2020-2021学年北京师大附属实验中学九年级（上）期中数学试卷 (原卷+解析)

这是一份2020-2021学年北京师大附属实验中学九年级（上）期中数学试卷 (原卷+解析)，共33页。试卷主要包含了填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年北京师大附属实验中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
2．（2分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
3．（2分）如果4x＝3y，那么下列结论正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．x＝4，y＝3
4．（2分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（　　）

A．45 B．60 C．72 D．144
5．（2分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（　　）

A．32° B．58° C．64° D．116°
6．（2分）下列图形一定不是中心对称图形的是（　　）
A．正六边形 B．线段y＝﹣x+2（1≤x≤3）
C．圆 D．抛物线y＝x2+x
7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（　　）

A．ac＞0 B．b+2a＜0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＜0
8．（2分）心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（　　）

A．8min B．13min C．20min D．25min
二、填空题（本题共16分，每小题2分）.
9．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝　 　．
10．（2分）如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，∠C＝110°，则∠A＝　 　°．

11．（2分）将抛物线y＝x2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是　 　．
12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，面积为?，则扇形的半径是　 　．
13．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a，b的值：a＝　 　，b＝　 　．
14．（2分）抛物线y＝2x2﹣4x上三点分别为（﹣3，y1），（0，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为　 　（用“＞”号连接）
15．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC的长为　 　．

16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是　 　，半径是　 　．

三、解答题（本题共68分，第17、19-23题，每小题5分，第18、24、25、26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）
17．（5分）已知x2+x﹣5＝0，求代数式（x+1）2+（x+2）（x﹣2）的值．
18．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点（0，3），（2，3）．
（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）画出此函数的图象；
（3）借助图象，判断若0＜x＜3，则y的取值范围是　 　．

19．（5分）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？

20．（5分）已知关于x的一元二次方程3x2﹣kx+k﹣4＝0．
（1）判断方程根的情况；
（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根．
21．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若E是线段AD的中点，求的值．

22．（5分）在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题．尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：P为⊙O外一点．
求作：经过点?的⊙O的切线．
小敏的作法如下：
①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；
②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；
③作直线PA，PB．
所以直线PA，PB就是所求作的切线．
根据小敏设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：由作图可知点A，B在以C为圆心，CO为半径的圆上，
∴∠OAP＝∠OBP＝　 　°．（　 　）（填推理的依据）
∴PA⊥OA，PB⊥OB．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB是⊙O的切线．（　 　）（填推理的依据）

23．（5分）体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度4m的B处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）

24．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质．
小东对函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的自变量x的取值范围是全体实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
m
﹣24
﹣6
0
0
0
6
24
60
…
①m＝　 　；
②若M（n，﹣720），N（11，720）为该函数图象上的两点，则n＝　 　；
（3）在平面直角坐标系xOy中，如图所示，点A（x1，y1）是该函数在2≤x≤3范围的图象上的最低点．
①直线y＝﹣y1与该函数图象的交点个数是　 　；
②根据图象，直接写出不等式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0的解集．

25．（6分）如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若ED＝3，EF＝5，求⊙O的半径．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2nx+n2+n﹣3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在B的左边，x轴正半轴上一点D，满足OD＝OA+OB．
（1）①当?＝2时，求点D的坐标和抛物线的顶点坐标；
②当AB＝2BD时，求n的值；
（2）过点D作x轴的垂线交抛物线于点P，作射线CP，若射线CP与x轴没有公共点，直接写出n的取值范围．
27．（7分）如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一动点（不与点A，C重合），连接BD，作AH⊥BD于点H，将线段AH绕点A逆时针旋转60°至线段AE，连接CE．
（1）①补全图形；
②判断线段BH与线段CE的数量关系，并证明；
（2）已知AB＝4，点M在边AB上，且BM＝1，作直线HE．
①是否存在一个定点P，使得对于任意的点D，点P总在直线HE上，若存在，请指出点P的位置，若不存在，请说明理由；
②直接写出点M到直线HE的距离的最大值．

28．（7分）对于给定的⨀M和点P，若存在边长为1的等边△PQR，满足点Q在⨀M上，且MP≥MR（当点R，M重合时，定义MR＝0），则称点P为⨀M的“等边远点”，此时，等边△PQR是点P关于⨀M的“关联三角形”，MR的长度为点P关于⨀M的“等边近距”．
在平面直角坐标系xOy中，⨀O的半径为．
（1）试判断点A（，1）是否是⨀O的“等边远点”，若是，请画出对应的“关联三角形”；若不是，请说明理由．
（2）下列各点：B（0，3），C（﹣，0），D（，），E（0，1﹣）中，⨀O的“等边远点”有　 　；
（3）已知直线FG：y＝x+b（b＞0）分别交x，y轴于点F，G，且线段FG上存在⨀O的“等边远点”，求b的取值范围；
（4）直接写出⨀O的“等边远点”关于⨀O的“等边近距”d的取值范围是　 　．


2020-2021学年北京师大附属实验中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1．（2分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【分析】由y＝a（x﹣h）2+k的对称轴是x＝h可得答案．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．
2．（2分）⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，5＜6，
∴直线l与⊙O相离．
故选：C．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＞r时，直线l和⊙O相离是解答此题的关键．
3．（2分）如果4x＝3y，那么下列结论正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．x＝4，y＝3
【分析】根据等式的性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．
【解答】解：A．若＝，等式两边同时乘以12得：4x＝3y，A项正确，
B．若＝，等式两边同时乘以12得：3x＝4y，B项错误，
C．若＝，等式两边同时乘以3y得：3x＝4y，C项错误，
D．若x＝4，y＝3，则3x＝4y，D项错误，
故选：A．
【点评】本题考查等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．
4．（2分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（　　）

A．45 B．60 C．72 D．144
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为72．
故选：C．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
5．（2分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD的度数为（　　）

A．32° B．58° C．64° D．116°
【分析】先根据AB是⊙O的直径得出∠ADB＝90°，故可得出∠A的度数，再由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∵∠ABD＝58°，
∴∠A＝90°﹣58°＝32°，
∴∠BCD＝∠A＝32°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
6．（2分）下列图形一定不是中心对称图形的是（　　）
A．正六边形 B．线段y＝﹣x+2（1≤x≤3）
C．圆 D．抛物线y＝x2+x
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、正六边形是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、线段y＝﹣x+2（1≤x≤3）是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、圆是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、抛物线y＝x2+x不是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（　　）

A．ac＞0 B．b+2a＜0 C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＜0
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A、由函数图象可知二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，即a＞0，交于y轴的负半轴c＜0，ac＜0，故本选项错误；
B、由函数图象可知对称轴x＝﹣＜1，所以﹣b＜2a，即2a+b＞0，故本选项错误；
C、由函数图象可知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0．故本选项正确；
D、由函数图象可知当x＝﹣1时，y＞0，a﹣b+c＞0，故本选项错误．
故选：C．
【点评】考查二次函数图象与系数的关系；用到的知识点为：二次函数的开口向上，a＞0；二次函数与y轴交于负半轴，c＜0；二次函数与x轴有2个交点，b2﹣4ac＞0；a﹣b+c的符号用当x＝﹣1时，函数值的正负判断．
8．（2分）心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间t（单位：min）之间近似满足函数关系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为（　　）

A．8min B．13min C．20min D．25min
【分析】把点坐标：（0，43）、（20，55）、（30，31），代入函数s＝at2+bt+c，求出函数表达式，由a＝﹣，故函数有最大值，即：当t＝﹣＝13时，s有最大值．
【解答】解：由题意得：函数过点（0，43）、（20，55）、（30，31），
把以上三点坐标代入s＝at2+bt+c得：
，解得：，
则函数的表达式为：s＝﹣t2+t+43，
∵a＝﹣，则函数有最大值，
当t＝﹣＝13时，s有最大值，即学生接受能力最强，
因此B正确；
备注：本题为选择题，为此可用函数的对称性来解答，从图象看，函数的对称轴大概是在10到15之间的，所以答案是B，这样判断较为简便，可参考．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，首先要吃透题意，确定已知点坐标，求出函数表达式，通常自变量在对称轴时，函数取得最值．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）.
9．（2分）已知﹣1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣3＝0的一个根，则k＝　﹣2　．
【分析】把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，然后解关于k的方程．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+kx﹣3＝0得1﹣k﹣3＝0，解得k＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
10．（2分）如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，∠C＝110°，则∠A＝　70　°．

【分析】直接利用圆内接四边形的性质进行解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD的顶点都在⊙O上，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质；熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
11．（2分）将抛物线y＝x2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是　（﹣2，1）　．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【解答】解：将抛物线y＝x2向上平移1个单位，再向左平移2个单位后，得到的抛物线y＝（x+2）2+1．
此时抛物线顶点坐标是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，面积为?，则扇形的半径是　　．
【分析】根据扇形的面积公式S扇形＝即可求得．
【解答】解：∵S扇形＝，
∴r2＝＝＝3，
∴r＝（负值舍去），
故答案为．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积的计算公式：S扇形＝．
13．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点．请写出一组满足条件的a，b的值：a＝　1　，b＝　2　．
【分析】根据判别式的意义得到△＝b2﹣4a＝0，然后a取一个不为0的实数，再确定对应的b的值．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝b2﹣4a＝0，
若a＝1，则b可取2．
故答案为1，2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
14．（2分）抛物线y＝2x2﹣4x上三点分别为（﹣3，y1），（0，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为　y1＞y3＞y2　（用“＞”号连接）
【分析】先配方得到抛物线的对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【解答】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵点A（﹣3，y1）到对称轴距离最远，点（0，y2）到对称轴的距离最近，
∴y1＞y3＞y2．
故答案为：y1＞y3＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性．
15．（2分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，CD＝6，则AC的长为　6　．

【分析】先由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠A＝30°，再由垂径定理得CE＝DE＝CD＝3，然后由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∵AB⊥CD，
∴∠AEC＝90°，CE＝DE＝CD＝3，
∴AC＝2CE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及由含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是　（5，2）　，半径是　2　．

【分析】利用三角形的外心与三角形三个顶点的距离相等，确定出外心的位置，即可解决．
【解答】解：∵△ABC外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，
又∵到B，C两点距离相等的点在BC的垂直平分线上，
∴三角形的外心位置基本确定，只有（5，2）点到三角形三个顶点距离相等，
∴（5，2）点是三角形的外接圆圆心．
利用勾股定理可得半径为：2．
故答案为：（5，2），2．
【点评】此题主要考查了三角形的外心相关知识，以及结合平面坐标系确定特殊点，题目比较典型．
三、解答题（本题共68分，第17、19-23题，每小题5分，第18、24、25、26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）
17．（5分）已知x2+x﹣5＝0，求代数式（x+1）2+（x+2）（x﹣2）的值．
【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，最后把已知代入得出答案．
【解答】解：（x+1）2+（x+2）（x﹣2）
＝x2+2x+1+x2﹣4
＝2x2+2x﹣3，
∵x2+x﹣5＝0，
∴x2+x＝5，
原式＝2（x2+x）﹣3
＝2×5﹣3
＝7．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（6分）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点（0，3），（2，3）．
（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）画出此函数的图象；
（3）借助图象，判断若0＜x＜3，则y的取值范围是　0＜y≤4　．

【分析】（1）利用待定系数法即可求得解析式，然后用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）描点、连线画出函数图象即可；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点（0，3），（2，3）．
∴c＝3，﹣＝＝1，
∴b＝2，
∵二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
y＝﹣x2+2x+3
＝﹣x2+2x﹣1+4
＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）画出函数图象如图：
；
（3）由图象可知，若0＜x＜3，则y的取值范围是0＜y≤4，
故答案为0＜y≤4．
【点评】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，数形结合是解题的关键．
19．（5分）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？

【分析】先过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，再设OB＝r，利用勾股定理求出r的值即可得出答案．
【解答】解：过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，设OB＝rcm，
∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，
∴AB＝4cm，
∵刻度尺宽2cm，
∴OA＝（r﹣2）cm，
在Rt△OAB中，
OA2+AB2＝OB2，即（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
则该光盘的直径是10cm．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理及切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
20．（5分）已知关于x的一元二次方程3x2﹣kx+k﹣4＝0．
（1）判断方程根的情况；
（2）若此方程有一个整数根，请选择一个合适的k值，并求出此时方程的根．
【分析】（1）先求出△的值，再根据根的判别式即可得出方程根的情况；
（2）根据方程有整数根，可知△是完全平方数，利用求根公式选择k＝4（答案不唯一），求出方程的根即可．
【解答】解：（1）∵△＝（﹣k）2﹣12（k﹣4）＝k2﹣12k+48＝（k﹣6）2+12＞0，
∴方程有两个不等的实数根；

（2）当k＝4时，△＝16，
方程化为3x2﹣4x＝0，
解得x1＝0，x2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．
21．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．
（1）求证：△ABE∽△ACD；
（2）若E是线段AD的中点，求的值．

【分析】（1）先由角平分线的定义得∠BAE＝∠CAD，再由等腰三角形的性质得∠BED＝∠BDE，则∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）先由相似三角形的性质得＝＝，则BE＝CD，再由BE＝BD得BD＝CD，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠AEB＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD；
（2）解：∵E是线段AD的中点，
∴AE＝AD，
∵△ABE∽△ACD，
∴＝＝，
∴BE＝CD，
∵BE＝BD，
∴BD＝CD，
∴＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22．（5分）在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题．尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：P为⊙O外一点．
求作：经过点?的⊙O的切线．
小敏的作法如下：
①连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；
②以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；
③作直线PA，PB．
所以直线PA，PB就是所求作的切线．
根据小敏设计的尺规作图过程．
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：由作图可知点A，B在以C为圆心，CO为半径的圆上，
∴∠OAP＝∠OBP＝　90　°．（　直径所对的圆周角为直角　）（填推理的依据）
∴PA⊥OA，PB⊥OB．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB是⊙O的切线．（　经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线　）（填推理的依据）

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据圆周角定理的推论，由OP为直径得到∠OAP＝∠OBP＝90°，则PA⊥OA，PB⊥OB，然后根据切线的判定定理得到直线PA，PB是⊙O的切线．
【解答】解：（1）如图，PA、PB为所作；

（2）由作图可知点A，B在以C为圆心，CO为半径的圆上，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，（直径所对的圆周角为直角）
∴PA⊥OA，PB⊥OB．
∵OA，OB为⊙O的半径，
∴直线PA，PB是⊙O的切线．（经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线）
故答案为90，直径所对的圆周角为直角；经过半径的外端，垂直于半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定．
23．（5分）体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度4m的B处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）

【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，从而可以求得抛物线的解析式，然后令y＝0，即可求得CD的长度．
【解答】解：以DC所在直线为x轴，过点A作DC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，如右图所示，
则A（0，2），B（4，4），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+4（a≠0），
∵A（0，2）在抛物线上，
∴2＝a（0﹣4）2+4，
解得，a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣4）2+4，
将y＝0代入，得
﹣（x﹣4）2+4＝0
解得，x1＝4﹣4（舍去），x2＝4+4，
∴DC＝4+4，
答：该同学把实心球扔出（4+4）米．

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．（6分）有这样一个问题：探究函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质．
小东对函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）的自变量x的取值范围是全体实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
6
…
y
…
m
﹣24
﹣6
0
0
0
6
24
60
…
①m＝　﹣60　；
②若M（n，﹣720），N（11，720）为该函数图象上的两点，则n＝　﹣7　；
（3）在平面直角坐标系xOy中，如图所示，点A（x1，y1）是该函数在2≤x≤3范围的图象上的最低点．
①直线y＝﹣y1与该函数图象的交点个数是　2　；
②根据图象，直接写出不等式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0的解集．

【分析】（2）①把x＝﹣2代入函数解析式可求得m的值；
②观察给定表格中的数据可发现函数图象上的点关于点（2，0）对称，再根据点M、N的坐标即可求出n值；
（3）①根据图象即可求得；
②根据图象的即可求得．
【解答】解：（2）①当x＝﹣2时，m＝（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＝﹣60．
故答案为：﹣60．
②观察表格中的数据可得出函数图象关于点（2，0）中心对称，
∴＝2，解得：n＝﹣7．
故答案为：﹣7．
（3）①由图象可知直线y＝﹣y1与该函数图象的交点个数是3个，
故答案为2．
②由图象可知，不等式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）＞0的解为1＜x＜2或x＞3．

【点评】本题考查了多次函数的图象与性质，根据给定表格找出函数图象关于点（2，0）中心对称是解题的关键．
25．（6分）如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若ED＝3，EF＝5，求⊙O的半径．

【分析】（1）连CB、OC，根据切线的性质得∠ABD＝90°，根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE＝BE，于是得到∠OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线；
（2）CE＝BE＝DE＝3，于是得到CF＝CE+EF＝4，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连CB、OC，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴DB⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°，
∵E为BD的中点，
∴CE＝BE，
∴∠BCE＝∠CBE，
而∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；

（2）解：CE＝BE＝DE＝3，
∵EF＝5，
∴CF＝CE+EF＝8，
∵∠ABD＝90°，
∴∠EBF＝90°，
∵∠OCF＝90°，
∴∠EBF＝∠OCF，
∵∠F＝∠F，
∴△EBF∽△OCF，
∴，
∴，
∴OC＝6，
即⊙O的半径为6．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、圆周角定理．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2nx+n2+n﹣3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，点A在B的左边，x轴正半轴上一点D，满足OD＝OA+OB．
（1）①当?＝2时，求点D的坐标和抛物线的顶点坐标；
②当AB＝2BD时，求n的值；
（2）过点D作x轴的垂线交抛物线于点P，作射线CP，若射线CP与x轴没有公共点，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法求出A，B，的坐标，即可解决问题．
②分两种情形：A，B在y轴的两侧或A，B在y轴的右侧，分解构建方程求解即可．
（2）如图1中，∵抛物线的得到（n，n﹣3），抛物线的顶点在直线y＝x﹣3上运动，利用图象法，分n＜0或n＞0，两种情形，分别构建不等式求解即可．
【解答】解：（1）①n＝2时，抛物线的解析式y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标（2，﹣1），
令y＝0，得到x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴OD＝OA+OB＝1+3＝4，
∴D（4，0）．

②∵OD＝OA+OB，AB＝2BD，
∴有两种情形：A，B在y轴的两侧或A，B在y轴的右侧．
当A，B在Y轴的两侧时，由题意OA＝OB＝BD，
∴抛物线的对称轴是y轴，
∴n＝0．
当A，B在y轴的右侧时，由题意OA＝BD，AB＝2OA，
∵抛物线的对称轴x＝n，
∴A（n，0），
把（n，0）代入y＝x2﹣2nx+n2+n﹣3，
0＝（n）2﹣2n×n+n2+n﹣3，
解得n＝2或﹣6（舍弃），
综上所述，满足条件的n的值为0或2．

（2）如图1中，∵抛物线的得到（n，n﹣3），
∴抛物线的顶点在直线y＝x﹣3上运动，

观察图象可知，当n＜0且n2+n﹣3＞0时，满足条件，
解得：n＜．
如图2中，当时，满足条件．

解得：n＞，
综上所述，满足条件的n的值为n＜或n＞．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建不等式解决问题，属于中考压轴题．
27．（7分）如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一动点（不与点A，C重合），连接BD，作AH⊥BD于点H，将线段AH绕点A逆时针旋转60°至线段AE，连接CE．
（1）①补全图形；
②判断线段BH与线段CE的数量关系，并证明；
（2）已知AB＝4，点M在边AB上，且BM＝1，作直线HE．
①是否存在一个定点P，使得对于任意的点D，点P总在直线HE上，若存在，请指出点P的位置，若不存在，请说明理由；
②直接写出点M到直线HE的距离的最大值．

【分析】（1）①依照题意画出图形；
②由“SAS”可证△ABH≌△ACE，可得BH＝CE；
（2）①如图2，设直线EH与BC的交点为P，过点C作CG∥BD，交EH的延长线于G，由“ASA”可证△BHP≌△CGP，可得BP＝PC，可得结论；
②连接AP，可证点A，点B，点P，点H四点共圆，可得当AB∥PH时，点M到PE的距离最大，即可求解．
【解答】解：（1）①由题意可得：

②BH＝CE，
理由如下：∵将线段A?绕点A逆时针旋转60°至线段AE，
∴AH＝AE，∠HAE＝60°＝∠BAC，
∴∠BAH＝∠CAE，
又∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACE（SAS），
∴BH＝CE；
（2）①如图2，设直线EH与BC的交点为P，过点C作CG∥BD，交EH的延长线于G，

∴∠PCG＝∠PBH，∠G＝∠BHP，
∵△ABH≌△ACE，
∴∠AHB＝∠AEC＝90°，
∵AH＝AE，∠HAE＝60°，
∴△AHE是等边三角形，
∴∠AEH＝60°，
∴∠HEC＝30°，
∵∠ABC+∠ACB＝120°＝∠ABH+∠CBD+∠ACB，
∴∠ACE+∠∠BCG+∠ACB＝120°＝∠GCE，
∴∠G＝∠HEC＝30°，
∴CG＝CE，
∴CG＝BH，
∴△BHP≌△CGP（ASA），
∴BP＝PC，
∴点P是BC的中点；
②如图3，连接AP，

∵△ABC是等边三角形，BP＝PC＝BC＝2，
∴AP⊥BC，
∴∠APB＝∠AHB＝90°，
∴点A，点B，点P，点H四点共圆，
∴当AB∥PH时，点M到PE的距离最大，
过点P作PF⊥AB，
∵∠B＝60°，
∴∠BPF＝30°，
∴BF＝1，即点M与点F重合，
∴FP＝BF＝，
∴点M到PE的最大距离为．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，四点共圆等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
28．（7分）对于给定的⨀M和点P，若存在边长为1的等边△PQR，满足点Q在⨀M上，且MP≥MR（当点R，M重合时，定义MR＝0），则称点P为⨀M的“等边远点”，此时，等边△PQR是点P关于⨀M的“关联三角形”，MR的长度为点P关于⨀M的“等边近距”．
在平面直角坐标系xOy中，⨀O的半径为．
（1）试判断点A（，1）是否是⨀O的“等边远点”，若是，请画出对应的“关联三角形”；若不是，请说明理由．
（2）下列各点：B（0，3），C（﹣，0），D（，），E（0，1﹣）中，⨀O的“等边远点”有　B，C，D　；
（3）已知直线FG：y＝x+b（b＞0）分别交x，y轴于点F，G，且线段FG上存在⨀O的“等边远点”，求b的取值范围；
（4）直接写出⨀O的“等边远点”关于⨀O的“等边近距”d的取值范围是　1≤d≤．　．

【分析】（1）根据“等边远点”的定义即可作图，求出“等边远点”到圆心的距离范围，故可进行判断；
（2）根据“等边远点”的定义，利用图像法，故可进行判断；
（3）找出满足条件的“等边远点”的分界点，即可求解；
（4）根据“等边近距”找出最远与最近，即可求解．
【解答】解：（1）点A是⨀O的“等边远点”，对应的“关联三角形”△AEF如图1所示：


（2）如图2中，观察图像可知，点B，C，D是⊙O的“等边远点”．

故答案为：B，C，D．

（3）如图3﹣1中，过点O作OP⊥FG于P，交⊙O于Q，当点P是⊙O的“等边远点”且PQ＝1，△PQM是⊙O的“关联三角形”时，OP＝PQ+OQ＝1+．

在Rt△OPG中，∠OGP＝30°，
∴OG＝2OP＝2+2，
∴b＝2+2，
如图3﹣2中，过点G作GM⊥FG，方GM＝1，△MGP是⊙O的“关联三角形”时，四边形OPMG是菱形，此时OG＝1，可得b＝1，

观察图像可知满足条件的b的范围为：1≤b≤2+2，
再根据对称性可知，﹣2﹣2≤b≤﹣1也满足条件，
综上所述，b的取值范围为：1≤b≤2+2或﹣2﹣2≤b≤﹣1．

（4）如图3﹣1中，OM＝＝，
如图3﹣2中，OP＝1，
观察图像可知，⨀O的“等边远点”关于⨀O的“等边近距”d的取值范围是1≤d≤．
故答案为：1≤d≤．
【点评】本题属于一次函数综合题，考查了点P为⨀M的“等边远点”，点P关于⨀M的“关联三角形”，MR的长度为点P关于⨀M的“等边近距”的定义，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图像法解决问题，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．