高中数学必修第一册综合质量检测

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这是一份高中数学必修第一册综合质量检测，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．全集U＝R，A＝{x|x<－3，或x≥2}，B＝{x|－1A．(∁UA)∪(∁UB) B．∁U(A∪B)
C．(∁UA)∩B D．A∩B
[解析] 由题意知，∁UA＝[－3,2)，又因为B＝(－1,5)，所以(∁UA)∩B＝(－1,2)．故选C.
[答案] C
2．函数f(x)＝eq \f(x2,\r(x2－1))＋lg(10－x)的定义域为( )
A．R B．[1,10]
C．(－∞，－1)∪(1,10) D．(1,10)
[解析] 要使函数f(x)有意义，需使eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1>0，,10－x>0，))解得x<－1或1[答案] C
3．已知f(x)＝x2－ax在[0,1]上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[1，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
[解析] 函数f(x)＝x2－ax图象的对称轴为直线x＝eq \f(a,2)，根据二次函数的性质可知eq \f(a,2)≤0或eq \f(a,2)≥1，解得a≤0或a≥2.故选D.
[答案] D
4．下列函数是偶函数且值域为[0，＋∞)的是( )
①y＝|x|；②y＝x3；③y＝2|x|；④y＝x2＋|x|.
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
[解析] 对于①，y＝|x|是偶函数，且值域为[0，＋∞)；对于②，y＝x3是奇函数；对于③，y＝2|x|是偶函数，但值域为[1，＋∞)；对于④，y＝x2＋|x|是偶函数，且值域为[0，＋∞)，所以符合题意的有①④，故选C.
[答案] C
5．已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c[解析] a＝lg20.220＝1,0[答案] B
6．若sinα>0且tanα<0，则eq \f(α,2)的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第一象限或第三象限
D．第三象限或第四象限
[解析] 因为sinα>0且tanα<0，
所以α位于第二象限．
所以eq \f(π,2)＋2kπ<α<2kπ＋π，k∈Z，
则eq \f(π,4)＋kπ当k为奇数时eq \f(α,2)是第三象限的角，当k为偶数时eq \f(α,2)是第一象限的角，
所以角eq \f(α,2)的终边在第一象限或第三象限．选C.
[答案] C
7.函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，且ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如右图所示，则( )
A．ω＝eq \f(π,2)，φ＝eq \f(π,4)
B．ω＝eq \f(π,3)，φ＝eq \f(π,6)
C．ω＝eq \f(π,4)，φ＝eq \f(π,4)
D．ω＝eq \f(π,4)，φ＝eq \f(5π,4)
[解析] ∵T＝4×2＝8，∴ω＝eq \f(π,4).
又∵eq \f(π,4)×1＋φ＝eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,4).
[答案] C
8．函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析] 由f(x)＝2sinx－sin2x＝2sinx－2sinxcsx＝2sinx(1－csx)＝0，得sinx＝0或csx＝1，∵x∈[0,2π]，∴x＝0、π或2π，∴f(x)在[0,2π]的零点个数是3.
[答案] B
9．已知lga＋lgb＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－lgbx的图象可能是( )
[解析] ∵lga＋lgb＝0，∴ab＝1，则b＝eq \f(1,a)，从而g(x)＝－lgbx＝lgax，故g(x)与f(x)＝ax互为反函数，图象关于直线y＝x对称．故选B.
[答案] B
10．若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－eq \f(\r(2),2)cs(π－α)等于( )
A.eq \f(2\r(2),5) B．－eq \f(\r(2),5) C.eq \f(\r(2),5) D．－eq \f(2\r(2),5)
[解析] sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－eq \f(\r(2),2)cs(π－α)
＝eq \f(\r(2),2)sinα＋eq \f(\r(2),2)csα＋eq \f(\r(2),2)csα＝eq \f(\r(2),2)sinα＋eq \r(2)csα.
∵sinα＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴csα＝－eq \f(3,5).
∴eq \f(\r(2),2)sinα＋eq \r(2)csα＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(4,5)－eq \r(2)×eq \f(3,5)＝－eq \f(\r(2),5).
[答案] B
11．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cs(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))单调递减
B．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))单调递减
C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))单调递增
D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))单调递增
[解析] y＝sin(ωx＋φ)＋cs(ωx＋φ)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ＋\f(π,4)))，由最小正周期为π得ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)为偶函数，由|φ|[答案] A
12．将函数f(x)＝2eq \r(3)cs2x－2sinxcsx－eq \r(3)的图象向左平移t(t>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,2) D.eq \f(π,6)
[解析] 将函数f(x)＝2eq \r(3)cs2x－2sinxcsx－eq \r(3)＝eq \r(3)cs2x－sin2x＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移t(t>0)个单位，可得y＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋2t＋\f(π,6)))的图象．由于所得图象对应的函数为奇函数，则2t＋eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，则t的最小值为eq \f(π,6).故选D.
[答案] D
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
14．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1，x≤0，,x－2＋lnx，x>0))的零点个数为________．
[解析] 令f(x)＝0，得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1＝0，,x≤0，))解得x＝－1；
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＋lnx＝0，,x>0，))
在同一个直角坐标系中画出y＝2－x和y＝lnx的图象，观察交点个数，如图所示．函数y＝2－x和y＝lnx，x>0在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以函数f(x)在x<0时的零点有一个，在x>0时零点有一个，所以f(x)的零点个数为2.
[答案] 2
15．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x，x≤0，,－2－x，x>0，))则函数y＝f[f(x)]的值域是________．
[解析] 当x≤0时，f(x)＝3x∈(0,1]，∴y＝f[f(x)]＝f(3x)＝－2－3x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))；
当x>0时，f(x)＝－2－x∈(－1,0)，y＝f[f(x)]
＝f(－2－x)＝3－2－x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)).
综上所述，y＝f[f(x)]的值域是
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)).
[答案] eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
16．关于函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，给出下列命题：
①f(x)的最大值为eq \r(2)；
②f(x)的最小正周期是π；
③f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,24)，\f(13π,24)))上是减函数；
④将函数y＝eq \r(2)cs2x的图象向右平移eq \f(π,24)个单位长度后，与函数y＝f(x)的图象重合．
其中正确命题的序号是________．
[解析] f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋
sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝eq \r(2)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－\f(\r(2),2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)＋\f(π,4)))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))，
∴函数f(x)的最大值为eq \r(2)，最小正周期为π，故①②正确；
又当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,24)，\f(13π,24)))时，2x－eq \f(π,12)∈[0，π]，∴函数f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,24)，\f(13π,24)))上是减函数，故③正确；由④得y＝eq \r(2)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,24)))))＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))，故④正确．
[答案] ①②③④
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2csx·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－eq \r(3)sin2x＋sinxcsx.
(1)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，求f(x)的值域；
(2)用“五点法”在下图中作出y＝f(x)在闭区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上的简图．
[解] f(x)＝2csx·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))－eq \r(3)sin2x＋sinxcsx
＝2csxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinxcs\f(π,3)＋csxsin\f(π,3)))－eq \r(3)sin2x＋sinxcsx＝sin2x＋eq \r(3)cs2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).
(1)∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴eq \f(π,3)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(4π,3)，
∴－eq \f(\r(3),2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))≤1，
∴当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的值域为[－eq \r(3)，2]．
(2)由T＝eq \f(2π,2)，得最小正周期T＝π，列表：
图象如图所示．
19．(本小题满分12分) 已知A(csα，sinα)，B(csβ，sinβ)，其中α，β为锐角，且|AB|＝eq \f(\r(10),5).
(1)求cs(α－β)的值；
(2)若csα＝eq \f(3,5)，求csβ的值．
[解] (1)由|AB|＝eq \f(\r(10),5)，
得eq \r(csα－csβ2＋sinα－sinβ2)＝eq \f(\r(10),5)，
∴2－2(csαcsβ＋sinαsinβ)＝eq \f(2,5)，
∴cs(α－β)＝eq \f(4,5).
(2)∵csα＝eq \f(3,5)，cs(α－β)＝eq \f(4,5)，α，β为锐角，
∴sinα＝eq \f(4,5)，sin(α－β)＝±eq \f(3,5).
当sin(α－β)＝eq \f(3,5)时，
csβ＝cs[α－(α－β)]＝csαcs(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq \f(24,25).
当sin(α－β)＝－eq \f(3,5)时，
csβ＝cs[α－(α－β)]
＝csαcs(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.
∵β为锐角，∴csβ＝eq \f(24,25).
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在区间[－1,1]上的奇函数，对于任意的m，n∈[－1,1]有eq \f(fm＋fn,m＋n)>0(m＋n≠0)．
(1)判断函数f(x)的单调性；
(2)解不等式feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))[解] (1)设x1＝m，x2＝－n，由已知可得eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0，不妨设x1(2)由(1)知函数在区间[－1,1]上是增函数．
又由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))所以不等式feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))21．(本小题满分12分)某村电费收取有以下两种方案供用户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．
方案二：不收管理费，每度0.58元．
(1)求方案一收费L(x)(单位：元)与用电量x(单位：度)间的函数关系；
(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？
(3)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
[解] (1)当0≤x≤30时，L(x)＝2＋0.5x；
当x>30时，L(x)＝2＋30×0.5＋(x－30)×0.6＝0.6x－1，
∴L(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＋0.5x，0≤x≤30，,0.6x－1，x>30.))(注：x也可不取0)
(2)当0≤x≤30时，令L(x)＝2＋0.5x＝35得x＝66，舍去；
当x>30时，由L(x)＝0.6x－1＝35得x＝60，∴老王家该月用电60度．
(3)设按方案二收费为F(x)元，则F(x)＝0.58x.
当0≤x≤30时，由L(x)解得x>25，∴25当x>30时，由L(x)解得x<50，∴30综上，25故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的一系列对应值如表：
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k>0)的周期为eq \f(2π,3)，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
[解] (1)设f(x)的最小正周期为T，
则T＝eq \f(11π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝2π，由T＝eq \f(2π,ω)，得ω＝1，
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(B＋A＝3，,B－A＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝2，,B＝1，))
令ω·eq \f(5π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
即eq \f(5π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，取φ＝－eq \f(π,3)，
所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＋1.
(2)因为函数y＝f(kx)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx－\f(π,3)))＋1的周期为eq \f(2π,3)，又k>0，所以k＝3.令t＝3x－eq \f(π,3)，
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，所以t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，
如图，sint＝s在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))上有两个不同的解，则s∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))，所以方程f(kx)＝m在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时恰好有两个不同的解，则m∈[eq \r(3)＋1,3)，即实数m的取值范围是[eq \r(3)＋1,3)．
x
－eq \f(π,6)
eq \f(π,12)
eq \f(π,3)
eq \f(7π,12)
eq \f(5π,6)
2x＋eq \f(π,3)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))
0
2
0
－2
0
x
－eq \f(π,6)
eq \f(π,3)
eq \f(5π,6)
eq \f(4π,3)
eq \f(11π,6)
eq \f(7π,3)
eq \f(17π,6)
f(x)
－1
1
3
1
－1
1
3

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