高中数学必修第一册质量检测（五）

这是一份高中数学必修第一册质量检测（五），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．2sin215°－1的值是( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
[解析] 原式＝－(1－2sin215°)＝－cs30°＝－eq \f(\r(3),2).
[答案] D
2．若sin2α＝eq \f(1,4)，eq \f(π,4)<αA.eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(\r(3),2) C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
[解析] (csα－sinα)2＝1－sin2α＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).又eq \f(π,4)<α[答案] B
3．y＝sinx－|sinx|的值域是( )
A．[－1,0] B．[0,1] C．[－1,1] D．[－2,0]
[解析] 当sinx≥0时，y＝0，当sinx<0时，y＝2sinx∈[－2,0)，综上，有y∈[－2,0]，选D.
[答案] D
4．有一个扇形的弧长为eq \f(π,2)，面积为eq \f(π,4)，则该弧所对弦长为( )
A．1 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D．2
[解析] 设扇形的半径为R，由扇形的面积S＝eq \f(π,4)，
得S＝eq \f(π,4)＝eq \f(1,2)×eq \f(π,2)R，得R＝1，
则扇形的圆心角α＝eq \f(l,R)＝eq \f(\f(π,2),1)＝eq \f(π,2)，
则弧所对弦长为eq \r(2)R＝eq \r(2)，故选C.
[答案] C
5．已知α为锐角，csα＝eq \f(\r(5),5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2α))＝( )
A．－3 B．－eq \f(1,7) C．－eq \f(4,3) D．－7
[解析] 由α为锐角，csα＝eq \f(\r(5),5)，∴sinα＝eq \f(2\r(5),5)
故tanα＝2，tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(4,1－4)＝－eq \f(4,3)
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2α))＝eq \f(tan\f(π,4)＋tan2α,1－tan\f(π,4)tan2α)＝eq \f(1－\f(4,3),1＋\f(4,3))＝－eq \f(1,7)
[答案] B
6．在eq \r(3)sinx＋csx＝2a－3中，a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(5,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，－\f(1,2)))
[解析] eq \r(3)sinx＋csx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))∈[－2,2]，所以－2≤2a－3≤2，解得eq \f(1,2)≤a≤eq \f(5,2).
[答案] A
7．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )
A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))
B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))或y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,4)))
C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,4)))
D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3π,4)))
[解析] 由图象可知A＝2，因为eq \f(π,8)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)))＝eq \f(π,4)＝eq \f(T,4)，所以T＝π，ω＝2.当x＝－eq \f(π,8)时，2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)·2＋φ))＝2，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ－\f(π,4)))＝1，又|φ|<π，解得φ＝eq \f(3π,4).故函数的解析式为y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,4))).
[答案] C
8．在△ABC中，已知taneq \f(A＋B,2)＝sinC，则△ABC的形状为( )
A．正三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[解析] 在△ABC中，taneq \f(A＋B,2)＝sinC＝sin(A＋B)＝2sineq \f(A＋B,2)cseq \f(A＋B,2)，
所以2cs2eq \f(A＋B,2)＝1，所以cs(A＋B)＝0，
从而A＋B＝eq \f(π,2)，即△ABC为直角三角形．故选C.
[答案] C
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝( )
A．－2 B．－eq \r(2)
C.eq \r(2) D．2
[解析] ∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝Asinφ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，∴k＝0，φ＝0；
又g(x)＝Asineq \f(1,2)ωx，∴T＝eq \f(2π,\f(1,2)ω)＝2π，∴ω＝2，又geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)，∴A＝2，
∴f(x)＝2sin2x，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝eq \r(2).故选C.
[答案] C
10．已知sinα＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，tanβ＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
[解析] sinα＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，则csα＝eq \f(2\r(5),5)，tanα＝eq \f(1,2)，
所以tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(\f(1,2)－3,1－\f(1,2)×－3)＝－1.
又因为α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＋β＝eq \f(3π,4).故选B.
[答案] B
11．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2，其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
[解析] 画出函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|的图象(如下图)，由图象可得①④正确．
[答案] C
12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|≤\f(π,2)))，x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9 C．7 D．5
[解析] 因为x＝－eq \f(π,4)为f(x)的零点，x＝eq \f(π,4)为f(x)的图象的对称轴，所以eq \f(π,4)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)))＝eq \f(T,4)＋kT，即eq \f(π,2)＝eq \f(4k＋1,4)·T＝eq \f(4k＋1,4)·eq \f(2π,ω)，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,18)，\f(5π,36)))上单调，所以eq \f(5π,36)－eq \f(π,18)＝eq \f(π,12)≤eq \f(T,2)＝eq \f(2π,2ω)，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.
[答案] B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函数，当φ∈
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，φ的值为________．
[解析] 由已知得eq \f(π,4)＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－eq \f(π,4)(k∈Z)．又∵φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴当k＝0时，φ＝－eq \f(π,4)符合条件．
[答案] －eq \f(π,4)
14．若函数f(x)＝sinx＋acsx的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，则a＝________.
[解析] ∵f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，∴f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，即a＝sineq \f(π,3)＋acseq \f(π,3)，∴a＝eq \r(3).
[答案] eq \r(3)
15．给出下列4个命题：①函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))))的最小正周期是eq \f(π,2)；②直线x＝eq \f(7π,12)是函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(π,4)))的一条对称轴；③若sinα＋csα＝－eq \f(1,5)，且α为第二象限角，则tanα＝－eq \f(3,4)；④函数y＝cs(2－3x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，3))上单调递减．其中正确的是________．(写出所有正确命题的序号)．
[解析] 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))的最小正周期是π，
则y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,12)))))的最小正周期为eq \f(π,2)，故①正确．
对于②，当x＝eq \f(7π,12)时，2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3×\f(7π,12)－\f(π,4)))＝2sineq \f(3π,2)＝－2，故②正确．
对于③，由(sinα＋csα)2＝eq \f(1,25)得
2sinαcsα＝－eq \f(24,25)，α为第二象限角，所以sinα－csα＝eq \r(1－2sinαcsα)＝eq \f(7,5)，
所以sinα＝eq \f(3,5)，csα＝－eq \f(4,5)，所以tanα＝－eq \f(3,4)，故③正确．
对于④，函数y＝cs(2－3x)的最小正周期为eq \f(2π,3)，而区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，3))长度eq \f(7,3)>eq \f(2π,3)，显然④错误．
[答案] ①②③
16．已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，csβ＋csγ＝csα，则β－α的值为________．
[解析] 由已知，得sinγ＝sinβ－sinα，csγ＝csα－csβ.
两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(csα－csβ)2＝1.
所以－2cs(β－α)＝－1，所以cs(β－α)＝eq \f(1,2)，所以β－α＝±eq \f(π,3).因为sinγ＝sinβ－sinα>0，所以β>α，所以β－α＝eq \f(π,3).
[答案] eq \f(π,3)
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求值：eq \f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cs20°,cs80°\r(1－cs20°)).
[解] ∵sin50°(1＋eq \r(3)tan10°)
＝sin50°eq \f(cs10°＋\r(3)sin10°,cs10°)
＝sin50°eq \f(2sin40°,cs10°)＝1，
cs80°eq \r(1－cs20°)＝sin10°eq \r(2sin210°)＝eq \r(2)sin210°，
∴eq \f(sin50°1＋\r(3)tan10°－cs20°,cs80°\r(1－cs20°))
＝eq \f(1－cs20°,\r(2)sin210°)＝eq \r(2).
18．(本小题满分12分)在已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，
x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A>0，ω>0，0<φ<\f(π,2)))的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为eq \f(π,2)，且图象上一个最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2)).
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))时，求f(x)的值域．
[解] (1)由最低点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))，得A＝2.
由x轴上相邻两个交点之间的距离为eq \f(π,2)，
得eq \f(T,2)＝eq \f(π,2)，即T＝π，
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,π)＝2.
由点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，－2))在图象上，
得2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(2π,3)＋φ))＝－2，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋φ))＝－1，
故eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－eq \f(11π,6)(k∈Z)．
又φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴φ＝eq \f(π,6)，故f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
(2)∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(π,2)))，
∴2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(7π,6)))，
当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)时，f(x)取得最大值2；
当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6)，即x＝eq \f(π,2)时，f(x)取得最小值－1，
故f(x)的值域为[－1,2]．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2eq \r(3)sinxcsx＋2cs2x－1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
[解] (1)由f(x)＝2eq \r(3)sinxcsx＋2cs2x－1，得
f(x)＝eq \r(3)(2sinxcsx)＋(2cs2x－1)
＝eq \r(3)sin2x＋cs2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))).
∴函数f(x)的最小正周期为π.
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z得
kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))，k∈Z.
(2)∵f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))上为增函数，在区间eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))上为减函数，又f(0)＝1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝2，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－1，∴函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值为2，最小值为－1.
20．(本小题满分12分)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))＝eq \f(5,13)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(3,5)，且－eq \f(π,4)<α[解] ∵－eq \f(π,4)<α∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))＝－ eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4))))＝－eq \f(12,13).
∵eq \f(π,4)<β∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝－ eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β)))＝－eq \f(4,5)，
∴cs(α－β)＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))· cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(16,65)，
∴cs[2(α－β)]＝2cs2(α－β)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,65)))2－1
＝－eq \f(3713,4225).
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))).
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sinx的图象经过哪些变换得到；
(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－eq \r(3)，2]，求实数m的取值范围．
[解] (1)f(x)＝f(x)min＝－2，此时2x－eq \f(π,3)＝2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，即x＝kπ－eq \f(π,12)，k∈Z，
即此时自变量x的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ－\f(π,12)，k∈Z)))).
(2)把函数y＝sinx的图象向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象；再把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,2)，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象；最后再把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象．
(3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以m≥eq \f(5π,12).
又函数y＝f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(11π,12)))上是减函数，
故m的最大值为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(11π,12)))内使函数值为－eq \r(3)的值，
令2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝－eq \r(3)，得x＝eq \f(5π,6)，
所以m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，\f(5π,6))).
22．(本小题满分12分)当我们所处的北半球为冬季的时候，新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏，因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游，下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表．
(1)根据这个统计表提供的数据，为惠灵顿的月平均气温做一个函数模型；
(2)当平均气温不低于13.7℃时，惠灵顿市最适宜旅游，试根据你所确定的函数模型，确定惠灵顿市的最佳旅游时间．
[解] (1)以月份x为横轴，气温t为纵轴作出图象，并以光滑的曲线连接各散点，得如图所示的曲线．
由于各地月平均气温的变化是以12个月为周期的函数，
依散点图所绘制的图象，我们可以考虑用t＝Acs(ωx＋φ)＋k来描述．
由最高气温为17.9℃，最低气温为9.5℃，
则A＝eq \f(17.9－9.5,2)＝4.2，k＝eq \f(17.9＋9.5,2)＝13.7.
显然eq \f(2π,ω)＝12，故ω＝eq \f(π,6).
又x＝2时t取最大值，取ωx＋φ＝0，
得φ＝－ωx＝－eq \f(π,6)×2＝－eq \f(π,3).
所以t＝4.2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,6)－\f(π,3)))＋13.7为惠灵顿市的常年气温模型函数式．
(2)如图所示，作直线t＝13.7与函数图象交于两点，(5,13.7)，(11,13.7)．
这说明在每年的十一月初至第二年的四月末平均气温不低于13.7℃，是惠灵顿市的最佳旅游时间.x(月份)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
t(气
温：℃)
17.3
17.9
17.3
15.8
13.7
11.6
10.06
9.5
10.06
11.6
13.7
15.8