高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念学案，共8页。


1．1 集合的概念
[教材提炼]
知识点一 集合的概念
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
(1)方程x2－3x＋2＝0的所有实数根；
(2)所有的正方形；
(3)某班所有的“帅哥”．
上述问题中的元素可否看成一个“集合”？
知识梳理 (1)一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)．
(2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．
知识点二 元素与集合的关系
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
设方程x2－3x＋2＝0的所有实根构成集合A.1是否在集合A里面？2是否在里面？0是否在里面？
知识梳理 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belng t)集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(nt belng t)集合A，记作a∉A.
(2)常见的数集及表示符号
知识点三 集合的表示
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
我们可以用自然语言描述一个集合．除此之外，还可以用什么方式表示集合呢？
知识梳理 (1)列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1,2}．
(2)描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
“方程x2－3x＋2＝0的所有实数根”组成的集合用描述法可表为{x∈R|x2－3x＋2＝0}．
知识点四 相等集合
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
A＝{方程x2－3x＋2＝0的实数根}
B＝{1,2}
C＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}
A、B、C可否说为相等集合？
知识梳理 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
[自主检测]
1．(教材P5练习1改编)下列给出的对象中，能组成集合的是( )
A．与定点A，B等距离的点 B．高中学生中的游泳能手
C．无限接近10的数 D．非常长的河流
答案：A
2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案：D
3．下列结论中，不正确的是( )
A．若a∈N，则eq \f(1,a)∉N B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则eq \r(3,a)∈R
答案：A
4．(教材P4例2改编)分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合．
解析：描述法：{x∈N|0＜x＜6}，列举法：{1,2,3,4,5}．
探究一 集合的概念
[例1] 下列对象中可以构成集合的是( )
A．大苹果 B．小橘子
C．中学生 D．著名的数学家
[解析]
[答案] C
判断一个“全体”是否能构成一个集合，其关键是对标准的“确定性”的把握，即根据这个“标准”，可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素．
给出下列元素
①学习成绩较好的同学；②方程x2－1＝0的解；③漂亮的花儿；④大气中直径较大的颗粒物．
其中能组成集合的是( )
A．② B．①③
C．②④ D．①②④
答案：A
探究二 元素与集合的关系
[例2] 集合A中的元素x满足eq \f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
[解析] 由eq \f(6,3－x)∈N，x∈N知x≥0，eq \f(6,3－x)＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0,1,2.当x＝0时，eq \f(6,3－0)＝2∈N；当x＝1时，eq \f(6,3－1)＝3∈N；当x＝2时，eq \f(6,3－2)＝6∈N.故集合A中的元素为0,1,2.
[答案] 0,1,2
1．若本例2中集合A是由形如eq \r(2)m＋n(m∈Z，n∈Z)(例如数2eq \r(2)－1)的数构成的，判断eq \f(1,\r(2)－1)是不是集合A中的元素．
解析：eq \f(1,\r(2)－1)＝eq \r(2)＋1＝1×eq \r(2)＋1，
而1,1∈Z，所以eq \r(2)＋1∈A，即eq \f(1,\r(2)－1)∈A.
2．若本例2集合A是由正整数构成的且满足“若x∈A，则10－x∈A”，则集合A中元素个数至多有多少个？
解析：由x∈A，则10－x∈A可得：x＞0,10－x＞0，解得：0＜x＜10，x∈N*.
若1∈A，则9∈A.同理可得：2,3,4,5,6,7,8，都属于集合A.
因此集合A中元素个数至多有9个．
答案：9
探究三 集合的表示
[例3] 教材给出了奇数集合{x∈Z|x＝2k＋1，k∈Z}．
(1)用这样的方法表示偶数集．
(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合．
(3)当x∈Z，y∈Z点(x，y)称为整点，如何表示坐标系中第一象限内的整点？
[解析] (1)偶数集{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(2){x∈Z|x＝3k＋1，k∈Z}
(3){(x，y)|x＞0，y＞0，x∈Z，y∈Z}
1．对于含有有限个元素且个数较少的集合，采用列举法表示集合较合适；对于元素个数较多的集合，如果构成该集合的元素具有明显的规律，在不发生误解的情况下，可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示，如N*＝{1,2,3，…}．
2．一般地，元素较多的无限集用描述法表示集合．
用另一种方法表示下列集合：
(1){绝对值不大于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x＝|x|，x∈Z且x＜5}；
(4){－3，－1,1,3,5}．
解析：(1){－2，－1,0,1,2}．
(2){3,6,9}．
(3)因为x＝|x|，所以x≥0.又因为x∈Z且x＜5，
所以x＝0,1,2,3,4.
所以集合可以表示为{0,1,2,3,4}．
(4){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．
探究四 集合元素的特性及应用
[例4] 已知集合A由元素a－3,2a－1，a2－4构成，且－3∈A，求实数a的值．
[解析] 因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1，a2－4}，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3.
若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1，－4}，符合题意．
若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3，－3}，不满足集合中元素的互异性．
若a2－4＝－3，则a＝1或a＝－1(舍去)，
当a＝1时，集合A＝{－2,1，－3}，符合题意．
综上可知，a＝0，或a＝1.
利用集合中元素的互异性求参数问题
(1)根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验；
(2)利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．
如果集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是( )
A．0 B．0或1
C．1 D．不能确定
解析：集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；当a＝0时，x＝－eq \f(1,2)，此时A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，满足题意．故集合A中只有一个元素时，a＝0或a＝1.
答案：B
一、“天下谁人不识君”——集合中描述法的认识eq \x(►直观想象、逻辑推理)
1．两步认识描述法表示的集合
(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．
(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特征)．
2．四个集合的区别
(1)A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R.
(2)B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此，B＝{y|y≥1}．
(3)C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y＝x2＋1的图象上的点组成的集合．
(4)P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1.
[典例] 1.已知A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，定义集合A，B间的运算A*B＝{x|x∈A且x∉B}，则集合A*B等于( )
A．{1,2,3} B．{2,3}
C．{1,3} D．{2}
[解析] x＝1∈A,1∉B；
x＝2∈A,2∈B；
x＝3∈A,2∉B；
∴A*B＝{1,3}．
[答案] C
2．二次函数y＝x2－1上的图象上纵坐标为3的点的集合为________．
[解析] 点可看作由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2－1,y＝3))组成的解集可用描述法．
令y＝3得：x2－1＝3，所以x＝－2或x＝2.所以在y＝x2－1的图象上且纵坐标为3的点的集合为：{(－2,3)，(2,3)}．
[答案] {(－2,3)，(2,3)}或eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2－1,y＝3))))))
二、集合相等的误区——都是元素惹的“祸”eq \x(►数学运算、逻辑推理)
[典例] 已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))，B＝{a2，a＋b,0}，若A＝B，则a2 018＋b2 018的值为________．
[解析] 因为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a，\f(b,a)，1))＝(a2，a＋b,0)，
又因为a≠0,1≠0，所以eq \f(b,a)＝0，
所以b＝0，
所以{a,0,1}＝{a2，a,0}，
所以a2＝1，即a＝±1，
又当a＝1时，A＝{1,0,1}不满
足集合中元素的互异性，舍去，
所以a＝－1，
即集合A＝{－1,0,1}，
此时a＝－1，b＝0，
故a2 018＋b2 018 ＝(－1)2 018＋02 018＝1＋0＝1.
[答案] 1
纠错心得 解答根据集合相等求字母的值的问题时，首先要认真审题明确集合中元素有哪些，找准“突破口”；其次要注意解出字母的值之后，检验元素的互异性．如本例中通过审题找到eq \f(b,a)＝0这一突破口，求出a＝±1后，检验a＝1时不满足互异性舍去.
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
数学抽象
数学建模
2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题.
数集
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
选项
正误
原因
A
×
大苹果到底以多重算大，标准不明确
B
×
小橘子到底以多重算小，标准不明确
C
√
中学生标准明确，故可构成集合
D
×
“著名”的标准不明确