人教版小学数学六年级下册第四单元《比例》第3讲 比例的应用—同步重难点讲练 （含解析）

这是一份人教版小学数学六年级下册第四单元《比例》第3讲 比例的应用—同步重难点讲练 （含解析），共3页。主要包含了归总方法解答的应用题的解题思路等内容，欢迎下载使用。
第3讲 比例的应用
教学目标
知识目标 ：使学生理解比例尺的含义，了解图形的放大与缩小的意义；能在方格纸上按一定的比画出放大与缩小的图形；通过图形的放大与缩小体会图形的相似。
能力目标 ：会应用比例的知识求平面图的比例尺。
情感目标 ：根据比例尺求图上距离或实际距离。通过观察、理解、动手操作等数学活动来体验图形放大与缩小的方法；培养学生的空间观念和动手操作能力。
教学重难点
重点：正反比例的联系和区别，能在方格纸上按一定的比画出放大与缩小的图形；通过图形的放大与缩小体会图形的相似，掌握用比例知识解答以前学过的用归一、归总方法解答的应用题的解题思路。
难点：能判断正、反比例并应用正、反比例解决一些生活中的问题，通过观察、理解、动手操作等数学活动来体验图形放大与缩小的方法，能进一步熟练地判断成反比例的量，加深对反比例概念的理解，沟通知识间的联系。
【重点剖析】
1、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2、比例尺的分数
（1）数值比例尺和线段比例尺
（2）缩小比例尺和放大比例尺
3、图上距离：实际距离=比例尺
实际距离×比例尺=图上距离
图上距离÷比例尺=实际距离
4、应用比例尺画图
（1）写出图的名称、
（2）确定比例尺；
（3）根据比例尺求出图上距离；
（4）画图（画出单位长度）
（5）标出实际距离，写清地点名称
（6）标出比例尺
5、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。（相似图形）
6、用比例解决问题：
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解。
【典例分析1】（2019春•黄山校级期中）在一幅比例尺为的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是40厘米．在另一幅地图上，甲、乙两个城市之间的距离24厘米．请求出另一幅地图的比例尺．
【思路引导】先求两地间的实际距离，根据“图上距离比例尺实际距离”，代入数值，计算出两地间的实际距离，进而根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．
【完整解答】（厘米），
；
答：另一幅地图的比例尺是．
【典例分析2】（2019春•如东县期中）如图的比例尺是，根据条件计算出这个长方形花园的实际面积是多少平方米？
【思路引导】先依据“实际距离图上距离比例尺”求出这个花园长和宽的实际长度，进而利用长方形的面积公式即可求出这个花园的面积．
【完整解答】（厘米）（米
（厘米）（米
（平方米）
答：这个长方形花园的实际面积是960平方米．
【典例分析3】（2019•祥云县模拟）如图，量一量，再算出各自的实际距离．
（1）请你把上面的比例尺改为数值比例尺是 ．
（2）小明上学的路长 米．小明从学校到少年宫的路长 米．
（3）在学校的正北方向700米的地方有一个体育馆，请在图上标出体育馆的位置．
【思路引导】（1）先思路分析此题的线段比例尺，它表示地图上1厘米的距离相当于地面上200米的距离，再把图上距离和实际距离的单位化成相同单位，最后根据比例尺的概念，求出数值比例尺．
（2）①用直尺量出小明家到学校的图上距离是几厘米，再根据比例尺，求出实际距离是多少米．
②用直尺量出小明从学校到少年宫的图上距离是几厘米，再根据比例尺，求出实际距离是多少米．
（3）从题干可知学校到体育馆的实际距离是已知的，根据比例尺，求出图上距离是几厘米，最后在学校的正北方向量出几厘米，用符号表示出体育馆即可．
【完整解答】（1）200米厘米，
1厘米：20000厘米；
答：数值比例尺是．
（2）①小明家到学校的图上距离是2.5厘米，
（厘米），
50000厘米米；
答：小明上学的路实际长500米．
②小明从学校到少年宫的图上距离是5厘米，
（厘米），
100000厘米米；
答：小明从学校到少年宫的路实际长1000米．
（3）（米，
0.035米厘米；
答：在学校正北方3.5厘米的地方画出体育馆．
故答案为：，500，1000．
【变式训练1】（2019•杭州模拟）买来一批煤，计划每天烧吨，可烧20天；实际每天比原来节约，这样可以烧多少天？（用比例规范解答）
【变式训练2】（2019•临高县模拟）王师傅加工了92个零件，用了4天．照这样计算，王师傅要加工207个零件，要用多少天？（用比例规范解答）
【基础达标训练】
一．选择题
1．（2020秋•广东期末）把一个长方形按3：1放大，得到的图形的面积与原图形的面积的比是（ ）
A．3：1B．9：1C．1：3D．1：9
2．（2020•马鞍山）把一个直径5毫米的手表零件，画在图纸上直径是10厘米，这幅图纸的比例尺是（ ）
A．20：1B．1：20C．2：1D．1：2
3．（2020•蕲春县）把改写成数值比例尺是（ ）
A．1：4000000B．1：8000000C．1：12000000
4．（2020•农安县）在一幅地图上量得长方形的长是8厘米，宽是5厘米，长方形实际长80米，长方形的宽实际是（ ）米．
A．5B．50C．25D．5000
5．（2020•平罗县）要建一个长30米，宽20米的长方形广场，在比例尺是1：500的图纸上，宽要画（ ）
A．4cmB．6cmC．12cm
二．填空
6．（2020•徐州）在一幅比例尺是的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是3.5厘米．甲、乙两地之间的实际距离是 千米．
7．（2020•临朐县）把线段比例尺改写成数字比例尺是 ．
8．（2020•邹城市模拟）一只小蚂蚁体长4mm，画在解剖图上长24cm．这幅图的比例尺是 ．
9．（2020春•南海区期中）在一幅地图上，20cm的长度表示实际距离18km．这幅地图的比例尺是 ，如果甲、乙两地之间的实际距离是4.5km．在这幅地图上应该用 cm来表示．
10．（2020•长沙）一幅地图，图上1厘米表示实际距离500千米，这幅地图的比例尺是 .
三．判断题
11．（2019春•南丰县期中）一幅地图的比例尺是1：300000厘米． （判断对错）
12．（2018秋•玉田县期末）一种微型零件的长是0.8毫米，画在图纸上的长是8厘米．这是按1：100的比例尺画出来的． （判断对错）
13．（2020春•偃师市期中）一幅地图上的线段比例尺是，改写成数值比例尺是1：30． （判断对错）
四．计算题
14．在比例尺是1：2500000的地图上，量得两市之间的距离是6厘米，如果画在比例尺是的地图上，那么应画多少厘米？
15．一个机器零件长5毫米，画在一张图纸上是20厘米．求这张机器零件图的比例尺．
五．应用题
16．（2020•汉川市）小松爸爸身高是1.70m，在家庭合影照片上他的身高是6.8cm，小松在这张照片上的身高是5.4cm．
（1）这张照片的比例尺是多少？
（2）小松的实际身高是多少米？
17．（2020•江北区）王阿姨买了一辆电瓶车，七五折优惠付了1500元．这辆车比原来便宜了多少钱？先在线段图上补上缺少的信息和问题，再列式计算．
六．解答
18．（2018春•仁怀市期末）一个机器零件长5毫米，画在图纸上是4厘米，求这幅图纸的比例尺．
19．（2017秋•纳雍县月考）把左边的图形按比例放大或缩小后得到右边的图形，求未知数x的值．
20．（2019•益阳模拟）如图，方格中的梯形是按1：1000的比例尺画出的学校的一块草地．请你给草地的正中央设计一个半径为10米的圆形花池，按比例画在图中．再量出有关数据（取整厘米数），标在图上，并求剩余草地的实际面积．
（单位：厘米）
21．（2019春•崇川区校级期中）分别按2：1和1：2的比画出长方形放大和缩小后的图形．
【强化提优练】
一．选择题
1．（2020•固阳县）把一个长是5厘米，宽是2厘米的长方形按3：1放大在图纸上后，得到的图形的面积是（ ）平方厘米.
A．90B．42C．14D．10
2．（2016•大渡口区）小娟和小洁分别将育英小学的操场平面图画下来（如图）．如果小娟是按1：a的比例尺来画的，那么小洁是按（ ）的比例尺画的．
A．1：B．1：2aC．1：aD．1：
3．（2015•泗洪县）一个角是60°，画在1：3的图上，应画（ ）
A．20°B．60°C．180°D．无法确定
二．填空题
4．（2019•亳州模拟）在一幅地图上，3厘米表示实际距离3600米，这幅图的比例尺是 ，甲乙两地相距600米，在这幅地图上的距离是 厘米．
5．（2019•新罗区模拟）一种零件长5毫米，画在比例尺是20：1的图纸上，应画 厘米．
6．（2019春•泰兴市校级期中）在一幅比例尺是1：2000000的地图上量的AB两地长6厘米，AB两地的实际距离是 千米，把AB两地画在第二幅地图上，长12厘米，第二幅地图的比例尺是 ，BC两地长240千米，画在第二幅地图上长 厘米．
7．把长方形的每条边放大到原来的5倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是 ；把底9厘米、高6厘米的三角形按1：3的比缩小后，三角形的底是 厘米，高是 厘米．
三．判断题
8．（2020春•北川县期末）把一个圆按5：1放大，就是把这个圆的面积扩大到原来的5倍． （判断对错）
9．（2019春•惠州期中）一幅平面图的比例尺是1：500，那么图上的图形的面积与实际面积的比是1：500． ．（判断对错）．
四．应用题
10．（2017春•裕安区期末）合肥到六安的实际距离大约是90km，在一幅地图上量得这两地间的距离是20cm．这幅地图的比例尺是多少？
11．（2019•天河区模拟）晴晴全家“五一”到中山公园游玩，拍了许多照片，她买了一本相册，如果每页放6张照片，刚好放16页，现在晴晴打算每页只放4张，25页够放下这些照片吗？（用比例解）
五．操作题
12．（2015春•成都期末）把图1的图形按比例尺：3：1放大，形状不变，画在图2的方格纸中．
六．解答题
13．（2020秋•宣化区期末）操作题：
先按4：1把下面的三角形放大，再把放大后的图形按1：2缩小．
14．（2020春•盐城期中）一种精密零件的长度是5毫米，画在一幅图纸上长10厘米．求这幅图纸的比例尺．
15．（2020•莘县）在比例尺1：6000000的地图上，量得甲乙两地的距离是8厘米，如果一辆汽车以每小时80千米的速度从甲地开出，几小时到达乙地？
16．（2019春•兴化市月考）按1：3的比画出三角形缩小后的图形；再按2：1的比（半径比）画出圆扩大后的图形，并和原来的圆组成一个圆环．
17．（2019•防城港模拟）一个长方形游乐场长90米，宽80米，如果把它的各边缩小到原来的画的一张图纸上，图上的长和宽各是多少厘米？
18．（2019春•洮北区期中）先按3：1的比画出长方形放大后的图形，再按1：2的比画出长方形缩小后的图形．
19．（2020•农安县）50千克花生仁可以榨油19千克．要榨200千克花生油需多少千克花生仁？（比例解）
20．（2019春•洪泽区期中）在一幅中国地图上量得甲、乙两地的距离是4厘米，而甲、乙两地的实际距离是180千米，这幅地图的比例尺是多少？
21．（2015春•宿迁校级月考）按要求画一画．
（1）按1：3的比例画出长方形的图形．
（2）按2：1的比例画出梯形的图形．
新知讲练答案解析
【变式训练1】
【思路引导】根据题意知道一批煤的总重量一定，每天烧煤的吨数烧煤的天数一批煤的总重量（一定），所以每天烧煤的吨数与烧煤的天数成反比例，由此找准对应的量，列式规范解答即可．
【完整解答】设这样可以烧天，


答：这样可以烧25天．
【变式训练2】
【思路引导】由题意可知：王师傅每天加工的零件数量是一定的，则加工的零件数量与需要的天数成正比，据此即可列比例求解．
【完整解答】设加工207个零件需要天，
则有


；
答：加工207个零件需用9天．
基础达标练答案解析
一．选择题
1．解：设这个长方形的长是4厘米，宽是3厘米，周长是（4+3）×2＝14（厘米），
则扩大后长是4×3＝12（厘米），宽是3×3＝9（厘米），
扩大前面积是3×4＝12（平方厘米），
扩大后面积是：12×9＝108（平方厘米），
108：12＝9：1，
所以得到的图形的面积与原图形的面积的比是9：1．
故选：B．
2．解：10厘米＝100毫米
100：5＝20：1
答：这幅图纸的比例尺是20：1．
故选：A。
3．解：因为40千米＝4000000厘米
则1厘米：4000000厘米＝1：4000000
故选：A．
4．解：80÷8×5
＝10×5
＝50（米）
答：长方形的宽实际是50米。
故选：B。
5．解：200.04（米）
0.04米＝4厘米
答：宽要画4厘米。
故选：A。
二．填空题
6．解：20×3.5＝70（千米）
答：甲、乙两地之间的实际距离是70千米．
故答案为：70．
7．解：数字比例尺是：
1厘米：50千米
＝1厘米：5000000厘米
＝1：5000000
答：改写成数字比例尺是1：5000000．
故答案为：1：5000000．
8．解：24厘米：4毫米
＝240毫米：4毫米
＝60：1
答：这幅图的比例尺是60：1．
故答案为：60：1．
9．解：（1）18千米＝1800000厘米
20：1800000
＝1：90000
答：这幅地图的比例尺是1：90000。
（2）4.5km＝450000cm
4500005（厘米）
答：在这幅地图上应该用5cm来表示。
故答案为：1：90000，5。
10．解：500千米＝50000000厘米
1厘米：50000000＝1：50000000
答：这幅地图的比例尺是1：50000000。
故答案为：1：50000000。
三．判断题
11．解：比例尺是图上距离与实际距离的比，所以最简比的后面不能加单位，应该为1：300000；所以原题说法错误．
故答案为：×．
12．解：8厘米：0.8毫米
＝8厘米：0.08厘米
＝100：1
答：是按100：1的比例尺画出来的．
原题说法错误．
故答案为：×．
13．解：一幅地图上的线段比例尺是，改写成数值比例尺是1：3000000.
原题说法错误。
故答案为：×。
四．计算题
14．解：6
＝15000000
＝5（cm）
答：应画5cm．
15．解：20厘米：5毫米
＝200毫米：5毫米
＝40：1
答：这张机器零件图的比例尺是40：1．
五．应用题
16．解：（1）1.70米＝170厘米
6.8：170＝1：25
答：这张照片的比例尺是1：25．
（2）5.4135（厘米）
135厘米＝1.35（米）
答：小松的实际身高是1.35米．
17．解
1500÷75%﹣1500
＝2000﹣1500
＝500（元）
答：这辆车比原来便宜了500元．
六．解答题
18．解：4厘米：5毫米
＝40毫米：5毫米
＝8：1
答：这幅图的比例尺是8：1．
19．解：（1）20：50＝12：x
20x＝12×50
x＝30
答：未知数的是30．
（2）4.8：3＝6.4：x
4.8x＝3×6.4
4.8x＝19.2
x＝4
答：未知数的是4．
20．解：10米＝1000厘米
10001（厘米）
即圆形花池的半径图上为1厘米
画图如下：
66000（厘米），6000厘米＝60米
88000（厘米），8000厘米＝80米
1010000（厘米），10000厘米＝100米
（60+100）×80÷2﹣3.14×102
＝160×80÷2﹣3.14×100
＝6400﹣314
＝6086（平方米）
答：剩余草地的实际面积是6086平方米．
21．解：画图如下：
强化提优练答案解析
一．选择题
1．解：长是5×3＝15（厘米）；
宽是2×3＝6（厘米）；
面积是15×6＝90（平方厘米），
答：得到的图形的面积是90平方厘米。
故选：A。
2．解：5÷10
1：
答：小洁是按1：的比例尺画的．
故选：A．
3．解：根据分析可得：
一个角是60°，画在1：3的图上，还应当画60°．
故选：B．
二．填空题
4．解：因为3600米＝360000厘米，
则3厘米：360000厘米＝1：120000；
又因600米＝60000厘米，
所以600000.5（厘米）；
答：这幅地图的比例尺是1：120000；甲乙两地相距600米，在这幅地图上的距离是0.5厘米．
故答案为：1：120000，0.5．
5．解：5100（毫米）
100毫米＝10厘米
答：应画10厘米．
故答案为：10．
6．解：612000000（厘米）
12000000厘米＝120千米
12：12000000＝1：1000000
240千米＝24000000厘米
2400000024（厘米）
答：AB两地的实际距离是120千米，第二幅地图的比例尺是1：1000000，BC两地长240千米，画在第二幅地图上长24厘米．
故答案为：120，1：1000000，24．
7．解：（1）设原来长方形长和宽分别是a和b，放大后的长方形长和宽分别是5a和5b，
5a：a＝5：1，
5b：b＝5：1，
答：放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是5：1．
（2）9÷3＝3（厘米）
6÷3＝2（厘米）
答：三角形的底是3厘米，高是2厘米．
故答案为：5：1，3，2．
三．判断题
8．解：根据分析可得，
把一个圆按5：1放大，圆的半径扩大到原来的5倍，面积扩大到原来的52＝25倍；所以原题说法错误。
故答案为：×。
9．解：设这块长方形地图上的长和宽都是1厘米，实际的长和宽都是500厘米，
（1×1）：（500×500）＝1：250000．
所以原题说法错误．
故答案为：×．
四．应用题
10．解：20厘米：90千米
＝20厘米：9000000厘米
＝1：450000
答：这幅地图的比例尺是1：450000．
11．解：设每页只放4张，可以放x页，
4x＝6×16，
x，
x＝24，
因为25＞24，
所以25页够放下这些照片，
答：25页够放下这些照片．
五．操作题
12．解：作图如下：
六．解答
13．解：
14．解：10厘米＝100毫米，
比例尺：100：5＝20：1，
答：这张图纸的比例尺为20：1．
15．解：甲、乙两地的距离：
848000000（厘米）＝480（千米）
从甲地开往乙地，需要：
480÷80＝6（小时）
答：从甲地开往乙地，需要6小时．
16．解：如图所示：
17．解：90米＝9000厘米，80米＝8000厘米，
则90009（厘米）
80008（厘米）
答：图上的长和宽各是9厘米、8厘米．
18．解：先按3：1的比画出长方形放大后的图形（图中红色部分），再按1：2的比画出长方形缩小后的图形（图中绿色部分）．
19．解：设榨200千克花生油需x千克花生仁，由此可得比例：
50：19＝x：200，
19x＝10000，
x≈526.32；
答：大约需要526.32千克花生仁．
20．解：180千米＝18000000厘米，
4：18000000＝1：4500000；
答：这幅地图的比例尺是1：4500000．
21．解：由分析作图如下：