﹣m≥0，
解得：m≥1或m≤0，
综上所述：m≤0或m＝1．
故答案为：m≤0或m＝1．
26．（9分）如图，在△ABC中，D是BC边上的点，过点D作DE⊥BC交AC边于点E，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接EF，经过点D，E，F的⊙O与边BC另一个公共点为G．
（1）连接GF，求证△BGF∽△DEF；
（2）若AB＝AC，BC＝4，tanC＝2，
①当CD＝1.5时，求⊙O的半径；
②当点D在BC边上运动时，⊙O半径的最小值为 ．
【分析】（1）证明∠BDF的两个余角∠B和∠EDF相等，⊙O的内接四边形的一个外角∠FGB等于内对角FED，即可得证；
（2）①由tanC＝2，CD＝1.5可得DE，结合tanB＝tanC＝2和△BGF∽△DEF，可得BG＝，GD＝1，Rt△GED中用勾股定理即可得答案；
②设DC＝x，同①可得GE2＝（4﹣2x）2+（2x）2＝8x2﹣18x+16＝8（x﹣1）2+8，即可得GE的最小值，从而得半径的最小值．
【解答】解：（1）如图：
∵DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠EDB＝∠BFD＝90°，
在Rt△BFD中，∠B+∠BDF＝90°，
∵∠EDF+∠BDF＝∠EDB＝90°，
∴∠B＝∠EDF，
∵四边形EFGD是⊙O的内接四边形，
∴∠FGB＝∠FED，
∴△BGF∽△DEF；
（2）①连接EG，如图：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴tanB＝tanC＝2，
Rt△EDC中，∠EDC＝90°，
∴tanC＝＝2，
∵DC＝1.5，
∴DE＝2DC＝3，
Rt△BFD中，∠BFD＝90°，
∴tanB＝＝2，
∵△BGF∽△DEF，
∴＝，
∴＝2，
∴BG＝，
∴GD＝BC﹣BG﹣DC＝1，
Rt△GED中，∠GDE＝90°，
∴GD2+DE2＝GE2，
∴GE＝＝，
∵D在⊙O上，且∠GDE＝90°，
∴GE是⊙O的直径，
∴r＝GE＝；
②如图：
设DC＝x，同①的道理，
∵tanC＝＝2，
∴DE＝2x，
∵tanB＝＝tanC＝2，且△BGF∽△DEF，有＝，
∴BG＝x，
∴GD＝4﹣2x，
Rt△GDE中，GD2+DE2＝GE2，
∴GE2＝（4﹣2x）2+（2x）2
＝8x2﹣18x+16
＝8（x﹣1）2+8，
∴当x＝1时，GE2有最小值，最小值为8，
∴GE的最小值为2，半径最小值是，
故答案为：．
27．（10分）八上教材给出了命题“如果△ABC≌△A'B'C'，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，那么AD＝A'D'”的证明，由此进一步思考…
【问题提出】
（1）在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，如果BC＝B'C'，∠BAC＝∠B'A'C'，AD＝A'D'，那么△ABC与△A'B'C'全等吗？
（ⅰ）小红的思考
如图，先任意画出一个△ABC，然后按下列作法，作出一个满足条件的△A'B'C'，作法如下：
①作△ABC的外接圆⊙O；
②过点A作AA'∥BC，与⊙O交于点A'；
③连接A'B'（点B'与C重合），A'C'（点C'与B重合），得到△A'B'C'．
请说明小红所作的△A'B'C'≌△ABC．
（ⅱ）小明的思考
如图，对于满足条件的△ABC，△A'B'C'和高AD，A'D'；小明将△A'B'C'通过图形的变换，使边C'B'与BC重合，A'B'，AB相交于点M，连接A'A，易证A'A∥BC．
接下来，小明的证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
【拓展延伸】
（2）小明解决了问题（1）后，继续探索，提出了下面的问题，请你证明．
如图，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，（AD＜A'D'），且∠BAC＝∠B′A′C′，＝，求证△ABC∽△A'B'C'．
【分析】（1）（ⅰ）根据全等三角形的判定方法可得结论；
（ⅱ）①根据相似三角形的性质可得答案；②由相似三角形的判定定理可得答案；③根据等腰三角形的性质可得答案；
（2）在A′D′上截取A′E＝AD，过点E作FG∥B′C′，分别交A′B′、A′C′于F、G，根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】解：（1）（ⅰ）∵AA′∥BC，
∴∠A′AB＝∠ABC，
∵∠A′AB＝∠A′B′C′，
∴∠A′B′C′＝∠ABC，
∵∠B′A′C′＝∠BAC，B′C′＝BC，
∴△A′B′C′≌△ABC（AAS）．
（ⅱ）①；
②△A′MC∽△AMC；
③∠A′B′C′＝∠ABC．
（2）如图，在A′D′上截取A′E＝AD，过点E作FG∥B′C′，分别交A′B′、A′C′于F、G，
∴∠A′EG＝∠A′D′C′，△A′FG∽△A′B′C′，
∵A′D′是△A′B′C′的高，
∴A′D′⊥B′C′，
∴∠A′EG＝∠A′D′C′＝90°，
∴A′E⊥FG，
∵△A′FG∽△A′B′C′，
∴，
∵，A′E＝AD，
∴，
∴FG＝BC，
在三角形ABC和三角形A′FG中，AD、A′E分别是△ABC和△A′FC的高，
BC＝FG，∠BAC＝∠FA′G，AD＝A′E，
由（1）知△A′FG∽△ABC，
∴△ABC∽△A′B′C′．
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