2020-2021学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷 (原卷+解析)

这是一份2020-2021学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷 (原卷+解析)，共34页。试卷主要包含了填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各题有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标为（　　）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5）
2．（3分）如果，那么的值是（　　）
A． B．2 C． D．5
3．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣2）2+6 C．y＝x2+6 D．y＝x2
4．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值等于（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝1，DB＝2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（　　）

A．F B．G C．H D．K
7．（3分）若函数y＝x2﹣4x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜2，则（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1，y2的大小不确定
8．（3分）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．3
9．（3分）已知函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象可能正确的是（　　）

A． B．
C． D．
10．（3分）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F．设BE＝x，FC＝y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）关于x的方程3x2﹣4x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是　 　．
12．（3分）请写出一个开口向上，且对称轴为直线x＝3的二次函数解析式　 　．
13．（3分）在△ABC中，若sinA＝，tanB＝，则∠C＝　 　°．
14．（3分）△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．以坐标原点O为位似中心，画出放大的△A1B1C1，使得它与△ABC的位似比等于2：1．则点C的对应点C1坐标为　 　．
15．（3分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是　 　米．

16．（3分）一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D，再爬倾斜角为60度的山坡200米，求这座山的高度　 　．（结果保留根号）

17．（3分）已知点A（0，2），B（2，0），点C在y＝x2的图象上，若△ABC的面积为2，则这样的C点有　 　个．
18．（3分）如图，在△ACM中，△ABC、△BDE、△DFG是等边三角形，点E、G在△ACM的边CM上，设△ABC、△BDE、△DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S1＝8，S3＝2，则S2＝　 　．

三、解答题（本题共46分）
19．（4分）计算：cos30°﹣sin45°﹣（﹣）0．
20．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
21．（6分）二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的图象与y轴交点坐标是（0，3）．
（1）求此二次函数解析式；
（2）在图中画出二次函数的图象；
（3）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围．

22．（5分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，且∠AED＝∠ABC，DE＝3，BC＝5，AC＝12．求AD的长．

23．（6分）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sinC＝，求BC的长．

24．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质．小东对函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的自变量x的取值范围是全体实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
m
﹣24
﹣6
0
0
0
6
24
60
…
①m＝　 　；
②若M（﹣7，﹣720），N（n，720）为该函数图象上的两点，则n＝　 　；
（3）在平面直角坐标系xOy中，A（xA，yA），B（xB，﹣yA）为该函数图象上的两点，且A为2≤x≤3范围内的最低点，A点的位置如图所示．
①标出点B的位置；
②画出函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（0≤x≤4）的图象．

25．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A与点B，与y轴交于点C（0，﹣3），且OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

26．（7分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．
（1）若P（1，2），Q（4，2）．
①在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是　 　；
②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值．
（2）若P（0，0），PQ＝2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．

四、附加题（共20分）
27．（6分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b（k≠0，k、b是常数），则点P到直线y＝kx+b的距离证明可用公式d＝计算．
例如：求点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离．
解：因为直线y＝3x+7，其中k＝3，b＝7．
所以点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离为：d＝＝＝＝．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，﹣1）到直线y＝x﹣1的距离；
（2）已知直线y＝﹣2x+4与y＝﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．
28．（7分）如图1，ABCD是边长为1的正方形，O是对角线BD的中点，Q是边CD上一个动点（点Q不与点C、D重合），直线AQ与BC的延长线交于点E，AE交BD于点P．设DQ＝x，
（1）填空：当x＝时，CE＝　 　；＝　 　；
（2）如图2，直线EO交AB于点G，若BG＝y，求y关于x之间的函数关系式；
（3）在第（2）小题的条件下，是否存在点Q，使得PG∥BC？若存在，求x的值；若不存在，说明理由．

29．（7分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将直线BC向下移动n个单位（n＞0），若直线与抛物线有交点，求n的取值范围；
（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．


2020-2021学年北京师大附中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各题有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1．（3分）抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标为（　　）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5）
【分析】因为y＝2（x+3）2+5是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝2（x+3）2+5，
∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，5）．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等．
2．（3分）如果，那么的值是（　　）
A． B．2 C． D．5
【分析】根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解．
【解答】解：∵＝，
∴2a+4b＝5b，
∴2a＝b，
∴＝．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，需熟记．
3．（3分）将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x﹣2）2+6 C．y＝x2+6 D．y＝x2
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝（x﹣1+1）2+3，即y＝x2+3；
再向下平移3个单位为：y＝x2+3﹣3，即y＝x2．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
4．（3分）如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则sinB的值等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再运用锐角三角函数的定义解答．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∴sinB＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单．掌握正弦函数的定义是解题的关键．
5．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝1，DB＝2，则△ADE的面积与△ABC的面积的比等于（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据DE∥BC，即可证得△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：∵AD＝1，DB＝2，
∴AB＝AD+DB＝3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝．
故选：D．

【点评】本题考查了三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6．（3分）如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（　　）

A．F B．G C．H D．K
【分析】由图形可知△ABC的边AB＝4，AC＝6 DE＝2，当△DEM∽△ABC时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是H．
【解答】解：根据题意，
△DEM∽△ABC，AB＝4，AC＝6 DE＝2
∴DE：AB＝DM：AC
∴DM＝3
∴M应是H
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．
7．（3分）若函数y＝x2﹣4x+m的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2＜2，则（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．y1，y2的大小不确定
【分析】根据x1、x2与对称轴的大小关系，判断y1、y2的大小关系．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m，
∴此函数的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝2，
∵x1＜x2＜2，两点都在对称轴左侧，a＝1＞0，
∴对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了函数的对称轴求法和二次函数的性质，利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴得出是解题关键．
8．（3分）如图，点A（t，3）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．3
【分析】根据正切的定义即可求解．
【解答】解：∵点A（t，3）在第一象限，
∴AB＝3，OB＝t，
又∵tanα＝＝，
∴t＝2．
故选：C．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
9．（3分）已知函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象可能正确的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线中自变量x＝1及x＝﹣1的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵y＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，
∵抛物线的开口向上知a＞0，与y轴的交点为在y轴负半轴上，∴ab＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，二次项系数＞0，∴﹣（a+b）＞0．
∴a+b＜0，
∵a＞b，
∴a＞0，b＜0，
∴y＝ax+b的图象是D选项，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
10．（3分）如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4，E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F．设BE＝x，FC＝y，则点E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】利用三角形相似求出y关于x的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．
【解答】解：∵BC＝4，BE＝x，
∴CE＝4﹣x．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∵∠CEF+∠CFE＝90°，
∴∠AEB＝∠CFE．
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴Rt△AEB∽Rt△EFC，
∴，
即，
整理得：y＝（4x﹣x2）＝﹣（x﹣2）2+
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4）
由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）关于x的方程3x2﹣4x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是　k≥﹣　．
【分析】根据△的意义得到△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣k）≥0，然后解不等式得到k的取值范围．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣k）≥0，
解得k≥﹣．
所以k的取值范围是k≥﹣．
故答案为k≥﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
12．（3分）请写出一个开口向上，且对称轴为直线x＝3的二次函数解析式　y＝x2﹣6x+6　．
【分析】因为开口向上，所以a＞0；根据对称轴为x32可知顶点的横坐标为3，纵坐标可任意选择一个数，由顶点式写出二次函数解析式．
【解答】解：依题意取a＝1，顶点坐标（3，﹣3），
由顶点式得y＝（x﹣3）2﹣3．
即y＝x2﹣6x+6．
故答案为：y＝x2﹣6x+6（答案不唯一）．
【点评】此题考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下．
13．（3分）在△ABC中，若sinA＝，tanB＝，则∠C＝　90　°．
【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A和∠B的度数，然后求出∠C的度数．
【解答】解：∵sinA＝，tanB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝30°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
故答案为：90．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
14．（3分）△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．以坐标原点O为位似中心，画出放大的△A1B1C1，使得它与△ABC的位似比等于2：1．则点C的对应点C1坐标为　（6，﹣8）或（﹣6，8）　．
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【解答】解：以坐标原点O为位似中心，放大的△A1B1C1，它与△ABC的位似比等于2：1，点C的坐标为（3，﹣4），
∴点C的对应点C1坐标为（3×2，﹣4×2）或（﹣3×2，4×2），即（6，﹣8）或（﹣6，8），
故答案为：（6，﹣8）或（﹣6，8）．
【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
15．（3分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是　8　米．

【分析】令y＝8，即y＝﹣x2+10＝8，求出x值，进而求解．
【解答】解：令y＝8，即y＝﹣x2+10＝8，
解得：x＝±4，
∴则EF＝4﹣（﹣4）＝8．
【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是弄懂题意，该题比较简单．
16．（3分）一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D，再爬倾斜角为60度的山坡200米，求这座山的高度　（150+100）　．（结果保留根号）

【分析】在RT△ADF中，利用30°角和AD，求出DF即CE；在RT△BDE中，利用60°角和BD，求出BE；最后求CE和BE的和即可．
【解答】解：过D作DF⊥AC．
在Rt△ADF中，易得：CE＝DF＝AD×sin30°＝150米，
在Rt△BDE中，易得：BE＝BD×sin60°＝100米，
故山高BC＝CE+BE＝（150+100）米．
故答案为：（150+100）．

【点评】考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，本题要求学生借助俯角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
17．（3分）已知点A（0，2），B（2，0），点C在y＝x2的图象上，若△ABC的面积为2，则这样的C点有　4　个．
【分析】根据三角形面积公式求得C到直线AB的距离为，即可求得C在直线AB沿直线y＝x的方向平移的单位得到的直线上，求得平移好的直线解析式，然后与y＝x2联立，消去y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式即可判断方程的根的情况，进一步得到C点的个数．
【解答】解：如图，∵点A（0，2），B（2，0），
∴直线AB为y＝﹣x+2，AB＝＝2，
设C点到直线AB的距离为h，
∵△ABC的面积为2，
∴＝2，即＝2，
∴h＝，
∵直线y＝x与直线AB垂直，
∴直线AB沿直线y＝x向上或向下平移个单位得到直线y＝﹣x+4或y＝﹣x，
由消去y得到x2+x﹣4＝0，
∵△＝12﹣4×（﹣4）＝17＞0，
∴方程有两个不相等的根，
由消去y得到x2+x＝0，
∵△＝1＞0，
∴方程有两个不相等的根，
∴函数y＝x2的图象上存在4个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2，
故答案为4．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
18．（3分）如图，在△ACM中，△ABC、△BDE、△DFG是等边三角形，点E、G在△ACM的边CM上，设△ABC、△BDE、△DFG的面积分别为S1、S2、S3，若S1＝8，S3＝2，则S2＝　4　．

【分析】先设△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，由于△ABC、△BDE是等边三角形，易知∠ABC＝60°，∠EBD＝60°，结合平角定义可求∠CBE＝60°，同理可求∠EDG＝60°，那么∠CBE＝∠EDG，由于△BDE、△DGF是等边三角形，那么∠EBD＝∠GDF＝60°，从而有BE∥DG，于是∠CEB＝∠EGD，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△CBE∽△EDG，可得比例关系：a：b＝b：c，即b2＝ac，再根据S1：S3的值得a：c＝3：1，结合S1：S2的值进而可求S2．
【解答】解：△ABC、△BDE、△DGF的边长分别是a、b、c，
∵△ABC、△BDE是等边三角形，
∴∠CBA＝∠EBD＝60°，
∴∠CBE＝60°，
同理∠EDG＝60°，
∴∠CBE＝∠EDG，
∵△BDE、△DGF是等边三角形，
∴∠EBD＝∠GDF＝60°，
∴BE∥DG，
∴∠CEB＝∠EGD，
∴△CBE∽△EDG，
∴a：b＝b：c，
∴b2＝ac，
∵S1：S3＝（a：c）2＝8：2＝4：1，
∴a：c＝2：1，
∵S1：S2＝（）2＝＝＝＝，
∴S2＝S1＝4．
故答案是4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明△CBE∽△EDG，得出b2＝ac．
三、解答题（本题共46分）
19．（4分）计算：cos30°﹣sin45°﹣（﹣）0．
【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再算乘法，后算加减即可．
【解答】解：原式＝×﹣×﹣1
＝﹣1﹣1
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．
20．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
21．（6分）二次函数y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的图象与y轴交点坐标是（0，3）．
（1）求此二次函数解析式；
（2）在图中画出二次函数的图象；
（3）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围．

【分析】（1）把已知点的坐标代入解析式求出m即可；
（2）先解方程﹣x2+2x+3＝0得抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），再配方得到抛物线的顶点坐标，然后利用描点法画函数图象；
（3）结合函数图象，利用二次函数的性质求解．
【解答】解：（1）把（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得m＝3，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4），
如图，

（3）当0＜x＜3时，y的取值范围为0＜y≤4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，也考查了二次函数的性质．
22．（5分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，且∠AED＝∠ABC，DE＝3，BC＝5，AC＝12．求AD的长．

【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵∠AED＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∵DE＝3，BC＝5，AC＝12，
∴．
∴AD＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（6分）如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sinC＝，求BC的长．

【分析】作AD⊥BC，在△ACD中求得AD＝ACsinC＝3、，再在△ABD中根据AB＝3、AD＝3求得BD＝3，继而根据BC＝BD+CD可得答案．
【解答】解：作AD⊥BC于点D，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AC＝5，，
∴AD＝AC•sinC＝3．
∴在Rt△ACD中，．
∵AB＝，
∴在Rt△ABD中，．
∴BC＝BD+CD＝7．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义．
24．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质．小东对函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的自变量x的取值范围是全体实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
m
﹣24
﹣6
0
0
0
6
24
60
…
①m＝　﹣60　；
②若M（﹣7，﹣720），N（n，720）为该函数图象上的两点，则n＝　11　；
（3）在平面直角坐标系xOy中，A（xA，yA），B（xB，﹣yA）为该函数图象上的两点，且A为2≤x≤3范围内的最低点，A点的位置如图所示．
①标出点B的位置；
②画出函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（0≤x≤4）的图象．

【分析】（2）①把x＝﹣2代入函数解析式可求得m的值；
②观察给定表格中的数据可发现函数图象上的点关于点（2，0）对称，再根据点M、N的坐标即可求出n值；
（3）①找出点A关于点（2，0）对称的点B1，再找出与点B1纵坐标相等的B2点；
②根据表格描点、连线即可得出函数图象．
【解答】解：（2）①当x＝﹣2时，y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝﹣60．
故答案为：﹣60．
②观察表格中的数据可得出函数图象关于点（2，0）中心对称，
∴﹣7+n＝2×2，解得：n＝11．
故答案为：11．
（3）①作点A关于点（2，0）的对称点B1，再在函数图象上找与点B1纵坐标相等的B2点．
②根据表格描点、连线，画出图形如图所示．

【点评】本题考查了多次函数的图象与性质，根据给定表格找出函数图象关于点（2，0）中心对称是解题的关键．
25．（8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A与点B，与y轴交于点C（0，﹣3），且OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）易得点C坐标，根据OB＝OC＝3OA可得点A，B坐标．代入二次函数解析式即可．
（2）点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，那么应分点P，A，C三个顶点为直角顶点三种情况进行探讨．
【解答】解：（1）∴抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣3），则c＝﹣3，
∴OB＝OC＝3OA＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），代入y＝ax2+bx﹣3，
得，解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如图，

①当∠P1AC＝90°时，
∵∠P1AO+∠OAC＝90°，∠OAC+∠ACO＝90°，
∴∠P1AO＝∠AOC，
∵∠P1AC＝∠AOC＝90°，
∴△P1AO∽△ACO，
∴Rt△P1AO中，tan∠P1AO＝tan∠ACO＝，
∴P1（0，）．
②同理：如图当∠P2CA＝90°时，P2（9，0），
③当∠CP3A＝90°时，此时点O与点P3重合，故点P3（0，0），
综上，坐标轴上存在三个点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形为直角三角形，分别是P1（0，），P2（9，0），P3（0，0）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
26．（7分）定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．
（1）若P（1，2），Q（4，2）．
①在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是　A，B　；
②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值．
（2）若P（0，0），PQ＝2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．

【分析】（1）①根据“等高点”的概念解答即可；
②先确定出点P关于x轴的对称点P′，再根据轴对称的最短路径的求法即可确定最小距离；
（2）先证明“等高距离”最小时△MPQ为等腰三角形，再利用勾股定理求出点Q坐标即可．
【解答】解：（1）①∵P（1，2），Q（4，2），
∴在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，点A（1，0），B（，4）到PQ的距离为2，
∴PQ的“等高点”是A，B；
故答案为：A，B；
②如图1，作点P关于x轴的对称点P′，连接P′Q，P′Q与x轴的交点即为“等高点”M，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q的长，
∵P （1，2），
∴P′（1，﹣2），

设直线P′Q的表达式为y＝kx+b，
根据题意，有，解得：，
∴直线P′Q的表达式为y＝x﹣，
当y＝0时，解得x＝，
即t＝，
∵P'（1，﹣2），Q（4，2），
∴PQ＝＝5，
∴PQ的“等高距离”的最小值为5；
（2）如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，

∴PQ＝2，MN＝2．
设PN＝x，则NQ＝2﹣x，
在Rt△MNP和Rt△MNQ中，由勾股定理得：
MP2＝22+x2＝4+x2，MQ2＝22+（2﹣x）2＝x2﹣4x+8，
∴MP2+MQ2＝2x2﹣4x+12＝2（x﹣1）2+10，
∵MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，
∴当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x＝1，
即PN＝NQ，
∴△MPQ为等腰三角形，
∴MP＝MQ＝＝，
如图3，设Q坐标为（x，y），过点Q作QE⊥y轴于点E，

则在Rt△OEQ和Rt△MEQ中，由勾股定理得：
QE2＝QP2﹣OE2＝22﹣y2＝4﹣y2，EQ2＝MQ2﹣ME2＝＝﹣y2+2y，
∴4﹣y2＝﹣y2+2y，
解得y＝，
∴QE2＝4﹣y2＝4﹣＝，
当点Q在第一象限时，x＝，
当点Q在第二象限时，x＝﹣，
∴Q（，）或（﹣，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了对新定义：“等高点”，“等高距离”的理解和运用，在（1）①中理解等高点和等高距离的概念即可，在②中确定出P关于x轴的对称点P′的位置是解决本题的关键，在（2）中利用勾股定理和最短路径问题是解题的关键，综合性较强，难度适中．
四、附加题（共20分）
27．（6分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b（k≠0，k、b是常数），则点P到直线y＝kx+b的距离证明可用公式d＝计算．
例如：求点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离．
解：因为直线y＝3x+7，其中k＝3，b＝7．
所以点P（﹣1，2）到直线y＝3x+7的距离为：d＝＝＝＝．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，﹣1）到直线y＝x﹣1的距离；
（2）已知直线y＝﹣2x+4与y＝﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式计算即可；
（2）在直线y＝3x+3上取一点（0，3），根据点到直线的距离公式可知：点（0，3）到直线y＝3x+6的距离d，利用平行线的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣1，其中k＝1，b＝﹣1，
∴点P（1，﹣1）到直线y＝x﹣1的距离为d＝＝＝；
（2）当x＝0时，y＝﹣2x+4＝4，
∴点（0，4）在直线y＝﹣2x+4上，
∵点（0，4）到直线y＝﹣2x﹣6的距离为d＝＝＝2，
∵直线y＝﹣2x+4与y＝﹣2x﹣6平行，
∴这两条直线之间的距离为2．
【点评】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式的运用，由函数的解析式求点的坐标的运用，平行线的性质的运用，解答时掌握点到直线的距离公式是关键．
28．（7分）如图1，ABCD是边长为1的正方形，O是对角线BD的中点，Q是边CD上一个动点（点Q不与点C、D重合），直线AQ与BC的延长线交于点E，AE交BD于点P．设DQ＝x，
（1）填空：当x＝时，CE＝　　；＝　　；
（2）如图2，直线EO交AB于点G，若BG＝y，求y关于x之间的函数关系式；
（3）在第（2）小题的条件下，是否存在点Q，使得PG∥BC？若存在，求x的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）先根据平行线分相等成比例定理得出，，然后根据已知条件求得CE＝，进而求得QE＝AE，进而求解；
（2）过O作OM⊥AB，ON⊥BC，根据平行线分相等成比例定理得出CE＝，进而求得BE＝，进而求解；
（3）根据PG∥BC求得，根据对应边成比例得出y＝，再根据（2）中求得的解析式解方程组，即可求得．
【解答】解：（1）∵ABCD是边长为1的正方形，
∴AD∥BE，
∴，，
∵AD＝BC＝DC＝1，DQ＝，
∴QC＝，即，
∴CE＝，，
∴BE＝，QE＝AE，
∴，即＝，
∴AP＝AE，
∴＝，
故答案为，；

（2）过O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N，

∵O是正方形的中心，
∴OM＝MB＝BN＝ON＝，
∵，即，
∴CE＝，
∴BE＝BC+EC＝，
∵OM∥BE，
∴△GMO∽△GBE，
∴，即，
∴y＝①；

（3）存在，理由：
∵PG∥BC，
，
∵AG＝1﹣y，GB＝y，AD＝1，BE＝，
∴，整理得：y＝②，
联立①②并解得x＝，
所以当x＝时，使得PG∥BC．
【点评】本题为四边形综合题，主要考查了三角形相似的判定和性质、平行线分相等定理的应用、正方形的性质等，找出对应线段之间的关系是本题的关键．
29．（7分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将直线BC向下移动n个单位（n＞0），若直线与抛物线有交点，求n的取值范围；
（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）求出直线BC平移后的表达式为y＝﹣x+3﹣n，联立①②并整理得：x2﹣3x+n＝0，由△＝9﹣4n≥0，解得n≤，即可求解；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，
解得，
∴这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3①；

（2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），
设直线BC的表达式为y＝mx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
直线BC平移后的表达式为y＝﹣x+3﹣n②，
联立①②并整理得：x2﹣3x+n＝0，
则△＝9﹣4n≥0，解得n≤，
故0＜n≤；

（3）设：M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3），点B（3，0），

则MN＝|m2﹣4m+3+m﹣3|＝|m2﹣3m|，BM＝＝|m﹣3|，
当MN＝BM时，①m2﹣3m＝（m﹣3），
解得m＝或3（舍去3），
②m2﹣3m＝﹣（m﹣3），
解得m＝﹣或3（舍去3），
当BN＝MN时，∠NBM＝∠BMN＝45°，
m2﹣4m+3＝0，
解得m＝1或m＝3（舍），
当BM＝BN时，∠BMN＝∠BNM＝45°，
则﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m+3，
解得m＝2或m＝3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、直角三角形的性质、图形的平移、根的判别式的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．