2020-2021学年3.2 函数的基本性质教案设计

3.2.2 奇偶性

《奇偶性》内容选自人教版A版第一册第三章第三节第二课时;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此奇偶性成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后指对函数、幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用.

课程目标

1、理解函数的奇偶性及其几何意义；

2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3、学会判断函数的奇偶性．

数学学科素养

1.数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性；

2.逻辑推理：证明函数奇偶性；

3.数学运算：运用函数奇偶性求参数；

4.数据分析：利用图像求奇偶函数；

5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题。

重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断；

难点：函数奇偶性概念的探究与理解．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

     前面我们用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质.下面继续研究函数的其他性质.

画出并观察函数的图像，你能发现这两个函数图像

有什么共同特征码？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、 预习课本，引入新课

阅读课本82-84页，思考并完成以下问题

1.偶函数、奇函数的概念是什么？2.奇偶函数各自的特点是？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、 新知探究

1．奇函数、偶函数

（1）偶函数（even function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

（2）奇函数（odd function）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

2、奇偶函数的特点

（1）具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。

（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．

（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．

（4）偶函数：                                  ,

奇函数：                                     ；

（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。

四、典例分析、举一反三

题型一    判断函数奇偶性

例1 （课本P84例6）：判断下列函数的奇偶性

（1）     （2）      （3）       （4）

【答案】(1)f(x)为偶函数    (2)f(x)为偶函数(3)f(x)为奇函数   (4)f(x)为偶函数

【解析】

(1)    的定义域为R，关于原点对称。且                             

所以 为偶函数.

(2)  的定义域为R，关于原点对称。且                                        所以    为偶函数.

（3）   的定义域为   ，关于原点对称.

且 所以    为奇函数.                

（4）     的定义域为  ，关于原点对称.且     所以  为偶函数.

解题技巧：（利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）

1.定义法

（1）. 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

（2）. 确定f(－x)与f(x)的关系；

（3）.作出相应结论：

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

2.图像法

跟踪训练一

1.判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝ ＋ ；

(3)f(x)＝；(4)f(x)＝

【答案】(1)f(x)为偶函数    (2)f(x)既是奇函数又是偶函数

(3)f(x)是非奇非偶函数   (4)f(x)为偶函数

【解析】　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，

又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．

(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，

又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，

∴f(x)是非奇非偶函数．

(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；

当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．

综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．

题型二   利用函数的奇偶性求解析式

例2　 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2+3x+1,

(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.

【答案】(1)-2   (2)f(x)=

【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.

(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2+3(-x)+1=-2-3x+1.

由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),

所以f(x)=2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.

所以f(x)的解析式为f(x)=

解题技巧：(求函数解析式的注意事项）)

1.已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.

若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=-f(-x)=-φ(-x);

若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=f(-x)=φ(-x).

2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.

跟踪训练二

1.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．

【答案】f(x)＝ 

【解析】当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，

由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.

即当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3.故f(x)＝

题型三   利用函数的奇偶性求参

例3 (1)若函数f(x)＝a＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；

(2)已知函数f(x)＝a＋2x是奇函数，则实数a＝________.　

【答案】(1)　0　(2)0

【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.

又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.

(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.

解题技巧：（利用奇偶性求参数）

1.定义域含参数：奇偶函数的定义域为[a,b],则根据定义域关于原点对称，即a+b=0求参；

2.奇偶函数求参可利用特殊值法，若是奇函数则利用f(0)=0,或f(1)+f(-1)=0等，若是偶函数则利用f(1)-f(-1)=0等求参.

跟踪训练三

1.设函数为奇函数，则a＝________

【答案】-1

【解析】　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

即＝－.

显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本85页习题3.2

本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．